小升初必会的知识.docx
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小升初必会的知识
小升初必会的知识
一、数的概念
1．数的改写和求近似数
（1）改写（数的大小不变）
用“万”做单位：
去掉后面的4个0或从个位起数4位点上小数点，在后面添一个“万”字；用“亿”做单位：
去掉后面的8个0或从个位起数8位点上小数点，在后面添一个“亿”字。
（2）近似数（数的大小改变）
用“四舍五入”法，把一个较大的数，省略万位或亿位后面的尾数，用一个近似数来表示。
例如：
1302490015省略亿后面的尾数就是13亿。
（3）完全平方数
一个数如果是另一个整数的完全平方，则称这个数为完全平方数，也叫做平方数。
性质1：
完全平方数的末位数只能是0，1，4，5，6，9。
性质2：
奇数的平方数个位数字为奇数，十位数字为偶数。
性质3：
如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之如果一个完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数。
2．分数的基本性质
分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。
3．数的大小比较
（1）整数大小的比较：
整数大小的比较，位数多的数大；如果位数相同，就看最高位，最高位大的那个数大；如果最高位数字相同，就看次高位。
（2）小数大小的比较：
先看整数部分，整数部分大的那个数就大；如果整数部分相同，那就从十分位进行比较，十分位上大的数字大；如果十分位也相同，则比较百分位，依次类推。
（3）分数大小的比较：
分母相同的分数，分子大的数就比较大；如果分子相同，则分母小的数比较大；分子和分母都不相同时，先通分，再比较两个分数的大小。
特别地，有几类不同的数进行大小比较时，先化成小数，比较好些。
（4）
4．数的整除
（1）整除的意义
整数a（被除数）除以整数b（除数）（b≠0，即0不能做除数），得数（商）如果是整数没有余数，就称a能被b整除，或者b能整除a。
注意：
除和除以的含义相反。
如6÷3=2，可以称为是6除以3先于或3除6等于2。
（2）能被一些常见数整除数的特征
能被2整除：
个位上的数是偶数，即0、2、4、6、8。
能被5整除：
个位上的数是0或5。
能被3整除：
各位上的数字之和能被3整除。
能被9整除：
各位上的数字之和能被9整除。
能被4整除：
数的后两位能被4整除。
能被25整除：
数的后两位能被25整除。
能被8整除：
数的后三位能被8整除。
能被125整除：
数的后三位能被125整除。
能被7整除：
后三位所组成的数与后三位之前所组成的数的差能被7整除；逐次去掉最后一个数字并减去末位数字的2倍后能被7整除。
能被11整除：
后三位所组成的数与后三位之前所组成的数的差能被11整除；奇数位上数字之和与偶数位上数字之和的差能被11整除；逐次去掉最后一个数字并减去末位数字后能被7整除。
能被13整除：
后三位所组成的数与后三位之前所组成的数的差能被13整除；逐次去掉最后一个数字并减去末位数字的9倍后能被13整除。
（3）分解质因数
把一个合数写成几个质数相乘的形式叫做分解质因数。
通常用短除法。
分解质因数常用来求最大公约数和最小公倍数。
（4）最大公约数
求几个数的最大公约数的方法，先把这些数的公约数连续去除，一直到所得的商只有公约数1时为止，然后把所有的除数连乘求积，积就是这些数的最大公约数。
（5）最小公倍数
先用这些数（或部分）的公约数去除，一直除到互质（两两互质）为止，然后把所有的除数和商连乘求积，则积就是这些数的最小公倍数。
（6）“0”
“0”是一个数；是一个偶数；是任何自然数（0除外）的倍数；0不能做除数；0是中性数；0可以用来占位。
（7）互质数
1和任何自然数互质；相邻的两个自然数互质；当合数不是质数的倍数时，这个合数与岳数互质；两个合数的公约数是1，这两个合数互质。
（8）约分和通分
约分的方法：
用分子和分母的公约数（1除外）去除公子、分母；通常要除到得出最简分数为止。
通分的方法：
先求出原来几个分数分母的最小公倍数，然后把各分数化成最小公倍数作分母的分数。
（9）余数的妙用
一个数除以多个数，得不同的余数。
凑“多”相同，即把余数处理成相同。
条件：
余数与除数的和相同。
凑“缺”相同，即把余数处理成缺的数字相同。
条件：
余数与除数的差相同。
5．比和比例
（1）比的概念
两个数相乘又叫做两个数的比。
（2）比的基本性质
比的前项和后项同乘以或除以相同的数（0除外），比的大小不变。
（3）比例的概念
