四年级数学思维训练.docx
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四年级数学思维训练
第1课加减法的巧算
在进行加减运算时，为了又快又准确，除了要熟练地掌握计算法则外，还需要掌握一些巧算方法。
加减法的巧算主要是“凑整”，就是将算式中的数分成若干组，使每组的运算结果都是整十、整百、整千……的数，再将各组的结果求和。
这种“化零为整”的思想是加减法巧算的基础。
先讲加法的巧算。
加法具有以下两个运算律：
加法交换律：
两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变。
即：
a+b=b+a，其中a，b各表示任意一数。
例如，5+6=6+5。
一般地，多个数相加，任意改变相加的次序，其和不变。
例如：
a+b+c+d=d+b+a+c=…其中a，b，c，d各表示任意一数。
加法结合律：
三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或者，先把后两个数
相加，再与第一个数相加，它们的和不变。
即：
a+b+c=（a+b）+c=a+（b+c），其中a，b，c各表示任意一数。
例如，4+9+7=（4+9）+7=4+（9+7）。
一般地，多个数（三个以上）相加，可先对其中几个数相加，再与其它数相加。
把加法交换律与加法结合律综合起来应用，就得到加法的一些巧算方法。
1.凑整法
先把加在一起为整十、整百、整千……的加数加起来，然后再与其它的数相加。
例1：
计算：
（1）23＋54＋18＋47＋82；
（2）（1350＋49＋68）＋（51＋32＋1650）。
分析与解：
（1）23＋54＋18＋47＋82＝（23＋47）＋（18＋82）＋54＝70＋100＋54＝224；
（2）（1350＋49＋68）＋（51＋32＋1650）＝1350＋49＋68＋51＋32+1650
＝（1350＋1650）＋（49＋51）＋（68＋32）＝3000＋100＋100＝3200。
2.借数凑整法
有些题目直观上凑整不明显，这时可“借数”凑整。
例如，计算976＋85，可在85中借出24，即把85拆分成24＋61，这样就可以先用976加上24，“凑”成1000，然后再加61。
例2：
计算：
（1）57＋64＋238＋46；
（2）4993＋3996＋5997＋848。
分析与解：
（1）57＋64＋238＋46＝57＋（62＋2）＋238＋（43＋3）
＝（57＋43）＋（62＋238）＋2＋3＝100＋300＋2＋3＝405；
（2）4993＋3996＋5997＋848=4993＋3996＋5997＋（7＋4＋3＋834）
=（4993＋7）＋（3996＋4）＋（5997＋3）＋834=5000＋4000＋6000＋834＝15834。
3.分组凑整法
例3：
计算：
（1）875-364-236；
（2）1847-1928＋628-136-64；
（3）1348-234-76＋2234-48-24。
分析与解：
（1）875-364-236
=875-（364＋236）
=875-600=275；
（2）1847-1928＋628-136-64
=1847-（1928-628）-（136＋64）
=1847-1300-200＝347；
（3）1348-234-76＋2234-48-24
=（1348-48）+（2234-234）-（76＋24）
=1300＋2000-100＝3200。
4.加补凑整法
例4：
计算：
（1）512-382；
（2）6854-876-97；
（3）397-146＋288-339。
分析与解：
（1）512-382=（500＋12）-（400-18）
=500+12-400+18
