34第1章第1节简谐运动.docx
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34第1章第1节简谐运动
第一节简谐运动
一、预习与知识点梳理
（一）、机械振动
1.机械振动：
物体（或物体的某一部分）在某一中心位置两侧所做的运动，简称振动，这个中心位置称为平衡位置．
2.弹簧振子：
由小球和弹簧组成的的名称，是一个理想模型．如图所示．
（二）、简谐运动
1.回复力：
当振动的物体离开平衡位置时，所受到的指向
的力．
2.简谐运动：
物体所受的力与它偏离平衡位置的位移大小成，并且总平衡位置的物体的运动．也称简谐振动．公式：
F＝－kx.
（三）、振幅、周期和频率
1.振幅：
振动物体离开平衡位置的，用A表示，单位是米，符号是m.
物理意义：
振幅是表示振动的物理量．
2.周期和频率
周期：
振动物体完成一次所用的时间，用T表示，单位是秒，符号是s.
频率：
单位时间内完成的全振动的，用f表示，单位是赫兹，符号是Hz.
周期与频率的关系：
f＝
，1Hz＝1s-1.
物理意义：
周期和频率都表示振动的快慢．
（四）、简谐运动的能量
1.振动系统的状态与能量的关系
（1）振子的速度与动能：
速度，动能．
（2）弹簧形变量与势能：
弹簧形变量在，因而势能也在．
2.简谐运动的能量
简谐运动的能量一般指振动系统的，振动的过程就是和
互相转化的过程．
（1）在最大位移处，最大，为零；
（2）在平衡位置处，最大，最小．
（3）在简谐运动中，振动系统的机械能，因此简谐运动是一种的模型．
3.决定能量大小的因素
振动系统的机械能跟有关，越大，机械能就越大，振动就越强，对于一个确定的简谐运动是振动．
（五）、弹簧振子的特点及回复力
1.弹簧振子的特点
（1）弹簧的质量可以忽略不计，可以认为质量全部集中于振子（小球）．
（2）小球视为质点．
（3）忽略一切阻力和摩擦力．
（4）弹簧的形变在弹性限度内，则F＝kx.
2.机械振动中的位移
（1）位移是从平衡位置指向振子某时刻所在位置的有向线段，方向为平衡位置指向振子所在位置，大小为平衡位置到该位置的距离．
（2）位移也是矢量，若规定振动质点在平衡位置右侧时位移为正，则它在平衡位置左侧时位移就为负．
（3）区别机械运动中的位移：
机械运动中的位移是从初位置到末位置的有向线段；在简谐运动中，振动质点在任意时刻的位移总是相对于平衡位置而言的，都是从平衡位置开始指向振子所在位置．
特别提醒:
振动的位移的起始位置都是平衡位置，位移的方向都是背离平衡位置的.
3.简谐运动物体的回复力：
F＝－kx
（1）回复力是根据力的效果命名的，它可以是物体所受的合外力，也可以是一个力或某几个力的合力．
（2）“负号”表示回复力的方向与位移方向始终相反．
（3）公式反映出了回复力F的大小与位移量值间的正比关系，位移越大，回复力越大，位移增大为原来几倍，回复力也增为原来几倍．
（4）“k”为F与x间的比例系数．对于弹簧振子，回复力与弹簧弹力有关，公式中k恰等于弹簧的劲度系数；一般情况k不等于弹簧的劲度系数．
（5）物体做简谐运动到平衡位置时，回复力等于0，合外力可能不为零（如下节课学习的单摆）．
（6）据牛顿第二定律，a＝
＝－
x，表明弹簧振子做简谐振动时的振子的加速度大小也与位移大小成正比，加速度方向与位移方向相反．
（7）回复力是质点在振动方向上的合外力，它不一定是质点所受的合外力．
（六）、周期、振幅、位移和路程
1.全振动的特征
（1）运动特征：
物体第一次以相同的运动状态回到起始位置．
（2）物理量特征：
位移（x）、加速度（a）、速度（v）第一次同时与初始状态相同．
（3）时间特征：
历时一个周期．
（4）路程特征：
振幅的4倍．
2.振幅与位移的关系
（1）振幅是振动物体离开平衡位置的最大距离；位移是物体相对于平衡位置的位置变化．
（2）振幅是表示振动强弱的物理量，在同一简谐运动中振幅是不变的，但位移却时刻变化．
（3）振幅是标量；位移是矢量，方向为由平衡位置指向振子所在位置．
（4）振幅在数值上等于位移的最大值．
3.振幅与路程的关系
（1）振动物体在一个周期内的路程一定为四个振幅．
（2）振动物体在半个周期内的路程一定为两个振幅．
