第二章函数.docx

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第二章函数

学习本章应该注意的问题是强化对概念的理解，特别是映射的概念和函数的概念，对它们的正确理解，是学习好本章的重要基础。

了解常用函数的“模型”，掌握它们的几何特征，明确每一个函数可以有几种表示方法。

对数函数的定义域、指数函数的值域是我们做题中容易出错的地方，也是题目中隐含条件设置最多的地方，须要引起注意的。

【例1】函数y=x2+1的值域是集合M，函数y=

的定义域是N，全集U=R，则集合M∪∁RN=（）。

（A）（-∞，-2）∪[1，+∞）

（B）[1，+∞）

（C）（-∞，-2）∪（1，+∞）

（D）[-2，+∞）

【常见错解】

函数y=x2+1的值域是集合M=[1，

，

函数y=

的定义域是N=[-2，2]，

所以∁RN=

，

于是M∪∁RN=[1，+

∪

=

所以选（C）。

【诊断分析】

本题的错误是在求补集时出错，之后是求并集结果出错，这两点都是数学解题时的常见错误，N的补集是指全集中不属于N的所有元素构成的集合，显然N中包含两个元素-2和+2，那么在N的补集中就不应该含有-2和+2，这一点体现了对补集的概念理解的不够准确，另一方面，并集是指几个集合的所有元素构成的集合，在错解中，原来的有1，第二步却无缘无故地给丢掉了，这是错误的。

【正确解答】

函数y=x2+1的值域是集合M=[1，

，函数y=

的定义域是N=[-2，2]。

所以∁RN=

，

于是M∪∁RN=[1，+

∪

=

。

于是选（A）。

【例2】判断下列各图表示的对应是不是集合A到集合B的映射，为什么？

【常见错解】

（1）、

（2）、（3）、（4）均是映射。

【诊断分析】

（1）、

（2）是映射是正确的。

（3）、（4）是映射是错误的。

在映射的概念里边我们可以看出，如果A到B存在映射关系，那么A中的元素是不可剩的，而B中的元素却是可剩的；另一方面，从A到B可以是一对一，也可以是多对一，是不可以一对多的。

在（3）中，集合A中的a3通过对应法则在集合B中有两个元素b1和b4对应，这是不符合映射的概念的。

在（4）中对应集合A中的元素a4在B中没有元素和它对应，这也是不符合映射的概念的，所以认为（3）、（4）是映射的观点是错误的。

【正确解答】

（1）、

（2）是映射，（3）、（4）不是映射。

原因是在

（1）、

（2）中，对于集合A中的任意一个元素，通过对应法则，在B中都有唯一一个元素和它对应，符合映射的概念。

在（3）中，集合A中的a3通过对应法则在集合B中有两个元素b1和b4对应，这是不符合映射的概念的。

在（4）中对应集合A中的元素a4在B中没有元素和它对应，这也是不符合映射的概念的，所以（3）、（4）不是映射。

【例3】下列四组中的函数f（x）、g（x），表示同一函数的是（）。

（A）f（x）=1，g（x）=x0

（B）f（x）=x，g（x）=

（C）f（x）=x2，g（x）=

（D）f（x）=x3，g（x）=

【常见错解】

选（A）、（B）、（C）。

【诊断分析】

两个函数相同，要具备的条件有3个，一是函数的定义域相同，二是值域相同，三是对应法则相同。

对于（A）来说，在f（x）中，对于任意的x值都对应于1，从映射的角度来说是属于多对一，定义域是全体实数，在g（x）中，00是没有意义的，初中教材中明确规定着:

“任何不等于零的数的零次方等于1”，从映射的角度来说，也是多对一，但是它的定义域里却没有零，这比f（x）的定义域明显地少了一个0，定义域不同，所以它们不是相同的函数。