＝（500-400）＋（12＋18）
＝100＋30＝130；
（2）6854-876-97
=6854-（1000-124）-（100-3）
=6854-1000＋124-100＋3
=5854+24+3＝5881；
（3）397-146＋288-339
＝397＋3-3-146＋288＋12-12-339
＝（397＋3）＋（288＋12）-（146＋3＋12＋339）
＝400＋300-500=200。
课堂练习1
巧算下列各题：
1.42＋71＋24＋29＋58。
2.43+（38＋45）＋（55＋62＋57）。
3.698＋784＋158。
4.3993+2996+7994＋135。
5.4356＋1287-356。
6.526-73-27-26。
7.4253-（253-158）。
8.1457-（185＋457）。
9.389-497＋234。
10.698-154+269+787。
第2课横式数字谜
在一个数学式子（横式或竖式）中擦去部分数字，或用字母、文字来代替部分数字的不完整的算式或竖式，叫做数字谜题目。
解数字谜题就是求出这些被擦去的数或用字母、文字代替的数的数值。
例如，求算式324+□=528中□所代表的数。
根据“加数=和-另一个加数”知，
□=582-324＝258。
又如，求右竖式中字母A，B所代表的数字。
显然个位数相减时必须借位，所以，由12-B＝5知，B＝12-5＝7；由A-1＝3知，A＝3＋1＝4。
解数字谜问题既能增强数字运用能力，又能加深对运算的理解，还是培养和提高分析问题能力的有效方法。
解横式数字谜，首先要熟知下面的运算规则：
（1）一个加数+另一个加数=和；
（2）被减数-减数=差；
（3）被乘数×乘数=积；
（4）被除数÷除数=商。
由它们推演还可以得到以下运算规则：
由
（1），得和-一个加数=另一个加数；其次，要熟悉数字运算和拆分。
例如，8可用加法拆分为：
8＝0＋8＝1＋7＝2＋6＝3＋5＝4＋4；24可用乘法拆分为：
24＝1×24=2×12＝3×8＝4×6（两个数之积）
=1×2×12＝2×2×6=…（三个数之积）
=1×2×2×6＝2×2×2×3=…（四个数之积）
例1：
下列算式中，□，○，△，☆，*各代表什么数？
（1）□+5＝13-6；
（2）28-○＝15＋7；（3）3×△=54；（4）☆÷3＝87；（5）56÷*＝7。
分析与解：
（1）由加法运算规则知，□=13-6-5＝2；
（2）由减法运算规则知，○＝28-（15＋7）＝6；
（3）由乘法运算规则知，△＝54÷3＝18；
（4）由除法运算规则知，☆=87×3＝261；
（5）由除法运算规则知，*＝56÷7＝8。
例2：
下列算式中，□，○，△，☆各代表什么数？
（1）□+□+□=48；
（2）○＋○＋6＝21-○；（3）5×△-18÷6＝12；（4）6×3-45÷☆＝13。
分析与解：
（1）□表示一个数，根据乘法的意义知， □+□+□=□×3，
故□=48÷3＝16。
（2）先把左端（○＋○＋6）看成一个数，就有（○＋○＋6）＋○＝21，○×3＝21-6，
○＝15÷3＝5。
（3）把5×△，18÷6分别看成一个数，得到5×△=12＋18÷6，
5×△=15， △=15÷5＝3。
（4）把6×3，45÷☆分别看成一个数，得到 45÷☆＝6×3-13，
45÷☆＝5， ☆＝45÷5＝9。
例3:
（1）满足58＜12×□＜71的整数□等于几？
（2）180是由哪四个不同的且大于1的数字相乘得到的？
试把这四个数按从小到大的次序填在下式的□里。
180=□×□×□×□。
（3）若数□，△满足 □×△=48和□÷△=3， 则□，△各等于多少？
分析与解：
（1）因为 58÷12＝4……10，71÷12＝5……11，并且□为整数，所以，只有□=5才满足原式。
