二次函数教学案例.docx

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二次函数教学案例

初中数学《二次函数》的教学案例分析

 一、教材研读与剖析

　　１．教材分析：

本节课内容是在学生学习了一次函数、反比例函数等基础上的学习.本章我们研究的是二次函数，要求学生通过探究实际问题与二次函数的关系，掌握利用顶点坐标解决最大值（或最小值）问题的方法.学生要经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何描述变量之间的数量关系，感悟新旧知识的关系，深刻的体会数学中的类比思想方法.

　　２．教学目标：

理解和掌握二次函数的概念、性质，会做二次函数的图像，掌握二次函数的形式；会建立二次函数模型，并能确定实际问题的自变量的取值范围；会用待定系数法求二次函数的解析式；从实际情景和实例中让学生探索分析，建立两个变量之间的二次函数，使学生能够理解如何将实际问题转化为数学问题，学会用数学符号和数学方法解决最值问题，让学生体会到学习数学的价值，从而提高学生学习数学的兴趣.

　　３．教学重点和难点：

第一，经历探究和表示二次函数的过程，获得二次函数的定义；第二，能够表示简单变量之间的二次函数关系；第三，探究利用二次函数解决实际生活中的最值问题.本节难点在于如何将实际问题转化为二次函数的问题，其中“合作性学习”涉及的实际问题有的较为复杂，要求学生有较强的概括能力.

二、教学过程与设计

　　（１）温故而知新，回顾有关函数的知识，激发兴趣.教师在课堂的开始，可以帮助学生回忆有关函数的定义——在某个变化过程中，有两个变量ｘ和ｙ，如果给定一个ｘ值，相应地就确定了一个ｙ值，那么我们称ｙ是ｘ的函数，其中ｘ是自变量，ｙ是因变量——做进一步巩固.对“正比例函数、一次函数、反比例函数”的知识点进行总结，并在ｐｐｔ上给出一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ（其中ｋ，ｂ是常数，且ｋ≠０）正比例函数ｙ＝ｋｘ（ｋ是不为０的常数）反比例函数ｙ＝■（ｘ是不为０的常数）的形式.

　　（２）创设问题情境，激发兴趣.教师在ｐｐｔ上给出实际问题一，例如：

现有６０米的篱笆要围成一个矩形场地，若矩形的长为１０米，它的面积是多少？

若矩形的长分别为１５米、２０米、３０米时，它的面积分别是多少？

从上两问同学们发现了什么？

教师提问后，学生可独立回答.在活动中，教师应重点关注：

学生是否能准确的建立函数关系；学生是否能利用已学的函数知识求出最大面积；学生是否能准确的讨论出自变量的取值范围.

　　问题的设计，旨在运用函数模型让学生体会数学的实际价值，学会用函数的观点认识问题，解决问题，让学生在合作学习中共同解决问题，培养合作精神.最后，提出问题：

由矩形问题你有什么收获？

让学生经过短时间的讨论与思考后，师生共同归纳总结出函数解析式ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ，ｂ，ｃ是常数，ａ≠０）的形式.在ｐｐｔ上给出概念：

我们把形如ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（其中ａ，ｂ，ｃ是常数，ａ≠０）的函数叫做二次函数.称ａ为二次项系数，ｂ为一次项系数，ｃ为常数项.通过层层设问，引导学生不断思考，积极探索，让学生感受到数学的应用价值，激发其学习的热情.

（３）利用图像激发兴趣.学习性质最好的方法就是根据图像来探索.例如，教师可以给出以下的问题，让学生进行自由探索：

填空：

根据下边已画好抛物线ｙ＝－２ｘ２的顶点坐标是＿＿＿＿＿，对称轴是＿＿＿＿＿，在＿＿＿＿＿侧，即ｘ＿＿＿＿＿０时，ｙ随着ｘ的增大而增大；在＿＿＿＿＿侧，即ｘ＿＿＿＿＿０时，ｙ随着ｘ的增大而减小.当ｘ＝＿＿＿＿＿时，函数ｙ的最大值是＿＿＿＿.当ｘ＿＿＿＿０时，ｙ＜０.教师让学生根据问题进行探究，并归纳出：

二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ≠０）的图像和性质，顶点坐标与对称轴，位置与开口方向，增减性与最值.

　　（４）小组合作探索二次函数与一元二次方程.教师向学生展示二次函数ｙ＝ｘ２＋２ｘ，ｙ＝ｘ２－２ｘ＋１，ｙ＝ｘ２－２ｘ＋２的图像如图所示．

　　教师引导学生以小组为单位，对以下问题进行合作探究：

每个图像与ｘ轴有几个交点？

一元二次方程ｘ２＋２ｘ＝０，ｘ２－２ｘ＋１＝０有几个根？

验证一下一元二次方程ｘ２－２ｘ＋２＝０有根吗？

二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ的图像和ｘ轴交点的坐标与一元二次方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０的根有什么关系？

并引导学生对二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ的图像和ｘ轴交点的三种情况进行归纳.