表示两个比相等的式了叫做比例。
组成比例的四个项叫做比例的项。
两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项。
（4）比例的基本性质
在比例里，两外项之积等于两内项之积。
（5）按比例分配问题
从条件看，已知总量和几个部分量的比；从问题看，求几个部分量各是多少。
总份数=比例前后项之和。
（6）正比例
两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随之变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做正比例的量，它们的关系就是正比例关系。
（7）反比例
两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随之变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做反比例的量，它们的关系就是反比例关系。
（8）比例尺
一幅图的图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。
比例尺=图文距离÷实际距离
6．正负数
正负数是一个相对的概念，并且表示在一个环境中成对出现的两个具有相反意义的量。
7．数的奇偶性
奇数+奇数=偶数，偶数+偶数=偶数，奇数+偶数=奇数
奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数，奇数×偶数=偶数
8．众数、中位数、平均数
众数：
一组数据中出现次数最多的那个数据，叫做这组数据的众数。
中位数：
把n个数按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数叫做这组数的中位数。
平均数：
是反映一组数据中所有数之和再除以数据的个数。
平均数、众数和中位数都是用来刻划数据平均水平的统计量。
其中平均数可以利用所有数据的特征，而且比较好算；中位数刻划了一组数据的中等水平；众数刻划了一组数据中出现次数最多的情况。
9．九宫格口诀
2、4为肩，6、8为足，上9下1，左7右3。
二、计算
1．四则运算的运算定律和公式
（1）四则运算的运算顺序
只有加减法运算的算式，按从左到右的顺序计算；
只有乘除法运算的算式，按从左到右的顺序计算；
既有加减法又有乘除法运算的算式，要先算乘除法，再算加减法；
如果有括号的算式，要先算括号里面的。
（2）运算定律和公式
加法交换律：
a+b=b+a
加法结合律：
a+b+c=（a+b）+c=a+（b+c）
减法的性质：
a-（b+c）=a-b-c
乘法交换律：
ab=ba
乘法结合律：
a·b·c=（a·b）·c=a·（b·c）
乘法分配律：
（a+b）·c=a·c+b·c
除法运算性质：
（a+b）÷c=a÷c+b÷c
特别地：
等差数列求和=（首项+末项）×项数÷2（即梯形公式）
裂项公式（分数串求和）：
；
；
；
平方差公式：
2．新定义的运算
（1）基本概念
定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。
（2）基本思路
严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转换成加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。
（3）关键问题
正确理解定义的运算符号的意义。
（4）注意事项
新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序；每个新定义的运算符号只能在本题中使用。
3．解方程
应用徒工的性质或加减乘除各部分间的关系解方程。
4．求比例
用比的前项除以后项，它的结果是一个数值，可以是整数，也可以是小数或分数。
5．化简比
根据比的基本性质可以把比化成最简单的整数比。
这的结果必须是一个最简化，即前、后项是互质的数。
6．解比例
根据比例的基本性质，如果已知比例中的任意三项。
就可以求出这个比例中的另一个未知数。
求比例中的未知项，就是解比例。
三、几何图形
1．图形的概念
（1）直线
没有端点，可以向两端无限延伸。
（2）射线
只有一个端点，可以向一端无限延伸。
（3）线段
有两个端点。
射线和线段都是直线的一部分。
（4）平行线
在同一平面内永不相交的两条直线叫做平行线。
（5）垂线
两条直线相交，夹角是直角，就说这两条直线垂直。
其中一条直线叫做另一条直线的垂线，交点叫做垂足。
从直线外一点到直线所画的线段中，垂线最短。
