平面弯曲梁的强度与刚度计算.docx

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平面弯曲梁的强度与刚度计算

第二十四讲纯弯曲时梁的正应力常用截面的二次矩

目的要求：

掌握弯曲梁正应力的计算和正应力分布规律。

教学重点：

弯曲梁正应力的计算和正应力分布规律。

教学难点：

平行移轴定理及其应用。

教学内容：

第八章平面弯曲梁的强度与刚度计算

§8-1纯弯曲时梁的正应力

一、纯弯曲概念：

   １、纯弯曲：

平面弯曲中如果某梁段剪力为零，该梁段称为纯弯曲梁段。

   ２、剪切弯曲：

平面弯曲中如果某梁段剪力不为零（存在剪力），该梁段称为剪切弯曲梁段。

二、纯弯曲时梁的正应力：

   １、中性层和中性轴的概念：

   中性层：

纯弯曲时梁的纤维层有的变长，有的变短。

其中有一层既不伸长也不缩短，这一层称为中性层。

   中性轴：

中性层与横截面的交线称为中性轴。

   ２、纯弯曲时梁的正应力的分布规律：

   以中性轴为分界线分为拉区和压区，正弯矩上压下拉，负弯矩下压上拉，正应力成线性规律分布，最大的正应力发生在上下边沿点。

   ３、纯弯曲时梁的正应力的计算公式：

   （１）、任一点正应力的计算公式：

   （２）、最大正应力的计算公式：

   其中：

M---截面上的弯矩；　IZ---截面对中性轴（z轴）的惯性矩；y---所求应力的点到中性轴的距离。

   说明：

以上纯弯曲时梁的正应力的计算公式均适用于剪切弯曲。

§8-2常用截面的二次矩平行移轴定理

一、常用截面的二次矩和弯曲截面系数：

   １、矩形截面：

   ２、圆形截面和圆环形截面：

圆形截面

圆环形截面

其中：

   ３、型钢：

   型钢的二次矩和弯曲截面系数可以查表。

二、组合截面的二次矩平行移轴定理

   １、平行移轴定理：

   截面对任一轴的二次矩等于它对平行于该轴的形心轴的二次矩，加上截面面积与两轴之间的距离平方的乘积。

   IZ1=IZ+a2A

   ２、例题：

例1：

试求图示T形截面对其形心轴的惯性矩。

解：

1、求T形截面的形心座标yc

2、求截面对形心轴z轴的惯性矩

第二十五讲　弯曲正应力强度计算

（一）

目的要求：

掌握塑性材料弯曲正应力强度计算。

教学重点：

弯曲正应力强度条件的应用。

教学难点：

弯曲正应力强度条件的理解。

教学内容：

§8-3弯曲正应力强度计算

一、弯曲正应力强度条件：

   １、对于塑性材料，一般截面对中性轴上下对称，最大拉、压应力相等，而塑性材料的抗拉、压强度又相等。

所以塑性材料的弯曲正应力强度条件为：

（1）、强度校核

（2）、截面设计

   （3）、确定许可荷载

   ２、弯曲正应力强度计算的步为：

   （１）、画梁的弯矩图，找出最大弯矩（危险截面）。

   （２）、利用弯曲正应力强度条件求解。

二、例题：

   例1：

简支矩形截面木梁如图所示，L=5m,承受均布载荷q=3.6kN/m，木材顺纹许用应力［σ］＝10MPa，梁截面的高宽比h/b=2，试选择梁的截面尺寸。

   解：

画出梁的弯矩图如图，最大弯矩在梁中点。

   由

   得

   矩形截面弯曲截面系数：

   h=2b=0.238m

   最后取h=240mm,b=120mm

例2：

悬臂梁AB如图，型号为No.18号式字钢。

已知［σ］＝170MPa，L=1.2m不计梁的自重，试求自由端集中力F的最大许可值［F］。

解：

画出梁的恋矩图如图。

由M图知：

Mmax=FL=1.2F

查No.18号工字钢型钢表得

Wz=185cm3

由

得

Mmax≤Wz[σ]

1.2F≤185×10-6×170×106

[F]=26.2×103N=26.2kN

第二十六讲弯曲正应力强度计算

（二）

目的要求：

掌握脆性材料的弯曲正应力强度计算。

教学重点：

脆性材料的弯曲正应力强度计算。

教学难点：

脆性材料的正应力分布规律及弯曲正应力强度条件的建立。

教学内容：

一、脆性材料梁的弯曲正应力分析

1、脆性材料的弯曲梁其截面一般上下不对称，例如T字形截面梁（图）。

2、脆性材料的弯曲正应力强度计算中，脆性材料的抗拉强度和抗压强度不等，抗拉能力远小于抗压能力，弯曲正应力强度计算要分别早找出最大拉应力和最大压应力。

３、由于脆性材料的弯曲梁其截面一般上下不对称，上下边沿点到中性轴的距离不等，因此最大拉、压应力不一定发生在弯矩绝对值最大处，要全面竟进行分析。

三、例题：

例1：

如图所示的矩形截面外伸梁，b=100mm，h=200mm，P1=10kN，P2=20kN，[σ]=10MPa，试校核此梁的强度。

解：

1、作梁的弯矩图如图（b）

由梁的弯矩图可得：

2、强度校核

σmax>[σ]

