数值分析试题及答案.docx
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数值分析试题及答案
数值分析试题
填空题（20X2'）
IIAX||g<_15__。
4.非线性方程f（x）=0的迭代函数x=（x）在有解区间满足|'（x）|<1，则使用该
迭代函数的迭代解法一定是局部收敛的。
5.区间［a,b］上的三次样条插值函数S（x）在［a,b］上具有直到2—阶的连续导数。
6.当插值节点为等距分布时，若所求节点靠近首节点，应该选用等距节点下牛顿差商公
式的前插公式，若所求节点靠近尾节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的
后插公式：
如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的拉格朗
日插值公式。
n
7.拉格朗日插值公式中f（xj的系数ai（x）的特点是：
a。
）_J;所以
i0
当系数ai（x）满足a（x）>1，计算时不会放大f（xj的误
差。
8.要使20的近似值的相对误差小于0.1%，至少要取_j4位有效数字。
9.对任意初始向量X0）及任意向量g，线性方程组的迭代公式x（k+1）=Bx（k）+g（k=0,1,…）收
敛于方程组的精确解x*的充分必要条件是（B）<1
10.由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是__5。
x
0
0.5
1
1.5
2
2.5
y=f（x）
-2
-1.75
-1
0.25
2
4.25
11.牛顿下山法的下山条件为|f（xn+1）|v|f（xn）|。
12.线性方程组的松弛迭代法是通过逐渐减少残差ri（i=0,1,…，n）来实现的，其中的残
差ri=（b[-aiXi-a£X2-…-a©xj/a已,（i=0,1,…,n）。
13.在非线性方程f（x）=O使用各种切线法迭代求解时，若在迭代区间存在唯一解，且f（x）
的二阶导数不变号，则初始点Xo的选取依据为f（xO）f”（x0）＞0。
14.使用迭代计算的步骤为建立迭代函数、选取初值、迭代计算。
二、判断题（10X1‘）
1、若A是n阶非奇异矩阵，则线性方程组AX^b一定可以使用高斯消元法求解。
（X）
2、解非线性方程f（x）=0的牛顿迭代法在单根x*附近是平方收敛的。
（）
3、若A为n阶方阵，且其元素满足不等式
则解线性方程组AX^b的高斯——塞德尔迭代法一定收敛。
（X）
4、样条插值一种分段插值。
（）
5、如果插值结点相同，在满足相同插值条件下所有的插值多项式是等价的。
（）
6从实际问题的精确解到实际的计算结果间的误差有模型误差、观测误差、截断误差及
舍入误差。
（）
7、解线性方程组的的平方根直接解法适用于任何线性方程组A©bo（X）
8、迭代解法的舍入误差估计要从第一步迭代计算的舍入误差开始估计，直到最后一步迭代计算的舍入误差。
（X）
9、数值计算中的总误差如果只考虑截断误差和舍入误差，则误差的最佳分配原则是截断误差=舍入误差。
（）
10、插值计算中避免外插是为了减少舍入误差。
（X）
三、计算题（5X10'）
1、用列主元高斯消元法解线性方程组。
解答：
（1，5，2）最大元5在第二行，交换第一与第二行：
L21=1/5=0.2,l31=2/5=0.4方程化为：
（-022.6）最大元在第三行，交换第二与第三行：
L32=-0.2/2.6=-0.076923,方程化为：
回代得：
x13.00005
x25.99999
x31.00010
2、用牛顿一一埃尔米特插值法求满足下列表中插值条件的四次插值多项式R（x），并写
出其截断误差的表达式（设f（x）在插值区间上具有直到五阶连续导数）。
Xi
0
1
2
f（Xi）
1
-1
3
f'（Xi）
1
5
解答：
做差商表
xi
F（xi
）
F[xi,xi+
1]
F[xi.xi+1.xi
+2]
F[xi,xi+1,xi+2,x
i+3]
F[xi,xi+1,xi+2,xi+3,
xi+4]
0
1
1
-1
-2
1
-1
1
3
2
3
4
3
0
2
3
5
1
-2
-1
P4（x）=1-2x-3x（x-1）-x（x-1）（x-1）（x-2）
R4（x）=f（5）（）/5!
x（x-1）（x-1）（x-2）（x-2）
3、对下面的线性方程组变化为等价的线性方程组，使之应用雅克比迭代法和高斯一一赛德尔迭代法均收敛，写出变化后的线性方程组及雅克比迭代法和高斯一一赛德尔迭代法的迭代公式，并简单说明收敛的理由。
解答：
交换第二和第四个方程，使系数矩阵为严格对角占优:
雅克比迭代公式：
x13x2x3
X24X3
X3
X1
X4
X4
5x4
《计算机数学基础
（2）》数值分析试题
一、单项选择题（每小题3分，共15分）
1.已知准确值x*与其有t位有效数字的近似值x=0.0a©…anXI0s（ai0）的绝对误差x*—x（）.
