春人教版八年级数学下册同步测试1812平行四边形的判定.docx

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春人教版八年级数学下册同步测试1812平行四边形的判定

18.1.2　平行四边形的判定

第1课时　平行四边形的判定[学生

用书B18]

1．下列说法错误的是（　D　）

A．对角线互相平分的四边形是平行四边形

B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形

C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

D．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形

2．小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图18－1－25所示的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带了两块碎玻璃，其编号应该是（　D　）

图18－1－25

A．①②B．①④

C．③④D．②③

3．[2018·呼和浩特]顺次连接平面上A，B，C，D四点得到一个四边形，从①AB∥CD，②BC＝AD，③∠A＝∠C，④∠B＝∠D四个条件中任取其中两个，可以得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结论的情况共有（　C　）

A．5种B．4种

C．3种D．1种

【解析】共有6种组合：

①②，①③，①④，②③，②④，③④.选①②时一组对边平行，另一组对边相等不能证明四边形为平行四边形；选①③时一组对边平行，一组对角相等可以证明两组对边分别平行；①④同①③一样可以判定；选②③时连接四边形的一条对角线，得到两个三角形满足两边分别相等，且其中一边的对角相等，不能判定两个三角形全等，从而不能得到四边形是平行四边形；②④与②③道理相同；③④两组对角分别相等可以判定四边形是平行四边形．

4．如图18－1－26，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，∠CBD＝90°，BC＝4，BE＝ED＝3，AC＝10，则四边形ABCD的面积为（　D　）

图18－1－26

A．6B．12

C．20D．24

【解析】∵∠CBD＝90°，∴在Rt△BCE中，CE＝

＝5，∵AC＝10，∴AE＝CE＝5，

∵BE＝ED＝3，∴四边形ABCD是平行四边形，

∴S▱ABCD＝BC·DB＝4×6＝24.故选D.

5．[2018·安徽]▱ABCD中，E，F是对角线BD上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是（　B　）

A．BE＝DFB．AE＝CF

C．AF∥CED．∠BAE＝∠DCF

【解析】如答图，连接AC与BD相交于O，在▱ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，要使四边形AECF为平行四边形，只需证明得到OE＝OF即可．A.若BE＝DF，则OB－BE＝OD－DF，即OE＝OF，故本选项不符合题意；B.若AE＝CF，则无法判断OE＝OF，故本选项符合题意；C.AF∥CE能够利用“角边角”证明△AOF和△COE全等，从而得到OE＝OF，故本选项不符合题意；D.∠BAE＝∠DCF能够利用“角边角”证明△ABE和△CDF全等，从而得到DF＝BE，然后同A，故本选项不符合题意．故选B.

第5题答图

6．如图18－1－27，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AD∥BC，请添加一个条件：

__AD＝BC（答案不唯一，合理即可）__，使四边形ABCD为平行四边形（不添加任何辅助线）．

图18－1－27

7．[2018·岳阳]如图18－1－28，在▱ABCD中，AE＝CF，求证：

四边形BFDE是平行四边形．

　图18－1－28

证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB＝CD，AB∥CD.

∵AE＝CF，∴BE＝DF，BE∥DF，

∴四边形BFDE是平行四边形．

8．[2019·廉江期末]如图18－1－29，四边形ABCD，AB∥DC，∠B＝55°，∠1＝85°，∠2＝40°.

（1）求∠D的度数；

（2）求证：

四边形ABCD是平行四边形．

　图18－1－29

解：

（1）∵∠D＋∠1＋∠2＝180°，

∴∠D＝180°－∠1－∠2

＝180°－40°－85°＝55°；

（2）证明：

∵AB∥DC，

∴∠2＋∠ACB＋∠B＝180°，

∴∠ACB＝180°－∠B－∠2＝180°－55°－40°＝85°.

∵∠ACB＝∠1＝85°，∴AD∥BC，

∴四边形ABCD是平行四边形．

9．[2018·温州]如图18－1－30，在四边形ABCD中，E是AB的中点，AD∥EC，∠AED＝∠B.

（1）求证：

△AED≌△EBC；

（2）当AB＝6时，求CD的长．

图18－1－30

解：

（1）证明：

∵AD∥EC，

∴∠A＝∠BEC，

∵E是AB的中点，

∴AE＝BE.

∵∠AED＝∠B，

∴△AED≌△EBC（ASA）；

（2）∵△AED≌△EBC，∴AD＝EC.

∵AD∥EC，∴四边形AECD是平行四边形，

∴CD＝AE.∵AB＝6，∴CD＝

AB＝3.

10．如图18－1－31，在▱ABCD中，∠ABC＝60°，点E，F分别在CD和BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BC，EF＝

，则AB的长是__1__．

　图18－1－31

【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥DC，AB＝CD.

又∵AE∥BD，

∴四边形ABDE是平行四边形，

∴AB＝DE＝CD＝

CE.

∵EF⊥BC，∴∠EFC＝90°.

∵AB∥CD，∴∠DCF＝∠ABC＝60°，

∴∠CEF＝30°，

又∵EF＝

，∴由勾股定理，得CE＝2，∴AB＝1.