（3）振动物体在
T内的路程可能等于一个振幅，可能大于一个振幅，还可能小于一个振幅，只有当
T的初时刻，振动物体在平衡位置或最大位移处，
T内的路程才等于一个振幅．
特别提醒:
振幅大，振动物体的位移不一定大，但其最大位移一定大．
（七）、简谐运动中各物理量的变化
1.简谐运动的能量
（1）一旦给振动系统以一定的能量（如拉力做功使弹簧振子偏离平衡位置，使系统具有一定的弹性势能），使它开始振动，在振动过程中动能和势能相互转化，但总的机械能不变．
（2）振幅决定着系统的总机械能，振幅越大，系统的总机械能越大．
（3）简谐运动过程中能量具有对称性．
振子运动经过平衡位置两侧对称点时，具有相等的动能和相等的势能．
（4）由于机械能守恒，简谐运动将以一定的振幅永远不停地振动下去，简谐运动是一种理想化的运动．
2.各物理量的变化
位置
A
A→O
O
O→B
B
位移的大小
最大
变小
零
变大
最大
速度的大小
零
变大
最大
变小
零
动能
零
变大
最大
变小
零
势能
最大
变小
零
变大
最大
总能
不变
不变
不变
不变
不变
特别提醒:
（1）简谐运动中在最大位移处，x、F、a、Ep最大，v＝0，Ek＝0；在平衡位置处，x＝0，F＝0，a＝0，Ep最小，v、Ek最大．
（2）简谐运动中振动系统的动能和势能相互转化，机械能的总量不变，即机械能守恒．
二、典型例题分析
【典例1】一质量为m，侧面积为S的正方体木块，放在水面上静止（平衡），如图所示．现用力向下将其压入水中一段深度后（未全部浸没）撤掉外力，木块在水面上上下振动，试判断木块的振动是否为简谐运动．
【变式1】如图所示，一弹簧振子在一条直线上做简谐运动，第一次先后经过M、N两点时速度v（v≠0）相同，那么，下列说法正确的是（ ）．
A．振子在M、N两点所受弹簧弹力相同
B．振子在M、N两点相对平衡位置的位移相同
C．振子在M、N两点加速度大小相等
D．从M点到N点，振子先做匀加速运动，后做匀减速运动
【典例2】如图所示，弹簧振子在B、C间振动，O为平衡位置，BO＝OC＝5cm，若振子从B到C的运动时间是1s，则下列说法正确的是（ ）．
A．振子从B经O到C完成一次全振动
B．振动周期是1s，振幅是10cm
C．经过两次全振动，振子通过的路程是20cm
D．从B开始经过3s，振子通过的路程是30cm
【变式2】弹簧振子以O点为平衡位置在B、C两点之间做简谐运动，B、C相距20cm.某时刻振子处于B点，经过0.5s，振子首次到达C点，则该振动的周期和频率分别为________、________；振子在5s内通过的路程及5s末的位移大小分别为________、________.
【典例3】如图所示，质量为m的木块放在弹簧上端，在竖直方向上做简谐运动，当振幅为A时，物体对弹簧的压力最大值是物体重力的1.5倍，则物体对弹簧的最小压力是________，欲使物体在弹簧振动中不离开弹簧，其振幅不能超过________．
三、巩固练习
1．如图所示，对做简谐运动的弹簧振子m的受力分析，正确的是（ ）．
A．重力、支持力、弹簧的弹力
B．重力、支持力、弹簧的弹力、回复力
C．重力、支持力、回复力、摩擦力
D．重力、支持力、摩擦力
2．弹簧振子在光滑水平面上做简谐运动，在振子向平衡位置运动的过程中（ ）．
A．振子所受的回复力逐渐增大
B．振子的位移逐渐增大
C．振子的速度逐渐减小
D．振子的加速度逐渐减小
3．关于振幅的各种说法中，正确的是（ ）．
A．振幅是振子离开平衡位置的最大距离
B．位移是矢量，振幅是标量，位移的大小等于振幅
C．振幅等于振子运动轨迹的长度
D．振幅越大，表示振动越强，周期越长
四、课后练习
A卷
1．下列运动中属于机械振动的是（ ）．
A．小鸟飞走后树枝的运动
B．爆炸声引起窗子上玻璃的运动
C．匀速圆周运动
D．竖直向上抛出物体的运动
2．关于振动物体的平衡位置，下列说法中不正确的是（ ）．
A．加速度改变方向的位置
B．回复力为零的位置
C．速度最大的位置
D．加速度最大的位置
3．下列说法中正确的是（ ）．
A．弹簧振子的运动是简谐运动
B．简谐运动就是指弹簧振子的运动
C．简谐运动是匀变速运动
