第七小组小组作业.docx
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第七小组小组作业
第七小组：
北师大版高中统计与概率
组长：
组员：
北师大版概率与统计的知识点所在的章节
必修三
第一章统计
§1从普查到抽样
§2抽样方法
2.1简单随机抽样
2.2分层抽样与系统抽样
§3统计图表
§4数据的数字特征
4.1平均数、中位数、众数、极差、方差
4.2标准差
§5用样本估计总体
5.1估计总体的分布
5.2估计总体的数字特征
§6统计活动结婚年龄的变化
§7相关性
§8最小二乘估计
第二章算法初步
§1算法的基本思想
§2算法框图的基本结构与设计
2.1顺序结构与选择结构
2.2变量与赋值
2.3循环结构
§3几种基本语句
3．1条件语句
3.2循环语句
第三章概率
§1随机事件的概率
1.1频率与概率
1.2生活中的概率
§2古典概型
2.1古典概型的特征与概率计算
2.2建立概率模型
2.3互斥事件
选修2-3
第一章计数原理
§1分类加法计数原理与分步乘法计数原理
1.1分类加法计数原理
1.2分步乘法计数原理
§2排列
§3组合
§4简单的计数问题
§5二项式定理
5.1二项式定理
5.2二项式系数的性质
第二章概率
§1离散型随机变量及其分布列
§2超几何分布
§3条件概率与独立事件
§4二项分布
§5离散型随机变量的均值与方差
§6正态分布
6.1连续型随机变量
6.2正态分布
第三章统计案例
§1回归分析
1.1回归分析
1.2相关系数
1.3可线性化的回归分析
§2独立性检验
2.1独立性检验
2.2独立性检验的基本思想
2.3独立性检验的应用
一、典型例题
1、回答下列问题：
总是成立吗？
（2）一组数据据的方差一定是正数吗？
总是成立吗？
（4）为什么全部频率的累积等于1？
解：
（1）证明恒等式的办法之一，是变形，从较繁的一边变到较简单的一边．这
可见，总是成立．
顺水推舟，我们用类似的方法证明（3）；注意
那么有
（2）对任一组数x1，x2，…，xn，方差
这是因为自然数n＞0，而若干个实数的平方和为非负，那么S2是有可对等于0的
从而x1=x2=…=xn，就是说，除了由完全相同的数构成的数组以外，任何数组的方差定为正数．
（4）设一个数组或样本的容量为n，共分为m个组，其频数分别为a1，a2，…，am，按规定，有
a1+a2+…+am=n，
而各组的频率分别a1／n，a2／n，…，am／n，因此，有
说明：
在同一个问题里，我们处理了同一组数据x1，…，xn有关的两个数组f1，f2，…，fk和a1，a2，…，am，前者是说：
在这组数中，不同的只有k个，而每个出现的次数分别为f1，…，fk；后者则说明这组数所占的整个范围被分成了m个等长的区间，出现在各个区间中的xi的个数分别为a1，…，am，可见，a1，…，an是f1，…fk的推广，而前面说过的众数，不过是其fi最大的那个数．弄清研究数组x1，…，xn的有关数和概念间的联系与区别，是很重要的．
2.某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：
每题回答正确得100分，回答不正确得—100分。
假设这名同学每题回答正确的概率均为0.8，且各题回答正确与否相互之间没有影响。
（1）求这名同学回答这三个问题的总得分
的概率分布和数学期望。
（2）求这名同学总得分不为负分（即
）的概率。
解析：
（1）
的可能取值为—300，—100，100，300。
所以
的概率分布为
—300
—100
100
300
P
0.008
0.096
0.384
0.512
根据
的概率分布，可得
的期望
（2）这名同学总得分不为负分的概率为
。
3.有六本不同的书按下列方式分配，问共有多少种不同的分配方式？
（1）分成1本、2本、3本三组；
（2）分给甲、乙、丙三人，其中1人1本，1人两本，1人3本；
（3）平均分成三组，每组2本；
（4）分给甲、乙、丙三人，每人2本。
（5）
在问题（3）的基础上，再分配即可，共有分配方式
种。
【知识点归类点拨】本题是有关分组与分配的问题，是一类极易出错的题型，对于此类问题的关键是搞清楚是否与顺序有关，分清先选后排，分类还是分步完成等，对于平均分组问题更要注意顺序，避免计算重复或遗漏。
二、概率与统计中的数学思想方法
1、分类与整合思想
分类与整合思想是重要的数学思想方法，通过分类可以把复杂的问题化分为简单而熟悉的问题进行解决.只是在分类时要注意选择正确的分类标准，力争做到不重不漏.