（2）拆分180为四个整数的乘积有很多种方法，如：
180＝1×4×5×90＝1×2×3×30＝…但拆分成四个“大于1”的数字的乘积，范围就缩小了，如：
80＝2×2×5×9＝2×3×5×6＝…若再限制拆分成四个“不同的”数字的乘积，范围又缩小了。
按从小到大的次序排列只有下面一种：
180＝2×3×5×6。
所以填的四个数字依次为2，3，5，6。
（3）首先，由□÷△=3知，□＞△，因此，在把48拆分为两数的乘积时，有48＝48×1＝24×2＝16×3＝12×4＝8×6，其中，只有48＝12×4中，12÷4=3，因此 □=12，△=4。
这道题还可以这样解：
由□÷△=3知，□=△×3。
把□×△=48中的□换成△×3，就有（△×3）×△＝48，于是得到△×△=48÷3＝16。
因为16＝4×4，所以△=4。
再把□=△×3中的△换成4，就有□=△×3=4×3=12。
这是一种“代换”的思想，它在今后的数学学习中应用十分广泛。
下面，我们再结合例题课一类“填运算符号”问题。
例4:
在等号左端的两个数中间添加上运算符号，使下列各式成立：
（1）4444＝24；
（2）55555=6。
解：
（1）因为4＋4＋4＋4＜24，所以必须填一个“×”。
4×4＝16，剩下的两个4只需凑成8，因此，有如下一些填法：
4×4＋4＋4＝24；
4＋4×4＋4＝24；
4＋4＋4×4＝24。
（2）因为5+1=6，等号左端有五个5，除一个5外，另外四个5凑成1，至少要有一个
“÷”，有如下填法：
5÷5+5-5+5＝6；
5＋5÷5＋5-5＝6；
5＋5×5÷5÷5=6；
5＋5÷5×5÷5＝6。
由例4看出，填运算符号的问题一般会有多个解。
这些填法都是通过对问题的综合观察、分析和试算得到的，如果只是盲目地“试算”，那么就可能走很多弯路。
例5:
在下式的两数中间添上四则运算符号，使等式成立：
823＝33。
分析与解：
首先考察右端“33”，它有四种填法：
3+3＝6；3-3＝0；
3×3＝9；3÷3=1。
再考察左端“823”，因为只有一个奇数3，所以要想得到奇数，3的前面只能填“＋”或“-”，要想得到偶数，3的前面只能填“×”。
经试算，只有两种符合题意的填法：
8-2＋3＝3×3；8÷2-3＝3÷3。
填运算符号可加深对四则运算的理解和认识，也是培养分析能力的好内容。
课堂练习2
1.在下列各式中，□分别代表什么数？
□+16＝35；47-□=12；□-3＝15；
4×□=36；□÷4=15；84÷□=4。
2.在下列各式中，□，○，△，☆各代表什么数？
（□+350）÷3=200；（54-○）×4＝0；
360-△×7＝10；4×9-☆÷5=1。
3.在下列各式中，□，○，△各代表什么数？
150-□-□=□；
○×○＝○＋○；
△×9＋2×△=22。
4.120是由哪四个不同的一位数字相乘得到的？
试把这四个数字按从小到大的次序填在下式的□里：
120＝□×□×□×□。
5.若数□，△同时满足
□×△=36和□-△=5，
则□，△各等于多少？
6.在两数中间添加运算符号，使下列等式成立：
（1）55555＝3；
（2）1234＝1。
7.在下列各式的□内填上合适的运算符号，使等式成立：
12□4□4=10□3。
8.在下列各式的□内填上合适的运算符号，使等式成立：
123□45□67□89＝100；
123□45□67□8□9＝100；
123□4□5□67□89＝100；
123□4□5□6□7□8□9＝100；
12□3□4□5□67□8□9＝100；
1□23□4□56□7□8□9＝100；
12□3□4□5□6□7□89＝100。
第3课竖式数字谜
本课只限于乘数、除数是一位数的乘、除法竖式数字谜问题。
掌握好乘、除法的基本运算规则是解乘、除法竖式谜的基础。