（A）0.5X10s—1—七（B）0.5X10s—七（C）0.5X10s+1—'（D）0.5X10s
P（x）=（
4.等距—点的求导公式是（）
+1
2.
以下矩阵是严格对角占优矩阵的为
（
）
.
2
1
0
0
5
2
1
0
1
2
1
0
1
4
1
0
（A）
（B）
0
1
2
1
1
1
4
1
0
0
1
2
0
0
1
2
5
2
1
0
4
2
1
1
1
4
2
1
1
4
1
0
（C）
（D）
2
1
4
1
2
1
4
1
0
0
1
2
1
3
1
5
3.过（0,1）,（2,4）,
（3,1）点的分段线性插值函数
f（xQ-（ykyki）
（C）h（D）
i
f（xki）-（ykiyk）
h
5.解常微分方程初值问题的平均形式的改进欧拉法公式是
那么yp,yc分别为（
）.
yp
yk
hf（Xk,yk）
Yp
Yk
hf（Xki,Yk）
（A）p
（B）
yc
yk
hf（Xki,yk）
Yc
Yk
hf（Xk,Yp）
yp
Yk
f（Xk,yk）
Yp
Yk
hf（Xk,Yk）
（C）
（D）
yc
Yk
f（Xk,Yp）
Yc
Yk
hf（Xki,Yp）
二、填空题（每小题3分，共15分）
6.设近似值xi,X2满足（xi）=0.05，（X2）=0.005，那么
（XiX2）=•
7.三次样条函数S（x）满足：
S（x）在区间［a,b］内二阶连续可导，S（xk）=yk（已
知），k=0,1,2,…，n，且满足S（x）在每个子区间［Xk,Xk+i］上是.
bnn
8.牛顿一科茨求积公式f（x）dxAkf（Xk），贝9Ak=
ak0k0
9.解方程f（x）=0的简单迭代法的迭代函数（x）满足在有根区间
内，则在有根区间内任意取一点作为初始值，迭代解都收敛.
10.解常微分方程初值问题的改进欧拉法预报一一校正公式是
预报值：
ykrykhf（xk,yk），校正值：
yk+i二.
三、计算题（每小题15分，共60分）
11.用简单迭代法求线性方程组
的X3）.取初始值（0,0,0）T,计算过程保留4位小数.
12.已知函数值f（0）=6，f
（1）=10，f（3）=46，f（4）=82，f（6）=212，求函数的
四阶均差f（0,1,3,4,6）和二阶均差f（4,1,3）.
13.将积分区间8等分，用梯形求积公式计算定积分，1x2dx，计算过程保留
1
4位小数.
14.用牛顿法求115的近似值，取X=10或11为初始值，计算过程保留4位小数.
四、证明题（本题10分）
15.证明求常微分方程初值问题
在等距节点a=xoh
y（Xk+1）yk+1=yk+-[f（Xk,yk）+f（Xk+1,yk+1）]
2
其中h=Xk+1—Xk（k=0,1,2,•-n—1）
《计算机数学基础
（2）》数值分析试题答案
一、单项选择题（每小题3分，共15分）
1.A2.B3.A4.B5.D
二、填空题（每小题3分，共15分）
6.0.05X2+0.005X17.3次多项式
h—
8.b—a9.（x）r<110.yk+?
[f（x^yQf（Xk1,ykJ]hf（Xk+1,
Yk1）.
三、计算题（每小题15分，共60分）
11.写出迭代格式
得到X1）=（2.5，3,
3）
X=（0,0,0）
得到乂2）=（2.875，2.3637，1.0000）
得到X3）=（3.1364,2.0456,0.9716）
12.计算均差列给出.
f（Xk
）
一阶均
差
二阶均
差
三阶均
差
四阶均
差
0
6
1
1
4
0
3
4
18
14/3
6
4
8
36
6
1/
2
3
6
212
65
29/3
11/1
1/15
5
1
f（0,1,3,4,6）=15
f（4,1,3）=6
2
13.f（x）=1x2,h=-0.25.分点xo=1.O,X1=1.25,X2=1.5,X3=1.75,X4=2.0,
8
X5=2.25,X6=2.50,X7=2.75,Xs=3.0.
函数值：
f（1.0）=1.4142,f（1.25）=1.6008,f（1.5）=1.8028,f（1.75）=2.015
6,f（2.0）=2.2361,f（2.25）=2.4622,f（2.50）=2.6926,f（2.75）=2.9262,
f（3.0）=3.1623.
2（f（X1）f（X2）f（X3）f（X4）f（X5）f（X6）f（X7））]（9分）
025
=也X[1.4142+3.1623+2X（1.6008+1.8028+2.0156
2
+2.2361+2.4622+2.6926+2.926
2）]
=0.125X（4.5765+2X15.7363）=4.5061
14.设x为所求，即求x2—115=0的正根.f（x）=x2—115.
因为f（x）=2x,f（x）=2,f（10）f（10）=（100—115）X2<0,f（11）f（11）=（121
—115）X2>0
取X0=11.