例1 袋中装有白球和黑球各3个，从中任取2个，取到黑球的概率是多少？
分析：
取到黑球包括两种情况：
“一个黑球、一个白球”、“两个黑球”，因此需分情况讨论.
解：
设“取到一个黑球，一个白球”为事件A，“取到两个黑球”为事件B，“取到黑球”为事件C，则
.
由题意知，从袋中任取2个球，共有6×5÷2＝15种可能结果，“取到一个黑球、一个白球”有3×3＝9种可能结果，“取到两个黑球”有3×2÷2＝3种可能结果.
故
.
又事件A与事件B互斥，故
.
2、数形结合思想
数形结合思想是数学中重要的思想方法之一，在解题过程中，多从形的角度审视和挖掘数所代表的本质，借助图形的直观性，可更好的解题.
例2 一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，将这个玩具先后抛掷两次，试问：
（1）向上的数字之和为5的概率是多少？
（2）向上的数字之和至少是9的概率是多少？
（3）向上的数字之和为多少时概率最大？
分析：
将正方体玩具先后抛掷两次可能出现36种结果，用下图所示的图表表示出来，则所有的结果便尽现眼底，一目了然.
两次抛掷出现的数字之和
第一次抛掷出现的数字
1
2
3
4
5
6
第二次抛掷出现的数字
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
12
解：
将正方体玩具抛掷一次，它落地时向上的数字有1，2，3，4，5，6这六种结果，所以，先后将这些玩具抛掷两次，一共有6×6＝36种不同的结果.
（1）由图表可知，向上的数字之和为5的结果有（1，4）、（2，3）、（3，2）、（4，1）四种，其中括号内的两个数字分别为第一、第二次向上的数字.所以向上的数字之和为5的概率是
.
（2）由图表可知，向上的数字之和至少是9的结果有（3，6）、（4，5）、（4，6）、（5，4）、（5，5）、（5，6）、（6，3）、（6，4）、（6，5）、（6，6）十种，所以向上的数字之和至少是9的概率
.
（3）由图表可知，向上的数字之和出现最多的数为7（一共出现了6次），故向上的数字之和为7的概率最大，最大概率为
.
3、转化与化归思想
所谓“化归”就是转化和归结.在解决数学问题时，人们常将待解决的问题甲，通过某种转化，归结为一个已经解决或比较容易解决的问题乙，然后，通过乙问题的解去求甲问题的解，这就是“化归”的思想.
１.运用公式
进行化归
例3 如右图，把一个体积为
的正方体木块表面涂上红漆，
然后锯成体积为
的小正方体，从中任取一块，求这一块至少
有一面涂有红漆的概率.
解：
直接求“至少有一面涂有红漆”的概率比较困难，可以转化为求其对立事件的概率，即求“未涂红漆”的小木块的概率.经分析知未涂红漆的小木块有
个，故至少一面涂有红漆的小木块有64
8=56个，所以所求事件的概率为
.
友情提示：
含有“至多”、“至少”等类型的概率问题，从正面突破比较困难或者比较繁琐时，可考虑其反面，即对立事件，然后应用对立事件的性质
进行求解.
2.将一些复杂事件的概率化归为基本事件的概率
例4 一个口袋中装有大小相同的2个白球和3个黑球，从中摸出一个球，放回后再摸出一个球，求两个球恰好颜色不同的概率.
解：
记“摸出一球，放回后再摸出一个球，两球恰好颜色不同”为事件Ａ，因为摸出一个球为白球的概率是
＝0.4，摸出一球为黑球的概率是
＝0.6，故“有放回地摸两次，颜色不同”包括“先白后黑”和“先黑再白”.
∴
＝0.4×0.6+0.6×0.4=0.48.
4、方程思想
方程思想是数学解题的重要思想方法，在解决一些概率问题时，如能根据题目中给出的数量关系，列出方程或方程组，往往可使问题得到解决.
例5 为了保证出版物的质量，出版社经常由两人独立校对同一校样，如果甲发现120处错误，乙发现110处错误，其中有92处错误是共同的，能否据此估计出校样中有多少处错误？
他们两人可能遗漏了多少处错误？
解：
设共有x处错误，则甲发现错误的概率（即校对能力）是
.
另一方面，对于乙发现的110处错误，甲发现了92处，故甲的校对能力又可以表示为
，显然
，解得
.
