平均数.docx
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平均数
平均数
（一）
一、素质教育目标
（一）知识教学点
1．使学生初步了解统计知识是应用广泛的数学内容．
2．了解平均数的意义，会计算一组数据的平均数．
3．当一组数据的数值较大时，会用简算公式计算一组数据的平均数
（二）能力训练点：
培养学生的观察能力、计算能力．
（三）德育渗透点
1．培养学生认真、耐心、细致的学习态度和学习习惯．
2．渗透数学来源于实践，反过来又作用于实践的观点．
二、教学重点、难点和疑点
1．教学重点：
平均数的概念及其计算．
2．教学难点：
平均数的简化计算．
三、教学步骤
（一）明确目标
在日常生活中，我们常与数据打交道，例如，电视台每天晚上都要预报第二天当地的最低气温与最高气温，商店每天都要结算一下当天的营业额，每个班次的飞机都要统计一下乘客的人数等．这些都涉及数据的计算问题．请同学们思考下面问题．（教师出示幻灯片）
为了从甲乙两名学生中选拔一人参加射击比赛，对他们的射击水平进行了测验．两人在相同条件下各射靶10次，命中的环数如下：
1．怎样比较两个人的成绩？
2．应选哪一个人参加射击比赛？
教师要引导学生观察，给学生充分的时间去思考，并可以分成小组讨论解决办法．
对于这个问题，部分学生可能感到无从下手，部分学生可能想到去比较两组数据的平均数，让学生动手具体算一下两组数据的平均数．结果它们相等．在学生无法解决此问题的情况下，教师说明，这正是本章要解决的问题之一．（写出课题）．这样做的目的是教师有意创设问题情境、制造悬念，这不仅能激发学生学习的积极性和自觉性，引起学生对所学课程的注意，还能诱发学生探求新知识的浓厚兴趣．
（二）整体感知
解决类似上述的问题要用到统计学的知识，统计学是一门研究如何收集、整理、分析数据并据之作出推断的科学，它以概率论为基础，着重研究如何根据样本的性质去推测总体的性质．在当今的信息时代，统计学的应用非常广泛，以至于它已渗透到整个社会生活的各个方面．本章我们将学习统计学的一些初步知识．
（三）教学重点、难点的学习与目标完成过程
这节课我们首先来学习平均数。
1．（出示幻灯片）请同学看下面问题：
某班第一小组一次数学测验的成绩如下：
这个小组的平均成绩是多少？
教师引导学生动笔计算，并找一名学生到黑板板演，讲完引例后，引导学生归纳出求平均数方法，这样做使学生对平均数的计算公式能有深刻的认识．
2．平均数的概念及计算公式
一般地，如果有n个数x1，x2，……，xn．
这是在初中数学课本中第一次出现带有省略号的用字母表示的n个数相加的一般写法．学生对此可能会感到比较抽象，不太习惯，要向学生强调，采用这种写法是简化表示，是为了使问题的讨论具有一般性．教师应通过对公式的剖析，使学生正确理解公式，并掌握公式中各元素的意义．
3．平均数计算公式①的应用
例1 一个地区某年1月上旬各天的最低气温依次是（单位：
℃）：
-6，-5，-7，-7，-6，-4，-5，-7，-8，-7
求它们的平均气温．
让学生动手计算，以巩固平均数计算公式（一名学生板演）
教师应强调：
①解题格式．②在统计学里处理的数据包括负数．③在本章中，如无特别说明，平均数计算结果保留的位数与原数据相同．
例2 从一批机器零件毛坯中取出20件，称得它们的质量如下（单位：
千克）：
计算它们的平均质量．（用投影仪打出）
引导学生两人一组完成计算，然后一起对答案．由于数据较大，计算较繁，可能会出现不同的答案．正好为下面提出简化计算公式作好铺垫．
教师提出问题：
像例2这样，数据较大，计算较繁，因而容易出错，有没有较为简便的算法呢？
引导学生观察数据有什么特点？
都接近于哪一个数？
启发学生讨论，寻找简便算法．
学生回答：