D．简谐运动是机械运动中最简单、最基本的一种
4.做简谐运动的振子每次通过同一位置时，相同的物理量是（ ）．
A．速度B．加速度C．位移D．动能
5．做简谐运动的弹簧振子在某段时间内速度越来越大，则这段时间内（ ）．
A．振子的位移越来越大
B．振子正向平衡位置运动
C．振子速度与位移同向
D．振子速度与位移方向相反
6．一水平的弹簧振子，以平衡位置O点为中心，在A、B两点间做简谐运动，则（ ）．
A．振子在O点时的速度和加速度都达到最大值
B．振子的速度方向改变时，位移方向就改变
C．振子的加速度值变大时，速度值一定变小
D．振子从A点运动到AO的中点，再运动到O点，两段位移运动时间相等
7．下列关于简谐运动振幅、周期和频率的说法中正确的是（ ）．
A．振幅是矢量，方向从平衡位置指向最大位移处
B．周期和频率的乘积不一定等于1
C．振幅增加，周期必然增加，而频率减小
D．做简谐运动的物体，其频率固定，与振幅无关
8．如图所示，弹簧振子以O为平衡位置，在B、C间振动，则（ ）．
A．从B→O→C→O→B为一次全振动
B．从O→B→O→C→B为一次全振动
C．从C→O→B→O→C为一次全振动
D．OB的大小不一定等于OC
9．关于振幅，下列说法中正确的是（ ）．
A．物体振动的振幅越大，振动越强烈
B．一个确定的振动系统，振幅越大振动系统的能量越大
C．振幅越大，物体振动的位移越大
D．振幅越大，物体振动的加速度越大
10．如图所示，弹簧一端固定在天花板上，另一端挂一质量为m的物体，今托住物体使弹簧没有发生形变然后将物体无初速度释放而做简谐运动，在物体从开始运动到最
低点的过程中物体的重力势能________，弹簧弹性势能________，物体动能________，（填“增大”或“减小”）而总的机械能________．
11．弹簧振子在做简谐运动的过程中，下列说法中正确的是（ ）．
A．在平衡位置时它的机械能最大
B．在最大位移时它的弹性势能最大
C．从平衡位置到最大位移处它的动能减小
D．从最大位移到平衡位置处它的机械能减小
12．取一根轻弹簧，上端固定在铁架台上，下端系一金属小球，如图1-1-9所示，让小球在竖直方向离开平衡位置放手后，小球在竖直方向做简谐运动（此装置也称为竖直弹簧振子），一位同学用此装置研究竖直弹簧振子的周期T与质量m的关系，为了探索出周期T与小球质量m的关系，需多次换上不同质量的小球并测得相应的周期，现将测得的六组数据标示在以m为横坐标，T2为纵坐标的坐标纸上，即图中用“×”表示的点．
（1）根据图中给出的数据点作出T2与m的关系图线．
（2）假设图中图线的斜率为b，写出T与m的关系式为________．
（3）求得斜率b的值是________．（保留三位有效数字）
13．弹簧振子从距离平衡位置5cm处由静止释放，4s内完成5次全振动．
（1）这个弹簧振子的振幅为________cm，振动周期为________s，频率为________Hz.
（2）4s末振子的位移大小为多少？
4s内振子运动的路程为多少？
（3）若其他条件不变，只是使振子改为在距平衡位置2.5cm处由静止释放，该振子的周期为多少？
B卷
14．如图所示，A、B两物体的质量都为m，拉A物体的细线与水平方向的夹角为30°时处于静止状态，不考虑摩擦力，设弹簧的劲度系数为k.若悬线突然断开后，A在水平面上做周期为T的简谐运动，当B落地时，A恰好将弹簧压缩到最短，求：
（1）A振动时的振幅；
（2）B落地时速度的大小．
第一节简谐运动
参考答案
例1：
解析 以木块为研究对象，设静止时木块浸入水中Δx深，当木块被压入水中x后所受力如图所示，取向下为正方向，则F＝mg－F浮`①又F浮＝ρgS（Δx＋x）②
由①式和②式，得F＝mg－ρgS（Δx＋x）＝mg－ρgSΔx－ρgSx.mg＝ρgSΔx，所以F＝－ρgSx.
即F＝－kx（k＝ρgS）．所以木块的振动为简谐运动．
变式1：
答案 C
例2：
答案 D解析 振子从B→O→C仅完成了半次全振动，所以周期T＝2×1s＝2s，振幅A＝BO＝5cm.
弹簧振子在一次全振动过程中通过的路程为4A＝20cm，所以两次全振动中通过路程为40cm,3s的时间为1.5T，所以振子通过的路程为30cm.