（6）角
从同一端点引出的两条射线组成的图形叫做角。
这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的两条边。
角的大小与边的长短没有关系，而取决于两条边张开的程度，张开的越大，角就越大，张开的越小，角则越小。
小于90度的角称为锐角，等于90度的角称为直角，大于90度而小于180度的称为钝角，等于180度的角称为平角，等于360度的角称为周角。
数角的规律：
总数=1+2+3+……+（射线数-1）
同样，数线段的规律：
总数=1+2+3+……+（端点数-1）
（7）三角形三边的关系
在三角形中，任何两边的和大于第三边；任何两边的差小于第三边。
2．图形的计算公式
（1）周长
长方形的周长=（长+宽）×2，c=（a+b）×2
正方形的周长=边长×4，c=4a
圆的周长=直径×π，c=πd=2πr
（2）面积
三角形的面积=底×高÷2S=a×b÷2
正方形的面积=边长×边长S=a×a
长方形的面积=长×宽S=a×b
平行四边形的面积=底×高S=a×h
梯形的面积=（上底+下底）×高÷2S=（a+b）×h÷2
圆面积=半径×半径×π，S=
扇形面积=
（3）体积
正方体的体积=棱长×棱长×棱长，V=a×a×a
长方体的体积=底面积×高，V=abh
圆柱的体积=底面积×高，V=Sh
圆锥的体积=底面积×高÷3，V=Sh/3
球体积=半径×半径×半径×π×4÷3，V=4πr3/3
（4）立体图形的侧面积、表面积
长方体的表面积=（长×宽+宽×高+长×高）×2，S=2（ab+bc+ca）
正方体的表面积=棱长×棱长×6，S=6a2
球的表面积=半径×半径×π×4，S=4πr2
圆柱体的表面积=底面周长×高+2×底面积，S=2πrh+2πr2
圆柱的侧面积=底面周长×高，S=2πrh
（5）三角形的内角和
三角形的内角和=180度
（6）勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边长的平方。
勾三股四弦五。
3．图形的变换
（1）轴对称图形
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形。
这条直线就叫做对称轴。
也称图形关于这条直线（成轴）对称。
（2）平移
就是物体沿直线无能运动。
（3）旋转
就是物体绕着某一点或轴运动。
（4）图形的放大或缩小
利用方格纸等形式按一定的比例癣简单图形放大或缩小。
4．图形的位置
确定物体的相对位置，辨认方向和使用线路图（包括比例尺的应用）。
位置可以用“上、下、前、后、左、右”表示；用“东、南、西、北、东南、西南、东北、西北”表示；用“数对”表示，此时，第一个数表示第几列，第二个数表示第几行；用“方向+距离”表示。
四、解决问题
1．归一问题
（1）数量关系
总量÷份数=1份数量
1份数量×所占份数=所求几份的数量
另一总量÷（总量÷份数）=所求份数
（2）解决方法
先求出单一量，以单一量为标准，求出所要求的数量。
2．归总问题
（1）数量关系
1份数量×份数=总量
总量÷1份数量=份数
总量÷另一份数=另一每份数量
（2）解决方法
先求出总量，再根据题意得出所求的数量。
3．和差问题
（1）数量关系
大数=（和+差）÷2；
小数=（和-差）÷2
（2）解决方法
简单的题目直接用公式，复杂的题目变通后用公式。
4．和倍问题
（1）数量关系
总和÷（倍数+1）=较小的数；
总和-较小的数=较大的数；
较小的数×倍数=较大的数。
（2）解决方法
简单的题目直接用公式，复杂的题目变通后用公式。
5．差倍问题
（1）数量关系
两个数的差÷（倍数-1）=较小的数；
较小的数×倍数=较大的数。
（2）解决方法
简单的题目直接用公式，复杂的题目变通后用公式。
6．年龄问题
（1）数量关系
年龄问题往往与和差、和倍、差倍问题有密切关系的，尤其与差倍问题的解题思路是一致的，要紧紧抓住“年龄的差不变”这个特点。
（2）解决方法
可以利用差倍问题的解题思路和方法。
7．倍比问题
（1）数量关系
总量÷一个数量=倍数；
另一个数量×倍数=另一总量。
（2）解决方法
不熟出倍数，再用倍比关系求出要求的数。
8．平均数问题
（1）数量关系
平均数=总数量÷总份数；
总数量=平均数×总份数；
总份数=总数量÷平均数；
平均数=基准数+每一个数与基准数的差的和＋总份数。
9．行程问题
（1）相遇问题
数量关系：
相遇时间=总路程÷（甲速+乙速）；总路程=相遇时间×（甲速+乙速）。
解决方法：
简单的题目直接用公式，复杂的题目变通后用公式。
（2）追击问题
数量关系：
追击时间=追击路程÷（快速-慢速）；追击路程=追击时间×（快速-慢速）。
