李雅普诺夫稳定性分析.docx
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李雅普诺夫稳定性分析
控制系统的李雅普诺夫稳定性分析
内容提要
稳定性是系统的又一重要特性。
所谓系统的稳定性，就是系统在受到小的外界扰动后，
被调量与规定量之间的偏差值的过渡过程的收敛性。
显然，稳定性是系统的一个动态属性。
在控制理论和控制工程中，无论是调节器理论、观测器理论还是滤波预测、自适应理论，都
不可避免的要遇到系统稳定性问题。
稳定性问题一直是一个最基本的和最重要的问题。
随着控制理论与控制工程所涉及的领域由线性时不变系统扩展为时变系统和非线性系
统，稳定性分析的复杂程度也在急剧的增长。
直到目前，虽然有许多判据可应用于线性时不
变系统或其它各自相应类型的问题中，以判断系统稳定情况，但能同时有效地适用于线性、非线性、定常、时变等各类系统的方法，则是俄国数学家李雅普诺夫（Lyaponov）在19世纪
所提出的方法。
这就是控制系统稳定性分析的李雅普诺夫方法。
李雅普诺夫稳定性理论是稳
定性分析、应用与研究的最重要基础。
习题与解答
5.1判断下列函数的正定性
1）V（x）
2x/
3X22
2
X3
2x1x2
2x1X3
2）V（x）
8x/
2x22
2
X3
8x1X2
2x1X3
2x2X3
3）V（x）
2
X1
2
X32X1X2
X2X3
4）V（x）
10刘2
4x2
22
X3
2x1X2
2x2X3
4x1X3
5）V（x）
2
X1
3X22
11X32
2x1x2
4x2X3
2x1X3
解
所以A0，V（x）为正定函数。
所以A为不定矩阵，V（x）为不定函数。
所以A0,V（x）为正定函数。
所以A0,V（x）为正定函数。
8
4
1
2）V（x）xTAxxT4
2
1x,
1
1
1
因为主子式
8,2,1
841
421164421680
111
所以A不定，v（x）为不定函数。
1
3）V（x）xTAxxT1
0
5.2用李雅普诺夫第一方法判定下列系统在平衡状态的稳定性。
&XiX2Xi（Xi2X22）
解方程组
Xi
Xi
X2
X2
Xi（Xi2
X2（Xi2
Xi
x2x2（xi2x22）
X2_）0得三个孤立平衡点
X22）0
0,0），（i,—i）和（一i,
i）0
在（0,0）处将系统近似线性化，得&
i2
iiX，由于原系统为定常系统，且矩阵
2的特征根
i均具有负实部,
于是根据李雅普诺夫定理可知系统在原点
iX,由于矩阵3i
333
i,—i）附近不稳定。
（0,0）附近一致渐近稳定。
在（i,—i）和（—i,i）处将系统近似线性化，得&
的特征根3,30,根据李雅普诺夫定理可知系统在点
在（—i,i）处将系统近似线性化，得
&3iX，由于原系统为定常系统，且
33
矩阵3i的特征根3,30，根据李雅普诺夫定理可知系统在点（i,—i）和
33
点（一i,i）附近不稳定。
该题求解时往往容易忽略平衡点（i，—i）和（—i,i）o
5.3试用李雅普诺夫稳定性定理判断下列系统在平衡状态的稳定性。
定的。
对于线性系统关于稳定性的结果是大范围的全局性结果。
5.4设线性离散时间系统为
0
i
0
x（ki）0
0
ix（k）m>0
0
m2
0
试求在平衡状态系统渐近稳定的m值范围。
解令QI,由方程GtPGPQ得
0
0
0
pi
p2
p3
0
i
0
pi
p2
Pi3
i
0
0
i
0
m2
p2
巳2
l~23
0
0
i
p2
l~23
0
i
0
0
i
0
p3
l~23
1~33
0
m2
0
p3
l~23
1~33
0
0
i
解此方程得
i
0
0
p0
8
2m
0
4
2m
0
0
i2
/2
4m
若要P0应有0m2。
□
5.5试用李雅普诺夫方法求系统
在平衡状态x0为大范围渐近稳定的条件。
解用李雅普诺夫第一方法。
首先求系统矩阵的特征方程
5.6系统的状态方程为
22
X1（0）X2（0）10.1，所以此题无解。
5.7给定线性时变系统
01
&1x，t0
10
t1
判定其原点Xe0是否是大范围渐近稳定。
5.8考虑四阶线性自治系统
0
1
0
0
X1
&Ax
b4
