第十六单元 圆锥曲线方程教师用卷.docx
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第十六单元圆锥曲线方程教师用卷
全国100所名校单元测试示范卷·高三·数学卷（十六）
第十六单元 圆锥曲线方程
（120分钟 150分）
第Ⅰ卷
一、选择题:
本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.顶点在原点,准线与x轴垂直,且经过点（1,-
）的抛物线方程是
A.y2=-2xB.y2=2xC.x2=2yD.x2=-2y
解析:
由题意,可设抛物线方程是y2=2px（p>0）.将点（1,-
）代入抛物线方程y2=2px（p>0）,得（-
）2=2p×1,解得p=1.故抛物线方程是y2=2x.
答案:
B
2.双曲线
-y2=1的焦点到渐近线的距离为
A.2B.
C.1D.3
解析:
双曲线
-y2=1的左右焦点分别为（-
0）,（
0）,渐近线为y=±
x,不妨取焦点（
0）到渐近线为y=
x的距离d=
=1.
答案:
C
3.椭圆
+y2=1的两个焦点为F1、F2,过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交,一个交点为P,则P到F2的距离为
A.
B.
C.
D.4
解析:
根据椭圆通径长易知|PF1|=
再根据椭圆的定义得|PF2|=4-|PF1|=
.
答案:
C
4.已知双曲线
-
=1（m>0,n>0）的离心率为3,且它有一个焦点与抛物线y2=12x的焦点相同,那么双曲线的渐近线方程为
A.x±2y=0B.2x±y=0C.2
x±y=0D.2±2
y=0
解析:
抛物线y2=12x的焦点为（3,0）,由题意得
解得
所以双曲线的方程为x2-
=1.所以双曲线的渐近线方程为2
x±y=0.
答案:
C
5.抛物线x2=my上一点M（x0,-3）到焦点的距离为5,则实数m的值为
A.-8B.-4 C.8D.4
解析:
由抛物线方程x2=my及点M（x0,-3）,可知m<0,又点M到焦点的距离为5,且该抛物线准线方程为y=-
所以-
-（-3）=5,解得m=-8.
答案:
A
6.过椭圆C:
+
=1（a>b>0）长轴的一个顶点作圆x2+y2=b2的两条切线,切点分别为A、B,若∠AOB=90°（O是坐标原点）,则椭圆C的离心率为
A.
B.
C.
D.
解析:
过椭圆长轴的一个顶点A1作圆x2+y2=b2的两条切线,切点分别为A、B,则四边形OAA1B为正方形,所以a=
b=
c,故椭圆的离心率为e=
=
.
答案:
D
7.已知直线l1:
4x-3y+6=0和直线l2:
x=-1,抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是
A.
B.2C.
D.3
解析:
易知l2:
x=-1是抛物线y2=4x的准线.设抛物线的焦点为F,则点F的坐标为（1,0）,则动点P到l2的距离等于|PF|,则动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值为焦点F（1,0）到直线l1:
4x-3y+6=0的距离,所以最小值是
=2.
答案:
B
8.已知对称轴为坐标轴的双曲线的两条渐近线方程为y=±
x（a>0,b>0）,若双曲线上有一点M（x0,y0）,使b|x0|A.在x轴上
B.在y轴上
C.当a>b时,在x轴上
D.当a 解析:
由双曲线的渐近线方程可设双曲线的方程为:
-
=λ,由b|x0|代入方程可得λ<0,故焦点在y轴上.
答案:
B
9.已知直线l与双曲线C交于A,B两点（A,B不在同一支上）,F1,F2为双曲线的两个焦点,则F1,F2在
A.以A,B为焦点的双曲线上B.以A,B为焦点的椭圆上
C.以A,B为直径两端点的圆上D.以上说法均不正确
解析:
不妨设双曲线焦点在x轴上,方程为
-
=1（a>0,b>0）,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,且A,B分别在左、右支上,由双曲线的定义,得|AF2|-|AF1|=2a,
|BF1|-|BF2|=2a,则|AF2|+|BF2|=|AF1|+|BF1|>|AB|.由椭圆定义可知,F1,F2在以A,B为焦点的椭圆上.
