天使总结.docx

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天使总结

学校教导处对100名同学进行调查，结果有58人喜欢看球赛，有38人喜欢看戏剧，有52人喜欢看电影。

另外还知道，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧（但不喜欢看电影）的有6人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧（但不喜欢看球赛）的有4人，三种都喜欢的有12人。

通过这个题目我们看因为每个人都至少喜欢三项中的一项。

则我们用三个圈红，绿，蓝代表球赛。

戏剧、和电影。

图画出的是三圆相交产生若干个区域。

我们要想最彻底的了解这个类型的题目，就要对每个区域有非常深刻的了解。

我在图上所标注的符号只代表所在的区域。

不包含重复部分。

如：

红圈：

球赛。

蓝圈：

电影绿圈：

戏剧。

X表示只喜欢球赛的人；Y表示只喜欢电影的人；Z表示只喜欢戏剧的人

a表示喜欢球赛和电影的人。

仅此2项。

不喜欢戏剧

b表示喜欢电影和戏剧的人。

仅此2项。

不喜欢球赛

c表示喜欢球赛和戏剧的人。

仅此2项不喜欢电影。

中间的阴影部分则表示三者都喜欢的。

我们用T表示。

回顾上面的7个部分。

X，y，z，a，b，c，T都是相互独立。

互不重复的部分

现在开始对这些部分规类。

X＋y＋z＝是只喜欢一项的人我们叫做A

a+b+c＝是只喜欢2项的人我们叫做B

T就是我们所说的三项都喜欢的人

一般情况下。

题目都会告诉你，总人数是多少。

即这7个部分的总和

也就是我总结的公式的第一部分

A＋B＋T＝总人数

其次，题干还会告诉你参加某一项的各有多少人，这些人包含了可能参加2项。

可能参加三项的。

比如说题目

x＋a＋c＋T＝是喜欢球赛的人数构成一个红圈

y＋a＋b＋T＝是喜欢电影的人数构成一个蓝圈

z＋b＋c＋T＝是喜欢戏剧的人数构成一个绿圈

我们为什么将这三个人数相加计算总和

看，当三者相加之后左边就是

（x＋a＋c＋T）＋（y＋a＋b＋T）＋（z＋b＋c＋T）

＝（x＋y＋z）＋2（a＋b＋c）＋3T

即我总结的第三个公式：

A＋2B＋3T＝至少喜欢一项的人数之和

同时我们也能推断出，当两两人数之和的时候就会得出这样的一个公式：

B＋3T＝至少喜欢2项的人数之和

三个公式。

（1）A＋B＋T＝总人数

（2）A＋2B＋3T＝至少喜欢1个的人数和

（3）B＋3T＝至少喜欢2个的人数和

A、B、T分别代表什么。

这些都要搞清楚，最好熟练使用。

由例题来看：

A＋B＋T＝100 A＋2B＋3T＝148 T＝12

【天使解析】关于9宫图或者25宫图的算法（幻方）

刚刚看到一个帖子：

古代9宫图的算法

将－10，－8，－6，－4，－2，0，2，4，6       9个数填写到一个横向纵向都是3格的正方形中，使其横向纵向2个斜线方向的和相等如何填写？

以前我研究过：

先方法如下：

此题古代叫九宫图或者教幻方 

给出2个图，大家都可以按照这样的规律来作答。

但是此规律局限于奇数行比如说3×3，5×5，7×7的格子

步骤1：

按照斜线的顺序把数字按照从小到大的顺序，依次斜线填写！

步骤2：

然后将3×3格以外格子的数字折翻过来，

最左边的放到最右边，最右边的放到最左边

最上边的放到最下边，最下边的放到最上边

这样你再看中间3×3格子的数字是否已经满足题目的要求了呵呵！

！

【天使解析】关于N个圆相交最多可以有多少个交点的问题分析

【天使总结】排列与组合分析【2007－5－27修改】

在介绍排列组合方法之前我们先来了解一下基本的运算公式！

C5取3＝（5×4×3）/（3×2×1） C6取2＝（6×5）/（2×1） 

通过这2个例子看出

CM取N公式是种子数M开始与自身连续的N个自然数的降序乘积做为分子。

以取值N的阶层作为分母

P53＝5×4×3  P66＝6×5×4×3×2×1

通过这2个例子

PMN＝从M开始与自身连续N个自然数的降序乘积 当N＝M时即M的阶层

排列、组合的本质是研究“从n个不同的元素中，任取m（m≤n）个元素，有序和无序摆放的各种可能性”.区别排列与组合的标志是“有序”与“无序”.

