高考数学总复习教师用书第8章 第7讲 立体几何中的向量方法一证明平行与垂直.docx

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高考数学总复习教师用书第8章第7讲立体几何中的向量方法一证明平行与垂直

第7讲　立体几何中的向量方法

（一）——证明平行与垂直

最新考纲　1.理解直线的方向向量及平面的法向量；2.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系；3.能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理.

知识梳理

1.直线的方向向量和平面的法向量

（1）直线的方向向量：

如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量a为直线l的方向向量.

（2）平面的法向量：

直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量.

2.空间位置关系的向量表示

位置关系

向量表示

直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2

l1∥l2

n1∥n2⇔n1＝λn2

l1⊥l2

n1⊥n2⇔n1·n2＝0

直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m

l∥α

n⊥m⇔n·m＝0

l⊥α

n∥m⇔n＝λm

平面α，β的法向量分别为n，m

α∥β

n∥m⇔n＝λm

α⊥β

n⊥m⇔n·m＝0

诊断自测

1.判断正误（在括号内打“√”或“×”）

（1）直线的方向向量是唯一确定的.（　　）

（2）若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行.（　　）

（3）若两平面的法向量平行，则两平面平行或重合.（　　）

（4）若空间向量a平行于平面α，则a所在直线与平面α平行.（　　）

答案　

（1）×　

（2）√　（3）√　（4）×

2.（选修2－1P104练习2改编）已知平面α，β的法向量分别为n1＝（2，3，5），n2＝（－3，1，－4），则（　　）

A.α∥βB.α⊥β

C.α，β相交但不垂直D.以上均不对

解析　∵n1≠λn2，且n1·n2＝2×（－3）＋3×1＋5×（－4）＝－23≠0，∴α，β不平行，也不垂直.

答案　C

3.已知A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1），则下列向量是平面ABC法向量的是（　　）

A.（－1，1，1）B.（1，－1，1）

C.D.

解析　设n＝（x，y，z）为平面ABC的法向量，

则化简得∴x＝y＝z.

答案　C

4.（2017·青岛月考）所图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线ON，AM的位置关系是________.

解析　以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设|AD|＝2，则A（2，0，0），M（0，0，1），O（1，1，0），N（2，1，2），所以＝（－2，0，1），＝（1，0，2），因此·＝－2＋0＋2＝0，故AM⊥ON.

答案　垂直

5.（2017·杭州调研）设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n＝（2，2，4），若a＝（1，1，2），则直线l与平面α的位置关系为________；

若a＝（－1，－1，1），则直线l与平面α的位置关系为________.

解析　当a＝（1，1，2）时，a＝n，则l⊥α；

当a＝（－1，－1，1）时，a·n＝（－1，－1，1）·（2，2，4）＝0，则l∥α或l⊂α.

答案　l⊥α　l∥α或l⊂α

6.（2017·绍兴月考）设α，β为两个不同的平面，u＝（－2，2，5），v＝（1，－1，x）分别为平面α，β的法向量.

（1）若α⊥β，则x＝________；

（2）若α∥β，则x＝________.

解析　

（1）由α⊥β，得u·v＝0，即－2－2＋5x＝0，x＝；

（2）由α∥β，得u∥v，即＝＝，x＝－.

答案　

（1）　

（2）－

考点一　利用空间向量证明平行问题

【例1】如图，在四面体A－BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD＝2，BD＝2，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ＝3QC.

证明：

PQ∥平面BCD.

证明　法一　如图，取BD的中点O，以O为原点，OD，OP所在射线分别为y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系Oxyz.

由题意知，A（0，，2），B（0，－，0），D（0，，0）.

设点C的坐标为（x0，y0，0）.

因为＝3，

所以Q.

因为M为AD的中点，故M（0，，1）.

又P为BM的中点，故P，

所以＝.

又平面BCD的一个法向量为a＝（0，0，1），故·a＝0.

又PQ⊄平面BCD，所以PQ∥平面BCD.

法二　在线段CD上取点F，使得DF＝3FC，连接OF，同法一建立空间直角坐标系，写出点A，B，C的坐标，设点C坐标为（x0，y0，0）.

∵＝，设点F坐标为（x，y，0），则

（x－x0，y－y0，0）＝（－x0，－y0，0），

∴∴＝

又由法一知＝，

∴＝，∴PQ∥OF.

又PQ⊄平面BCD，OF⊂平面BCD，

∴PQ∥平面BCD.

规律方法　

（1）恰当建立坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键.

（2）证明直线与平面平行，只须证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可.这样就把几何的证明问题转化为向量运算.

【训练1】如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点.求证：

PB∥平面EFG.

证明　∵平面PAD⊥平面ABCD，且ABCD为正方形，

∴AB，AP，AD两两垂直.

以A为坐标原点，建立如右图所示的空间直角坐标系Axyz，则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E（0，0，1），F（0，1，1），G（1，2，0）.

法一　∴＝（0，1，0），＝（1，2，－1），

设平面EFG的法向量为n＝（x，y，z），

则即

令z＝1，则n＝（1，0，1）为平面EFG的一个法向量，

∵＝（2，0，－2），∴·n＝0，∴n⊥，

∵PB⊄平面EFG，∴PB∥平面EFG.