11．[2019春·锦江区校级月考]如图18－1－32，已知：

AC是▱ABCD的对角线，且BE⊥AC，DF⊥AC，连接DE，BF.求证：

四边形BFDE是平行四边形．

图18－1－32　

证明：

∵BE⊥AC，DF⊥AC，

∴BE∥DF，∠AEB＝∠DFC＝90°，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB＝CD，AB∥CD，

∴∠BAE＝∠DCF，

在△BAE和△DCF中，

∴△BAE≌△DCF（AAS），∴BE＝DF，

∵BE∥DF，∴四边形BFDE是平行四边形．

12．[2019·宁波期末]如图18－1－33，在▱ABCD中，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，G，H分别为AD，BC的中点，求证：

EF和GH互相平分．

图18－1－33

第12题答图

证明：

如答图所示，连接BG，DH.

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB＝CD，AD＝BC，AB∥CD，

∴∠ABE＝∠CDF，

∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB＝∠CFD＝90°，

在△ABE和△CDF中，

∴△ABE≌△CDF（AAS），∴BE＝DF，

∵G，H分别为AD，BC的中点，∴DG＝BH，

∴四边形BHDG是平行四边形，

∴OG＝OH，OB＝OD，∴OB－BE＝OD－DF，

∴OE＝OF，即EF，GH互相平分．

13．[2019春·东台校级月考]如图18－1－34，已知△ABC，分别以△ABC的三边为边在△ABC的同侧作三个等边三角形：

△ABE，△BCD，△ACF，求证：

四边形DEAF是平行四边形．

　图18－1－34

证明：

∵△ABE，△BDC都是等边三角形，

∴BE＝AB，BD＝BC，∠EBA＝∠DBC＝60°，

∴∠DBE＝60°－∠DBA，∠ABC＝60°－∠DBA，

∴∠DBE＝∠ABC，

在△DBE和△ABC中，

∴△DBE≌△CBA（SAS），∴DE＝AC，

又∵△ACF是等边三角形，

∴AC＝AF，∴DE＝AF.

同理可得：

△ABC≌△FDC，∴DF＝AB＝AE.

∵DE＝AF，EA＝DF，

∴四边形DEAF为平行四边形．

14．[2019·嵊州联考期中]如图18－1－35，梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝24cm，DC＝10cm，点P和Q同时从D，B出发，P由D向C运动，速度为每秒1cm，点Q由B向A运动，速度为每秒3cm，试求几秒后，P，Q和梯形ABCD的两个顶点所形成的四边形是平行四边形？

图18－1－35

解：

设xs后可形成平行四边形，可分为以下4种情况：

①以四边形PQAD构成平行四边形，

根据题意，得x＝24－3x，∴x＝6，

∴当运动6s时可形成平行四边形；

②以四边形PQBC构成平行四边形，

根据题意，得10－x＝3x，∴x＝2.5，

∴当运动2.5s时可形成平行四边形；

③以四边形PAQC构成平行四边形，

根据题意，得10－x＝24－3x，∴x＝7，

∴当运动7s时可形成平行四边形；

④以四边形DPBQ构成平行四边形，

根据题意，得x＝3x，x＝0，故不存在平行四边形．

故答案为6s，2.5s，7s.

第2课时　三角形的中位线[学生用书A20]

1．如图18－1－36，要测定被池塘隔开的A，B两点的距离．可以在AB外选一点C，连接AC，BC，并分别找出它们的中点D，E，连接DE.现测得AC＝30m，BC＝40m，DE＝24m，则AB为（　B　）

A．50mB．48m

C．45mD．35m

图18－1－36

图18－1－37

2．如图18－1－37，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的中点，如果△ADE的周长是6，则△ABC的周长是（　B　）

A．6B．12

C．18D．24

【解析】根据题意可知，DE是△ABC的中位线，∴△ABC的周长是△ADE的周长的2倍，∴△ABC的周长为6×2＝12.

　图18－1－38

3．如图18－1－38，在Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝1，点D，E分别是直角边BC，AC的中点，则DE的长为（　A　）

A．1B．2

C.

D．1＋

4．[2018春·永定校级月考]三角形三条中位线的长分别为5，12，13，则此三角形的面积为（　A　）

A．120B．240

C．30D．60

第4题答图

【解析】如答图，设中位线DE＝5，DF＝12，EF＝13.∵DE是△ABC的中位线，∴BC＝2DE＝2×5＝10.同理：

AC＝2DF＝24，AB＝2EF＝26.∵102＋242＝676＝262，∴AC2＋BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，∴S△ABC＝

AC·BC＝

×10×24＝120.

5．[2018·海南]如图18－1－39，▱ABCD的周长为36，对角线AC，BD相交于点O，点E是CD的中点，BD＝12，则△DOE的周长为（　A　）

图18－1－39

A．15B．18

C．21D．24

【解析】∵▱ABCD的周长为36，∴BC＋CD＝

×36＝18，OB＝OD＝

BD＝

×12＝6，又∵点E是CD的中点，∴OE＝

BC，DE＝

CD，∴△DOE的周长＝OD＋OE＋DE＝6＋

BC＋

CD＝6＋

（BC＋CD）＝6＋

×18＝15，故选A.

