一对一小学数学总复习数的整除及复习教师版学生版含答案.docx

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一对一小学数学总复习数的整除及复习教师版学生版含答案

初中数学备课组

教师

班级预初

学生

日期

上课时间

学生情况：

主课题：

数的整除及复习

教学目标：

1.理解及掌握自然数、整数以及整除等相关概念；

2.掌握整除的条件，会判断整除；

3.理解学习整除的意义。

教学重点：

1.自然数、整数、整除的相关概念的理解与判断；

2.求一个数的因数的方法；

3.求一个数的倍数的方法；

4.偶数及奇数的意义及运算性质。

教学难点：

1.整除、整除的条件

2.因数和倍数

3.能被2和5整除的数

考点及考试要求：

数的整除及复习

知识精要

一．建立整数和自然数的概念：

1提问学生说出所学的数，根据一定的依据把这些数来分一分类，并说明理由。

（同学讨论、归纳、交流）

归纳：

在数物体的时候，用来表示物体个数的数1、2、3、4……，叫做正整数。

在正整数1、2、3、4……的前面添上“—”号，得到的数-1、-2、-3、-4……，叫做负整数（五年级学过负数）。

表示没有的时候可以记作0。

自然数：

零和正整数统称为自然数（naturalnumber）；（自然产生的数）。

整数：

正整数、零、负整数，统称为整数（integer）。

二．想一想：

有没有最大的正整数？

又有没有最小的正整数呢？

反过来，有没有最大的负整数？

有没有最小的负整数？

如果存在，分别是几？

答：

没有最大的正整数，有最小的正整数，为1。

有最大的负整数，为-1，没有最小的负整数。

三．建立整除的概念

1、你能很快写出两个除法算式吗？

2、你能根据一定的依据把这些除法算式来分一分类吗？

并说明理由。

3、请同学们仔细观察除法算式里的被除数、除数和商或结果，它们有什么不同的地方，每一组算式有什么特点？

给出整除的定义：

整数a除以整数b，如果除得的商是整数且余数为零（即没有余数），我们就说a能被b整除；或者说b能整除a.