法二　＝（2，0，－2），＝（0，－1，0），

＝（1，1，－1）.设＝s＋t，

即（2，0，－2）＝s（0，－1，0）＋t（1，1，－1），

∴解得s＝t＝2.∴＝2＋2，

又∵与不共线，∴，与共面.

∵PB⊄平面EFG，∴PB∥平面EFG.

考点二　利用空间向量证明垂直问题

【例2】如图所示，已知四棱锥P－ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝PB＝PC＝2CD，侧面PBC⊥底面ABCD.证明：

（1）PA⊥BD；

（2）平面PAD⊥平面PAB.

证明　

（1）取BC的中点O，连接PO，

∵平面PBC⊥底面ABCD，△PBC为等边三角形，

∴PO⊥底面ABCD.

以BC的中点O为坐标原点，以BC所在直线为x轴，过点O与AB平行的直线为y轴，OP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示.

不妨设CD＝1，则AB＝BC＝2，PO＝.

∴A（1，－2，0），B（1，0，0），D（－1，－1，0），P（0，0，）.

∴＝（－2，－1，0），＝（1，－2，－）.

∵·＝（－2）×1＋（－1）×（－2）＋0×（－）＝0，

∴⊥，∴PA⊥BD.

（2）取PA的中点M，连接DM，则M.

∵＝，＝（1，0，－），

∴·＝×1＋0×0＋×（－）＝0，

∴⊥，即DM⊥PB.

∵·＝×1＋0×（－2）＋×（－）＝0，

∴⊥，即DM⊥PA.又∵PA∩PB＝P，

∴DM⊥平面PAB.∵DM⊂平面PAD，

∴平面PAD⊥平面PAB.

规律方法　

（1）利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算.其中灵活建系是解题的关键.

（2）用向量证明垂直的方法

①线线垂直：

证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零.

②线面垂直：

证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示.

③面面垂直：

证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示.

【训练2】如图所示，正三棱柱（底面为正三角形的直三棱柱）ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点.求证：

AB1⊥平面A1BD.

证明　法一　设平面A1BD内的任意一条直线m的方向向量为m.由共面向量定理，则存在实数λ，μ，使m＝λ＋μ.

令＝a，＝b，＝c，显然它们不共面，并且|a|＝|b|＝|c|＝2，a·b＝a·c＝0，b·c＝2，以它们为空间的一个基底，

则＝a＋c，＝a＋b，＝a－c，

m＝λ＋μ＝a＋μb＋λc，

·m＝（a－c）·

＝4－2μ－4λ＝0.故⊥m，故AB1⊥平面A1BD.

法二　如图所示，取BC的中点O，连接AO.

因为△ABC为正三角形，

所以AO⊥BC.

因为在正三棱柱ABC－A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，

所以AO⊥平面BCC1B1.

取B1C1的中点O1，以O为原点，分别以，，所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，

则B（1，0，0），D（－1，1，0），A1（0，2，），A（0，0，），

B1（1，2，0）.

设平面A1BD的法向量为n＝（x，y，z），＝（－1，2，），＝（－2，1，0）.

因为n⊥，n⊥，

故⇒

令x＝1，则y＝2，z＝－，

故n＝（1，2，－）为平面A1BD的一个法向量，

而＝（1，2，－），所以＝n，所以∥n，

故AB1⊥平面A1BD.

考点三　利用空间向量解决探索性问题

【例3】（2017·湖州调研）如图，棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都等于2，∠ABC和∠A1AC均为60°，平面AA1C1C⊥平面ABCD.

（1）求证：

BD⊥AA1；

（2）在直线CC1上是否存在点P，使BP∥平面DA1C1？

若存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由.

（1）证明　设BD与AC交于点O，则BD⊥AC，连接A1O，在△AA1O中，AA1＝2，AO＝1，∠A1AO＝60°，

∴A1O2＝AA＋AO2－2AA1·AOcos60°＝3，

∴AO2＋A1O2＝AA，∴A1O⊥AO.

由于平面AA1C1C⊥平面ABCD，

平面AA1C1C∩平面ABCD＝AC，

A1O⊂平面AA1C1C，

∴A1O⊥平面ABCD，以OB，OC，OA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，－1，0），B（，0，0），C（0，1，0），D（－，0，0），A1（0，0，），C1（0，2，）.

由于＝（－2，0，0），＝（0，1，），

·＝0×（－2）＋1×0＋×0＝0，

∴⊥，即BD⊥AA1.

（2）解　假设在直线CC1上存在点P，使BP∥平面DA1C1，设＝λ，P（x，y，z），则（x，y－1，z）＝λ（0，1，）.

从而有P（0，1＋λ，λ），＝（－，1＋λ，λ）.

设n3⊥平面DA1C1，则

又＝（0，2，0），＝（，0，），

设n3＝（x3，y3，z3），

取n3＝（1，0，－1），因为BP∥平面DA1C1，

则n3⊥，即n3·＝－－λ＝0，得λ＝－1，

即点P在C1C的延长线上，且C1C＝CP.

规律方法　向量法解决与垂直、平行有关的探索性问题

（1）根据题目的已知条件进行综合分析和观察猜想，找出点或线的位置，并用向量表示出来，然后再加以证明，得出结论.

（2）假设所求的点或参数存在，并用相关参数表示相关点，根据线、面满足的垂直、平行关系，构建方程（组）求解，若能求出参数的值且符合该限定的范围，则存在，否则不存在.

【训练3】在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方