数据都在200左右波动，可将各数据同时减去200，转而计算一组数值较小的新数据的平均数．至此让学生再一次两人一组用简便方法计算例2，并与前面计算的结果相比较是否一样．讲完例2后，教师指出几点：
常数的取法不是唯一的；读作
__
“——撇——拔”；简化计算的结果与前面笔算的结果相同．
通过学生的动手计算，若产生困难或错误，教师及时点拨，引导学生寻找解决问题的方法，这不仅可以激发学生学习的兴趣，更培养了学生的发散思维能力，同时也使学生对公式②的推导更容易接受．
3．推导公式②
一般地，当一组数据x1，x2，…，xn的各个数值较大时，可将各数据同时减去一个适当的常数a，得到
即 （） ②
什么？
（学生回答）
课堂练习：
教材习题中1、2、3．
（四）总结、扩展
知识小结：
1．统计学是一门与数据打交道的学问，应用十分广泛．本章将要学习的是统计学的初步知识．
2．求n个数据的平均数的公式①．
3．平均数的简化计算公式②．这个公式很重要，要学会运用．
方法小结：
通过本节课我们学到了求一组数据平均数的方法．当数据比较小时，可用公式①直接计算．当数据比较大，而且都在某一个数左右波动时，可选用公式②进行计算．
四、布置作业
教材习题A组中1、2、3、4；B组1、2（对学有余力的学生做B组1、2）．
五、板书设计
第十五章 统计初步
14．1平均数
（一）
例1
推导简化公式②
平均数的概念及计算公式
……
公式
（1）如果有n个数x1，x2，…xn．
例2
……
六、参考资料
《教师教学参考书》
平均数
（二）
一、素质教育目标
（一）知识教学点：
1．使学生了解加权平均数的求法及其应用范围．
2．使学生了解总体、个体、样本、样本的容量的意义．
（二）能力训练点：
1．培养学生观察问题、分析问题、解决问题的能力．
2．培养学生的抽象概括能力．
（三）德育渗透点：
1．培养学生认真、耐心、细致的学习态度和学习习惯．
2．渗透数学理论来源于实践反过来又作用于实践的思想．
二：
教学重点、难点和疑点
1．教学重点；
（1）加权平均数的计算．
（2）总体、个体、样本、样本的容量的概念．
2．教学难点：
能正确说明所考察问题中的总体、个体、样本、样本的容量．
3．教学疑点：
（1）学生会误认为计算加权平均数的公式①′与计算平均数的公式①是两个不同的公式，应通过对公式①′的剖析说明公式①′是公式①的另一种表现形式．
（2）学生容易将总体的概念与在初中数学中渗透的“集合”的概念混淆，作为总体中的个体的数值是可以重复出现的，而作为某种数的集合里的元素的数值，是没有重复的．
三、教学步骤
（一）明确目标
上节课我们学习了求n个数的平均数的方法．当数据比较小时，可用哪个公式计算呢？
当一组数据较大时如何计算其平均数？
学生回答后，教师再提出问题：
当一组数据中的某些数据重复出现时，又如何计算其平均数？
这节课我们就来解决这个问题．（写出课题）
教师通过设置悬念引入课题，能使学生产生好奇心，唤起他们的学习热情．
（二）教学重点、难点的学习与目标完成过程
（用幻灯出示例3）
例3 某工人在30天中加工一种零件的日产量，有2天是51件，3天是52件，6天是53件，8天是54件，7天是55件，3天是56件，1天是57件，计算这个工人30天中的平均日产量．
给学生充分的时间观察，分析例3后，教师引导学生解决下面问题：
1．本题是要求多少个数据的平均数？
（学生回答30个数据）．2．这些数据有何特点？
如何计算．学生容易观察到，这些数据较大，且都比50稍大一点，因此可用公式②计算它们的平均数．3．公式中的常数a除取作50外．还有没有其他较好的取法？
4．因各数据多次重复出现，则怎样计算会简便呢？
学生会根据乘方的意义得出，不必将30个数据逐一相加，只要将各数据减去50后，乘上它们出现的次数再相加就可以．
解：
将数据51，52，53，54，55，56，57同时减去50，得到
__
那么，这组新数据的平均数是
即这个工人30天中的平均日产量为54件．
在讲解完例3的基础上得出公式①′．