4、判断下列哪一个算式的被除数能被除数整除

①.10÷3②.48÷8③.6÷4④.3.6÷1.8

答案：

②符合要求。

思考：

整除、除尽和除不尽三者之间有什么关系？

5、整除的条件：

（1）除数和被除数都是整数；

（2）被除数除以除数，商是整数且余数为零。

6、思考题：

（1）是否有最大的自然数？

是否有最小自然数？

如果有，是几？

答：

没有最大的自然数，但有最小的自然数，为0。

（2）正整数36能被正整数a整除，写出所有符合条件的正整数a。

答：

1,2,3,4,6,9,12,18,36

（3）一班同学分成四个小组糊纸盒，每组糊的个数同样多，小马虎统计时说：

全班共糊纸盒342个，小马虎统计错了？

为什么？

答：

343

4=85

3，这样算下来与每组糊的个数同样多矛盾了。

所以，小马虎数错了。

四．因数和倍数

（1）整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数（也叫做约数）。

在整除的条件下才有因数和倍数的概念。

倍数和因数互相依存的，不能单独存在。

这里包含两层意思：

其一，在讲倍数和因数时，只能说谁是谁的倍数，或者谁是谁的因数，不能说谁是倍数，谁是因数。

例如，说6是倍数，3是因数是错误的。

其二，两个整数存在倍数和因数的关系是相互的：

如果a是b的倍数，那么b一定是a的因数；反之，如果a是b的因数，那么b一定是a的倍数。

（2）求一个数的因数的方法：

1，列乘法算式：

根据因数的意义，有序地写出某数的所有两个数乘积的乘法算式，乘法算式中的因数就是该数的因数。

2，列除法算式：

用此数除以任意的整数，所得的商是整数而无余数，这些除数和商都是该数的因数。

（3）求一个数的倍数的方法

求一个数的倍数，就是用这个数，一次与非零自然数相乘，所得之数就是这个数的倍数。

（4）因数和倍数的性质：

1，任何一个整数都是它本身的倍数，也是它本身的因数。

2，1是任何一个整数的因数，任何整数都是1的倍数。

3，0是任何一个不等于0的整数的倍数，任何一个不等于0的整数都是0的因数。

（5）能被2整除的数的特征

因为任何整数乘以2，所得乘数的个位数只有0，2，4，6，8五种情况，所以，能被2整除的数的个位数一定是0，2，4，6或8。

也就是说，凡是个位数是0，2，4，6，8的整数一定能被2整除，凡是个位数是1，3，5，7，9的整数一定不能被2整除。

例如，38，172，960等都能被2整除，67，881，235等都不能被2整除。

能被2整除的整数称为偶数，不能被2整除的整数称为奇数。

0，2，4，6，8，10，12，14，…就是全体偶数。

1，3，5，7，9，11，13，15，…就是全体奇数。

偶数和奇数有如下运算性质：

偶数±偶数=偶数，奇数±奇数=偶数，

偶数±奇数=奇数，奇数±偶数=奇数，

偶数×偶数=偶数，偶数×奇数=偶数，奇数×奇数=奇数。

（6）能被5整除的数的特征

由0×5=0，2×5=10，4×5=20，6×5=30，8×5=40，…可以推想任何一个偶数乘以5，所得乘积的个位数都是0。

由1×5=5，3×5=15，5×5=25，7×5=35，9×5=45，…可以推想，任何一个奇数乘以5，所得乘积的个位数都是5。

因此，能被5整除的数的个位数一定是0或5。

也就是说，凡是个位数是0或5

的整数一定能被5整除；凡是个位数不是0或5的整数一定不能被5整除。

例如，870，6275，1234567890等都能被5整除，264，3588等都不能被5整除。

热身练习

1.最小的自然数是0，最小的正整数是1。

2.一个自然数的最小因数是1，最大的约数是它本身，最小的倍数是它本身。

3.一个数的最小倍数是49，这个数的因数有1,7,49。

4.四位数256□能同时被2,5整除，那么□应该是0。

5,.100以内能同时被3和5整除的最大数是90，最小数是15。

6.判断题（若是正确的，请说明理由；若是错误的，请把它改正）

（1）最小的自然数是1.（）

（2）如果整数a能被整数b（b≠0）除尽，那么就可以说a能被b整除。

（）

（3）最小的整数是0.（）

（4）非负整数是自然数。

（）

（5）如果a能被b整除，那么a是b的倍数，b是a的因数。

（）

解析：

要理解自然数、整数的概念和整除的意义。

1）因为零和正整数统称为自然数，所以此题的结论是错误的。

改正：

最小的自然数是0.

2）因为正是a能被b（b≠0）除尽，它们的商是整数，也可以是小数，且没有余数，而整数a能被整数b（b≠0）整除，它们的商只能是整数，且没有余数，所以此题的结论是错误的。

改正：

如果整数a能被整数b（b≠0）除尽,而且商是整数,那么就可以说a能被b整除。

3）因为整数包括正整数、零和负整数，所以此题是错误的。

改正：

因为整数由三部分的数组成，零不是最小的数。

4）正确。

理由：

因为非负整数包括零和正整数，而零和正整数统称为自然数，所以此题的结论是正确的。

5）正确【答案】

（1）错。

（2）错。

（3）错。

（4）对。

（5）对。

7.乐乐家要装修新房子，地面是长3.2米、宽2.8米的长方形，准备用正方形的地砖铺满。

现有地砖尺寸是30×30、40×40（单位：

厘米）的两种尺寸，你觉得用那一种比较合适，为什么？

解：

320×280=89600

89600÷（30×30）=746.666666……

89600÷（40×40）=560

故：

选40×40规格的。

8.从下列数中选择适当的数填入相应的圈内：

-25、13、2.47、-8.75、0、29.