　　三、教学反思与小结

　　教学活动是建立在学生对已学函数理解的基础上，通过类比和探索的方式进行的.课堂开始时，对已学过的知识进行复习和总结，然后，给出简单的实际问题.接着笔者进一步将问题引申，加大难度，引出本节课所学习的内容，这一方法旨在激发学生的学习兴趣.通过几个简单的问题，让学生体会两个变量的关系.特别是在创设问题中，教师应重点关注学生是否发现变量，是否注意到取值范围，这个环节中简单问题的设计旨在激发学生的学习欲望.利用图像进行教学，是几何教学的一个重点内容.这个环节教师引导学生小组进行合作探究，在兴趣下去探求真知.本节课学生对二次函数的基本概念、图像有了比较扎实的认识，但是众观整个教学过程，笔者发现还存在不合理的地方，如还缺乏一些生动的教学方式激发学生学习的兴趣，在进行图像的教授过程中，教师可以利用多媒体进行动态的教学，课堂的结尾处教师还缺乏引导学生对二次函数知识的实际运用等.这些还需要教师不断地进行反思与发现，对教学方法进行不断改进与更新. 

《二次函数》复习课教学案例 

教学过程：

一、基础知识之自我构建

师：

今天我们来复习二次函数，先把课本知识归纳部分齐读一遍。

生：

齐读。

师：

现在我把本章知识分类归纳成表格形式，请大家完成填空：

（展示课件）

生：

完成填空。

师:

展示答案.

生:

纠正.

师：

请思考函数y=（x-2）2-1并写出相关结论．同学们比一比，赛一赛，看谁写得多．

生1：

开口向上

生2：

对称轴:

直线x=2

生3：

顶点（2，－1）

生4：

图像是抛物线，且与y轴交点为（0，3）

生5：

抛物线与x轴两交点分别为（1，0）（3，0）

生6：

抛物线与x轴两交点之间距离为2

师归纳：

刚才同学们归纳的结论都正确，可见同学们对二次函数基础知识掌握得还是很到位的．下面老师提出的问题，相信同学们肯定能顺利地解决．

二、基础知识之基础演练

在投影幕上出示一组题目：

1、求将二次函数y=x2-2x图像向右平移1个单位，再向上平移2个单位后得到图像的函数表达式．

2、请写出一个二次函数解析式，使其图像的对称轴为x=1，并且开口向下．

3、请写出一个二次函数解析式，使其图象与x轴的交点坐标为（2，0）、（－1，0）．

4、请写出一个二次函数解析式，使其图象与y轴的交点坐标为（0，2），且图象的对称轴在y轴的右侧．

学生思考3分钟后，教者开始提问

生：

第1题，先求得抛物线的顶点坐标为（1，－1），平移后为（2，1），从而知道后来抛物线解析式为y=x2-4x+5．

生：

第2题，设解析式y=a（x+1）（x-2），其中a≠0

生：

刚才同学答案不对，题中要求写出一个具体的二次函数解析式，不妨设，则解析式为：

y=x2-x-2；当然a可以取一个不等于0的任何实数．

师：

很好，刚才学生做的这道题，我们有什么收获？

生：

要认真审题．

生:

由题意知，设解析式为y=ax2+bx+2，其中a，b异号即可，例如：

，即为y=x2-x-2．

投影幕上再出示第5、6两题：

5、如图,抛物线，

请判断下列各式的符号：

①a＿＿＿0

②b＿＿＿0

③c＿＿0

④b2-4ac＿＿0

6、如图,抛物线,

请判断下列各式的符号：

①abc＿＿0

②2a－b＿＿0

③a+b+c＿＿0

④a－b+c＿＿0

生：

第5题，由图像可知：

抛物线开口向下，故a<0，对称轴x=，故b>0．抛物线与y轴交点（0，c）在y轴正半轴上，故c>0，抛物线与x轴有两交点，故b2-4ac>0．

生：

第6题，由图像可知：

a>0,b>0,c<0，故，对称轴=1，故2a-b<0．横坐标为1的点在第一象限，故a+b+c>0，横坐标为－1的点在第三象限，故a-b+c<0．

师：

刚才两位同学发言很精彩，同学们要不要祝贺他们一下．（学生齐鼓掌）

现在老师要求每名同学都出一道类似第5、6题的题型，然后交给同座同学完成，做完后同座同学之间互相批阅一下．

三、基础知识之灵活运用

投影幕上出示题目，学生先思考，然后教者提问．

1、二次函数y=ax2+bx+c的图象如下图,

则方程ax2+bx+c=0的解为______________；

当x为__________时，a2-4ac>0;