X3=空空
=10.7238
210.7238
有迭代公式
X*10.7238
四、证明题（本题10分）
15.在子区间[Xk+1,Xk]上，对微分方程两边关于x积分，得
兀1
y（Xk+1）—y（Xk）=f（x,y（x））dx
Xk
用求积梯形公式，有
h
y（Xk+J—y（Xk）=jf（Xk，y（xQ）f（Xk「y（XkJ）]
将y（Xk）,y（Xk+1）用yk,yk+1替代，得到
h
y（Xk+1）yk+1二yk+—[f（Xk,yk）+f（Xk+1,yk+1）]（k=0,1,2,…，n—1）
2
数值分析期末试题
填空题（21020分）
1
（1）设A2
3
2
0，则A
2
13
（2）对于方程组
2x1
10x1
5x21
4x2
Jacobi
3
迭代法的迭代矩阵是
Bj
02.5
。
2.50
（3）勺x的相对误差约是x的相对误差的
（4）
求方程Xf（x）根的牛顿迭代公式是
Xn1
Xnf（X
1
）f'（Xn）
（5）
设f（x）X3X
1，则差商f[0,1,2,3]_1
（6）
设nn矩阵G的特征值是
n，则矩阵G的谱半径
（G）maxi
12
（7）已知A，则条件数Cond
01
（A）__9
（8）为了提高数值计算精度，当正数
X充分大时，应将ln（X
x2
1）改写为
ln（x
x21）。
（9）n个求积节点的插值型求积公式的代数精确度至少为n1次。
（10）
拟合三点（x1,f（X1））,（X2,f（X2））,（X3,f（X3））的水平直线是y
13
f（Xi）。
3i1
2X1
（10分）证明：
方程组x1
X1
X2
X2
X2
X3
X3
2X3
1
1使用Jacobi迭代法求解不收敛性。
1
证明:
Jacobi迭代法的迭代矩阵为
Bj的特征多项式为
Bj的特征值为10，2■1.25i，
1.25i，故（Bj）1.25>1,因而迭代
法不收敛性。
三、
（10分）定义内积
解得co4
12
15
所求的最佳平方逼近元素为
试在HjSpan1,x中寻求对于f（x）,x的最佳平方逼近元素p（x）
（0,
1
0）0dx1,（1,0）
11
0xdx,（1,1）
0x2dxg，（0,f）
1—
0xdx
2
3，
（1,
1L2
f）x、xdx
05
解：
o（x）1,
i（x）x,
法方程
4
12门，
P（x）
x，0x1
15
15
四、（10分）给定数据表
x
-2
-1
0
1
2
y
-0.1
0.1
0.4
0.9
1.6
试用三次多项式以最小二乘法拟合所给数据。
解：
y（x）c0c1xc2x2
C3X3
1
2
4
8
5
0
10
0
1
1
1
1
0
10
0
34
A1
0
0
0，ATA
10
0
34
0
1
1
1
1
0
34
0
130
1
2
4
8
法方程
的解为c00.4086，c10.39167，c20.0857，c30.00833
得到三次多项式
误差平方和为30.000194
5.（10分）依据如下函数值表
0124
建立不超过三次的Lagrange插值多项式，用它计算f（2.2），并在假设f（4）（x）1下，估
计计算误差。
解:
先计算插值基函数
所求Lagrange插值多项式为
1134521
xxx
442
3
La（x）f（Xi）li（x）lo（x）9h（x）23l2（x）3g（x）
i0
f（2.2）L3（2.2）25.0683。
据误差公式R3（x）丄q（xX0）（XX1）（XX2）（XX3）及假设f⑷（x）1得误差估
4!
计：
6.（10分）用矩阵的直接三角分解法解方程组
由矩阵乘法可求出uij和1耳
解下三角方程组
有y15，y23，y6，y4。
再解上三角方程组
得原方程组的解为x11，x21，x32，x42。
7.（10分）试用Simpson公式计算积分
的近似值，并估计截断误差。
解：
截断误差为
xx
8.（10分）用Newton法求方程xlnx2在区间（2,）内的根，要求』10
xk
解：
此方程在区间（2,）内只有一个根s，而且在区间（2，4）内。
设
1
f''（x）—
X
1
f'（x）1-，
X
Newton法迭代公式为
Xk1
Xk
XkInXk2Xk（1InxQ
［丄Xk1
Xk
k0,1,2,
取x03，得sx43.146193221。
9.（10分）给定数表
-1
0
1
2
10
14
16
15
1
0.1
求次数不高于5的多项式H5（x），使其满足条件其中xi1i,i0,1,2,3。
解：
先建立满足条件
P3（x）f（Xi），i0,1,2,3
的三次插值多项式p3（x）。
采用Newton插值多项式
P3（X）
f（Xo）
fXo,X1（x
Xo）
fXo,X1,X2（x
Xo）（XX1）+
再设
H5（x）
P3（x
）（ax
b）（x
1）x（x
1）（x
2）,
由
得
解得a
59
b
161
0
360'
360
故所求的插值多项式
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