高考文科数学试题考点汇编立体几何图文.docx
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高考文科数学试题考点汇编立体几何图文
2012高考文科试题分类汇编:
立体几何
一、选择题
1.【2012高考新课标文7】如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的
三视图,则此几何体的体积为（
（A6（B9（C12（D18
【答案】B
【解析】选B由三视图可知,该几何体是三棱锥,底面是俯视图,高为3,所以几何体的体积为93362
131=⨯⨯⨯⨯=V,选B.2.【2012高考新课标文8】平面α截球O的球面所得圆的半径为1,球心O到平面α的距离为2,则此球的体积为
（A6π（B43π（C46π（D63π
【答案】B【解析】球半径32（12=+=r,所以球的体积为ππ343（3
43=⨯,选B.
3.【2012高考全国文8】已知正四棱柱1111ABCDABCD-中,
2AB=,1CC=E为1CC的中点,则直线1AC与平面BED的距离为
（A2（B（C（D1
【答案】D
【解析】连结BDAC,交于点O,连结OE,因为EO,是中点,所以1//ACOE,且12
1ACOE=,所以BDEAC//1,即直线1AC与平面BED的距离等于点C到平面BED的距离,过C做OECF⊥于F,则CF即为所求距离.因为底面边长为2,高为22,所以22=AC,2,2==CEOC,2=OE,所以利用等积法得1=CF,选D.
4.【2012高考陕西文8】将正方形（如图1所示截去两个三棱锥,得到图2所示的几何体,则该几何体的左视图为（
8.【答案】B.
【解析】根据.空间几何体的三视图的概念易知左视图1AD是实线CB1是虚线,故选B.
5.【2012高考江西文7】若一个几何体的三视图如图所示,则此几何体的体积为
A.112B.5C.4D.92【答案】D
【解析】由三视图可知这是一个高为1的直六棱柱。
底面为六边形的面积为4212
31=⨯⨯+（,所以直六棱柱的体积为414=⨯,选D.易错提示:
本题容易把底面六边形看成是边长为1的正六边形,其实只有上下两个边长是1.
6.【2012高考湖南文4】某几何体的正视图和侧视图均如图1所示,则该几何体的俯视图不.可能..
是
【答案】D
【解析】本题是组合体的三视图问题,由几何体的正视图和侧视图均如图1所示知,原图下面图为圆柱或直四棱柱,上面是圆柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱,A,B,C,都可能是该几何体的俯视图,D不可能是该几何体的俯视图,因为它的正视图上面应为如图的矩形.
【点评】本题主要考查空间几何体的三视图,考查空间想象能力.是近年来热点题型
.
7.【2012高考广东文7】某几何体的三视图如图1所示,它的体积为
A.72π
B.48π
C.30π
D.24π
【答案】C
【解析】该几何体是圆锥和半球体的组合体,则它的体积
2311434330323
VVVπππ=+=⋅⋅+⋅⋅=圆锥半球体.8.【2102高考福建文4】一个几何体的三视图形状都相同,大小均等,那么这个几何体不可
图1正视图俯视图
侧视图
以是
A球
B三棱锥
C正方体
D圆柱
【答案】D.
【解析】球的三视图全是圆;如图正方体截出的三棱锥三视图全是等腰直角三角形;正方体三视图都是正方形.可以排除ABC,故选D.
9.【2012高考重庆文9】设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1a且长为a的棱
a的取值范围是
（A（B（C（D（1
【答案】A【解析】因为2
221122（12=-=-=BE则BEBF<,222=<=BEBFAB,选A,
10.【2012高考浙江文3】已知某三棱锥的三视图（单位:
cm如图所示,则该三棱锥的体积是
A.1cm3
B.2cm3
C.3cm3
D.6cm3
【答案】C
【解析】由题意判断出,底面是一个直角三角形,两个直角边分别为1和2,整个棱锥的高由侧视图可得为3,所以三棱锥的体积为11123132
⨯⨯⨯⨯=.11.【2012高考浙江文5】设l是直线,a,β是两个不同的平面
A.若l∥a,l∥β,则a∥β
B.若l∥a,l⊥β,则a⊥β
C.若a⊥β,l⊥a,则l⊥β
D.若a⊥β,l∥a,则l⊥β
【答案】B
【解析】利用排除法可得选项B是正确的,∵l∥a,l⊥β,则a⊥β.如选项A:
l∥a,l∥β时,a⊥β或a∥β;选项C:
若a⊥β,l⊥a,l∥β或lβ⊂;选项D:
若若a⊥β,l⊥a,l∥β或l⊥β.
12.【2012高考四川文6】下列命题正确的是（
A、若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行
B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行
C、若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行
D、若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行
【答案】C
【解析】A.两直线可能平行,相交,异面故A不正确;B.两平面平行或相交;C.正确;D.这两个平面平行或相交.