自然数正整数负整数整数

答案：

自然数：

13、0、29.正整数：

13、29

负整数：

-25整数：

-25、13、0、29

9.从下列算式中选择适当的算式填入相应的圈内：

25÷5=5，2.5÷0.5=5，25÷3=8……1，25÷4=6.25

整除除尽

答案：

整除：

25÷5=5

除尽：

25÷5=5；2.5÷0.5-5；25÷4=6.25

10.指出第一行的各数能被第二行的哪些数整除。

483091120

2357

答案：

48能被2、3整除。

30能被2、3、5整除。

91能被7整除。

120能被2、3、5整除。

11.能整除12的数有哪些？

解：

12÷1=12，12÷2=6，12÷3=4，12÷4=3，12÷6=2，12÷12=1.

所以能整除12的数有6个：

1，2，3，4，6，12.

【注】：

本题还可以用12=1×12=2×6=3×4。

来得出能整除12的数。

12.18的因数有那几个？

乘法：

18=1×18=2×9=3×6。

除法：

18÷1=18，18÷2=9，18÷3=6.

13.分别写出48和17的因数。

答案：

48=1×48=2×24=3×16=4×12=6×8.17=1×17.

14.你能找出多少个2的倍数？

找2的倍数，用2分别乘1、2、3……

2的倍数有2、4、6、8……

15.按要求写出下列各数的倍数：

7（50以内）；24（100以内）

答案：

7的倍数有：

7，14，21，28，35，42，49.

24的倍数有：

24，48，72，96。

精解名题

例1.下列各组数中是否含有相同的因数，若含有请指出：

（1）6和9；

（2）12和18；（3）27和51；（4）9和133

解:

（1）6—1，2，3，6。

9—1、3、9.公共：

1，3.

（2）12—1，2，3，4，6，12.18—1，2，3，6，9，18.

公共：

1，2，3，6.

（3）27—1，3，9，27.51—1，3，17，51.

公共：

1，3.

（4）9—1，3，9.133—1，133．

公共：

1.

例2.求18的因数和倍数？

答案：

18÷1=18，18÷2=9，18÷3=6，18÷9=2.

18的因数有：

1，2，3，6，9，18.

18的倍数有：

18，36，54，72……

例3.在下面的□里填数字，使这个数既能被5整除，又能被3整除．

　　50□0；2□□5；11□2□．

　　分析：

要使填出的数能被5整除，则个位数字应该为0或者为5；要使填出的数能被3整除，则各位数字之和必须是3的倍数．

　　解：

题目的答案可以是：

　　第一个：

5010，5040，5070．

　　第二个：

2115，5415，2715……．

第三个：

11025，11520，11820……．

例4.从0、4、5、7四个数中，任意选三个数组成同时能被2、3、5整除的三位数．　　

分析：

能同时被2和5整除的数，个位数一定是0；能被3整除的数，各个数位上数字之和一定是3的倍数．所以可知，这个三位数的个位数是0，同时各数位数字之和是3的倍数．

由于个位数是0，因此只要十位与百位的数字之和是3的倍数就行了．这四个数中的两数之和只有（4＋5＝）9和（5＋7＝）12是3的倍数．

解：

这样的三位数有四个：

450；540；570；750．   

例5.在方框里填上适当的数使它能同时被2、3整除．

　　415□

分析：

这个数要能被2整除，则个位上可以填0、2、4、6、8，但是同时又要能被3整除，因此四个数位上的数字的和能被3整除，而4＋1＋5＝10，所以个位数字只能是2或8，即方框里可以填2或8．

备选例题

例1.如果12345□□能被234整除，问□□应为哪两个数字？

分析：

我们考察1234500÷234＝5275……150，1234599÷234＝5276……15．可见12345□□÷234＝5276，因为234×5276＝1234584，于是□□的两个数字应为8、4．

