河南科技大学奖学金评定模型.docx
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河南科技大学奖学金评定模型
2011年河南科技大学数学建模竞赛选拔
承诺书
我们仔细阅读了数学建模竞赛选拔的规则.
我们完全明白，在做题期间不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人研究、讨论与选拔题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反选拔规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守选拔规则，以保证选拔的公正、公平性。
如有违反选拔规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们选择的题号是（从A/B/C中选择一项填写）：
B
队员签名：
1.王永鹏
2.杨明华
3.杨绍辉
日期：
2011年8月18日
2011年河南科技大学数学建模竞赛选拔
编号专用页
评阅编号（评阅前进行编号）：
评阅记录（评阅时使用）：
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注
2011年河南科技大学数学建模竞赛选拔
题目高校综合奖学金评定
摘要
本题旨在通过对奖学金评定标准的探索与分析，将半定量，半定性多因素的综合选优评价问题利用综合模型评价的方法探索出奖学金评定的最佳评价模型，最终使评定标准能较好的促进学校培养目标的具体化，并能正确引导学生的行为。
首先对问题一，由于考试科目成绩和考查科目的成绩对综合成绩的影响程度不同，我们采用层次分析法用MATLAB编程求得二者权重0.75和0.25，按五分制将考察课量化，依据学分分配分别求出二者平均分后，最后按照线性加权求和法在Excel中得到每个学生的成综合成绩及排名（见表5）。
接着针对问题二，结合学校希望实现的培养目标，同样采用层次分析法运用MATLAB编程求得综合成绩、卫生、学生工作、获奖情况和学生民主投票在奖学金评定过程中所占的权重分别为：
0.5028，0.0348，0.1344，0.2602，0.0678。
然后对问题三，采用综合模型评价的方法，未量化的指标按照高校培养目标选择合理的量化准则将其量化，建立指标得分与权重的加权求和模型
，将评价指标综合成为一个整体的综合评价指标，用Excel求出最终成绩，并得出排名，制定出最终的获奖名单为：
一等奖
学生N
二等奖
学生C、学生F、学生E
三等奖
学生G、学生I、学生B、学生H、学生D
最后问题四，在奖学金的评定说明中简明清晰的阐述了计算奖学金的主要依据和过程，我们采用的计算方法及过程大部分能够使用Excel完成，使奖学金评定操作更为方便。
本文的主要特点在于，所用算法简单易懂，并且具有很强的实用性，在对原始数据仅作简单预处理的条件下，结合常用的数学软件Matlab和Excel，运用数学建模中综合评价的方法合理的算出了总体成绩的排名。
模型简单，易于操作，对综合评价问题的解决具有现实指导作用。
关键词：
综合模型评价、综合成绩、层次分析、总体成绩、奖学金评定
一、问题重述
高等教育是我国教育的重要组成部分，其质量的高低直接影响社会主义现代化建设，在“十二五规划”中国家已将高等教育的发展纳入到社会主义和谐社会建设的宏伟蓝图中，因此促进高等教育质量的提高，受到社会的普遍关注。
目前高校普遍采用的一种对学生进行奖励、激励的奖学金制度，良好的促进了大学生全面素质的提高。
评定奖学金成为高校每年工作的一个重要环节。
奖学金评定有其明确的标准，这些标准是学校培养目标的具体化，奖学金评定对学生的行为具有导向功能。
综合成绩、卫生、学生工作、获奖情况和学生民主投票是影响评定结果的重要因素。
我们收集了某班级评定奖学金可以用到的一些资料（在奖学金评定信息.xls中）。
考虑到该班级所在学校对奖学金的评定有基本条件限制，如考试课成绩不能低于70分等，根据满足基本条件的同学的信息（资料中数据）建立数学模型，确定奖学金获得者名单。
具体要求如下：