答案:
B
10.已知圆锥曲线mx2+4y2=4m的离心率e为方程2x2-5x+2=0的根,则满足条件的圆锥曲线的个数为
A.4B.3C.2D.1
解析:
方程2x2-5x+2=0的根为
与2,则e=
或e=2.
圆锥曲线mx2+4y2=4m可化为
+
=1,则
当e=
时,圆锥曲线
+
=1表示椭圆,由于椭圆分焦点在x轴、y轴两种,故此时有两种圆锥曲线;
当e=2时,圆锥曲线
+
=1表示双曲线,此时m<0,且
=2,解得m=-12,只有一种圆锥曲线;
综上,满足条件的圆锥曲线的个数为3.
答案:
B
11.已知双曲线
-
=1（a>0,b>0）,过其左焦点F作x轴的垂线,交双曲线于A,B两点,若双曲线的右顶点M在以AB为直径的圆内,则双曲线离心率的取值范围是
A.（2,+∞）B.（1,2）C.（
+∞）D.（1,
）
解析:
易知直线AB方程为x=-c,其中c=
因此,设点A（-c,y0）,B（-c,-y0）,所以
-
=1,解得y0=
得|AF|=
.因为双曲线的右顶点M（a,0）在以AB为直径的圆内部,所以|MF|<|AF|,即a+c<
将b2=c2-a2代入,并化简整理,得2a2+ac-c2<0,两边都除以a2,整理得e2-e-2>0,解得e>2（舍负）.
答案:
A
12.如图,半径为2的半圆有一内接梯形ABCD,它的下底AB是☉O的直径,上底CD的端点在圆周上.若双曲线以A,B为焦点,且过C,D两点,则当梯形ABCD的周长最大时,双曲线的实轴长为
A.
+1B.2
+2
C.
-1D.2
-2
解析:
如下图,设∠BAC=θ,作CE⊥AB于点E,
则BC=4sinθ,EB=BCcos（90°-θ）=4sin2θ,有CD=4-8sin2θ.
梯形的周长l=AB+2BC+CD=4+8sinθ+4-8sin2θ=-8（sinθ-
）2+10,
当sinθ=
即θ=30°时,l有最大值10,
这时,BC=2,AC=2
2a=AC-BC=（
-1）×2=2
-2.
答案:
D
第Ⅱ卷
二、填空题:
本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上.
13.F1、F2为椭圆
+
=1的左、右焦点,A为椭圆上任一点,过焦点F1向∠F1AF2的外角平分线作垂线,垂足为D,则点D的轨迹方程是 .
解析:
延长F1D与F2A交于B,连结DO,可知DO=
F2B=2,∴动点D的轨迹方程为x2+y2=4.
答案:
x2+y2=4
14.设F1,F2是双曲线x2-
=1的两个焦点,P是双曲线与椭圆
+
=1的一个公共点,则△PF1F2的面积等于 .
解析:
由题意,双曲线和椭圆焦点相同,假设点P是两曲线在第一象限的交点,则|PF1|-|PF2|=2,|PF1|+|PF2|=14,解得|PF1|=8,|PF2|=6.又|F1F2|=10,故△PF1F2是直角三角形.故△PF1F2的面积等于S=
|PF1||PF2|=
×8×6=24.
答案:
24
15.过抛物线C:
y2=4x的焦点F作直线交抛物线C于A、B两点,若A到抛物线的准线的距离为4,则|AB|= .
解析:
由题意,设点A（x1,y1）,B（x2,y2）,则由抛物线的定义得x1-（-1）=4,解得x1=3.