解：

由1234500÷234＝5275……150，1234599÷234＝5276……15，

　　可知  12345□□÷234＝5276．

因为  234×5276＝1234584．

所以  □□的两个数字应为8、4．

答：

□□内的两个数字应为8、4．

巩固练习

1.在下列各组数中，4个连续的自然数是（B）

（A）-1，0，1，2（B）0，1，2，3

（C）10，12，14，16（D）3，5，7，9

2.下列算式中，被除数能被除数整除的是：

（D）

（A）25÷4（B）25÷0.5（C）2.5÷5（D）5÷5

3.已知12-4=3，根据此式，判断下列说法中，不正确的是（B）

（A）12是4的倍数（B）12是倍数

（C）4是12的因数（D）4是12的约数。

4.一个自然数与13的和是5的倍数，与13的差是6的倍数，则满足条件的最小自然数是37.

解：

设这个自然数是x，x+13是5的m倍，x-13是6的n倍（m．n均为正整数），

根据题意，得x+13=5m；x-13=6n，

得：

5m-6n=26，

即5m=26+6n，m=5+n+（n+1）/5．n的最小值为4，

此时，x=6×4+13=37．

故填：

37．

5.如果五位数

是3的倍数，那么a是2或5或8．

解：

因为这个五位数能被3整除，那么这五个数字的和应该是3的倍数，a应该是从0到9的数字

1+2+3+4+a=10+a

所以a只能取2或5或8

故答案为2或5或8．

6.如果从5，6，7，8，9这5个数中，选出4个组成一个四位数，使它能被3，5，7整除，那么这些数中最大的是9765．

解：

因为从5，6，7，8，9这5个数中，选出4个组成一个四位数，被5整除，个位只能是5，

又能被3整除，只有5+6+7+9能被3整除，

组成的四位数最大，可以有9675，9765，

经验证9675不能被7整除，9765能被7整除；

故填9765．

7.小林是个中学生，在一次单元测试中，他的年龄、名次和考试分数的乘积是2910，请求出他的年龄、名次和考试分数。

解：

2910=2x3x5x97=6x5x97=3x10x97=2x15x97由于小林是中学生，他的年龄在12至15之间，所以2910=2x15x97符合实际情况，他的年龄15岁，名次为第2名，分数为97分。

8.三个素数的和为140，求这三个素数的乘积的最大值。

解：

由于三个数的和是140偶数，故这三个素数中必定有一个数是偶数，在素数中只有2是唯一的偶数，故这三个数中必定有一个是2.另外两个数的和为138，为使这两个素数的乘积尽可能大，我们考虑差值尽可能小的素数，可得到67和71两个素数的和为138且是差最小的两个素数，它们的积也就最大。

2x67x71=9514

9.在1，2，3，…，2000这2000个自然数中，有267个自然数能同时被2和3整除，而且不能被5整除．

解：

能同时被2和3整除即能被6整除的数在1，2，3，…，2000这2000个自然数中有6，12，18，24，…，1998，得到一个公差是4的等差数列．设这样的数有n个，则：

