第3讲平行线与相交线.docx

第3讲平行线与相交线.docx

《第3讲平行线与相交线.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第3讲平行线与相交线.docx（26页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

第3讲平行线与相交线

明士教育集团个性化教学辅导导学案

教学课题

平行线与相交线

课时计划

第（3）次课

授课教师

学科

数学

授课日期和时段

上课学生

年级

准初二

上课形式

阶段

基础（）提高（√）强化（）

教学目标

1.互余和互补

2对顶角

3.同位角、内错角、同旁内角（三线八角）

重点、难点

重点：

两直线平行的条件：

1.同位角相等；2.内错角相等；3.同旁内角互补。

难点：

用尺规作一个角等于已知角。

一、学习与应用

知识点一：

互余和互补

1.如果两个角的和是直角,那么称这两个角互为余角；

2.如果两个角的和是平角,那么称这两个角互为补角；

3.余角、补角的性质：

同角或等角的余角相等；同角或等角的补角相等。

注意：

（1）互余、互补都是指两个角之间的关系。

当∠1+∠2+∠3=90°时,不能说∠1、

∠2、∠3互余；当∠1+∠2+∠3=180°时,也不能说∠1、∠2、∠3互补。

（2）互余的两个角都是锐角,而互补的两个角可能是一个锐角一个钝角或都是直角。

（3）互余和互补都是反映两个角的数量关系,而不是位置关系。

（4）同角或等角的余角相等,即若∠1与∠2互余,∠1与∠3互余,则∠2=∠3；若∠1与

∠2互余,∠3与∠4互余,∠1=∠3,则∠2=∠4。

（5）同角或等角的补角相等。

即若∠1与∠2互补,∠1与∠3互补,则∠2=∠3；若∠1与

（6）∠2互补,∠3与∠4=补,∠1=∠3,则∠2=∠4。

知识点二：

对顶角

如果两个角有公共顶点，且它们的两边互为反向延长线，那么这样的两个角叫做对顶角。

对顶角的性质：

对顶角相等。

注意：

（1）对顶角总是成对出现的,它们是具有特殊位置关系的两个角,在相交的两条直线所成的角中,有两对对顶角。

（2）要判断两个角是不是对顶角,首先要看这两个角是不是两条直线相交得到的,再

（3）看这两个角是不是有公共顶点而没有公共边,符合这两个条件时,才能确定这两

个角是对顶角。

知识点三：

同位角、内错角、同旁内角（三线八角）

基本图形

角的名称

位置特征

图形结构特征

同位角

在两条被截直线的同旁，在截线的同侧

“F型”

内错角

在两条被截直线之间，

在截线的两侧

“Z型”

同旁内角

在两条被截直线之间，

在截线的同侧

“U型”

注意:

辨认各种类型的角,关键是找准截线（要判断的两角的公共边所在的直线）和被截线

（要判断的两角的另两边）,再由它们的位置来确定。

知识点四：

如右图，用规范的几何语言是：

∵∠1=∠2,∴AB∥CD（同位角相等,两直线平行）；

∵∠3=∠6,∴AB∥CD（内错角相等,两直线平行）；

∵∠2+∠3=180°,∴AB∥CD（同旁内角互补,两直线平行）。

注意：

同位角、内错角、同旁内角仅仅反映两个角之间的位置关系,

它们没有确定的数量关系,如右图所示,∠1与∠2是同位角,但它们不相等

只有在“两条平行直线被第三条直线所截”的前提下,同位角才相等。

同样也只有在这个前提下,内错角才相等,同旁内角才互补。

知识点五：

平行线的性质

平行线的性质是指在两直线平行的条件下,同位角、内错角、同旁内角的关系,共有三个

方面的内容:

（1）两直线平行,同位角相等。

用几何语言表述如下（如右图所示）:

因为a∥b,所以∠1=∠2（两直线平行,同位角相等）。

（2）两直线平行,内错角相等。

用几何语言表述如下（如右图所示）:

因为a∥b,所以∠2=∠3（两直线平行,内错角相等）。

（3）两直线平行,同旁内角互补。

用几何语言表述如下（如右图所示）:

因为a∥b,所以∠2+∠4=18O°（两直线平行,同旁内角互补）。

注意:

（1）由平行线的性质,我们可以体会到,只有在两直线平行的条件下,才会有同位角

相等、内错角相等、同旁内角互补,要注意不要将条件和结论割裂开来,并不是所有的同

位角都相等、内错角都相等,也不是所有的同旁内角都互补。

如右图,∵∠1与∠2是同位角,∴∠1=∠2。

这是错误的结论,也是常犯的错误。

平行线的性质和判定中的条件和结论恰好相反,在“两条直线被第三条直线所

截”的前提下,从同位角相等,内错角相等或是同旁内角互补,推出两条直线平行,

这是平行线的判定；而从两直线平行推出同位角相等,内错角相等,同旁内角互补,

这是平行线的性质。

由此可知平行线判定的三个条件与平行线的三条性质是互逆的。

知识点六：

用尺规作一个角等于已知角

尺规作图一般有以下三步:

（1）已知:

当作图是用文字语言叙述时,要根据文字语言用数学语言写出题目中的条件；

（2）求作:

根据题目写出要求作的图形及此图形应满足的条件；

（3）作法:

根据作图的过程写出每一步的操作过程,当不要求写作法时,要保留作图痕迹。

已知:

如下图,∠AOB,求作:

∠A′O′B′,使∠A′0′B′=∠AOB。

作法:

①作射线O′A′；

②以点0为圆心,以任意长为半径画弧,交OA于点C,交OB于点D；

③以点O′为圆心,以0C长为半径画弧,交O′A′于点C′；

④以点C′为圆心,以CD长为半径画弧,交前面的弧于点D′；

⑤过点D′作射线O′B′,则∠A′O′B′就是所求作的角。

注意:

我们一般作图要求不写作法,但一定要保留作图痕迹。

类型一：

互余和互补

【典型例题】

（1）一个锐角的补角正好是它的余角的4倍，请求出这个锐角的度数？

（2）填空：

∵∠A+∠B=90º，∠B+∠C=90º

∴∠A∠C（）

∵∠1+∠3=90º，∠2+∠4=90º且∠1=∠2

∴∠3∠4（）

【对应练习】

1、若互为余角的两个角之差为40°，则较大的角为（）

A.40°B.50°C.65°D.75°

2、如果两个角互补,那么这两个角可能是（）

①均为钝角；②一个为锐角,一个为钝角；③均为直角；④以上三者都有可能。

A.①②③④B.①②C.②③D.④

3、如右图,是由两块直角三角板拼成的图形,

在直角顶点处构成了三个锐角,其中互余的

角是,相等的是,

相等的理由是。

★类型二：

对顶角

【典型例题】

下列各图中，∠1和∠2是对顶角的是（）

【对应练习】

1、下列选项中,∠1和∠2是对顶角的是（）

2、如右图所示,AB与CD相交于点O,∠AOD+∠BOC=280°,则∠AOC为。

类型三：

同位角、内错角、同旁内角（三线八角）

【典型例题】

（1）如右图，①

是角；

它们是由直线和直线，被直线所截得的；

②

是角；它们是由直线和直线，被直线所截得的；

③∠3与∠5是角；它们是由直线和直线，被直线所截得的。

【对应练习】

1、如右图,其中是同位角关系的是（）

A.∠2与∠4B.∠1与∠4C.∠3与∠4D.不存在

2、如右图,∠1、∠2、∠3、∠4这4个角中,

同位角有,内错角有,

同旁内角有。

类型四：

两直平行的条件

【典型例题】下列说法正确的是（）

A.内错角相等B.两直线被第三条直线所截,同旁内角互补

C.两直线平行,同旁内角相等D.“两直线平行,同旁内角互补”是平行线的特征

【对应练习】

1、如右图所示,点E在AC的延长线上,下列条件中能判断AB∥CD的是（）

A.∠3=∠4B.∠1=∠2C.∠D=∠DCED.∠D+∠ACD=180°

2、已知同一平面内的直线l1、l2、l3,如果l1⊥l2,l2⊥l3,那么l1与l3的位置关系是（）

A.平行B.相交C.垂直D.以上都不对

3、两条平行直线被第三条直线所截,下列命题正确的是（）

A.同位角相等,但内错角不相等B.同位角不相等,但同旁内角互补

C.内错角相等,但同旁内角不互补D.同位角相等,且同旁内角互补

4、在同一平面内有三条直线,如果其中有且只有两条直线平行,那么它们有且只有个交点。

（第5题图）（第6题图）

5、如右图所示,填空:

（1）由∠1=∠2可知∥；理由（）

（2）由∠1=∠3可知∥；理由（）

6、如右图,点D、E、F分别在AB、BC、AC上,

（1）若∠2=,则DE∥AC；理由。

（2）若∠2=,则DF∥BC；理由。

7、阅读下列推理过程,在括号内填上推理的依据。

如右图,∠1+∠2=180°,∠2+∠4=180°（已知）,

所以∠1=∠4（）

所以a∥c（）

又因为∠2+∠3=180°（已知）,

∠3=∠6（）

所以∠2+∠6=18O°（等量代换）

所以a∥b（）

从而b∥c（）

类型五：

平行线的性质

（第1题图）（第2题图）（第3题图）

1、如右图,已知AB∥CD,且被EF所截。

若∠2=70°,则下列结论不正确的是（）

A.∠1=70°B.∠3=110°C.∠4=70°D.∠5=70°

2、如右图,若AB∥CD,则图中与∠1互补的角共有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

3、如右图,DH∥EG∥BC,且DC∥EF,那么,图中与∠1相等的角的个数是（）

A.2B.4C.5D.6

（第4题图）（第5题图）（第6题图）

4、如右图所示,下列说法中正确的是（）

A.因为AD∥BC,所以∠2=∠4B.因为AD∥BC,所以∠BAD+∠D=180°

C.因为AD∥BC,所以∠1=∠3D.因为AB∥CD,所以∠BAD+∠B=180°

5、如右图,D是BC延长线上一点,过C作CE∥AB,若∠A=54°,∠ACD=127°,则∠B=。

6、如右图,AB∥CD,EF⊥AB,∠1=36°,则∠2=。

7、如右图所示,已知DF∥AC,∠C=∠D,你能否推断BD∥CE?