一般来说，如果在n个数中，x1出现f1次，x2出现f2次，…，xk出现fk次（这里f1+f2+…+fk=n）那么根据公式①，这n个数的平均数可以表示为
―
x=①′
对于公式①′，教师要强调两点：
1．公式①′与公式①是一致的，公式①′是公式①的另一种表示形式．在公式①′中，相同数据xi的个数fi叫做权．2．公式①′的适用范围：
当一组数据中有不少数据多次重复出现时，用公式①′比较简便．
练习题中4．
学生作完练习后，接着讲授四个概念．请同学们思考下面问题：
（用幻灯片出示）
1．在一次考试中，考生有2万多名．怎样才能了解到这些考生的数学平均成绩呢？
2．灯泡厂生产了一批灯泡，共100只，怎样才能了解这批灯泡的使用寿命呢？
教师引导学生分析这两个问题：
对于问题1．因考生很多，若将他们的成绩全部相加再除以考生总数，将是十分麻烦的，在这种情况下，可以从中抽取部分考生（比如说500名）的成绩，用他们的平均成绩去估计所有考生的平均成绩，对于问题2，因检验灯泡的使用寿命具有破坏性，不能对所有灯泡进行检验，可以从中抽取10只灯泡进行检验，用它们的平均寿命去估计这批灯泡的使用寿命．
解决上述两个问题后，再给出总体、个体、样本、样本的容量的概念，学生就能理解，不会感到太抽象．
在统计学里，我们把所要考察对象的全体叫做总体，其中的每一个考察对象叫做个体，从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的一个样本，样本中个体的数目叫做样本的容量．
在讲这四个概念时，教师要指出以下两点：
1．这里所说的“考察对象”，是一种数量指标，如前面问题1中，不是笼统地考察学生，而是考察学生的数学成绩，它是一种数量指标；2．这里所说的总体，是与在初中数学里渗透的“集合”的概念有区别的，数的集合里的各个元素，其数值均不相同，而总体中的个体的数值是可以重复出现的．
为了加深学生对总体等概念的理解，就前面提出的两个问题，引导学生逐一说明其中的总体、个体、样本、样本的容量各是什么？
在问题1中，所有考生成绩的全体是总体．其中每名考生的成绩是个体，所抽取的500名考生的成绩是总体的一个样本，样本的容量是500．
在问题2中，一批灯泡的使用寿命的全体是总体，其中每个灯泡的使用寿命是个体，所抽取的10个灯泡的使用寿命是总体的一个样本，样本的容量是10．
接下来，给学生一些时间，让学生举一些日常生活中用样本估计总体的例子，使学生感受到统计知识的广泛应用，从而增加学生学习这一章的兴趣．
课堂练习 教材练习中1、2．
（三）总结、扩展
知识小结：
1．加权平均数的计算公式，它与平均数的关系，以及它的适用范围．
2．总体、个体、样本、样本的容量概念，用样本估计总体的原因．
方法小结：
通过这节课我们学到了当一组数据中有不少数据多次重复出现时，用加权平均数公式计算平均数简便，我们还学到了用样本估计总体的统计思想方法．
知识网络：
四、布置作业
教材习题中5、6、7、8．
五、板书设计
14．1 平均数
（二）
加权平均数公式①′
例3．
问题1．
总体、个体、样本、样本的容量概念
问题2．
六、参考资料
《教师教学参考书》
平均数（三）
一、素质教育目标
（一）知识教学点
1．使学生会用样本平均数去估计总体平均．
2．了解用样本估计总体的思想方法．
（二）能力训练点：
1．培养学生的计算能力．
2．观察问题、分析问题、解决问题的能力．
（三）德育渗透点：
使学生了解样本容量越大，样本对总体的估计就越精确，但同时工作量也越大；反之，如果样本容量越小，估计较粗略，但同时工作量也较小这种辩证关系．
二、教学重点、难点和疑点
1．教学重点：
用样本平均数估计总体平均数的方法．
2．教学难点：
对用样本估计总体的思想方法的理解．
三、教学步骤
（一）明确目标
上节课我们学习了总体、个体、样本、样本的容量的概念．请同学们指出下面两个问题中的总体、个体、样本、样本的容量各是什么？
