江西省赣州市学年高二上学期期末联考数学理试题 Word版含答案.docx

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江西省赣州市学年高二上学期期末联考数学理试题Word版含答案

赣州市2014～2015学年度第一学期期末考试

高二数学（理科）试题

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1、命题“存在，使”的否定是（）

A．对任意，有B．对任意，有

C．存在，使D．不存在，使

2、“”是“方程表示双曲线”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

3、以下四组向量中，互相平行的组数为（）

，，

，，

A．组B．组C．组D．组

4、下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨）的几组对应数据：

4

5

6

4

根据上表提供的数据，求出关于的回归直线方程，那么表中的值为（）

A．B．C．D．

5、已知，，则向量与的夹角是（）

A．B．C．D．

6、过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，如果，那么等于（）

A．B．C．D．

7、下图所示的算法流程图中，若输出的，则正整数的值为（）

A．B．C．D．

8、设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，下列命题中错误的是（）

A．若，，，则B．若，，，则

C．若，，则D．若，，，则

9、已知命题对任意的，有；命题存在，使，则下列命题中为真命题的是（）

A．且B．非且C．且非D．非且非

10、一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

A．B．C．D．

11、若圆与轴的两个交点，都在双曲线上，且，两点恰好将此双曲线的焦距三等分，则此双曲线的标准方程为（）

A．B．C．D．

12、设点是椭圆（）上一点，，分别是椭圆的左、右焦点，为的内心，若，则该椭圆的离心率是（）

A．B．C．D．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）

13、某校现有高一学生210人，高二学生270人，高三学生300人，用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取名学生进行问卷调查，如果已知从高一学生中抽取的人数为7，那么从高三学生中抽取的人数应为．

14、在边长为2的正方形内有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子（豆子的体积忽略不计），它落在阴影区域内的概率为，则阴影区域的面积为．

15、如图，在长方体中，，，则与平面所成角的正弦值为．

16、如图都是由棱长为的正方体叠成的几何体，例如第个几何体的表面积为个平方单位，第个几何体的表面积为个平方单位，第个几何体的表面积是个平方单位．依此规律，则第个几何体的表面积是个平方单位．

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17、（本小题满分10分）已知，，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．

18、（本小题满分12分）将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次，记第一次出现的点数为，第二次出现的点数为．

求事件“”的概率；

求事件“”的概率．

19、（本小题满分12分）从某校高三学生中抽取名学生参加数学竞赛，根据成绩（单位：

分）的分组及各数据绘制的频率分布直方图如图所示，已知成绩的范围是区间，且成绩在区间的学生人数是人．

求的值；

若从数学成绩（单位：

分）在的学生中随机选取2人进行成绩分析，求至少有1人成绩在内的概率．

20、（本小题满分12分）设是抛物线的焦点，过点且斜率为（）的直线与抛物线相交于，两点，设与的夹角为，求的值．

21、（本小题满分12分）如图，已知四棱锥，底面为菱形，平面，，，分别是，的中点．

证明：

；

若，，求二面角的余弦值．

22、（本小题满分12分）如图，已知椭圆（）的两个焦点分别为，，点与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直．

求椭圆的方程；

已知点的坐标为，过点任作直线与椭圆相交于，两点，设直线，的斜率分别为，，试求的值．

赣州市2014～2015学年度第一学期期末考试

高二数学（理科）试题参考答案

一、选择题

1～5.ACBAD；6～10.BCDBC11～12.AC

二、填空题

13.；14.；15.；16..

三、解答题

17.解：

由题意

因为，所以非或……………………………………………………3分

所以非或………………………………………………………………6分

又因为非是非的充分不必要条件，所以……………………………………8分

所以…………………………………………………………………………………10分

18.解：

（1）设表示一个基本事件，则抛掷两次骰子包括：

，，，，，，，，共个基本事件……………………………2分

用表示事件“”，则包含，，，共个基本事件…………3分

所以，即事件“”的概率为…………………………………6分

（2）用表示事件“”，则包含，，，，，，，，共个基本事件……………………………………………………………9分

所以，即事件“”的概率为………………………………12分

19.解:

（1）……………………………2分

所以人………………………………………………………………………4分

（2）成绩在区间的学生人数是：

人……………………………5分

成绩在区间的学生人数是：

人……………………………………6分

设成绩在区间的学生分别是，成绩在区间的学生分别是，

从成绩在的学生中随机选取人的所有结果有：

，，，，，，，，，共种情况…………………………………………………………………………8分

至少有人成绩在内的结果有：

，，，，，，共种情况………………………………………………………………10分

所以至少有人成绩在内的概率…………………………………………12分

20.解：

过点且斜率为的直线方程为……………………1分

将代入，化简得………………………4分

设，则有，……………………………6分

又，，所以……………………………………………………7分

因为，所以………………………………………………………………8分

从而有………………………………………9分

…………………10分

因为，所以…………………………11分

解得…………………………………………………………………………………12分

21．

（1）证明：

因为四边形为菱形，，

所以为正三角形……………………………………………………………………1分

因为为的中点，所以……………………………………………………2分

又，所以……………………………………………………………3分

因为平面，平面，

所以………………………………………………………………………………4分

而平面，平面且，

所以平面．又平面……………………………………………5分

所以……………………………………………………………………………6分

（2）解法一∵平面，平面，

∴平面平面………………………………………………………………7分

过作于，则平面，

过作于，连接，

则为二面角的平面角……………8分

在中，

，

又是的中点，在中，……………………10分

又…………………………………………………11分

在中，………………………………………12分

即所求二面角的余弦值为

解法二：

由

（1）知两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又分别为的中点，

所以，……………………7分

所以．

设平面的一法向量为，

则，所以……………………………………………8分

取，则………………………………………………………………9分

∵，，，

∴平面…………………………………………………………………………10分

故为平面的一法向量

又，

所以………………………………………11分

因为二面角为锐角，

所以所求二面角的余弦值为……………………………………………………………12分

22.解：

（1）依题意，，………………………………………………………2分

所以………………………………………………………………………3分

故椭圆的方程为………………………………………………………………5分

（2）①当直线的斜率不存在时，由解得…………………6分

不妨设，，

所以…………………………………………………………8分

②当直线的斜率存在时，设直线的方程为.

将代入，

整理化简得，………………………………………9分

设，，则,……………………10分

又，……………………………………………………11分

所以

……………………12分

所以