根据题目结构形式，通过综合观察、分析，找出“突破口”是解题的关键。
例1：
在左下乘法竖式的□中填入合适的数字，使竖式成立。
分析与解：
由于积的个位数是5，所以在乘数和被乘数的个位数中，一个是5，另一个是奇数。
因为乘积大于被乘数的7倍，所以乘数是大于7的奇数，即只能是9（这是问题的“突破口”），被乘数的个位数是5。
因为7×9＜70＜8×9，所以，被乘数的百位数字只能是7。
至此，求出被乘数是785，乘数是9（见右上式）。
例2：
在右边乘法竖式的□里填入合适的数字，使竖式成立。
分析与解：
由于乘积的数字不全，特别是不知道乘积的个位数，我们只能从最高位入手分析。
乘积的最高两位数是2□，被乘数的最高位是3，由
可以确定乘数的大致范围，乘数只可能是6，7，8，9。
到底是哪一个呢？
我们只能逐一进行试算：
（1）若乘数为6，则积的个位填2，并向十位进4，此时，乘数6与被乘数的十位上的数字相乘之积的个位数只能是5（因4+5=9）。
这样一来，被乘数的十位上就无数可填了。
这说明乘数不能是6。
（2）若乘数为7，则积的个位填9，并向十位进4。
与
（1）分析相同，为使积的十位是9，被乘数的十位只能填5，从而积的百位填4。
得到符合题意的填法如右式。
（3）若乘数为8，则积的个位填6，并向十位进5。
为使积的十位是9，被乘数的十位只能填3或8。
当被乘数的十位填3时，得到符合题意的填法如右式。
当被乘数的十位填8时，积的最高两位为3，不合题意。
（4）若乘数为9，则积的个位填3，并向十位进6。
为使积的十位是9，被乘数的十位只能填7。
而此时，积的最高两位是3
，不合题意。
综上知，符合题意的填法有上面两种。
除法竖式数字谜问题的解法与乘法情形类似。
例3：
在左下边除法竖式的□中填入适当的数，使竖式成立。
分析与解：
由48÷8=6即8×6=48知，商的百位填6，且被除数的千位、百位分别填4，8。
又显然，被除数的十位填1。
由1□=商的个位×8知，两位数1□能被8除尽，只有16÷8=2，推知被除数的个位填6，商的个位填2。
填法如右上式。
例3是从最高位数入手分析而得出解的。
例4：
在右边除法竖式的□中填入合适的数字。
使竖式成立。
分析与解：
从已知的几个数入手分析。
首先，由于余数是5，推知除数＞5，且被除数个位填5。
由于商4时是除尽了的，所以，被除数的十位应填2，且由于3×4=12，8×4=32，推知，除数必为3或8。
由于已经知道除数＞5，故除数=8。
（这是关键！
）从8×4=32知，被除数的百位应填3，且商的百位应填0。
从除数为8，第一步除法又出现了4，8×8=64，8×3=24，这说明商的千位只能填8或3。
试算知，8和3都可以。
所以，此题有下面两种填法。
课堂练习3
1.在下列各竖式的□里填上合适的数：
2.在右式中，“我”、“爱”、“数”、“学”分别代表什么数时，乘法竖式成立？
3.“我”、“们”、“爱”、“祖”、“国”各代表一个不同的数字，它们各等于多少时，右边的乘法竖式成立？
第4课找规律
这一课我们先介绍什么是“数列”，然后讲如何发现和寻找“数列”的规律。
按一定次序排列的一列数就叫数列。
例如，
（1）1，2，3，4，5，6，…
（2）1，2，4，8，16，32；
（3）1，0，0，1，0，0，1，…（4）1，1，2，3，5，8，13。
一个数列中从左至右的第n个数，称为这个数列的第n项。
如，数列
（1）的第3项是3，数列
（2）的第3项是4。
一般地，我们将数列的第n项记作an。
数列中的数可以是有限多个，如数列
（2）（4），也可以是无限多个，如数列
（1）（3）。
许多数列中的数是按一定规律排列的，我们这一课就是课如何发现这些规律。
数列
（1）是按照自然数从小到大的次序排列的，也叫做自然数数列，其规律是：
后项=前项+1或第n项an＝n。