当x为___________时，a2-4ac<0．

2、关于x的一元二次方程x2-x-n=0无实数根，则抛物线y=x2-x-n的顶点在（）

A．第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

3、根据下列表格的对应值：

x

3.23

3.24

3.25

3.26

y=ax2+bx+c

－0.06

－0.02

0.03

0.09

不解方程，试判断方程ax2+bx+c=0（，a，b，c为常数）一个解x的范围是（）

A、3

C、3.24

生：

第1题，二次函数图像与x轴交点横坐标就是令y=0得到一元二次方程的解，从而方程解为x1=-3,x2=1，再由图象可知，当-30时，，当x<-3或x>1时，a2x+bx+c<0．

生：

第2题，由方程无实根说明抛物线与x轴无交点，再根据隐含条件对称轴在y轴右侧，故顶点在第一象限，从而选A．

师：

本课诠释了二次函数与一元二次方程之间的紧密关系，以及数形结合思想的广泛应用．

生：

由图表不难发现，当y=0时，-0.02

从而3.24

师：

刚才这一组题目告诉我们，善于抓住图象、图表特点，充分挖掘题中的隐含条件是解题的关键．

四、难点突破之思维激活

投影幕上出示一组题目：

1、已知抛物线的对称轴为x=2，且经过点（3，0），则a+b+c的值为．

2、已知抛物线经过点A（－2，7），B（6，7），C（3，－8），则该抛物线上纵坐标为－8的另一点坐标是___________．

3、下图是抛物线的一部分，且经过点（－2，0），则下列结论中正确的个数有（）

①a<0;②b<0;③c>0;

④抛物线与x轴的另一个交点坐标可能是（1，0）;

⑤抛物线与x轴的另一个交点坐标可能是（4，0）．

A.2个B.3个C.4个D.5个

生：

第1题，由题意得，由于两个方程中含有三个未知数，故此方程不可解，从而本题不好做．

师：

同学们从抛物线的轴对称性入手，想想看

生：

由对称性可知抛物线与x轴另一交点坐标（1，0），从而．

生：

第2题，由A、B两点纵坐标相等可知A、B两点关于对称轴对称，从而对称轴，又因为C（3，－8），从而另一点就是C点关于直线对称点，即（1，8）．

生：

第3题中我能判断①③对，②错，④⑤无法判断．

师：

谁来帮他一把

生：

由顶点在第一象限可以画出草图，从而判断④肯定错，⑤可能对．从而选B．

五、难点突破之聚焦中考

投影幕上出示题目：

某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，进价是每件80元，售价是每件120元，为了扩大销售，增加盈利，减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫降低1元，商场平均每天可多售出2件，但每件最低价不得低于108元．

⑴若每件衬衫降低x元（x取整数），商场平均每天盈利y元，试写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

⑵每件衬衫降低多少元时，商场每天（平均）盈利最多？

教者让一名学生黑板上板演：

其板演如下：

解：

⑴由于每件衬衫的利润为元，每天销售件数为件，因此其中的整数．

⑵，因此当时，y取最大值，且为1250元．

师：

做完了的同学看黑板上同学做的，看有没有不同意见的．

生：

第

（1）问正确，第

（2）问中顶点横坐标15不在自变量取值范围内，故他求的y的最大值是错误的．正确的解法是当时，y有最大值，且为1232元．

师：

这位同学回答得很到位，做函数类应用题求最值问题时，往往借助顶点坐标来求，但有时由于实际问题实际意义的限制，需结合自变量的取值范围进行调整．

六、反思与提高

1、本节课你印象最深的是什么？

2、通过本节课的函数学习，你认为自己还有哪些地方是需要提高的？

3、在下面的函数学习中，我们还需要注意哪些问题？

生：

1、本节课印象最深的是：

①基础知识很重要

②数形结合思想、化归思想值得重视

③解应用题时，要认真审题，注意题中的隐含条件．

2、就我而言，解题技巧方面需要提高．

3、今后学习中，我需要注意多做、多练、多总结．

师：

老师这里整理了本章知识网络图．从今天复习课中，我们应该悟出：

掌握基础知识的重要性，注意知识综合的灵活性，通过学以致用的体验，让我们感受到数学学习是有趣的、丰富的、有价值的．

教学反思：

本课从“二次函数”基础知识复习入手，以题目训练带动知识点的回顾，从学生的踊跃发言，以及回答问题正确率来看，学生基本功是扎实的，但从能力题、综合题完成情况看，技巧方面、综合运用知识点方面，重要数学思想应用方面还有所欠缺，这就提醒我在今后教学过程中要加强这些方面的训练，能力提升不可能一蹴而就，要平时加强训练、不时渗透．不断让学生体验学以致用，使他们感受到数学学习是有趣的、丰富的、有价值的．

本课存在的不足：

1、“变式训练”不到位，教者应对学生出现的典型错误进行剖析（这点我已做到位），但没能不失时机的进行“变式训练”，从而达到预期目标．

2、班上“后进生”对课堂的参与积极性不是很高，说明教者没能很好调动他们的积极性．