1）根据Excel中的相关数据，选择一种合理的方法，计算出学生的综合成绩（包括考试课和考查课两部分），并给出具体排名。
（2）结合你所了解的相关情况，确定出综合成绩、卫生、学生工作、获奖情况和学生民主投票在奖学金评定过程中所占的权重。
权重应该与学校希望实现的培养目标一致，即各部分的权重应该体现出学校对学生各方面要求的侧重，以引导学生按照学校的培养目标确定自己的发展方向。
（3）该班级的奖学金获奖指标为一等奖1个，二等奖3个，三等奖5个，请给出具体获奖名单。
（4）撰写一篇不超过2页的奖学金评定说明，向负责奖学金评定的人（如班主任、班长等）阐述你们计算奖学金的主要依据和过程。
为了方便奖学金评定操作，建议大部分计算过程最好能够使用Excel完成（评定说明中只要给出具体公式即可，这些公式应该能够在Excel中实现）。
如果模型中用到的数学方法比较复杂，简化模型相关内容，以方便具体计算过程，提高模型的实用性。
二、问题分析
根据奖学金的评定公平公正合理的原则，为选择一个能综合权衡各影响因素的模型来进行求解，我们对各个问题做出如下分析：
（一）问题一分析
通过对表中数据的分析及我们所了解的情况，为了较好的达到高校培养目标，我们在确定学生综合成绩的过程中，参考各高校的评分原则，考试课与考查课对学生的综合成绩影响不同，采用层次分析的方法具体确定考试课与考查课在综合成绩中的权重，进而通过加权求和法得出各学生的综合成绩，并得出排名。
（二）问题二分析
根据高校培养的目标，为体现出学校对学生不同方面要求的侧重，我们同样可以采用层次分析法计算出综合成绩、卫生、学生工作、获奖情况和学生民主投票在奖学金评定中所占权重，并从国家、社会、个人三个方面来综合考虑这个问题，以此为标准来确定和衡量加权的合理性，同时使加权结果有助于引导学生适当调节学习方法和策略，有目的的学习，注重提高学习效率。
（三）问题三分析
我们在前两个问题的基础上，建立奖学金评定的综合评价模型，并在对可影响因子量化的基础上得出奖学金评定的量化公式，结合所给资料，由此得出最终排名，从而确定奖学金名单。
（四）问题四分析
由于本文主要采用建立综合评价模型的常用方法——层次分析法，且层次分析法的一般步骤如下：
首先，要确定待评价对象的评价指标，建立综合评价递阶结构；其次，基于已建立的层次递阶结构，根据当前的实际情况及分析者的主观认识，确定各级评价指标的判断矩阵，并求出各评价指标的权值；再次，根据当前实际情况和分析者的认识，确定各评价指标所对应的评价值模型；最后，采用线性加权法，将各评价指标所得标准分数与相应的权重系数加权，其加权和作为评价对象的总体成绩。
三、模型假设
1、假设题目所给的数据真实可靠；
2、假设上文求解的结果对下文都可以利用且视为真实可靠的；
3、学生投票都是公平公正的；
4、奖学金的评定因素只受到资料中所给因素影响，与其他因素无关；
5、奖学金的评定过程公平公正，无特殊情况；
四、符号约定
S1
综合成绩标准得分
S2
获奖标准得分
S3
学生工作标准得分
S4
学生民主投票标准得分
S5
卫生状况标准得分
SIJ
第j个同学的第i项影响因素的标准得分
各影响因素在参评奖学金时所占的权重（i=1，2，3，4，5）
A1j
考试成绩的分数
A2j
考查成绩的分数
Y
总体成绩得分
Yj
第j个同学总体成绩得分
五、模型建立与求解
5、1计算学生的综合成绩
5、1、1数据分析
根据各高校奖学金评定的标准，我们将优秀、良好、中等、及格进行等级分化,在考虑考查成绩的时候我们粗略的认为优秀为95分，良好为85分，中等为75分，合格为65分，据此我们可以得出学生各科的考查分数，如下表：
表1考查课成绩分数
学生姓名
考查课1
考查课2
考查课3
考查课4
考查课5
考查课6
学生A
65
95
95
95
95
95
学生B
65
85
95
95
95
85
学生C
65
95
75
95
95
85
学生D
65
95
95
85
75
75
学生E
65
95
95
95
85
75
学生F
65
85
95
95
85
85
学生G
65
95
85
85
85
75
学生H
65
85
85
95
85
85
学生I
65
85
85
95
95
85
学生J
65
85
85
95
85
85
学生K