1．今年我市有6万名初中毕业生参加升学考试．为了了解6万名考生的数学成绩，从中抽取1500名考生的数学成绩进行统计分析．
2．为了考查初三年级524名学生的视力情况，从中抽取50名学生进行视力检查．
学生回答，教师纠偏后引出课题，这节课我们将进一步学习什么是总体平均数、样本平均数及用样本平均数估计总体平均数的方法．
用这种承上启下的方式导入课题，不但复习巩固了学过的知识，还激发了学生探求新知的欲望．
（二）整体感知
本章里所说的用样本估计总体，以及本课里所说的用样本平均数估计总体平均数，都是一种粗略的“定性”估计，即并不知道所作估计的可靠程度，估计虽粗略，但方法简单，容易掌握．
（三）教学重点、难点的学习与目标完成过程
1．概念：
我们把总体中所有个体的平均数叫做总体平均数．把样本中所有个体的平均数叫做样本平均数．
在问题1中，所有6万名考生的平均成绩就是总体平均数，所抽查的1500名考生的平均成绩就是样本平均数．通常，我们是用样本平均数去估计总体平均数，接下来学习怎样用样本平均数去估计总体平均数．
例4 （用幻灯出示）从某校参加毕业考试的学生中，抽查了30名学生的数学成绩，分数如下：
计算样本平均数．
教师引导学生观察这30个数据有什么特点？
都在什么数左右波动？
选用哪一个公式进行计算简便，若选用公式②，则a取多少比较合适，当学生观察、分析、比较后，再让学生动手解此题．（找两名学生到黑板板演）．
即样本平均数为85．
于是可以估计，该校参加毕业考试的学生的数学平均成绩约为85分．
用公式②解：
取a=80．
_
__
即样本平均数为85．
于是可以估计，该校参加毕业考试的学生的数学平均成绩约为85分．
引导学生总结用样本平均数估计总体平均数的解题步骤：
1．先求样本平均数；2．作出估计．
学生在解此种类型题时，往往只求出样本平均数，而忽略了对总体平均数做出估计，教师要提醒学生注意．
课堂练习：
教材练习中1、2
（四）总结、扩展
知识小结：
这节课我们学习了用样本平均数估计总体平均数的方法，一般来说，用样本估计总体时，样本容量越大，样本对总体的估计也就越精确，相应地，搜集、整理、计算数据的工作量也就越大．反之，如果样本容量较小，估计较粗略，但同时工作量也较小．因此，在实际工作中，样本容量的确定既要考虑问题本身的需要，又要考虑实现的可能性和所付出的代价的大小．
知识网络：
这样小结，不仅使学生很好地掌握本节课所学内容，而且对所学过的知识形成风格，掌握牢固．
四、布置作业：
教材习题中 9、10、11．
五、板书设计
15.1平均数（三）
概念：
例4．练习
小结
总体平均数
样本平均数
六、参考资料
《教师教学参考书》，《中考题型专项训练题萃》．
众数与中位数
一、素质教育目标
（一）知识教学点：
1．使学生理解众数与中位数的意义．
2．会求一组数据的众数和中位数．
（二）能力训练点：
培养学生的观察能力、计算能力．
（三）德育渗透点：
1．培养学生认真、耐心、细致的学习态度和学习习惯．
2．渗透数学知识来源于实践，反过来又服务于实践的思想．
二、教学重点、难点和疑点
1．教学重点：
求一组数据的众数与中位数．
2．教学难点：
平均数、众数、中位数这三量之间的区别与联系．
3．教学疑点：
学生容易把一组数据中出现次数最多的数据的次数当做众数．应通过对众数概念的剖析，使学生理解并掌握众数的概念．
三、教学步骤
（一）明确目标
教师提出问题：
1．怎样求一组数据的平均数？
2．平均数反映了一组数据的趋势．3．平均数与一组数据中的每个数据均有关系吗？
（学生回答，教师纠偏后引出课题）．
这节课，我们将进一步学习另两个反映一组数据的集中趋势的特征数——众数和中位数．
这样引入新课，能使学生的心理活动指向和注意力集中于特定的教学内容，尽快进入课堂学习状态．
（二）整体感知