6．如图18－1－40，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，E是AC的中点．若DE＝5，则AB＝__10__．

图18－1－40

图18－1－41

7．如图18－1－41，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝6，BD＝4，CD＝3，E，F，G，H分别是AB，AC，CD，BD的中点，则四边形EFGH的周长是__11__．

8．如图18－1－42，在△ABC中，D，E，F分别为边AB，BC，CA的中点．求证：

四边形DECF是平行四边形．

图18－1－42

证明：

∵D，E，F分别为边AB，BC，CA的中点，

∴DE綊

AC，即DE綊CF.∴四边形DECF是平行四边形．

9．如图18－1－43，在△A1B1C1中，已知A1B1＝7，B1C1＝4，A1C1＝5，依次连接△A1B1C1三边中点得△A2B2C2，再依次连接△A2B2C2的三边中点得△A3B3C3，…，则△A5B5C5的周长为__1__.

图18－1－43

【解析】∵A2B2，B2C2，C2A2分别等于A1B1，B1C1，C1A1的一半，A3B3，B3C3，C3A3分别等于A2B2，B2C2，C2A2的一半，

∴以此类推，△A5B5C5的周长为△A1B1C1的周长的

，

∴△A5B5C5的周长为（7＋4＋5）×

＝1.

10.如图18－1－44，等边三角形ABC的边长是2，D，E分别为AB，AC的中点，延长BC至点F，使CF＝

BC，连接CD和EF.

（1）求证：

四边形CDEF是平行四边形；

（2）求四边形BDEF的周长．

图18－1－44

解：

（1）证明：

∵D，E分别是AB，AC中点，

∴DE∥BC，DE＝

BC，

∵CF＝

BC，

∴DE＝CF，

∴四边形CDEF是平行四边形；

（2）∵四边形DEFC是平行四边形，∴DC＝EF，

∵D为AB的中点，等边三角形ABC的边长是2，

∴AD＝BD＝1，CD⊥AB，BC＝2，

∴DC＝EF＝

＝

，

∴四边形BDEF的周长是1＋1＋2＋1＋

＝5＋

.

11．[2018·临洮期末]如图18－1－45，△ABC中，AB＝8，AC＝6，AD，AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于F，交AB于G，连接EF，求线段EF的长．

图18－1－45

解：

在△AGF和△ACF中，

∴△AGF≌△ACF（ASA），

∴AG＝AC＝6，GF＝CF，则BG＝AB－AG＝8－6＝2.

又∵BE＝CE，∴EF是△BCG的中位线，

∴EF＝

BG＝1.

12．如图18－1－46，E为▱ABCD中DC边的延长线上一点，且CE＝DC，连接AE分别交BC，BD于点F，G，连接AC交BD于点O，连接OF.求证：

AB＝2OF.

图18－1－46

证明：

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AB＝DC，AB∥DC，OA＝OC，

∴∠ABF＝∠ECF，∠BAF＝∠E.

∵CE＝DC，∴AB＝CE，

∴△ABF≌△ECF（ASA），

∴BF＝FC.又∵OA＝OC，

∴OF为△ABC的中位线，∴AB＝2OF.

13．[2019·香坊区模拟]如图18－1－47，△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，过点C作CF∥AB交DE的延长线于点F，连接BE.

（1）求证：

四边形BCFD是平行四边形；

（2）当AB＝BC时，若BD＝2，BE＝3，求AC的长．

图18－1－47

解：

（1）证明：

∵点D，E分别是边AB，AC的中点，

∴DE∥BC.∵CF∥AB，

∴四边形BCFD是平行四边形；

（2）∵AB＝BC，E为AC的中点，∴BE⊥AC.

∵AB＝2DB＝4，BE＝3，

∴AE＝

＝

，

∴AC＝2AE＝2

.

14．[2019·衢州期中]如图18－1－48，四边形ABCD为平行四边形，E为AD上的一点，连接EB并延长，使BF＝BE，连接EC并延长，使CG＝CE，连接FG.H为FG的中点，连接DH.

（1）求证：

四边形AFHD为平行四边形；

（2）若CB＝CE，∠EBC＝75°，∠DCE＝10°，求∠DAB的度数．

图18－1－48

解：

（1）证明：

∵BF＝BE，CG＝CE，

∴BC为△FEG的中位线，

∴BC∥FG，BC＝

FG，

又∵H是FG的中点，

∴FH＝

FG，∴BC＝FH.

又∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AD＝BC，

∴AD∥FH，AD＝FH，

∴四边形AFHD是平行四边形；

（2）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠DAB＝∠DCB，∵CE＝CB，

∴∠BEC＝∠EBC＝75°，

∴∠BCE＝180°－75°－75°＝30°，

∴∠DCB＝∠DCE＋∠BCE＝10°＋30°＝40°，

∴∠DAB＝40°.