0
1
0
X2
t3
0
1
，b
i0，i
123,4
0
X3
0
0
b2
bi
X4
应用李雅普诺夫的稳定判据，试以
bi，i1,2,3,4表示这个系统的平衡点x0渐近稳定的
充要条件。
解在李雅普诺夫矩阵方程式
AVVAW
中，令W为
0
0
0
0
0
0
0
0
W
0
0
0
0
0
0
0
2b12
显然，W是半正定矩阵。
求矩阵方程式的解
V
，V
是对称矩阵。
v11
v12
v13
v14
v21
V21
v22
v23
v24
V
v31
v32
v33
v34
v41
v42
v43
v44
将方程左边的i行j列元素记成
（i,j）元素，可求得下面的一系列等式：
（1,1）元素
2b4v120
（1,2）元素
v11
b3v13b4v22
0
（1,3）元素
v12
b2v14b4v23
0
（1,4）元素
v13
b1v14b4v24
0
（2,2）元素
2v12
2b2v230
（2,3）元素
v13
v22b2v24
b3v33
0
（2,4）元素
v14
v23b1v24
b3v34
0
（3,3）元素
2v23
2b2v340
（3,4）元素
v24
v33b1v34
b2v44
0
（4,4）元素
2v34
2
2b1v442b12
由对于（1,1）
、（2,2）、（3,3）、（4,4）元素的等式和
v12
0，
v230，
由对于（1,3）
、（2,4）、（1,4）元素的等式，
有
v14
0，v24
由（1,2）、（2,3）、
（3,4）元素，有
v11
b4v22，v22
0，v13
bi0，i
因此
1,2,3,4有
0，
b1
b3v33，v33b2v44
V33b2b1
，V44
bi
即，
b4bsb2th
0
0
0
0
b3b2
b）
0
0
V
0
0
b2b|
0
0
0
0
bi
为对角线矩阵。
因为W为半正定阵，
所以要检查xTWx
0在原点
X
0以外的x是否满足系统状态方
程。
由于满足xTWx
0的x同时满足X40，
而
X40
时，状态方程的解为
X3x?
Xi
X40,所以满足xTWx0的状态方程的解只有x0。
由李雅普诺夫的稳定判据,
x0是渐近稳定的充要条件是对角矩阵V为正定阵。
因
此d0，b?
0，b30，b40是求的充要条件。
（Volterra）方程式
5.9下面的非线性微分方程式称为关于两种生物个体群的沃尔特纳
dxi
dt
axi
XiX2
dx2
X2
xix2
dt
求平衡点；2）在平衡点的附近线性化，试讨论平衡点的稳定性。
1）由罟0，dx20，得
2）分两种情况讨论。
①平衡点（a）线性化的微分方程为
其特征方程式是
（s）（s）0
0、0时，平衡点⑻稳定，除此以外不稳定。
②平衡点（b）
令Xi/Xi，X2/X2，得
因此，在平衡点（b）线性化的微分方程式是
其特征方程式为
0时，特征根是
0时，特征根是—，为正、负实数，平衡点（b）不稳定。
L，为共轭纯虚数，平衡点（b）的稳定性在这样的线性化范围内不能决定。
口
5.i0对于下面的非线性微分方程式试求平衡点；在各平衡点进行线性化，试判别平衡
点是否稳定。
&X2
&sin%x2
解由x20，sinx,x20,知系统的平衡点是x,0,,2,，x20。
i）在Xi0,2,4,，X20处，将系统近似线性化得
dXi0iXi
dtX2iiX2
其特征多项式是s2s1。
这是胡尔维茨多项式，因此这些平衡点渐近稳定。
2）在xi,3,，X20
d为01Xi
dtx211x2
特征多项式是ss1，这不是胡尔维茨多项式。
因此这些平衡点不稳定。
□
5.11利用李雅普诺夫第二方法判断下列系统是否为大范围渐近稳定:
解令矩阵
pP11
P12
p12
P22
则由atpPAI
得
12P11
P12
P11
P1211
10
13p12
p22
P12
P2223
01
解上述矩阵方程，有
可知P是正定的。
因此系统在原点处是大范围渐近稳定的。
系统的李雅普诺夫函数及其沿
轨迹的导数分别为
g
V（x）
T122
V（x）xTPx（14治2IOX1X26x2）0
8
T—T,22、小
xQxxx（X1x2）0
5.12给定连续时间的定常系统
&X2
&为（1乂?