平均数、众数及中位数都是描述一组数据的集中趋势的特征数，但描述的角度和适用范围有所不同．平均数的大小与一组数据里的每个数据均有关系，其中任何数据的变动都会相应引起平均数的变动．众数着眼于对各数据出现的频数的考察，其大小只与这组数据中的部分数据有关．当一组数据中有不少数据多次重复出现时，其众数往往是我们关心的一种统计量，中位数则仅与数据的排列位置有关，某些数据的变动对它的中位数没有影响．当一组数据中的个别数据变动较大时，可用它来描述其集中趋势．
（三）教学重点、难点的学习与目标完成过程
（用幻灯片出示引入例）请同学们看下面问题：
一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋30双，其中各种尺码的鞋的销售量如下表所示：
在这个问题里，鞋店比较关心的是哪种尺码的鞋销售得最多．
教师引导学生观察表格，并思考表格反映的是多少个数据的全体．（30个），表中上面一行反映的是什么？
（学生回答是出现的数据）．下面一行反映的是什么？
（学生回答是相应的数据出现的次数．）表中反映出哪一种尺码的鞋销售得最多？
（学生回答23.5厘米的鞋销售了11双，是销售得最多的）．接着教师强调，在这个问题中，我们通常不大关心所销售的鞋的平均尺码，而是关心各种尺码的鞋的销售情况，特别是关心哪种尺码的鞋销售得最多．这对掌握市场需求情况和确定今后进货量具有重要参考价值．在学生明确了研究众数的必要性后，教师给出众数定义．众数：
在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．
教师在剖析众数定义时应强调：
1．众数是一组数据中出现次数最多的数据，是一组数据中的原数据，而不是相应的次数．在这一点上，学生很容易混淆．2．一组数据中的众数有时不只一个，如数据2、3、-1、2、l、3中，2和3都出现了2次，它们都是这组数据的众数．
教师引导学生回答引例中的众数是什么？
是（23.5厘米），有的学生会误将23.5厘米的鞋的销售量11当作所求的众数，教师要注意纠正．
下面我们来学习怎样根据众数的定义求一组数据的众数，看例1（幻灯出示）
例1 在一次英语口试中，20名学生的得分如下：
求这次英语口试中学生得分的众数．
教师引导学生用观察法找出这组数据中哪些数据出现的频数较多，从而进一步找出它的众数；也可仿照引例画表格找出众数．
例 在上面数据中，80出现了7次，是出现次数最多的，所以80是这组数据的众数．
答：
这次英语口试中，学生得分的众数是80（分）．
教师应强调一下这个结论反映了得80分的学生最多．
课堂练习：
教材练习中1．
学生做完练习后接着讲解中位数定义，请同学看下面问题：
在一次数学竞赛中，5名学生的成绩从低分到高分排列依次是：
教师引导学生观察在这5个数据中，前4个数据的大小比较接近，最后1个数据与它们的差异较大．这时如果用其中最中间的数据61来描述这组数据的集中趋势，可以不受个别数据较大变动的影响．通过这个引例，不仅使学生对中位数的意义有了了解，又加深了对中位数概念的理解．
中位数定义：
将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数．
教师剖析定义时要强调：
1．求中位数要将一组数据按大小顺序，而不必计算，顾名思义，中位数就是位置处于最中间的一个数（或最中间的两个数的平均数），排序时，从小到大或从大到小都可以．2．在数据个数为奇数的情况下，中位数是这组数据中的一个数据；但在数据个数为偶数的情况下，其中位数是最中间两个数据的平均数，它不一定与这组数据中的某个数据相等．
教师引导回答引例的中位数是什么？
例2 （用幻灯出示）10名工人某天生产同一零件，生产的件数是：
求这一天10名工人生产的零件的中位数．
教师引导学生观察分析后，让学生自解．
解：
将10个数据按从小到大的顺序排列，得到：