数列
（2）的规律是：
后项=前项×2，或第n项
数列（3）的规律是：
“1，0，0”周而复始地出现。
数列（4）的规律是：
从第三项起，每项等于它前面两项的和，即a3=1+1=2，a4=1+2=3，a5=2+3＝5，a6=3+5=8，a7=5+8=13。
常见的较简单的数列规律有这样几类：
第一类是数列各项只与它的项数有关，或只与它的前一项有关。
例如数列
（1）
（2）。
第二类是前后几项为一组，以组为单元找关系才可找到规律。
例如数列（3）（4）。
第三类是数列本身要与其他数列对比才能发现其规律。
这类情形稍为复杂些，我们用后面的例3、例4来作一些说明。
例1：
找出下列各数列的规律，并按其规律在（）内填上合适的数：
（1）4，7，10，13，（），…
（2）84，72，60，（），（）；（3）2，6，18，（），（），…
（4）625，125，25，（），（）；（5）1，4，9，16，（），…（6）2，6，12，20，（），（），…
解：
通过对已知的几个数的前后两项的观察、分析，可发现
（1）的规律是：
前项+3=后项。
所以应填16。
（2）的规律是：
前项-12=后项。
所以应填48，36。
（3）的规律是：
前项×3=后项。
所以应填54，162。
（4）的规律是：
前项÷5=后项。
所以应填5，1。
（5）的规律是：
数列各项依次为1=1×1，4=2×2，9=3×3，16=4×4，所以应填5×5=25。
（6）的规律是：
数列各项依次为2=1×2，6=2×3，12=3×4，20=4×5，所以，应填5×6=30，6×7=42。
说明：
本例中各数列的每一项都只与它的项数有关，因此an可以用n来表示。
各数列的第n项分别可以表示为
（1）an＝3n+1；
（2）an＝96-12n；（3）an＝2×3n-1；（4）an＝55-n；（5）an＝n2；（6）an＝n（n+1）。
这样表示的好处在于，如果求第100项等于几，那么不用一项一项地计算，直接就可以算出来，比如数列
（1）的第100项等于3×100+1=301。
本例中，数列
（2）（4）只有5项，当然没有必要计算大于5的项数了。
例2：
找出下列各数列的规律，并按其规律在（）内填上合适的数：
（1）1，2，2，3，3，4，（），（）；
（2）（），（），10，5，12，6，14，7；
（3）3，7，10，17，27，（）；
（4）1，2，2，4，8，32，（）。
解：
通过对各数列已知的几个数的观察分析可得其规律。
（1）把数列每两项分为一组，1，2，2，3，3，4，不难发现其规律是：
前一组每个数加1得到后一组数，所以应填4，5。
（2）把后面已知的六个数分成三组：
10，5，12，6，14，7，每组中两数的商都是2，且由5，6，7的次序知，应填8，4。
（3）这个数列的规律是：
前面两项的和等于后面一项，故应填（17+27=）44。
（4）这个数列的规律是：
前面两项的乘积等于后面一项，故应填（8×32=）256。
例3：
找出下列各数列的规律，并按其规律在（）内填上合适的数：
（1）18，20，24，30，（）；
（2）11，12，14，18，26，（）；
（3）2，5，11，23，47，（），（）。
解：
（1）因20-18=2，24-20=4，30-24=6，说明（后项-前项）组成一新数列2，4，6，…其规律是“依次加2”，因为6后面是8，所以，a5-a4=a5-30=8，故a5=8+30=38。
（2）12-11=1，14-12=2，18-14=4，26-18=8，组成一新数列1，2，4，8，…按此规律，8后面为16。
因此，a6-a5＝a6-26=16，故a6＝16+26=42。
（3）观察数列前、后项的关系，后项=前项×2+1，所以
a6=2a5+1＝2×47+1＝95，