1998=6+（n-1）×6，得n=333．所以同时被2和3整除的数有333个．

在这333个数中能被5整除的数有30，60，90，120，…，1980，得到一个公差是30的等差数列．设这样的数有m个，则

1980=30+（m-1）×30，得m=66，即能被5整除的数有66个．

所以：

能同时被2和3整除，而且不能被5整除的数有333-66=267（个）

故：

填267．

10.五位数

是9的倍数，其中

是4的倍数，那么

的最小值是10008．

解：

五位数

=10×

+e，

是4的倍数，其最小值是1000，

又因五位数

是9的倍数，即1+0+0+0+0+e能被9整除，

所以e只能取8；

因此五位数

的最小值是10008．

11，有三个连续的自然数，它们的平均数能分别被三个不同的质数整除。

要使它们的和最小，这三个自然数分别是多少？

　　解：

三个连续自然数的平均数等于这三个自然数中间的一个数。

要使这三个自然数的和最小，它们的平均数应最小。

要使它们的平均数最小，能分别整除它们平均数的三个不同的质数应尽可能的小。

我们不妨设这三个不同的质数是2、3、5。

能分别被2、3、5整除的最小数是2×3×5=30。

即所求的这三个自然数的平均数是30，也就是这三个自然数中间的一个数是30。

故知，这三个自然数分别是29、30、31。

自我测试

1，；两个数的最大公因数是1，最小公倍数是91，那么这两个数是1和91或

7和13。

2，甲=

，乙=

，甲、乙两个数的最小公倍数是210，A是3。

3，一个数减去2能被5整除，加上4能被6整除，这个数最小是几？

解：

设这个数是

，则有

（

），

（

）。

则

，

最小是32。

4，由0，3，5写成的没有重复数字的三位数中，有哪些能被5整除？

解：

因为个位数为0或5的数才能被5整除，所以由0，3，5写成的没有重复数字的三位数中，只有350，530，305三个数能被5整除。

5，下面的连乘积中，末尾有多少个0？

1×2×3×…×29×30

解：

因为2×5=10，所以在连乘积中，有一个因子2和一个因子5，末尾就有一个0。

连乘积中末尾的0的个数，等于1～30中因子2的个数与因子5的个数中较少的一个。

而在连乘积中，因子2的个数比因子5的个数多（如4含两个因子2，8含三个因子2），所以，连乘积末尾0的个数与连乘积中因子5的个数相同。

连乘积中含因子5的数有5，10，15，20，25，30，这些数中共含有七个因子5（其中25含有两个因子5）。

所以，1×2×3×…×29×30的积中，末尾有七个0。

6，将1至9九个数字写在一条纸带上，如下图：

　　将它剪成三段，每段上数字联在一起算一个数，把这三个数相加，使和能被77整除，那么中间一段的数是____。

（1998年全国小学数学奥林匹克决赛试题）

　　解：

因为77=11×7，且11和7互质，所以，只需分别考察能被11、7整除的情形。

　　由能被11整除的数的特征知，和的奇位数上数字之和与偶位数上数字之和的差能被11整除。

由数字1～9的和是45，可推知，和的奇位数上数字之和与偶位数上数字之和的差不可能是0。

我们不妨设差为11，则有（45＋11）÷2=28，（45－11）÷2=17。

据此列举、试算，得

再据能被7整除的数的特征（末三位数与末三位数以前的数字所组成的数之差能被7整除）检验2079是否能被7整除：

79-2=77，77能被7整除。

故知，中间一段的数是56。

初中数学备课组教师班级预初学生

日期上课时间

学生情况：

主课题：

数的整除及复习

教学目标：

1.理解及掌握自然数、整数以及整除等相关概念；

2.掌握整除的条件，会判断整除；

3.理解学习整除的意义。

教学重点：

5.自然数、整数、整除的相关概念的理解与判断；

6.求一个数的因数的方法；

7.求一个数的倍数的方法；

8.偶数及奇数的意义及运算性质。

教学难点：

9.整除、整除的条件

10.因数和倍数

11.能被2和5整除的数

考点及考试要求：

数的整除及复习

知识精要

一．建立整数和自然数的概念：

1提问学生说出所学的数，根据一定的依据把这些数来分一分类，并说明理由。