左右最中间的两个数据都是15，它们的平均数是15，即这组数据的中位数是15（件）．
答：
这一天10人生产的零件的中位数是15件．
例3 （用幻灯出示）在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的17名运动员的成绩如下表所示：
分别求这些运动员成绩的众数，中位数与平均数（平均数的计算结果保留到小数点后第2位）．
教师引导学生观察表格，分析回答下列问题：
1．表中共有多少个数据？
其中哪个数据出现的次数最多？
这组数据的众数是什么？
说明什么？
2．表里的17个数据可看成是按什么顺序排列的？
其中第几个数是最中间的数据？
这组数据的中位数是多少？
说明什么？
3．可选用哪个公式求这组数据的平均数？
所求得的平均数能说明什么？
这样分析例题，可使学生加深理解平均数、众数、中位数的概念之间的联系与区别，体会到这三个量在描述一组数据集中趋势时的不同角度．
教师范解例3．
解：
在17个数据中，1.75出现了4次，出现的次数最多，即这组数据的众数是1.75．
上面表里的17个数据可看成是按从小到大的顺序排列的，其中第9个数据1.70是最中间的一个数据，即这组数据的中位数是1.70；
这组数据的平均数是
答：
17名运动员成绩的众数、中位数、平均数依次是1.75（米）、1.70（米）、1.69（米）．
课堂练习：
教材练习中2、3．
（四）小结、扩展
知识小结：
这节课我们学习了众数、中位数的概念，了解了它们在描述一组数据集中趋势时的不同角度和适用范围．
方法小结：
通过本节课我们学会了求一组数据的众数及中位数的方法．求众数时不需要计算只要观察出出现次数最多的数据即可．求中位数时，先要将这组数据按顺序排列出来，再找出最中间的一个数据或最中间两个数据并算出它们的平均数．
知识网络：
平均数、众数、中位数都是描述一组数据的集中趋势的特征数，只是描述的角度不同，其中以平均数的应用最为广泛．
四、布置作业
教材习题A组l、2、3；B组1
五、板书设计
15.2众数与中位数
l．定义
例1
例2
例3
众数：
中位数
六、参考资料
《教师教学参考书》
方差
（一）
一、素质教育目标
（一）知识教学点：
使学生了解方差、标准差的意义，会计算一组数据的方差与标准差．
（二）能力训练点：
1．培养学生的计算能力．2．培养学生观察问题、分析问题的能力．培养学生的发散思维能力．
（三）德育渗透点：
1．培养学生认真、耐心、细致的学习态度和学习习惯．
2．渗透数学来源于实践，又反过来作用于实践的观点．
二、教学重点、难点和疑点
1．教学重点：
方差概念．
2．教学难点：
方差概念．
3．教学疑点：
学生不易理解为什么要用方差去描述一组数据的波动大小．为什么不可以用各数据与其平均数的差的和来衡量这组数据的波动大小呢？
为什么对各数据与其平均数的差不取其绝对值，而将其平方呢？
对这些问题教师在剖析方差定义时要讲清楚．
三、教学步骤
（一）明确目标
前面我们学习了平均数、众数及中位数，它们都是描述一组数据的集中趋势的量，这节课我们将进一步学习衡量样本（或一组数据）和总体的另一类特征数——方差、标准差及其计算．
这种开门见山式引入课题，能迅速将学生的注意力集中起来，进入新课讲解．
（二）整体感知
对于一组数据来说，我们除了关心它的集中趋势以外，还关心它的波动大小．衡量这个波动大小的最常用的特征数，就是方差和标准差．
（三）教学重点、难点的学习与目标完成过程
1．请同学们看下面的问题：
（用幻灯出示）
两台机床同时生产直径是40毫米的零件，为了检验产品质量，从产品中各抽出10件进行测量，结果如下（单位：
毫米）
上面表中的数据如图14-1所示
教师引导学生观察表格中的数据和图14-1，提出问题：
怎样能说明在使所生产的
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