又假设两人遗漏了y处错误，由集合论中的公式
可得
，解得 y=5.
由此可知，校样中有143处错误，他们两人可能遗漏了5处错误.
三、概率统计部分课程标准
现代社会是信息化的社会，人们常常需要收集数据，根据所获得的数据提取有价值的信息，作出合理的决策。
统计是研究如何合理收集、整理、分析数据的学科，它可以为人们制定决策提供依据。
随机现象在日常生活中随处可见，概率是研究随机现象规律的学科，它为人们认识客观世界提供了重要的思维模式和解决问题的方法，同时为统计学的发展提供了理论基础。
因此，统计与概率的基础知识已经成为一个未来公民的必备常识。
在本模块中，学生将在义务教育阶段学习统计与概率的基础上，通过实际问题情境，学习随机抽样、样本估计总体、线性回归的基本方法，体会用样本估计总体及其特征的思想；通过解决实际问题，较为系统地经历数据收集与处理的全过程，体会统计思维与确定性思维的差异。
学生将结合具体实例，学习概率的某些基本性质和简单的概率模型，加深对随机现象的理解，能通过实验、计算器（机）模拟估计简单随机事件发生的概率。
一、必修部分：
内容与要求：
1.统计（约16课时）
（1）随机抽样
①能从现实生活或其他学科中提出具有一定价值的统计问题。
②结合具体的实际问题情境，理解随机抽样的必要性和重要性。
③在参与解决统计问题的过程中，学会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；通过对实例的分析，了解分层抽样和系统抽样方法。
④能通过试验、查阅资料、设计调查问卷等方法收集数据。
（2）用样本估计总体
①通过实例体会分布的意义和作用，在表示样本数据的过程中，学会列频率分布表、画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，体会他们各自的特点。
②通过实例理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据标准差。
③能根据实际问题的需求合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并作出合理的解释。
④在解决统计问题的过程中，进一步体会用样本估计总体的思想，会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征；初步体会样本频率分布和数字特征的随机性。
⑤会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想，解决一些简单的实际问题；能通过对数据的分析为合理的决策提供一些依据，认识统计的作用，体会统计思维与确定性思维的差异。
⑥形成对数据处理过程进行初步评价的意识。
（3）变量的相关性
①通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系。
②经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程。
知道最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程。
2．概率（约8课时）
（1）在具体情境中，了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，进一步了解概率的意义以及频率与概率的区别。
（2）通过实例，了解两个互斥事件的概率加法公式。
（3）通过实例，理解古典概型及其概率计算公式，会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。
（4）了解随机数的意义，能运用模拟方法（包括计算器产生随机数来进行模拟）估计概率，初步体会几何概型的意义。
（5）通过阅读材料，了解人类认识随机现象的过程。
说明与建议：
1．教师应引导学生体会统计的作用和基本思想，统计的特征之一是通过部分的数据来推测全体数据的性质。
学生应体会统计思维与确定性思维的差异，注意到统计结果的随机性，统计推断是有可能犯错误的。
2．统计是为了从数据中提取信息，教学时应引导学生根据实际问题的需求选择不同的方法合理地选取样本，并从样本数据中提取需要的数字特征。
不应把统计处理成数字运算和画图表。
对统计中的概念（如“总体”、“样本”等）应结合具体问题进行描述性说明，不应追求严格的形式化定义。
3．统计教学必须通过案例来进行。
教学中应通过对一些典型案例的处理，使学生经历较为系统的数据处理全过程，并在此过程中学习一些数据处理的方法，并运用所学知识、方法去解决实际问题。
例如，在学习线性相关的内容时，教师可以鼓励学生探索用多种方法确定线性回归直线。
在此基础上，教师可以引导学生体会最小二乘法的思想，根据给出的公式求线性回归方程。
对感兴趣的学生，教师可以鼓励他们尝试推导线性回归方程。
4．概率教学的核心问题是让学生了解随机现象与概率的意义。
教师应通过日常生活中的大量实例，鼓励学生动手试验，正确理解随机事件发生的不确定性及其频率的稳定性，并尝试澄清日常生活遇到的一些错误认识。
（如“中奖率为1/1000的彩票，买1000张一定中奖。