a7＝2a6+1＝2×95+1=191。
例4：
找出下列各数列的规律，并按其规律在（）内填上合适的数：
（1）12，15，17，30，22，45，（），（）；
（2）2，8，5，6，8，4，（），（）。
解：
（1）数列的第1，3，5，…项组成一个新数列12，17，22，…其规律是“依次加5”，22后面的项就是27；数列的第2，4，6，…项组成一个新数列15，30，45，…其规律是“依次加15”，45后面的项就是60。
故应填27，60。
（2）如
（1）分析，由奇数项组成的新数列2，5，8，…中，8后面的数应为11；由偶数项组成的新数列8，6，4，…中，4后面的数应为2。
故应填11，2。
课堂练习4
按其规律在下列各数列的（）内填数。
1.56，49，42，35，（）。
2.11，15，19，23，（），…
3.3，6，12，24，（）。
4.2，3，5，9，17，（），…
5.1，3，4，7，11，（）。
6.1，3，7，13，21，（）。
7.3，5，3，10，3，15，（），（）。
8.8，3，9，4，10，5，（），（）。
9.2，5，10，17，26，（）。
第5课加减法应用题
用数学方法解决人们生活和工作中的实际问题就产生了通常所说的“应用题”。
应用题由已知的“条件”和未知的“问题”两部分构成，而且给出的已知条件应能保证求出未知的问题。
这一课主要介绍利用加、减法解答的简单应用题。
例1：
小玲家养了46只鸭子，24只鸡，养的鸡和鹅的总只数比养的鸭多5只。
小玲家养了多少只鹅？
解：
将已知条件表示为下图：
表示为算式是：
24+？
=46+5。
由此可求得养鹅
（46+5）-24=27（只）。
答：
养鹅27只。
若例1中鸡和鹅的总数比鸭少5只（其它不变），则已知条件可表示为下图，
表示为算式是：
24+？
+5=46。
由此可求得养鹅
46-5-24=17（只）。
例2:
一个筐里装着52个苹果，另一个筐里装着一些梨。
如果从梨筐里取走18个梨，那么梨就比苹果少12个。
原来梨筐里有多少个梨？
分析：
根据已知条件，将各种数量关系表示为下图。
有几种思考方法：
（1）根据取走18个梨后，梨比苹果少12个，先求出梨筐里现有梨52-12=40（个），再求出原有梨
（52-12）+18=58（个）。
（2）根据取走18个梨后梨比苹果少12个，我们设想“少取12个”梨，则现有的梨和苹果一样多，都是52个。
这样就可先求出原有梨比苹果多18-12＝6（个），再求出原有梨
52+（18-12）=58（个）。
（3）根据取走18个梨后梨比苹果少12个，我们设想不取走梨，只在苹果筐里加入18个苹果，这时有苹果
52+18=70（个）。
这样一来，现有苹果就比原来的梨多了12个（见下图）。
由此可求出原有梨（52+18）-12=58（个）。
由上面三种不同角度的分析，得到如下三种解法。
解法1：
（52-12）+18=58（个）。
解法2：
52+（18-12）=58（个）。
解法3：
（52+18）-12=58（个）。
答：
原来梨筐中有58个梨。
例3:
某校三年级一班为欢迎“手拉手”小朋友们的到来，买了若干糖果。
已知水果糖比小白兔软糖多15块，巧克力糖比水果糖多28块。
又知巧克力糖的块数恰好是小白兔软糖块数的2倍。
三年级一班共买了多少块糖果？
分析与解：
只要求出某一种糖的块数，就可以根据已知条件得到其它两种糖的块数，总共买多少就可求出。
先求出哪一种糖的块数最简便呢？
我们先把已知条件表示为下图。
由上图可求出，
小白兔软糖块数=15+28=43（块），
水果糖块数=43+15=58（块），
巧克力糖块数=43×2=86（块）。
糖果总数=43+58+8
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