解答排列、组合问题的思维模式有二：

其一是看问题是有序的还是无序的？

有序用“排列”，无序用“组合”；

其二是看问题需要分类还是需要分步？

分类用“加法”，分步用“乘法”.

分类：

“做一件事，完成它可以有n类方法”，这是对完成这件事的所有办法的一个分类.分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其次，分类时要注意满足两条基本原则：

①完成这件事的任何一种方法必须属于某一类；②分别属于不同两类的两种方法是不同的方法.

分步：

“做一件事，完成它需要分成n个步骤”，这是说完成这件事的任何一种方法，都要分成n个步骤.分步时，首先要根据问题的特点，确定一个可行的分步标准；其次，步骤的设置要满足完成这件事必须并且只需连续完成这n个步骤后，这件事才算最终完成.

两个原理的区别在于一个和分类有关，一个与分步有关.如果完成一件事有n类办法，这n类办法彼此之间是相互独立的，无论那一类办法中的那一种方法都能单独完成这件事，求完成这件事的方法种数，就用加法原理；如果完成一件事需要分成n个步骤，缺一不可，即需要依次完成所有的步骤，才能完成这件事，而完成每一个步骤各有若干种不同的方法，求完成这件事的方法种类就用乘法原理.

在解决排列与组合的应用题时应注意以下几点：

1．有限制条件的排列问题常见命题形式：

“在”与“不在”

“邻”与“不邻”

在解决问题时要掌握基本的解题思想和方法：

⑴“相邻”问题在解题时常用“合并元素法”，可把两个以上的元素当做一个元素来看，这是处理相邻最常用的方法.

⑵“不邻”问题在解题时最常用的是“插空排列法”.

⑶“在”与“不在”问题，常常涉及特殊元素或特殊位置，通常是先排列特殊元素或特殊位置.

⑷元素有顺序限制的排列，可以先不考虑顺序限制，等排列完毕后，利用规定顺序的实情求出结果.

2．有限制条件的组合问题，常见的命题形式：

“含”与“不含”

“至少”与“至多”

在解题时常用的方法有“直接法”或“间接法”.

3．在处理排列、组合综合题时，通过分析条件按元素的性质分类，做到不重、不漏，按事件的发生过程分步，正确地交替使用两个原理，这是解决排列、组合问题的最基本的，也是最重要的思想方法.

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提供10道习题供大家练习

1、三边长均为整数，且最大边长为11的三角形的个数为（C ）

（A）25个    （B）26个     （C）36个     （D）37个

【解析】

根据三角形边的原理 两边之和大于第三边，两边之差小于第三边

可见最大的边是11 

 则两外两边之和不能超过22因为当三边都为11时是两边之和最大的时候

 因此我们以一条边的长度开始分析

 如果为11，则另外一个边的长度是11，10，9，8，7，6，。

。

。

。

。

。

1

 如果为10 则另外一个边的长度是10，9，8。

。

。

。

。

。

2，

 （不能为1否则两者之和会小于11，不能为11，因为第一种情况包含了11，10的组合）

 如果为9  则另外一个边的长度是9，8，7，。

。

。

。

。

。

。

3

 （理由同上，可见规律出现）

规律出现 总数是11＋9＋7＋。

。

。

。

1＝（1＋11）×6÷2＝36

2、

（1）将4封信投入3个邮筒，有多少种不同的投法？

【解析】 每封信都有3个选择。

信与信之间是分步关系。

比如说我先放第1封信，有3种可能性。

接着再放第2封，也有3种可能性，直到第4封，所以分步属于乘法原则即3×3×3×3＝3^4

（2）3位旅客，到4个旅馆住宿，有多少种不同的住宿方法？

【解析】跟上述情况类似对于每个旅客我们都有4种选择。

彼此之间选择没有关系不够成分类关系。

属于分步关系。

如：

我们先安排第一个旅客是4种，再安排第2个旅客是4种选择。

知道最后一个旅客也是4种可能。

根据分步原则属于乘法关系 即4×4×4＝4^3

（3）8本不同的书，任选3本分给3个同学，每人一本，有多少种不同的分法？

【解析】分步来做

第一步：

我们先选出3本书 即多少种可能性C8取3＝56种

第二步：

分配给3个同学。

P33＝6种 

这里稍微介绍一下为什么是P33，我们来看第一个同学可以有3种书选择，选择完成后，第2个同学就只剩下2种选择的情况，最后一个同学没有选择。

即3×2×1这是分步选择符合乘法原则。

最常见的例子就是1，2，3，4四个数字可以组成多少4位数？

也是满足这样的分步原则。

用P来计算是因为每个步骤之间有约束作用即下一步的选择受到上一步的压缩。

所以该题结果是56×6＝336

3、

 七个同学排成一横排照相.