（3）行船问题
数量关系：
（顺水速度+逆水速度）÷2=船速；（顺水速度-逆水速度）÷2=水速；顺水速度=船速×2-逆水速度=逆水速度+水速×2；逆水速度=船速×2-顺水速度=-顺水速度-水速×2。
（4）列车问题
数量关系：
火车过桥：
过桥时间=（车长+桥长）÷车速
火车追击：
追击时间=（甲车长+乙车长+距离）÷（甲车速-乙车速）
火车相遇：
相遇时间=（甲车长+乙车长+距离）÷（甲车速+乙车速）
（5）时钟问题
数量关系：
分针的速度是时针的12倍；二者的速度差是11/12；时针每分钟走过0.5度，分针每分钟走过6度。
解决方法：
通常按追击问题来对待，也可发按差倍问题来计算。
将时钟问题变通为“追击问题”后可以直接利用公式。
10．植树问题
（1）数量关系
线性植树：
棵数=距离÷棵距+1
环形植树：
棵数=距离÷棵距
方形植树：
棵数=距离÷棵距-4
三角形植树：
棵数=距离÷棵距-3
面积植树：
棵数=面积÷（棵距+行距）
（2）解决方法
先弄清楚植树问题的类型，然后可以利用公式。
大多数情况可以直接利用数量关系的公式。
11．盈亏问题
（1）数量关系
一般来说，在再次分配中，一次盈一次亏，则有：
参加分配总人数=（盈+亏）÷分配差；
如果再次都盈或都亏，则有：
参加分配总人数=（大盈-小盈）÷分配差，参加分配总人数=（大亏-小亏）÷分配差。
（2）解决方法
大多数情况可以直接利用数量关系的公式。
12．重叠问题
（1）数量关系
容斥原理：
A∪B∪C=A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C。
13．工程问题
（1）数量关系
解答工程问题的关键是把工程总量看成“1”，这样，工作效率就是工作时间的倒数（它表示单位时间内完成工作总量的几分之几），进而就可以根据工作量、工作效率、工作时间三者之间的关系列出算式。
工作量=工作效率×工作时间；
工作时间=工作量÷工作效率；
工作时间=总工作量÷（甲工作效率+乙工作效率）。
（2）解决方法
变通后可以直接利用上述关系公式。
特别地，对于注（排）水问题，注水和排水均相当于一项工程，水的流量就是工作量，单位时间的水流量就是工作效率。
14．正反比例问题
（1）数量关系
判断正比例或反比例关系是解这类问题的关键。
许多典型应用题都可以转换成正反比例问题去解决，而且比较简捷。
（2）解决方法
把分率（倍率）转换成比，应用比和比例的性质去解应用题。
正反比例的问题与倍比问题基本类似。
15．按比例分配问题
（1）数量关系
从条件看，已知总量和几个部分量的比；从问题看，求几个部分量各是多少。
总份数=比例前后项之和。
（2）解决方法
先把各部分量的比转化为各占总量的几分之几，把比的前后项相加求出总份数，再求各部分占总量的几分之几（以总份数作分母，比的前后项分别作分子），再按照求一个数的几分之几是多少的计算方法，分别求出各部分量的值。
16．分数（百分数）问题
（1）数量关系
分数（百分数）=比较量÷标准量；
标准量=比较量÷分数（百分数）。
（2）解决方法
一般有三种类型：
求一个数是另一个数的几（百）分之几；已知一个数，求它的几（百）分之几是多少；已知一个数的几（百）分之几是多少，求这个数。
17．商品利润问题
（1）数量关系
利润=售价-进货价；
利润率=（售价-进货价）÷进货价×100%；
售价=进货价×（1+利润率）；
亏损=进货价-售价；
亏损率=（进货价-售价）÷进货价×100%。
（2）解决方法
直接或变通后使用公式。
18．存款利率问题
问题是指把钱存入银行是有一定利息的，利息是多少，与本金、利率、存期这研修因素有关。
利率一般有年利率和月利率两种。
年利率是指存期一年本金所生利息占本金的百分数；月利率是指存期为一个月所生利息占本金的百分数。
（1）数量关系
年（月）利率=利息÷本金÷存款年（月）数×100%；
利息=本金×存款年（月）数×年（月）利率；
本利和=本金+利息=本金×（1+年（月）利率）×存款年（月）数
（2）解决方法
直接或变通后使用公式。
19．溶液浓度问题
问题是指溶剂（水或其它溶液）、溶质、溶液、浓度这几个量间的关系。
溶质在溶液中所占的百分数叫做浓度，也叼百分比浓度。
（1）数量关系
溶液=溶剂+溶质；
浓度=溶质÷溶液×100%。
（2）解决方法
直接或变通后使用公式。
20．百分数问题
百分数双叫百分率，百分率在工业生产中应用很广泛，常见的有：
增长率=增长数÷原来基数×100%；
合格率=合格产品数÷产品总数×100%；
出勤率=实际出勤人数÷应出勤人数×100%；
缺席率=缺席人数÷实有总人数×100%；
发芽率=发芽种子数÷试验种子总数×100%；