65
95
85
95
85
85
学生L
65
95
85
95
95
95
学生M
65
85
75
85
75
75
学生N
65
95
95
95
95
95
同时将学生的各科考查成绩汇总，如此表：
表2考试课成绩分数
学生姓名
考试课1
考试课2
考试课3
考试课4
考试课5
考试课6
学生A
82
93
91
95
94
94
学生B
87
95
96
97
84
91
学生C
96
82
80
85
85
80
学生D
87
74
85
70
76
78
学生E
85
79
75
70
73
79
学生F
81
95
76
86
85
86
学生G
92
84
90
76
83
82
学生H
85
85
91
88
82
84
学生I
84
96
88
88
81
86
学生J
77
92
89
80
82
89
学生K
74
83
89
80
78
80
学生L
90
85
80
92
88
87
学生M
70
72
75
71
72
76
学生M
98
97
92
96
95
93
5、1、2运用层次分析法（AHP）确定考试成绩和考查成绩的权重
（1）建立成对比较判断矩阵
基于当前中国的国情、题中所给资料以及分析者的认识建立判断矩阵。
考试成绩和考查成绩之间的判断矩阵：
A=
（2）运用求和法计算权重及判断矩阵的最大特征值
A.和法计算步骤：
对于
阶判断矩阵A
a.运用和法求解权重及判断矩阵最大特征向量的步骤如下：
这里我们用和法来计算，以下为步骤：
将
的每一列向量归一化得
将
按行求和得
将
归一化得
为近似特征向量；
计算最大特征值
；
B.计算权重、判断矩阵的最大特征值：
根据求和法，采用MATLAB编程求解各判断矩阵的权向量
及最大特征值
，计算结果如下：
W1=
=2
C.判断矩阵有效性检验：
对成对比较矩阵进行一致性检验时，为检验构造的成对比较矩阵求出的特征向量（权值）是否合理。
用一致性比例
作为判断依据，
越小，表明判断矩阵的一致性越好，权重可接受性越强。
计算公式为
其中
（
为判断矩阵阶数），
为矩阵的随机一致性指标，其值参见下表。
表3随机一致性指标
的值
n
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
RI
0
0.58
0.9
1.12
1.24
1.32
1.41
1.45
1.49
1.51
根据公式得到随机一致性比率：
由于判断矩阵的一致性比例为0，所以判断矩阵具有良好的一致性，可以通过矩阵的相容性检验。
因此计算的权重是可以接受的，各级指标权重值如下表所示：
表4权重值
权重（w1）
考试成绩（A1i）
0.75
考查成绩（A2i）
0.25
5、1、3综合成绩的计算
通过Excel根据上述公式可以算出最终的S1。
表5学生综合成绩标准得分排名
学生姓名
综合成绩S1
排名
学生N
94.7466
1
学生A
93.1655
2
学生B
92.3193
3
学生L
88.5051
4
学生I
87.277
5
学生F
86.1689
6
学生H
85.75
7
学生J
84.9392
8
学生C
84.2568
9
学生K
82.5608
10
学生G
82.4291
11
学生D
77.8142
12
学生E
77.6047
13
学生M
73.7804
14
5、2运用层次分析法计算各影响因素的权重
与奖学金的评定相结合将从14名学生中选拔出获奖人员为目标层，将衡量学生的五个指标作为准则层，将14名学生作为方案层。
图一层次分析图
根据目前我国高等教育的培养目标，参考全国部分高校的奖学金评定方法，我们可以得出资料中所给的5个影响指标：
综合成绩、竞赛获奖、学生工作、民主评议、卫生状况在参评综合奖学金的过程中的重要性依次递减：
由此我们建立如下判断矩阵：
参考第一问中运用求和法计算权重及判断矩阵的最大特征值的方法，综合运用MATLAB，计算可得：
=5.2426
CR=0.0542<0.1
W=（0.5028,0.2602,0.1344,0.0678,0.0348）
由于判断矩阵的一致性比较为0.0542，小于0.1，因此具有良好的一致性，可以通过矩阵的相容性检验。