（1）某甲不站在排头也不能在排尾的不同排法有多少种？

  （3600）

【解析】

这个题目我们分2步完成

第一步：

先给甲排 应该排在中间的5个位置中的一个 即C5取1＝5

第二步：

剩下的6个人即满足P原则P66＝720

所以总数是720×5＝3600

（2）某乙只能在排头或排尾的不同排法有多少种？

  （1440）

【解析】

第一步：

确定乙在哪个位置 排头排尾选其一C2取1＝2

第二步：

剩下的6个人满足P原则P66＝720

则总数是720×2＝1440

 （3）甲不在排头或排尾，同时乙不在中间的不同排法有多少种？

  （3120）

【解析】特殊情况先安排特殊

 第一种情况：

甲不在排头排尾并且不在中间的情况

 去除3个位置剩下4个位置供甲选择C4取1＝4，剩下6个位置先安中间位置即除了甲乙2人，其他5人都可以即以5开始，剩下的5个位置满足P原则即5×P55＝5×120＝600 总数是4×600＝2400

 第2种情况：

甲不在排头排尾，甲排在中间位置

 则剩下的6个位置满足P66＝720

因为是分类讨论。

所以最后的结果是两种情况之和即2400＋720＝3120

 （4）甲、乙必须相邻的排法有多少种？

  （1440）

【解析】相邻用捆绑原则2人变一人，7个位置变成6个位置，即分步讨论

 第1：

选位置C6取1＝6

 第2：

选出来的2个位置对甲乙在排即P22＝2

 则安排甲乙符合情况的种数是2×6＝12

 剩下的5个人即满足P55的规律＝120 

则最后结果是120×12＝1440

 （5）甲必须在乙的左边（不一定相邻）的不同排法有多少种？

（2520）

【解析】

这个题目非常好，我们发现一共是7个位置。

位置也是对称的无论怎么安排。

甲出现在乙的左边和出现在乙的右边的概率是一样的。

所以我们不考虑左右问题则总数是P77＝5040

根据左右概率相等的原则则排在左边的情况种数是5040÷2＝2520

4、用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的数. 

（1）能组成多少个四位数？

  （300）

【解析】四位数从高位开始到低位 高位特殊不能排0。

则只有5种可能性

接下来3个位置满足P53原则＝5×4×3＝60 即总数是60×5＝300

（2）能组成多少个自然数？

  （1631） 

【解析】自然数是从个位数开始所有情况

 分情况

 1位数：

C6取1＝6

 2位数：

C5取2×P22＋C5取1×P11＝25

 3位数：

C5取3×P33＋C5取2×P22×2＝100

 4位数：

C5取4×P44＋C5取3×P33×3＝300

 5位数：

C5取5×P55＋C5取4×P44×4＝600

 6位数：

5×P55＝5×120＝600

 总数是1631

这里解释一下计算方式比如说2位数：

C5取2×P22＋C5取1×P11＝25

先从不是0的5个数字中取2个排列即C5取2×P22 还有一种情况是从不是0的5个数字中选一个和0搭配成2位数即C5取1×P11 因为0不能作为最高位所以最高位只有1种可能

 （3）能组成多少个六位奇数？

 （288） 

【解析】高位不能为0 个位为奇数1，3，5则先考虑低位，再考虑高位即3×4×P44＝12×24＝288

 （4）能组成多少个能被25整除的四位数？

 （21） 

【解析】能被25整除的4位数有2种可能

后2位是25：

3×3＝9

后2位是50：

P42＝4×3＝12

共计9＋12＝21

 （5）能组成多少个比201345大的数？

 （479） 

【解析】

从数字201345这个6位数看是最高位为2的最小6位数所以我们看最高位大于等于2的6位数是多少？

4×P55＝4×120＝480去掉201345这个数即比201345大的有480－1＝479

 （6）求所有组成三位数的总和.  （32640）

【解析】每个位置都来分析一下

百位上的和：

M1=100×P52（5+4+3+2+1）

十位上的和：

M2=4×4×10（5+4+3+2+1）

个位上的和：

M3=4×4（5+4+3+2+1）

总和M＝M1+M2+M3=32640

5、生产某种产品100件，其中有2件是次品，现在抽取5件进行检查. 