试说明理由。

类型六：

用尺规作一个角等于已知角

【典型例题】如下图,已知∠α,∠β,求作∠AOB,使∠AOB=∠α+2∠β。

【对应练习】

1、如右图所示，AD=。

（用a,b,c表示）

2、已知∠AOB=22.5°,分别以射线OA,OB为一边,在∠AOB的外部作∠AOC=∠AOB,

∠BOD=2∠AOB,则0C与OD的位置关系是。

3、如右图所示,已知∠α,∠β,

（1）求作∠A0B,使∠AOB=∠α+∠β。

（2）求作∠AOB,使∠AOB=2∠α-∠β。

（不写作法,保留作图痕迹）

1、如果∠α=40°,那么∠α的补角是（）

A.50°B.60°C.140°D.160°

2、如果∠A与∠B互补,∠B与∠C互余,则∠A与∠C的关系是（）

A.∠A+∠C=90°B.∠A+∠C=180°C.∠A-∠C=90°D.∠A-∠C=180°

3、下列说明两角相等,错误的是（）

A.对顶角相等B.两直线平行,同位角相等

C.因为∠1=∠2,∠2=∠3,所以∠1=∠3D.两条直线被第三条直线所截,内错角相等

4、在同一平面内，如果直线a⊥b,b∥c,则a、c的关系是（）

A.平行B.垂直C.相交但不垂直D.不能确定

5、若互余的两个角有一条公共边,则这两个角的平分线所组成的角（）

A.等于45°B.大于45°C.小于或等于45°D.大于或等于45°

（第6题图）（第7题图）（第9题图）

6、如右图所示,a∥b,∠2是∠1的3倍,则∠2等于（）

A.45°B.90C.135°D.150°

7、将一长方形纸片按右图方式折叠,BC,BD为折痕,折叠后A′B与E′B在同一条直线上,

则∠CBD的度数（）

A.大于90°B.等于90°C.小于90°D.不能确定

8、停在湖面上点A处的一只小帆船被东南风吹走了一段距离后到达点B处,则点B在点A的（）

A.东南方向B.东北方向C.西南方向D.西北方向

9、如右图,一条公路修到湖边时,需拐弯绕道而过,如果第一次拐的角∠A=120°,第二次拐的角∠B

是150°,第三次拐的角是∠C,这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行,则∠C是（）

A.120°B.130°C.140°D.150°

10、一个角与它的补角的比是1：

5,则这个角的度数是。

11、如右图,将三个相同的三角尺不重叠不留空隙地拼在一起,观察图形,在线段AB,AC,AE,ED,EC,

BD中,相互平行的线段有（）

A.4组B.3组C.2组D.1组

（第10题图）

（第12题图）（第13题图）（第15题图）（第16题图）

12、如右图，要使a∥b,需要添加一个条件,这个条件可以是。

13、如右图,小明为了知道牙刷与杯子底面的夹角∠1的度数,他测得∠2=135°,那么∠1=度。

14、已知两个角互为余角,若其中一个角比另一个角大32°,那么这两个角分别是。

15、如右图，AB∥EF∥CD,∠A=72°,∠D=18°,则AE与DE的位置关系是。

16、如右图,已知∠B+∠C=180°,则∠1与∠2的大小关系为∠1∠2（填＜,＞,=）。

（第17题图）（第18题图）

17、如右图,一把矩形直尺沿直线断开并错位,点E、D、B、F在同一直线上,若∠ADE=125°,

则∠DBC度数为。

18、如右图,一艘轮船在A处看见巡逻艇M在其北偏东62°的方向上,此时一艘客船在B处看见

巡逻艇M在其北偏东13°的方向上,求此时从巡逻艇上看这两艘船的视角∠AMB的度数为。

二、总结与测评

总结升华：

……

课后测评

1、如右图，已知∠1=∠2,∠5=∠6,∠3=∠4,试说明AE∥BD,AD∥BC。

请完成下列证明过程。

证明:

∵∠5=∠6,

∴AB∥____（）

∴∠3=______（）

∵∠3=∠4,

∴∠4=∠BDC（）

∴____∥BD（）

∴∠2=,

∵∠1=∠2,

∴∠1=,

∴AD∥BC（）

2、如右图,小红走在一条笔直的小路AB上,小明站在

小路外的一点C上,你能帮小明设计一条路线,

使这条路线与小红所走的路线平行吗?

（不保留作图痕迹）

你的反馈是我今后教学的重要参考，提升我的教学质量是你成绩进步的重要保障，感谢你的意见与建议！

对本课次导学案的评价

□好（知识点明朗，规律总结清晰全面，重难点掌握良好）

□中（知识点清晰，总结有但不全面，重难点含糊不清）

□差（知识点混乱，没总结，不知道哪里是重难点）

对本课次课后作业的评价

□好（难度及题量适中，针对性强，能检查本次课的学习情况）

□中（难度及题量适中，针对性一般，基本能检查本次课的学习情况）

□差（难度太大□，或题量过多□，题型混乱，没有针对性）

学生意见栏

你的意见与建议：

________________________________________________________

_______________________________________________

_______________________________________________

家长反馈

1、学生是否独立完成课后作业：

□是□否□不清楚

2、对老师的意见与建议：

________________________________________________________

_______________________________________________

_______________________________________________

家长签名：

______________

指导教师：

_________________