因此计算的权重是可以接受的，各级指标权重值如下表所示：
表6各指标的权重
项目
权重
综合成绩S1
0.5028
获奖情况S2
0.2602
学生工作S3
0.1344
学生民主投票S4
0.0678
卫生S5
0.0348
=5.2426
CR=0.0542<0.1
利用MATLAB软件我们可以绘出各个影响指标的权重示意图，如下所示：
图二五个影响指标的权重
从图中可以看出在五个影响评定结果的指标中，从综合成绩到卫生的权重值依次递减，说明其对奖学金评定的结果影响程度也依次递减。
加权结果显示了学生认真学习知识的重要性，同时其他方面也不可忽略，这样能引导学生根据各指标的权重，合理地调整学习方法和策略，做到有目的的学习，从而提高效率，有助于学生自身全面协调发展。
5、3确定具体获奖名单
5、3、1求出各个有关指标因素的标准分数
1、综合成绩的标准分数S1
由问题一，我们已经运用层次分析法求得了综合成绩的标准分数，具体求法不再一一赘述，结果见表4；
2、获奖加分的标准分数S2
由于不同级别的奖项带不同的水平，级别越高水平越高，为了鼓励大学生积极参加更高级别的比赛，综合各高校对获得不同奖项的学生在奖学金评定的加分策略，我们制定出了下面具有普遍性的加分细则：
表7获奖百分制加分析则表
特等奖
一等奖
二等奖
三等奖
优秀奖
参与并完成
国家级
100
80
60
50
40
20
省部级
50
45
40
35
20
10
市级
40
35
30
25
10
5
校级
25
20
15
10
5
2
备注
1、获得多个奖项的同学，按最高加分项算，不累加；
2、获得国际级比赛奖项的按照国家特等奖项对待；
3、评定加分最高不得超过100分；
表8获奖学生的加分情况如下
学生姓名
获奖情况
分数/S2
学生C
校三等奖
10
学生F
省二等奖
40
学生I
校二等奖
15
学生N
校一等奖
20
3、学生工作获得标准分数S3
大学学习不同于高中，它有很多工作需要学生去完成，老师有很多工作是通过学生干部传递给同学的，学生干部是联系学生与老师之间的纽带，不同角色的学生干部工作量有所不同，根据工作量的不同在奖学金的评定中所加的分数也不相同，由于全国高校的学生干部加分政策大体相同，参照我校加分原则，制定出以下标准：
表9学生工作加分参照表
职位
加分绩点
校、院学生会主席团成员，青协会长，班联理事长，
媒体事务中心主任，党支部书记，班长、辅导员助理等
0.25
院学生会部长、副部长，党支部委员，团总支成员，
学校社团协会会长，团支书，
0.2
副班长、学习委员，院学生会、社团委员，
学校社团协会部长
0.15
班级其他学生干部，院学生会、社团干事、学校社团委员
0.1
备注：
身兼多职者，只取最高项加分，不做累计；
学生工作所加绩点和分数之间的转化同样也是用到了层次比例计算的方法。
对照表如下：
表10学生工作加分积点与标准得分：
工作加分绩点
分数/S3
0.00
0
0.10
40
0.15
60
0.20
80
0.25
100
表11担任职务学生所获加分
学生姓名
担任职务
绩点
标准得分值/S3
学生B
（2）
女工委员
0.1
40
学生C（3）
学习委员
0.15
60
学生D（4）
纪律委员、某社团宣传部长
0.2
80
学生E（5）
班长、某社团办公室主任
0.25
100
学生G（7）
团支书
0.2
80
学生I（9）
文艺委员
0.1
40
学生K（11）
劳动委员、某社团组织部长
0.2
80
学生N（14）
体育委员
0.1
40
4、学生民主投票标准分数S4
学生民主投票也是影响奖学金评价的因素，为保证奖学金的公平发放，我们需充分考虑各个学生的得票数，由于该班总共32名同学，我们假定当学生的票数为32时，应加分数为100分，当学生的票数为16票时应加分数为50分，当学生得24票时应加75分，当学生票数为8时，应加分数为25分，的零票，加零分，我们选取（32,100），（24,75），（16,50），（8,25），（0，0）五点，我们观察近似线性，利用SPSS软件进行线性拟合，所得结果如下：
模型汇总
R
R方
调整R方
估计值的标准误
1.000
1.000
1.000
.000
系数
未标准化系数
标准化系数
t
Sig.