（1）“其中恰有两件次品”的抽法有多少种？

  （152096）

【解析】 也就是说被抽查的5件中有3件合格的，即是从98件合格的取出来的

所以即C2取2×C98取3＝152096

（2）“其中恰有一件次品”的抽法有多少种？

  （7224560） 

【解析】同上述分析，先从2件次品中挑1个次品，再从98件合格的产品中挑4个

C2取1×C98取4＝7224560

 （3）“其中没有次品”的抽法有多少种？

  （67910864） 

【解析】则即在98个合格的中抽取5个C98取5＝67910864

 （4）“其中至少有一件次品”的抽法有多少种？

  （7376656） 

【解析】全部排列然后去掉没有次品的排列情况就是至少有1种的

C100取5－C98取5＝7376656

 （5）“其中至多有一件次品”的抽法有多少种？

  （75135424）

【解析】所有的排列情况中去掉有2件次品的情况即是至多一件次品情况的

C100取5－C98取3＝75135424

6、从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型和乙型电视机各1台，则不同的取法共有（ C ） 

（A）140种   （B）84种     （C）70种     （D）35种

【解析】根据条件我们可以分2种情况

第一种情况：

2台甲＋1台乙即C4取2×C5取1＝6×5＝30

第二种情况：

1台甲＋2台乙即C4取1×C5取2＝4×10＝40

所以总数是30＋40＝70种

7、在50件产品中有4件是次品，从中任抽5件，至少有3件是次品的抽法有_4186_种.

【解析】至少有3件则说明是3件或4件

3件：

C4取3×C46取2＝4140

4件：

C4取4×C46取1＝46

共计是4140＋46＝4186

8、有甲、乙、丙三项任务,甲需2人承担,乙、丙各需1人承担.从10人中选派4人承担这三项任务,不同的选法共有（ C ）

（A）1260种   （B）2025种    （C）2520种    （D）5040种

【解析】分步完成

第一步：

先从10人中挑选4人的方法有：

C10取4＝210

第二步：

分配给甲乙并的工作是C4取2×C2取1×C1取1＝6×2×1＝12种情况

则根据分步原则 乘法关系210×12＝2520

9、12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案共有__

C（4,12）C（4,8）C（4,4）

___种

【解析】每个路口都按次序考虑

第一个路口是C12取4

第二个路口是C8取4

第三个路口是C4取4

则结果是C12取4×C8取4×C4取4

可能到了这里有人会说三条不同的路不是需要P33吗 其实不是这样的在我们从12人中任意抽取人数的时候，其实将这些分类情况已经包含了对不同路的情况的包含。

如果再×P33则是重复考虑了

如果这里不考虑路口的不同即都是相同路口则情况又不一样因为我们在分配人数的时候考虑了路口的不同。

所以最后要去除这种可能情况所以在上述结果的情况下要÷P33

10、在一张节目表中原有8个节目，若保持原有节目的相对顺序不变，再增加三个节目，求共有多少种安排方法？

990

【解析】这是排列组合的一种方法叫做2次插空法

直接解答较为麻烦，故可先用一个节目去插9个空位，有P19种方法；再用另一个节目去插10个空位，有P110种方法；用最后一个节目去插11个空位，有P111方法，由乘法原理得：

所有不同的添加方法为P19·P110·P111=990种。

另解：

先在11个位置中排上新添的三个节目有P311种，再在余下的8个位置补上原有的8个节目，只有一解，所以所有方法有P311×1=990种。

【天使提供】5道概率、排列组合题目供大家练习！

【DONE】

1、甲乙两人参加英语口试，已知在备选的10道题中，甲能答对其中的6道题，乙能答对其中的8道题。

规定每次口试都从备选题中随机抽出3道题进行口试，至少答对2道题才算合格。

求甲乙两人口试合格的概率分别为多少？

2、某种动物由出生活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.4，问现年20岁的这种动物活到25岁的概率是多少?

3、有多少种方法使6张票子发给三个人每个人手上有两张?

有多少种方法使6张票子分成三组每组有两张?

4、从6名选手中，选取4个人参加奥林匹克竞赛，其中某甲被选中的概率是（）

5、今有光盘驱动器50个，其中一级品45个，二级品5个，从中任取3个，出现二级品的概率为（  ）．

答案9：

30提供

答案见1楼！

全部正确最后一题没有约分

1-C（45,3）/C（50,3）=1623/5880＝541/1960

1、甲乙两人参加英语口试，已知在备选的10道题中，甲能答对其中的6道题，乙能答对其中的8道题。

规定每次口试都从备选题中随机抽出3道题进行口试，至少答对2道题才算合格。

求甲乙两人口试合格的概率分别为多少？

甲[C（6,2）*C（4,1）+C（6.3）]/C（10,3）=2/3

乙[C（8,2）*C（2,1）+C（8,3）]/C（10,3）=14/15

2、某种动物由出生活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.4，问现年20岁的这种动物活到25岁的概率是多少?