即：

此梁的强度不够。

例2：

T型截面铸铁梁如图，Iz=136×104mm4,y1=30mm,y2=50mm,铁铸的抗拉许用应力[σt]＝30MPa，抗压许用应力[σc]＝160MPa，F=2.5kN,q=2kN/m，试校核梁的强度。

解：

（1）求出梁的支座反力为

    FA=0.75kN,FB=3.75kN

（2）作梁的弯矩图如图（b）

   （3）分别校核B、C截面

    B截面

可见最大拉应力发生在C截的下边缘。

以上校核知：

梁的正应力强度满足。

C截面

可见最大拉应力发生在C截的下边缘。

以上校核知：

梁的正应力强度满足。

第二十七讲弯曲切应力简介

目的要求：

掌握弯曲切应力的强度计算。

教学重点：

最大弯曲切应力的计算。

教学难点：

弯曲切应力公式的理解。

教学内容：

§8-4弯曲切应力简介

一、弯曲切应力：

  １、梁横截面上的剪力由弯曲切应力组成。

  ２、梁横截面上的弯曲切应力成二次抛物线规律分布，中性

轴处最大，上下边沿点为零。

      （如图）

三、最大弯曲切应力的计算：

    １、矩形截面梁：

最大弯曲切应力是平均应力的1、5倍

    ２、圆形截面梁：

最大弯曲切应力是平均应力的三分之四

    ３、工字钢：

最大弯曲切应力有两种算法

    （１）、公式：

    （２）、认为最大弯曲切应力近似等于腹板的平均切应力。

四、弯曲切应力的强度计算：

    １、强度条件：

         τmax≤[τ]

         [τ]---梁所用材料的许用切应力

    ２、例题：

例１：

如图所示简支梁，许用正应力[σ]=140MPa，许用切应力[τ]=80MPa，试选择工字钢型号。

解：

（１）由平衡方程求出支座反力

    FA=6kN,　FB=54kN

（２）画出剪力图弯矩图

（３）由正应力强度条件选择型号

    查型钢表：

选用No.12.6号工字钢。

Wz=77.529cm3,h=126mm，δ=8.4mm,b=5mm

（４）切应力校核

    故需重选。

    重选No.14号工字钢，h=140mm,δ=9.1mm,b=5.5mm。

    虽然大于许用应力，但不超过５％，设计规范允许。

故可选用No.14工字钢。

　第二十八讲梁的变形概述提高梁的强度和刚度的措施

目的要求：

掌握叠加法计算梁的变形。

教学重点：

叠加法计算梁的变形。

教学难点：

提高梁的强度和刚度的措施的理解。

教学内容：

§8-5梁的变形概述

概念：

   １、挠度和转角：

梁变形后杆件的轴线由直线变为一条曲线。

梁横截面的形心在铅垂方向的位移称为挠度。

挠度向上为正，向下为负。

梁横截面转动的角度称为转角，转角逆时针转动为正，顺时针转动为负。

   ２、挠曲线方程：

梁各点的挠度若能表达成坐标的函数，其函数表达式称为挠曲线方程。

挠曲线方程   ｗ＝ｆ（ｘ）

挠曲线方程对坐标的一阶导数等于转角方程。

§8-6用叠加法计算梁的变形

一、叠加原理：

在弹性范围内，多个载荷引起的某量值（例如挠度），等于每单个载荷引起的某量值（挠度）的叠加。

二、用叠加法计算梁的变形：

   １、步骤：

将梁分为各个简单载荷作用下的几个梁，简单载荷作用下梁的变形（挠度和转角）可查表得到。

然后再叠加。

   ２、例题：

例1：

用叠加法求（a）图所示梁的最大挠度yc和最大转角θc。

解：

图（a）可分解为（b）、（c）两种情况的叠加，分别查表得

三、梁的刚度条件：

梁的刚度计算以挠度为主

    梁的刚度条件：

   ωmax≤[ω]

   θmax≤[θ]

   1、刚度校核

   2、截面设计

   3、确定许可荷载

   在设计梁时，一般是先按强度条件选择截面或许可荷载，再用刚度条件校核，若不满足，再按刚度条件设计。

§8-7提高梁的强度和刚度的措施

一、合理安排梁的支承：

例如剪支梁受均布载荷，若将两端的支座均向内移动0.2L，则最大弯矩只有原来最大弯矩的五分之一。

（图）

二、合理布置载荷：

   将集中力变为分布力将减小最大弯矩的值。

（图）

三、选择合理的截面：

   １、截面的布置应该尽可能远离中性轴。

工字形、槽形和箱形截面都是很好的选择。

   ２、脆性材料的抗拉能力和抗压能力不等，应选择上下不对称的截面，例如T字形截面。