（同学讨论、归纳、交流）

归纳：

在数物体的时候，用来表示物体个数的数1、2、3、4……，叫做正整数。

在正整数1、2、3、4……的前面添上“—”号，得到的数-1、-2、-3、-4……，叫做负整数（五年级学过负数）。

表示没有的时候可以记作0。

自然数：

零和正整数统称为自然数（naturalnumber）；（自然产生的数）。

整数：

正整数、零、负整数，统称为整数（integer）。

二．想一想：

有没有最大的正整数？

又有没有最小的正整数呢？

反过来，有没有最大的负整数？

有没有最小的负整数？

如果存在，分别是几？

三．建立整除的概念

1、你能很快写出两个除法算式吗？

2、你能根据一定的依据把这些除法算式来分一分类吗？

并说明理由。

3、请同学们仔细观察除法算式里的被除数、除数和商或结果，它们有什么不同的地方，每一组算式有什么特点？

给出整除的定义：

整数a除以整数b，如果除得的商是整数且余数为零（即没有余数），我们就说a能被b整除；或者说b能整除a.

4、判断下列哪一个算式的被除数能被除数整除

①.10÷3②.48÷8③.6÷4④.3.6÷1.8

思考：

整除、除尽和除不尽三者之间有什么关系？

5、整除的条件：

（1）除数和被除数都是整数；

（2）被除数除以除数，商是整数且余数为零。

6、思考题：

（1）是否有最大的自然数？

是否有最小自然数？

如果有，是几？

（2）正整数36能被正整数a整除，写出所有符合条件的正整数a。

（3）一班同学分成四个小组糊纸盒，每组糊的个数同样多，小马虎统计时说：

全班共糊纸盒342个，小马虎统计错了？

为什么？

四．因数和倍数

（1）整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数（也叫做约数）。

在整除的条件下才有因数和倍数的概念。

倍数和因数互相依存的，不能单独存在。

这里包含两层意思：

其一，在讲倍数和因数时，只能说谁是谁的倍数，或者谁是谁的因数，不能说谁是倍数，谁是因数。

例如，说6是倍数，3是因数是错误的。

其二，两个整数存在倍数和因数的关系是相互的：

如果a是b的倍数，那么b一定是a的因数；反之，如果a是b的因数，那么b一定是a的倍数。

（2）求一个数的因数的方法：

1，列乘法算式：

根据因数的意义，有序地写出某数的所有两个数乘积的乘法算式，乘法算式中的因数就是该数的因数。

2，列除法算式：

用此数除以任意的整数，所得的商是整数而无余数，这些除数和商都是该数的因数。

（3）求一个数的倍数的方法

求一个数的倍数，就是用这个数，一次与非零自然数相乘，所得之数就是这个数的倍数。

（4）因数和倍数的性质：

1，任何一个整数都是它本身的倍数，也是它本身的因数。

2，1是任何一个整数的因数，任何整数都是1的倍数。

3，0是任何一个不等于0的整数的倍数，任何一个不等于0的整数都是0的因数。

（5）能被2整除的数的特征

因为任何整数乘以2，所得乘数的个位数只有0，2，4，6，8五种情况，所以，能被2整除的数的个位数一定是0，2，4，6或8。

也就是说，凡是个位数是0，2，4，6，8的整数一定能被2整除，凡是个位数是1，3，5，7，9的整数一定不能被2整除。

例如，38，172，960等都能被2整除，67，881，235等都不能被2整除。

能被2整除的整数称为偶数，不能被2整除的整数称为奇数。

0，2，4，6，8，10，12，14，…就是全体偶数。

1，3，5，7，9，11，13，15，…就是全体奇数。

偶数和奇数有如下运算性质：

偶数±偶数=偶数，奇数±奇数=偶数，

偶数±奇数=奇数，奇数±偶数=奇数，

偶数×偶数=偶数，偶数×奇数=偶数，奇数×奇数=奇数。

（6）能被5整除的数的特征

由0×5=0，2×5=10，4×5=20，6×5=30，8×5=40，…可以推想任何一个偶数乘以5，所得乘积的个位数都是0。

由1×5=5，3×5=15，5×5=25，7×5=35，9×5=45，…可以推想，任何一个奇数乘以5，所得乘积的个位数都是5。

因此，能被5整除的数的个位数一定是0或5。

也就是说，凡是个位数是0或5

的整数一定能被5整