最新高等数学上册期末考试试题含答案QA.docx
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最新高等数学上册期末考试试题含答案QA
2019最新高等数学期末考试试题（含答案）
一、解答题
1．求函数的阶麦克劳林展开式.
解：
60.设在的某区间上，存在有界的二阶导函数.证明：
当在处的增量很小时，用增量比近似一阶导数的近似公式
其绝对误差的量级为，即不超过的常数倍.
证明：
在处泰勒展开式为
则,
又知,故,
即的绝对误差为.
2．求下列函数在[－a，a]上的平均值：
;
解：
（2）
解：
3．把长为10m，宽为6m，高为5m的储水池内盛满的水全部抽出，需做多少功？
解：
如图19，区间[x，x+dx]上的一个薄层水，有微体积dV=10·6·dx
（19）
设水的比重为1，，则将这薄水层吸出池面所作的微功为
dw=x·60gdx=60gxdx．
于是将水全部抽出所作功为
．
4．求下列各曲线所围成图形的公共部分的面积：
（1）r=a（1+cosθ）及r=2acosθ;
解：
由图11知，两曲线围成图形的公共部分为半径为a的圆，故D=πa2．
（11）
（2）及．
解：
如图12，解方程组
得cosθ=0或,
即或．
（12）
．
5．证明下列等式：
（a为正常数）；
证明：
左右
所以，等式成立.
（2）若，则.
证明：
左.
所以，等式成立.
6．a,b,c取何实数值才能使成立.
解：
因为时，而该极限又存在，故b=0.用洛必达法则，有
所以
或.
7．计算下列定积分：
解：
原式.
;
解：
原式
其中
解：
原式
解：
原式
解：
原式
8．问a，b为何值时，点（1，3）为曲线y=ax3+bx2的拐点？
解：
y′=3ax2+2bx,y″=6ax+2b
依题意有
解得.
9．求下列函数的最大值、最小值：
；
解：
y的定义域为，，得唯一驻点x=－3
且当时，，y单调递减；当时，，y单调递增,
因此x=－3为y的最小值点，最小值为f（－3）=27.
又，故f（x）无最大值.
；
解：
，在上得唯一驻点，
又,
故函数在[－5，1]上的最大值为，最小值为.
.
解：
函数在（－1，3）中仅有两个驻点x=0及x=2，
而y（－1）=－5，y（0）=2，y
（2）=－14，y（3）=11,
故在[－1，3]上，函数的最大值是11，最小值为－14.
10．证明下列不等式:
（1）当时，
证明:
令则,
当时，为严格单调增加的函数，故,
即
（2）当时，
证明:
令,则,
则为严格单调减少的函数,故,即为严格单调减少的函数,从而,即
11．确定下列函数的单调区间：
（1）；
解：
所给函数在定义域内连续、可导，且
可得函数的两个驻点：
在内，分别取+，–，+号，故知函数在内单调增加，在内单调减少.
（2）；
解:
函数有一个间断点在定义域外，在定义域内处处可导，且，则函数有驻点，在部分区间内，；在内>0，故知函数在内单调增加，而在内单调减少.
（3）；
解:
函数定义域为，,故函数在上单调增加.
（4）；
解:
函数定义域为,，则函数有驻点:
在内，，函数单调减少；在内，，函数单调增加.
（5）；
解:
函数定义域为，
函数的驻点为,在上，函数单调增加；在上，函数单调减少.
（6）；
解:
函数定义域为,
1）当时，，则
；
.
2）当时，，则
.
综上所述，函数单调增加区间为，
函数单调减少区间为.
（7）.
解:
函数定义域为.
函数驻点为,
在内，,函数单调增加，
在上，,函数单调减少，
在上，,函数单调增加，
在内，,函数单调增加.
故函数的单调区间为:
，，.
12．函数的导函数有几个零点？
各位于哪个区间内？
解：
因为，则分别在[－2，－1]，[－1，0]，[0，1]，[1，2]上应用罗尔定理，有使得.因此，至少有4个零点，且分别位于内.
13．计算正弦曲线y=sinx上点处的曲率.
解：
.
当时，，
故
14．用比值判别法判别下列级数的敛散性：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）
解：
（1），，
由比值审敛法知，级数收敛．
（2）
所以原级数发散．
（3）
所以原级数发散．
（4）
故原级数收敛．
15．计算的近似值，使误差不超过.
解：
16．求下列函数的定义域
解:
（1）要使函数有意义,必须
即
所以函数的定义域是.
（2）要使函数有意义,必须
即
所以函数的定义域是[-3,0）∪（0,1）.
（3）要使函数有意义,必须
即
所以函数的定义域是.
（4）要使函数有意义,必须
即
即或,（k为整数）.
也即（k为整数）.
所以函数的定义域是,k为整数.
17．求下列函数在处的三阶泰勒展开式：
⑴⑵
解：
⑴
所以
故
⑵
18．设函数在上连续，在内可导，且试证：
.
证明：
.
19．用对数求导法求下列函数的导数：
⑴
解：
⑵
解：
⑶
解：
20．求函数的反函数的导数.
解：
故反函数的导数为：
.
21．证明：
双曲线上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于.
证明：
在双曲线上任取一点
则，
则过点的切线方程为：
令
得切线与x轴的交点为，
令
得切线与y轴的交点为，
故
22．设函数
为了使函数在点处连续且可导，应取什么值？
解：
因
要使在处连续，则有
又
要使在处可导，则必须，
即故当时，在处连续且可导.
23．设，求.
解：
，故.
24．怎样选取a,b的值，使f（x）在（－∞,+∞）上连续？
解：
（1）在上显然连续，而
且,
∴当，即时，在处连续，所以，当时，在上连续.
（2）在内显然连续.而
∴当，即时，在处连续，因而在上连续.
25．利用单调有界准则证明下列数列有极限,并求其极限值:
证:
（1）,不妨设,则
.
故对所有正整数n有,即数列有上界.
又
显然有,又由得,从而即,
即数列是单调递增的.
由极限的单调有界准则知,数列有极限.
设,则,于是,（不合题意,舍去）,.
（2）因为,且,
所以,即数列有界
又
由知与同号，
从而可推得与同号，
而
故,即
所以数列单调递增，由单调有界准则知，的极限存在.
设,则，
解得（不合题意，舍去）.
所以
26．证明:
证:
（1）由得
解方程得,
因为,所以,
所以的反函数是
（2）由得,得;
又由得,
所以函数的反函数为
27．下列函数是由哪些基本初等函数复合而成的?
解:
（1）是由复合而成.
（2）是由复合而成.
（3）是由复合而成.
（4）是由复合而成.
28．已知水渠的横断面为等腰梯形,斜角=40°,如图所示.当过水断面ABCD的面积为定值S0时,求湿周L（L=AB+BC+CD）与水深h之间的函数关系式,并指明其定义域.
图1-1
解:
从而.
由得定义域为.
29．邮局规定国内的平信,每20g付邮资0.80元,不足20g按20g计算,信件重量不得超过2kg,试确定邮资y与重量x的关系.
解:
当x能被20整除,即时,邮资;
当x不能被20整除时,即时,由题意知邮资.
综上所述有
其中,分别表示不超过,的最大整数.
30．球的半径以速率v改变，球的体积与表面积以怎样的速率改变？
解：
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、解答题
1．无
2．无
3．无
4．无
5．无
6．无
7．无
8．无
9．无
10．无
11．无
12．无
13．无
14．无
15．无
16．无
17．无
18．无
19．无
20．无
21．无
22．无
23．无
24．无
25．无
26．无
27．无
28．无
29．无
30．无
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