）^
试用李雅普诺夫第二方法判断其在平衡状态的稳定性。
22解易知（x-i0,x20）为其唯一的平衡状态。
现取V（x）x1x2，且有：
22
（i）V（x）为X2为正定
（ii）V（x）迪迪&
X-Ix2&
X2
2X12X22
X1（1x2）x2
222x2（1X2）
容易看出，除了两种情况
（a）X1任意，X20
（b）为任意，x21
时V&（x）0以外，均有V&（x）0。
所以，V（x）为负半定。
（iii）检查V&（t;x）,0））是否恒等于零。
考虑到使得V&x）0的可能性只有上述两种
情况，所以问题归结为判断这两种情况是否为系统的受扰运动解。
先考察情况（a）:
（t;X0,0）X1（t）,0T，则由于X2（t）0可导出X2（t）0,将此代入系统的方程可得：
>&（t）X2（t）0
0
X2（t）（1
X2（t））2X2（t）X1（t）
X1（t）
这表明，除了点（
X10,X2
0）外，（t;X0,0）
T
X1（t）,0不是系统的受扰运动解。
再
考察情况（b）：
）（t；X0,0）
为⑴,1T，则由X2（t）
1可导出X2（t）0,将此代入系统
的方程可得:
&⑴X2（t）1
0&（t）（1X2（t））%（t）X1（t）X1（t）
显然这是一个矛盾的结果，表明（t；Xo,0）X1（t）,1T也不是系统的受扰运动解。
综上分
析可知，V（t；Xo,O））0。
（iv）当［XI厉~X^时，显然有V（x）||X|2。
于是，可以断言，此系统的原点平衡状态是大范围渐近稳定的。
口
5.13试用克拉索夫斯基定理判断下列系统是否是大范围渐近稳定的。
3
X|x2x2
解显然X0是系统的一个平衡点。
统在原点渐近稳定。
又因为
T2232
f（x）f（x）xim[（3X1X2）（XiX2X2）]
所以原系统在原点处是大范围渐近稳定的。
5.14试用克拉索夫斯基定理判断下列系统的稳定性。
解显然x0是系统的一个平衡点。
2
2x1x2
6X3
F（x）
2xx2
2
X2
3
0
3
9xf
406x3
F（x）Ft（x）F（x）02x；0
2
6x3018x3
所以原系统在原点处是大范围渐近稳定的。
5.15试用克拉索夫斯基定理确定使下列系统
a1,b0,或a1,b0。
5.16试用变量一梯度法构造下列系统的李雅普诺夫函数
&X-!
2x「x2
&X2
解设V的梯度为
于是V的导数为
V
a21X1
试取an1,玄伐a?
10,则
2
由这个李亚普诺夫函数可看出，在12x1X20范围内，系统是渐近稳定的。
5.17用变量一梯度法求解下列系统的稳定性条件。
&X2
&a1（t）x1a2（t）x2
解设V的梯度为
a?
1x〔
于是V的导数为
0，于是可知
XiX2’
122
c11x1dx1c22x2dx2（c11x1c22x2）0，c110,q20
002
由上式可看出，对于给定的c11，当a1（t）0时，不难确定c22使得c11c22a1（t）0。
从而
可得系统是渐近稳定的充分条件是a1（t）0，a2（t）0。
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