不妨设点A在x轴上方,将点A（3,y1）代入y2=4x,解得y1=2
.又点F（1,0）,故由两点式得直线AB的方程为y=
（x-1）.联立
消去y得3x2-10x+3=0,可得|x1-x2|=
.
故由弦长公式,得|AB|=
|x1-x2|=
×
=
.
答案:
16.已知抛物线y2=2px（p>0）,过其焦点且斜率为-1的直线交抛物线于A、B两点,若线段AB的中点的纵坐标为-2,则该抛物线的准线方程为 .
解析:
设点A（x1,y1）,B（x2,y2）,则
=2px1,
=2px2.两式相减得（y1-y2）（y1+y2）=2p（x1-x2）,又因为直线的斜率为-1,所以
=-1,所以y1+y2=-2p.又线段AB的中点的纵坐标为-2,所以y1+y2=-4.即-2p=-4,解得p=2.故该抛物线的准线方程为x=-
=-1.
答案:
x=-1
三、解答题:
本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）
求满足下列条件的抛物线的标准方程:
（1）过点（-3,2）;
（2）焦点在直线x-2y-4=0上.
解析:
（1）设所求的抛物线方程为y2=-2px或x2=2py（p>0）,
∵过点（-3,2）,∴4=-2p·（-3）或9=2p·2,
∴p=
或p=
.
∴所求的抛物线方程为y2=-
x或x2=
y.5分
（2）令x=0,得y=-2,令y=0,得x=4,
∴抛物线的焦点为（4,0）或（0,-2）.
当焦点为（4,0）时,
=4,
∴p=8,此时抛物线方程为:
y2=16x;
当焦点为（0,-2）时,
=2,
∴p=4,此时抛物线方程为x2=-8y.
∴所求的抛物线方程为y2=16x或x2=-8y.10分
18.（本小题满分12分）
如图,已知椭圆E:
+
=1的上顶点为A,直线y=-4交椭圆E于点B,C（点B在点C的左侧）,点P在椭圆E上.
（1）若点P的坐标为（6,4）,求四边形ABCP的面积;
（2）若四边形ABCP为梯形,求点P的坐标.
解析:
（1）A（0,5）,B（-6,-4）,C（6,-4）,
S四边形ABCP=S三角形ABC+S三角形ACP=
×12×（4+5）+
×8×6=78.4分
（2）要使四边形ABCP为梯形,当且仅当CP∥AB.
∵kAB=
∴直线CP的方程为y+4=
（x-6）,
即y=
x-13,①
又
+
=1,即x2+4y2-100=0,②
由①,②得5x2-78x+288=0.
即（x-6）（5x-48）=0,∴x=6或
.
∵点C（6,-4）,∴点P（
）.12分
19.（本小题满分12分）
已知两点M（-2,0）,N（2,0）,动点P（x,y）在y轴上的射影为H,|
|是2和
·
的等比中项.
（1）求动点P的轨迹方程;
（2）若以点M、N为焦点的双曲线C过直线x+y=1上的点Q,求实轴最长的双曲线C的方程.
解析:
（1）动点为P（x,y）,
则H（0,y）,
=（-x,0）,
=（-2-x,-y）,
=（2-x,-y）,
∴
·
=x2-4+y2,且|
|2=x2.
由题意得|
|2=2
·
即x2=2（x2-4+y2）,
∴
+
=1为所求点P的轨迹方程.6分
（2）若直线x+y=1与双曲线C右支交于点Q,
而N（2,0）关于直线x+y=1的对称点为E（1,-1）,
则|QE|=|QN|,
∴双曲线C的实轴长2a=||QM|-|QN||=||QM|-|QE||≤|ME|=
（当且仅当Q、E、M共线时取“=”）,
此时,实轴长2a最大为
;
若直线x+y=1与双曲线C左支交于点Q时,同理可求得双曲线C的实轴长2a最大为
.
所以,双曲线C的实
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