对于（B）来说，函数f（x）的定义域是R，函数g（x）=

的定义是

，明显的是定义域不同，它们不是相同的函数。

对于（C）来说，f（x）=x2的定义域是R，g（x）=

的定义域是[0，+

，定义域不同，也不是相同的函数。

【正确解答】

在（D）中，g（x）=

=

=x3=f（x）

这两者的定义域相同，值域相同，对应法则也相同，所以它们是相同的函数，所以选（D）。

【例4】画出下列函数的图象。

（1）f（x）=x+2,（x∈Z，且|x|≤3）

（2）f（x）=3x-5,x∈

【常见错解】

函数图象如图所示。

【诊断分析】

在f（x）=x+2中忽视了x∈Z这个条件；

在f（x）=3x-5中忽视了x∈

这个条件。

数学解题中最忌讳的就是有的已知条件用不上，用不上x∈Z，就把一些离散的点画成了线；x∈

是说明在函数的图象中不应该包含x=2这个点，而应该包含x=4这个点，数学做题无小事!

【正确解答】

【例5】在同一坐标系中画出下列函数的图象。

（1）

y=1-|x|

（2）y=1-

|x|

（3）y=1-2|x|

【常见错解】

函数的图象如图所示。

【诊断分析】

本题的错误在于它忽视了绝对值符号的作用，数学做题必须重视绝对值的概念，一个正数的绝对值等于它的本身，一个负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值还是零。

正如我们遇到分数一样，我们作的工作，首先是通分，或者说是去掉分数线，遇到根号也要先去掉根号一样，有了绝对值的符号也要先去掉绝对值的符号，它的办法就是根据绝对值的概念，对于

（1）中的函数来说，相当于：

y=1-|x|=

另外两个函数也是这样，它们的图象是一条折线，而不是一条直线。

这道题告诉我们，做题和做事一样，要实事求是，不能想当然，一步一个脚印，这样才能学好数学。

【正确解答】

y=1-|x|=

y=1-

|x|=

y=1-2|x|=

它们的图象都是一条折线，如图所示。

【例6】画出下列函数图象。

（1）F（x）=

（2）G（n）=3n+1，n∈｛1，2，3｝

【常见错解】

函数图象如图所示。

图象

（1）是两条射线。

图象

（2）是一条直线。

【错因分析】

对于第一个函数图象来说，存在着两点错误，一是第二条射线不该含有点（0，1），二是它的纵坐标轴不是y轴，而应该是F（x）轴；对于第二个函数来说，也存在着两点错误，一个是它的定义域是｛1，2，3｝，它的图象是三个离散的点，不该是一条直线，二是它的横、纵坐标轴不是x轴、y轴，而应该是n轴和G（n）轴。

【正确解答】

函数的图象如图所示。

【例7】判断函数f（x）=-x3+1在

上是增函数还是减函数，并证明你的判断，如果x

，函数是增函数还是减函数？

【常见错解】

函数f（x）=-x3+1在

上是减函数。

证明如下:

设0

则f（x1）-f（x2）=（-x13+1）-（-x23+1）

=x23-x13

因为0

所以x23>x13，即x23-x13>0

于是f（x1）>f（x2）

所以函数是减函数。

如果x

，那么函数还是减函数。

【诊断分析】

本题的结论是正确的，但是证明过程缺乏足够的理由，由于0x13是没有道理的。

【正确解答】

函数f（x）=-x3+1在

上是减函数。

证明如下:

设0

则f（x1）-f（x2）=（-x13+1）-（-x23+1）

=x23-x13

=（x2-x1）（x22+x2x1+x12）

=（x2-x1）

因为00,而）

>0是显然的。

于是f（x1）>f（x2）

所以函数是减函数。

如果x

，那么函数还是减函数。

【例8】求y=x2（x≤0）的反函数。

【常见错解】

由y=x2解得x=

所以原函数的反函数是y=

【诊断分析】

本题的错有两点:

（1）是由y=x2解得x=

是错误的，原因是没有利用x≤0这个条件。

（2）是求出反函数之后，没有注明它的定义域。

【正确解答】

由y=x2解得x=

而x≤0，所以x=-

.