成活率=成活棵数÷种植总棵数×100%；
出粉率=面粉重量÷小麦重量×100%；
出油率=油的重量÷油料重量×100%；
废品率=废品数量÷全部产品数量×100%；
命中率=命中次数÷总次数×100%；
烘干率=烘干后重量÷烘前重量×100%；
及格率=及格人数÷参加考试人数×100%
21．折扣和成数问题
几折就是十分之几（成分之几十）；
几成就是十分之几（成分之几十）。
22．牛吃草问题
该问题是牛顿提出的，也叫牛顿问题。
其特点是要考虑草边吃边长这个因素，动态地分析、处理问题。
（1）数量关系
草总量=原有草量+草每天生长量×天数。
（2）解决方法
关键是求出草每天的生长量。
23．鸡兔同笼问题
这是古典数学问题。
已知笼子中有鸡和兔子及其它们的头数和脚数，求鸡、兔各多少只，这是第一类鸡兔同笼问题；已知鸡兔的总数和鸡腿与兔子腿的差，求鸡、兔各多少只，这是第二类鸡兔同笼问题。
（1）数量关系
第一类：
假设全是鸡，兔数=（实际脚数-2×鸡兔总数）÷（4-2）；假设全是兔子，鸡数=（4×鸡兔总数-实际脚数）÷（4-2）。
第二类：
假设全是鸡，兔数=（2×鸡兔总数-鸡与兔脚之差）÷（4+2）；假设全是兔子，鸡数=（4×鸡兔总数+鸡与兔脚之差）÷（4+2）。
（2）解决方法
一般使用假设法。
可以假设全是兔子，也可以假设全是鸡。
如果假设全是鸡，则以兔换鸡；如果假设的全是兔子，则以鸡换兔。
这类问题也叫转换问题。
24．公约公倍问题
需要用公约数、公倍数解决的问题叫做公约、公倍问题。
（1）数量关系
最大公约数和最小公倍数。
（2）解决方法
先确定题目中要用最大公约数还是最小公倍数，再求出答案。
常用“短除法”求最大公约数和最小公倍数。
25．列方程问题
把应用题中的未知数用X表示，根据等量关系列出含有未知数的等式，即方程通过解方程得到应用题的答案。
（1）数量关系
方程等号两边数量相等。
26．看图找关系问题
结合生活实际，能从图中分析出某种量之间和关系，并能用自己的语言进行表达。
体会图对刻画事物或数之间关系的作用，能分析一些简单的关系。
（2）解决方法
确定横轴和纵轴所表示的两个量之间的关系。
27．方阵问题
将若干人或物依一定条件排成正方形（简称方阵），根据已知条件求总人数或总物数。
（1）数量关系
方阵每边人数与四周人数的关系：
四周人数=（每边人数-1）×4，每边人数=四周人数÷4+1；
实心方阵总人数：
总人数=每边人数×每边人数；
空心方阵总人数：
总人数=外边人数-内边人数；
将空心方阵分成四个相等的矩形：
总人数=（每边人数-层数）×层数×4。
（2）解决方法
方阵问题有空心和实心两种。
实心方阵的总人数等于每边人数自乘，空心方阵的变化形式较多，具体问题具体分析。
28．构图布数问题
这是一种数字游戏。
所谓构图，就是设计出一种图形；所谓布数，就是把所给的数字填入图中。
其关键是要符合所给的条件。
（1）数量关系
依具体题目而定。
（2）解决方法
通常多从三角形、正方形、圆形和五角星形等图形方面考虑。
按照题意来构图布数，符合题目所给的条件。
29．幻方问题
把n×n个自然数排在正方形的格子中，使各行、各列以及对角线上的各位数字之和相等，这样的图叫做幻方；而和叫做“幻和”。
最简单的是三级幻方。
（1）数量关系
每行、每列、每条对角线上各数的和相等。
三级幻方的幻和=45÷3=15
五级幻方的幻和=325÷5=65
（2）解决方法
先确定幻和，其次确定中间格子中应填的数；最后确定其它格子中的数。
五、统计和可能性
1．统计表
单式统计表：
只含有一个项目的统计表；
复式统计表：
含有两个或两个以上统计项目的统计表；
百分数统计表：
不仅表明各统计项的具体数量，而且表明比较量相当于标准量的百分比的统计表；
中位数：
一组数中间的一个数或中间两个数的平均数；
众数：
一组数中重复出现次数最多的数；
平均数：
反映一组数的总体水平的数据。
2．统计图
（1）条形统计图
用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少画成长短不同的直条，然后把这些直条按照一定的顺序排列起来。
优点：
很容易看出各种数量的多少。
（2）折线统计图
用一个单位长度表示一定的数量，根据数量多少描出各点，然后把这些点用线段顺次连接起来。
优点：
不但可以表示数量的多少，而且能够清晰地表示数量增减变化的情况。
（3）扇形统计图
用整个圆的面积表示总数，用扇形面积表示各部分所占总数的百分数。
优点：
很清楚地表示各部分同总数之间的关系。
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