B
标准误
Beta
x1
3.125
.000
1.000
.
.
（常数）
-1.405E-15
.000
.
.
图三线性拟合图
由此可以得出直线方程：
X2=3.125
X1
把得票数代入方程即可得出各个学生的民主投票分数，如下表
表12学生民主测评分数
学生姓名
学生投票
分数/S4
学生A
26
81.25
学生B
23
71.875
学生C
28
87.5
学生D
20
62.5
学生E
30
93.75
学生F
24
75
学生G
26
81.25
学生H
15
46.875
学生I
14
43.75
学生J
17
53.125
学生K
24
75
学生L
18
56.25
学生M
12
37.5
学生N
29
90.625
5、学生卫生评比S5标准分数
资料中所给数据为所扣分数，为简便过程计算，我们按百分制计算，用100分减去被扣分数即为学生所得卫生标准分数。
所得结果如下：
表13学生卫生所的标准分数
学生姓名
宿舍卫生扣分
分数/S5
学生A
（1）
2
98
学生B
（2）
30
70
学生C（3）
0
100
学生D（4）
50
50
学生E（5）
24
76
学生F（6）
0
100
学生G（7）
45
55
学生H（8）
70
30
学生I（9）
5
95
学生J（10）
0
100
学生K（11）
90
10
学生L（12）
95
5
学生M（13）
90
10
学生N（14）
0
100
6、模型建立及求解
不妨假设14个同学的5个指标得分向量S=
和权重向量
，求得综合评价函数为：
Y=
利用线性加权求和法确定奖学金评判标准的总体得分模型Y：
即：
Yj=w1S1j+w2S2j+w3S3j+w4S4j+x5S5j;
其中
（i=1，2，3，4，5）表示评判指标Si的权重，Sij表示第j个同学的第i项影响指标的标准得分值（i=1，2，3，4，5；j=1，2，·····，14）。
五个指标的标准分数如下所示：
表14每位同学5个影响指标的标准得分值汇总表：
学生姓名
综合成绩/S1
获奖加分/S2
学生工作加分/S3
民主投票加分/S4
卫生加分/S5
学生A
（1）
93.1655
0
0
81.25
98
学生B
（2）
92.3193
0
40
71.875
70
学生C（3）
84.2568
10
60
87.5
100
学生D（4）
77.8142
0
80
62.5
50
学生E（5）
77.6047
0
100
93.75
76
学生F（6）
86.1689
40
0
75
100
学生G（7）
82.4291
0
80
81.25
55
学生H（8）
85.7500
0
0
46.875
30
学生I（9）
87.2770
15
40
43.75
95
学生J（10）
84.9392
0
0
53.125
100
学生K（11）
82.5608
0
80
75
10
学生L（12）
88.5051
0
0
56.25
5
学生M（13）
73.7804
0
0
37.5
10
学生N（14）
94.7466
20
40
90.625
100
利用Excel软件代入公式Yj=w1S1j+w2S2j+w3S3j+w4S4j+x5S5j，可得总体成绩排名及获奖情况如下表：
表15学生综合成绩及排名获奖情况
学生编号
综合分数
排名
获奖情况
学生N
67.84297
1
一等奖
学生C
62.44282
2
二等奖
学生F
62.29872
3
二等奖
学生E
61.46069
4
二等奖
学生G
59.6201
5
三等奖
学生I
59.43413
6
三等奖
学生B
59.10327
7
三等奖
学生H
57.69657
8
三等奖
学生D
55.85448
9
三等奖
学生A
55.76276
10
学生J
49.7893
11
学生L
48.48811
12
学生H
47.33723
13
学生M
39.98729
14
六、奖学金评定说明
一）模型结构的建立思想
我们采用AHP法（层次分析法）来建立奖学金评定模型。
层次分析法是美国数学家T.L.Satty于20世纪70年代提出的一种整体和综合主观判断的客观方法。
首先把要解决的问题按性质和要达到的目的分解成不同的因素，按各因素之间的相互影响和隶
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