0.4/0.8=0.5

3、

有多少种方法使6张票子发给三个人每个人手上有两张?

有多少种方法使6张票子分成三组每组有两张?

票子应该是不同的C（6,2）*C（4,2）=90

三组90/P（3.3）=15

4、从6名选手中，选取4个人参加奥林匹克竞赛，其中某甲被选中的概率是（）

C（5,3）/C（6,4）=2/3

5、今有光盘驱动器50个，其中一级品45个，二级品5个，从中任取3个，出现二级品的概率为（  ）．

1-C（45,3）/C（50,3）=1623/5880

【天使总结】巧用比例解决运算问题【DONE】

巧用比例解决运算问题

行程问题一直是国家考试中比较重要的一环，其应用之广恐无及其右者。

行程问题的计算量按照基础做法不得不说非常大。

所以掌握简单的方法尤为重要。

当然简单的方法需要对题目的基础知识的全面了掌握和理解。

在细说之前我们先来了解如下几个关系：

路程为S。

速度为V时间为T

S＝VTV＝S/TT＝S/V

S相同的情况下：

V跟T成反比

V相同的情况下：

S跟T成正比

T相同的情况下：

S跟V成正比

注：

比例点数差也是实际差值对应的比例！

好，在我们理解掌握上述基本概念之后再来通过具体题目来分析

例一、甲乙2人分别从相距200千米的AB两地开车同时往对方的方向行驶。

到达对方始发点后返回行驶，按照这样的情况，2人第4次相遇时甲比乙多行了280千米已知甲的速度为60千米每小时。

则乙的速度为多少？

分析：

这个题目算是一个相遇问题的入门级的题目。

我们先从基础的方法入手，要多给自己提问求乙的速度即要知道乙的行驶路程S乙，乙所花的时间T乙。

这2个变量都没有告诉我们，需要我们去根据条件来求出：

乙的行驶路程非常简单可以求出来。

因为甲乙共经过4次相遇。

这里希望大家不要嫌我罗嗦。

我希望能够更透彻的把这类型的题目通过图形更清晰的展现给大家。

第一次相遇情况

A（甲）．。

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（甲）C（乙）。

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B（乙）

AC即为第一次相遇甲行驶的路程。

BC即为乙行驶的路程

则看出AC＋BC＝AB两者行驶路程之和＝S

第2次相遇的情况

A．。

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（乙）D（甲）。

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C。

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B

在这个图形中，我们从第一次相遇到第2次相遇来看甲从C点开始行驶的路线是C－B－D，其路程是BC＋BD

乙行驶的路线则是C－A－D其行驶的路程是AC＋AD

可以看出第2次相遇两者的行驶路程之和是BC＋BD＋AC＋AD＝（BC＋AC）＋（BD＋AD）＝2S

同理第3，4次相遇都是这样。

则我们发现整个过程中，除第一次相遇是一个S外。

其余3次相遇都是2S。

总路程是2×3S＋S＝7S

根据题目，我们得到了行驶路程之和为7×200＝1400

因为甲比乙多行驶了280千米则可以得到乙是（1400－280）÷2＝560则甲是560＋280＝840

好，现在就剩下乙的行驶时间的问题了。

因为两个人的行驶时间相同则通过计算甲的时间得到乙的时间即840÷60＝14小时。

所以T乙＝14小时。

那么我就可以求出乙的速度V乙＝S乙÷T乙＝560÷14＝40

说道这里我需要强调的是，在行程问题中，可以通过比例来迅速解答题目。

比例求解法：

我们假设乙的速度是V则根据时间相同，路程比等于速度比，

S甲：

S乙＝V甲：

V乙衍生出如下比例：

（S甲＋S乙）：

（S甲－S乙）＝（V甲＋V乙）：

（V甲－V乙）

得出1400：

280＝（60＋V）：

（60－V）解得V＝40

例2、甲车以每小时160千米的速度，乙车以每小时20千米的速度，在长为210千米的环形公路上同时、同地、同向出发。

每当甲车追上乙车一次，甲车减速1/3，而乙车则增速1/3。

问：

在两车的速度刚好相等的时刻，它们共行驶了多少千米？

（）

A