变式2：
答案 1.0s 1.0Hz 200cm 10cm
例3：
答案
mg 2A解析 物体做简谐运动时在最低点对弹簧的压力最大，在最高点时对弹簧的压力最小．物体在最高点的加速度与在最低点的加速度大小相等，回复力的大小相等．m在最低点时：
F回＝1.5mg－mg＝ma①m在最高点时：
F回＝mg－N＝ma②
由①②两式联立解得N＝
mg
由以上可以得出振幅为A时最大回复力为0.5mg
所以有kA＝0.5mg③欲使物体在振动中不离开弹簧，则最大回复力为mg，
所以有kA′＝mg④由③和④联立得A′＝2A.
巩固练习：
1．答案 A2．答案 D3．答案 A
课后练习：
1．答案 AB2．答案 D3．答案 A
4．答案 BCD解析 振子通过同一位置时，位移、加速度的大小和方向都相同，速度的大小相同，但方向不一定相同，因此B、C、D正确．
5．答案 BD解析 因振子速度越来越大，可判定振子正向平衡位置运动，而位移总是背离平衡位置的，因此速度与位移方向相反，所以选项A、C错误，B、D正确．
6．答案 C解析 振子在O点时，速度达到最大值，但这时的位移为零，加速度也为零，选项A错．振子的速度方向改变时，位移方向没有改变，只是从最大值逐渐减小，选项B错．振子的加速度值变大时，振子一定在做减速运动，速度值一定是变小的，选项C对．振子从A点运动到AO的中点时的速度是从零增加到一定值，从中点再运动到O点时的速度是从这个值再增加到最大值，因此平均速度是不同的，而两段位移相同，故运动的时间是不相等的，选项D错．
7．答案 D解析 振幅A是标量，选项A错误；周期与频率互为倒数，即Tf＝1，选项B错误；简谐运动的周期与振幅没有关系，周期的长短由系统本身决定，所以选项C错误，D正确．
8．答案 AC解析 O为平衡位置，B、C为两侧最远点，则从B起经O、C、O、B路程为振幅的4倍，即A说法对；若从O起始经B、O、C、B路程为振幅的5倍，超过一次全振动，即B说法错；若从C起经O、B、O、C路程为振幅的4倍，即C说法对；因弹簧振子的系统不考虑摩擦，所以振幅一定，D错．
9．答案 AB解析 物体振动的能量由振幅来决定，振幅越大，振动能量越大，振动越强烈，因此A、B正确．振幅是质点离开平衡位置的最大距离，与位移无关，而加速度随时间时刻变化，所以C、D不正确．
10．答案 减小 增大 先增大后减小 不变
解析 挂在弹簧下的物体做简谐运动，选地板为重力势能的零势面，物体从开始运动到最低点这一过程中，物体离地面的距离不断减小，则重力势能不断减小，弹簧的长度不断增大，则弹性势能不断增大，物体由静止变为运动，到达平衡位置时，速度增大到最大，由平衡位置运动到最低点过程中，速度不断减小，所以动能先增大后减小，但总机械能不变．
11．答案 BC解析 简谐运动过程中机械能守恒，因此选项A、D错误；在最大位移处，弹簧形变最大，因此弹性势能最大，选项B正确，从平衡位置到最大位移处，x↑→v↓→Ek↓，选项C正确．
12．答案
（1）作图略
（2）T＝
（3）1.23～1.27均可
13．答案
（1）5 0.8 1.25
（2）5cm 100cm （3）0.8s
解析
（1）根据题意，振子从距平衡位置5cm处由静止释放，说明弹簧振子在振动过程中离开平衡位置的最大距离是5cm，即振幅为5cm.振子在4s内完成5次全振动，则T＝0.8s，又因为f＝
，则f＝1.25Hz.
（2）4s内完成5次全振动，即振子又回到原来的初始位置，因而位移大小为5cm，振子做一次全振动的路程为20cm，则5次全振动路程为100cm.
（3）弹簧振子的周期是由弹簧的劲度系数和振子的质量决定的，其固有周期与振幅大小无关，故周期仍为0.8s.
14．答案
（1）
（2）
gT（n＝0,1,2…）
解析
（1）线断前，线的拉力F＝mg，设此时弹簧伸长为x0，Fcos30°＝kx0，得x0＝
.
线断后，在弹力作用下，A做简谐运动的振幅为A＝x0＝
.
（2）A将弹簧压缩到最短经历的时间为t＝
T（n＝0,1,2…），在t时间末B落地，速度v的大小为v＝gt＝
gT（n＝0,1,2…）．
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