”）
5．古典概型的教学应让学生通过实例理解古典概型的特征：
实验结果的有限性和每一个实验结果出现的等可能性。
让学生初步学会把一些实际问题化为古典概型。
教学中不要把重点放在“如何计数”上。
6．应鼓励学生尽可能运用计算器、计算机来处理数据，进行模拟活动，更好地体会统计思想和概率的意义。
例如，可以利用计算器产生随机数来模拟掷硬币的试验等。
二、选修部分：
内容与要求：
统计与概率（约22课时）
（1）概率
①在对具体问题的分析中，理解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念，认识分布列对于刻画随机现象的重要性。
②通过实例（如彩票抽奖），理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用。
③在具体情境中，了解条件概率和两个事件相互独立的概念，理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题。
④通过实例，理解取有限值的离散型随机变量均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题。
⑤通过实际问题，借助直观（如实际问题的直方图），认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义。
（2）统计案例
通过典型案例，学习下列一些常见的统计方法，并能初步应用这些方法解决一些实际问题。
①通过对典型案例（如“肺癌与吸烟有关吗”）的探究，了解独立性检验（只要求2×2列联表）的基本思想、方法及初步应用。
②通过对典型案例（如“质量控制”、“新药是否有效”）的探究，了解实际推断原理和假设检验的基本思想、方法及初步应用。
③通过对典型案例（如“昆虫分类”）的探究，了解聚类分析的基本思想、方法及其初步应用。
④通过对典型案例（如“学习成绩与学习时间的关系”）的探究，了解回归的基本思想、方法及其初步应用。
说明与建议
1．研究一个随机现象，就是要了解它所有可能出现的结果和每一个结果出现的概率，分布列正是描述了离散型随机变量取值的概率规律，二项分布和超几何分布是两个应用广泛的概率模型，要求通过实例引入这两个概率模型，不追求形式化的描述。
教学中，应引导学生利用所学知识解决一些实际问题。
2．统计案例的教学中，应鼓励学生经历数据处理的过程，培养他们对数据的直观感觉，认识统计方法的特点（如统计推断可能犯错误，估计结果的随机性），体会统计方法应用的广泛性。
应尽量给学生提供一定的实践活动机会，可结合数学建模的活动，选择一个案例，要求学生亲自实践。
对于统计案例内容，只要求学生了解几种统计方法的基本思想及其初步应用，对于其理论基础不做要求，避免学生单纯记忆和机械套用公式进行计算。
3．教学中，应鼓励学生使用计算器、计算机等现代技术手段来处理数据，有条件的学校还可运用一些常见的统计软件解决实际问题。
4．可以在二项式定理中介绍我国古代数学成就“杨辉三角”，在统计案例中介绍所学统计方法在社会生活中的广泛应用，以丰富学生对数学文化价值的认识。
四、教科书编写特色
（1）强调典型案例的作用。
教科书无论在背景材料、例题和阅读与思考栏目的选材上都注意联系实际.这种利用典型案例编写统计内容的方式，可以使学生在解决实际问题的过程中，经历数据处理的全过程，并在这个数据处理的过程中学习有关的统计知识和方法，体会统计的思想，同时也使学生感受统计与实际生活的联系以及在解决现实问题中的作用.
（2）注重统计思想和计算结果的解释。
教科书中突出统计思想的解释，教科书各节的开头，都借助于一个具体的问题情节的探究或思考，引导学生从具体的问题中总结、抽象出一般规律，使学生体会其中的统计思想来源，培养创新思维的能力.在概率的意义部分，利用概率解释了统计中似然法的思想，解释了遗传机理中的统计规律.统计试验中随机模拟方法的原理就是用样本估计总体的思想.在古典概型部分，每道例题在计算出随机事件的概率后，都给出相应结果的解释或提出思考问题让学生做进一步的探究.
（3）注重现代信息技术手段的应用。
现代信息技术的广泛应用正在对数学课程内容、数学教学、数学学习等方面产生深刻的影响，信息技术工具的使用能为学生的数学学习和发展提供丰富多彩的教育环境和有力的学习工具，重视现代信息技术的使用是本套教科书的特色之一.由于概率统计本身的特点，统计需要分析和处理大量的数据，概率中随机模拟方法需要产生大量的模拟试验结果，并需要分析和综合试验结果，所以现代信息技术的使用就显得更为必要.
（4）通过开放性问题给学生留下了宽广的探索空间，给教师留下了更多的发挥余地.教科书中设置了思考、探究等栏目和阅读与思考等选学内容，还在边框中提出了一些关键性的问题；其中的一些问题并没有在教科书中给出明确的答案，而在教师教学用书中说明了设置这些问题的目的、解答问题所需的知识点和需要注意的事项，以及参考答案.这样的安排，是为了锻炼学生的创造性思维能力，同时为教师的教学留下更多的余地.
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