又x2=y≥0，所以原函数的反函数是y=

（x≥0）。

【例9】在同一坐标系中，函数y=f（x）与函数x=f-1（y）的图象有什么关系?

【常见错解】

在同一坐标系中，函数y=f（x）与函数x=f-1（y）的图象关系是关于直线y=x对称。

【诊断分析】

一个命题如果有100种可能，100种可能都是正确的，那么这个命题是真命题，但是如果有99种可能是正确的，只有一种可能是错误的，那么这个命题也是假命题。

我们只须举出一个反例即可。

例如:

函数y=3x-1,它是一个很简单的函数，这里

y=f（x）

y=3x-1

x=f-1（y）

x=

从映射的角度来看，它只不过是把谁来当原像的问题，前者x是原像，y是像，而后者y是原像，x是像，我们不妨从下面的图中看出它们的关系。

【正确解答】

函数y=f（x）的解析式与函数

x=f-1（y）的解析式是等价变式，

只不过是结构不同罢了，所以

这两个函数的图象是相同的。

【例10】求

（a

【常见错解】

=a-b

【诊断分析】

本题错误的原因是对绝对值的概念理解的不够深刻，一个正数的绝对值是它的本身，一个负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值还是零。

同时对教材也不够熟习，新教材第71页明确指出:

当n为奇数时，

;

当n为偶数时，

作为本题来说，因为a

=a-b<0，这可能的，偶次方根非负的。

【正确解答】

因为a

所以

=|a-b|=b-a.

【例11】已知x+x-1=3,求

的值。

【常见错解】

因为（

）2=x+x-1+2x·x-1=3+2=5

所以

=

。

【诊断分析】

本题的隐含条件是x+x-1=3中的x>0,这是很显然的，题中的x和x-1即x和

是同号的，它们的和是3，则必然有x>0,于是

就不可能是

。

【正确解答】

因为（

）2=x+x-1+2x·x-1=3+2=5

所以

=

。

而x和x-1是同号的，

就不可能是

。

所以

=

。

【例12】试确定A=｛x|x=a2+1，a∈N｝与B=｛y|y=b2-4b+5,b∈N｝之间的关系。

【常见错解】

∵在A中x=a2+1≥2

在B中y=b2-4b+5=（b-2）2+1≥1

∴B⊆A

【诊断分析】

在A中，0也是自然数，严格地说a≥0，所以有x≥1。

0是自然数，这是一次观念性的更新，要重视这个结论。

【正确解答】

在A中因a≥0，所以x≥1；

在B中因y=b2-4b+5=（b-2）2+1≥1

所以A=B。

【例13】设集合A=｛x|x2+（p+2）x+1=0,x∈R｝A∩R+=∅，求p的范围。

【常见错解】

∵A∩R+=∅

∴只须方程x2+（p+2）x+1=0没有正实数根即可，设方程的两个根分别为x1、x2,由于x1x2=1,故x1、x2都不为零。

于是就有:

∴p≥0

【诊断分析】

上述解法的错误在于没有正确地理解A∩R+=∅这个条件，它是说方程没有根或是方程没有正根，就是∅∩R+=∅，或是∁RR+∩R+=∅，这一点是十分重要的，忽视不得。

【正确解答】

∵A∩R+=∅

∴

（1）方程没有实数根，∆=（p+2）2-4<0

即-4

只须方程x2+（p+2）x+1=0没有正实数根即可，设方程的两个根分别为x1、x2,由于x1x2=1,故x1、x2都不为零。

于是就有:

∴p≥0

综上所述，若A∩R+=∅，则p∈（-4，+∞）

【例14】设y+b=k（x+a）,a、b是常数，如果x=3时，y=5,x=2时y=2,试求出表示y关于x的函数关系式。

【常见错解】

根据题意由y+b=k（x+a）,（k≠0）得

y=kx+ka-b,进一步可得:

故y与x的函数关系是y=3