∴≤a<,
故≤a<,
由①②得a的取值范围为∪.
二、填空题
13.2 【解析】二项式的展开式的通项是Tr+1=C·(ax)6-r·=C·a6-r·(-1)r·x6-2r.令6-2r=0,得r=3,因此二项式的展开式中的常数项是C·a6-3·(-1)3=-160,故a=2.
14.12 【解析】作出可行域如图,目标函数y=3x-z,
当y=3x-z过点(4,0)时,z有最大值,且最大值为12.
15. 【解析】易知该阳马补形所得到的长方体的对角线为外接球的直径,所以=AB2+AD2+AP2=42+42+32=41,R=.
因为侧棱PA⊥底面ABCD,且底面为正方形,所以内切球O1在侧面PAD内的正视图是△PAD的内切圆,则内切球半径为1,故=.
16. 【解析】设角A为θ,
a2=b2+c2-2bccosθ=b2+4b2-4b2cosθ=b2(5-4cosθ).
又S△ABC=·2b·b·sinθ=b2sinθ=1,∴b2=,
∴a2=,设y=,
则y′==,
当4-5cosθ=0,即cosθ=时,y有最小值为3,故a的最小值为.
三、解答题
17.【解析】(Ⅰ){an}是等差数列.证明如下:
因为对任意的r、t∈N*,都有=,
所以对任意的n∈N*,有=n2,即Sn=n2.2分
从而n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-1,且n=1时此式也成立.
所以an+1-an=2(n∈N*),
即{an}是以1为首项,2为公差的等差数列.5分
(Ⅱ)=2n-1,得bn=.6分
Tn=1·+3·+…+(2n-1)·,
Tn=1·+3·+…+(2n-3)·+(2n-1)·.8分
两式相减得:
Tn=1+2·+2·+…+2·-(2n-1)·
=1+2·-(2n-1)·=1+4-(2n-1)·=3-(2n+3),
Tn=6-(2n+3).10分
∵n∈N*,∴Tn=6-(2n+3)<6.12分
18.【解析】(Ⅰ)解法一:
∵F是AC的中点,∴AF=C′F.
设AC′的中点为G,连接FG.
设BC′的中点为H,连接GH,EH.
易证:
C′E⊥EF,BE⊥EF,∴∠BEC′即为二面角C′-EF-B的平面角.
∴∠BEC′=60°,而E为BC的中点.
易知BE=EC′,∴△BEC′为等边三角形,∴EH⊥BC′. ①
∵EF⊥C′E,EF⊥BE,C′E∩BE=E,∴EF⊥平面BEC′.
而EF∥AB,∴AB⊥平面BEC′,∴AB⊥EH,即EH⊥AB. ②
由①②,BC′∩AB=B,∴EH⊥平面ABC′.
∵G,H分别为AC′,BC′的中点.
∴GH綊AB綊FE,∴四边形EHGF为平行四边形.
∴FG∥EH,FG⊥平面ABC′,又FG平面AFC′.
∴平面AFC′⊥平面ABC′.6分
解法二:
如图,建立空间直角坐标系,设AB=2.
则A(0,0,2),B(0,0,0),F(0,2,1),E(0,2,0),C′(,1,0).
设平面ABC′的法向量为a=(x1,y1,z1),
=(0,0,2),=(,1,0),
∴令x1=1,则a=(1,-,0),
设平面AFC′的法向量为b=(x2,y2,z2),
=(0,2,-1),=(,1,-2),
∴令x2=,则b=(,1,2).
∵a·b=0,∴平面AFC′⊥平面ABC′.6分
(Ⅱ)如图,建立空间直角坐标系,设AB=2.
则A(0,0,2),B(0,0,0),F(0,2,1),E(0,2,0),C′(,1,0).
显然平面BEC′的法向量m=(0,0,1),8分
设平面AFC′的法向量为n=(x,y,z),=(,1,-2),=(0,2,-1),
∴∴n=(,1,2).9分
cos〈m,n〉==,10分
由图形观察可知,平面AFC′与平面BEC′所成的二面角的平面角为锐角.
∴平面AFC′与平面BEC′所成二面角大小为45°.12分
19.【解析】(Ⅰ)设P(x,y),则=,化简得+y2=1.4分
(Ⅱ)设M,N,G(x1,0),联立
得x2+8kmx+4m2-4=0,
依题意,Δ=-4>0,
化简得m2<4k2+1, ①
x1+x2=-,x1x2=,
y1y2==k2x1x2+km+m2,
若4·=9·,则4x1x2+4y1y2=9x1x2,即4y1y2=5x1x2,6分
∴4k2x1x2+4km+4m2=5x1x2,
∴·+4km+4m2=0,
即-8k2m2+m2=0,
化简得m2+k2=, ②8分
==
==,
∵原点O到直线l的距离d=,
∴S△MON=·d=.10分
设4k2+1=t,由①②得0≤m2<,所以S△MON===3≤1,
所以当=时,即k=±时△MON面积最大为1.12分
20.【解析】(Ⅰ)x==5,y==4.2分
=22+42+52+62+82=145,
==0.3,=y-·x=4-0.3×5=2.5,
所以y关于x的线性回归方程为:
y=0.3x+2.5.4分
当x=10时,y=0.3×10+2.5=5.5百斤,
所以如果每个有机蔬菜大棚使用堆沤肥料10千克,
估计每个有机蔬菜大棚产量的增加量y是5.5百斤.5分
(Ⅱ)若该超市一天购进17份这种有机蔬菜,Y1表示当天的利润(单位:
元),那么Y1的分布列为
Y1
65
75
85
P
Y1的数学期望是EY1=65×+75×+85×=;8分
若该超市一天购进18份这种有机蔬菜,Y2表示当天的利润(单位:
元),那么Y2的分布列为
Y2
60
70
80
90
P
Y2的数学期望是EY2=60×+70×+80×+90×=;11分
又购进17份比购进18份的利润的期望值大,故>,求得x>24,
故求得x的取值范围是,x∈N*.12分
21.【解析】(Ⅰ)因为f(x-1)=2ln(x-1)+(x>1),
所以f(x)=2lnx+(x>0).
f′(x)=+=,2分
当-1≤k≤0时,Δ=(4+k)2-16=k(k+8)≤0,2x2+(4+k)x+2>0恒成立.
于是,f(x)在定义域上为单调增函数.5分
(Ⅱ)证明:
∵f′(x)=+=,
由题设知,f′(x)=0有两个不相等的正实数根x1,x2,则
k<-8,7分
而f(x1)+f(x2)=2lnx1++2lnx2+
=2ln(x1x2)+k
=2ln(x1x2)+k·=k,9分
又=k,
故欲证原不等式等价于证明不等式:
≥[f(x)-2(x-1)],10分
也就是要证明:
对任意x>0,有lnx≤x-1.11分
令g(x)=lnx-x+1(x>0),由于g
(1)=0,并且g′(x)=-1,
当x>1时,g′(x)<0,则g(x)在(1,+∞)上为减函数;
当00,则g(x)在(0,1)上为增函数.
则g(x)在(0,+∞)上有最大值g
(1)=0,即g(x)≤0,故原不等式成立.12分
22.【解析】(Ⅰ)因为曲线C的极坐标方程为ρ2=,
即ρ2+ρ2sin2θ=4,
将ρ2=x2+y2,ρsinθ=y代入上式并化简得+=1,3分
所以曲线C的直角坐标方程为+=1,
直线l的普通方程为x-y-m=0.5分
(Ⅱ)设P(2cosθ,sinθ),由点到直线的距离公式得
==,7分
由题意知m≠0,
当m>0时,==2,得m=2+2;
当m<0时,==2,得m=-2-2;
所以m=2+2或m=-2-2.10分
23.【解析】(Ⅰ)f
(1)=|1-2a|-|1-a|>1.1分
若a≤,则1-2a-1+a>1,得a<-1;2分
若1,得a>1,即不等式无解;3分
若a≥1,则2a-1+1-a>1,得a>1,4分
综上所述,a的取值范围是(-∞,-1)∪(1,+∞).5分
(Ⅱ)由题意知,要使得不等式恒成立,只需[f(x)]max≤[|y+2020|+|y-a|]min,6分
当x∈(-∞,a]时,|x-2a|-|x-a|≤-a,[f(x)]max=-a,7分
因为|y+2020|+|y-a|≥|a+2020|,
所以当(y+2020)(y-a)≤0时,[|y+2020|+|y-a|]min=|a+2020|,9分
即-a≤|a+2020|,解得a≥-1010,结合a<0,
所以a的取值范围是.10分