13.【2012高考四川文10】如图,半径为R的半球O的底面圆O在平面α内,过点O作平面α的垂线交半球面于点A,过圆O的直径CD作平面α成45角的平面与半球面相交,所得交线上到平面α的距离最大的点为B,该交线上的一点P满足60BOP∠=,则A、P两点间的球面距离为（
A、R
B、4Rπ
C、R
D、3Rπ【答案】A
【解析】根据题意,易知平面AOB⊥平面CBD,BOPAOBAOP∠⋅∠=∠∴coscoscos422122=⋅=,4
2arccos=∠∴AOP,由弧长公式易得,A、P两点间的球面距离为
arccos
4R.14.【2102高考北京文7】某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是
（A
28+B
30+C
56+D
60+【答案】B
【解析】从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥,如图所示,图中蓝色数字所表示的为直接从题目所给三视图中读出的长度,黑色数字代表通过勾股定理的计算得到的边长。
本题所求表面积应为三棱锥四个面的面积之和,利用垂直关系和三角形面积公式,可得:
10=底S,10=后S,10=右S,56=左S,因此该几何体表面积
5630+=+++=左右后底SSSSS,故选B。
二、填空题
15.【2012高考四川文14】如图,在正方体1111ABCDABCD-中,
M、N分别是CD、1CC的中点,则异面直线1AM与DN所成的角的大小是____________。
N
A1
【答案】
2
π
【解析】本题有两种方法,一、几何法:
连接1MD,则DNMD⊥1,又DNDA⊥11,易知11MDADN面⊥,所以1AM与DN所成角的大小是
2
π
;二、坐标法:
建立空间直角坐
标系,利用向量的夹角公式计算得异面直线1AM与DN所成角的大小是
2
π.16.【2012高考上海文5】一个高为2的圆柱,底面周长为2π,该圆柱的表面积为【答案】π6
【解析】底面圆的周长ππ22=r,所以圆柱的底面半径1=r,所以圆柱的侧面积为π4两个底面积为ππ222
=r。
所以圆柱的表面积为π6。
17.【2012高考湖北文15】已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为____________.
【答案】12π
【解析】由三视图可知,该几何体是由左右两个相同的圆柱（底面圆半径为2,高为1与中间一个圆柱（底面圆半径为1,高为4组合而成,故该几何体的体积是
222121412Vπππ=⨯⨯⨯+⨯⨯=.
【点评】本题考查圆柱的三视图的识别,圆柱的体积.学生们平常在生活中要多多观察身边的实物都是由什么几何形体构成的,以及它们的三视图的画法.来年需注意以三视图为背景,考查常见组合体的表面积.
18.【2012高考辽宁文13】一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为_______________.
【答案】12+π
【解析】由三视图可知该几何体为一个长方体和一个等高的圆柱的组合体,其中长方体的长、
宽、高分别为4、3、1,圆柱的底面直径为2,高位1,所以该几何体的体积为
3411112ππ⨯⨯+⨯⨯=+
【点评】本题主要考查几何体的三视图、柱体的体积公式,考查空间想象能力、运算求解能力,属于容易题。
本题解决的关键是根据三视图还原出几何体,确定几何体的形状,然后再根据几何体的形状计算出体积。
19.【2012高考江苏7】（5分如图,在长方体1111ABCDABCD-中,
3cmABAD==,12cmAA=,则四棱锥11ABBDD-的体积为▲cm3
.
【答案】6。
【考点】正方形的性质,棱锥的体积。
【解析】∵长方体底面ABCD是正方形,∴△ABD
中BD,BD
（它也是11ABBDD-中11BBDD上的高。
∴四棱锥11ABBDD-
的体积为123⨯。
20.【2012高考辽宁文16】已知点P,A,B,C,D是球O表面上的点,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是边长为
则△OAB的面积为______________.
【答案】【解析】点PABCDO、、、、为球内接长方体的顶点,
14
OOAB∴∆球心为该长方体对角线的中点,
的面积是该长方体对角面面积的,
1
6=4
ABPAPBOABD==∴=∴∆⨯,面积
【点评】本题主要考查组合体的位置关系、抽象概括能力、空间想象能力、运算求解能力以及转化思想,该题灵活性较强,难度较大。
该题若直接利用三棱锥来考虑不宜入手,注意到
条件中的垂直关系,把三棱锥转化为长方体来考虑就容易多了。
21.【2012高考天津文科10】一个几何体的三视图如图所示（单位:
m,则该几何体的体积3
m.
【答案】30
【解析】由三视图可知这是一个下面是个长方体,上面是个平躺着的五棱柱构成的组合体。
长方体的体积为24243=⨯⨯,五棱柱的体积是
6412
21（=⨯⨯+,所以几何体的总体积为30。
22.【2012高考安徽文12】某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积等于______。
【答案】56
【解析】该几何体是底面是直角梯形,高为4的直四棱柱,几何体的的体积是
1
（2544562
V=⨯+⨯⨯=。
23.【2012高考山东文13】如图,正方体1111ABCDABCD-的棱长为1,E为线段1BC上的一点,则三棱锥1ADED-的体积为_____.
【答案】
6
1【解析】因为E点在线段CB1上,
所以2
1
11211=⨯⨯=
∆DEDS,又因为F点在线段CB1上,所以点F到平面1DED的距离为1,即1=h,所以6
1
1213131111=⨯⨯=⨯⨯==∆--hSVVDEDDEDFEDFD.
24.【2012高考安徽文15】若四面体ABCD的三组对棱分别相等,即ABCD=,
ACBD=,ADBC=,则______（写出所有正确结论编号。
①四面体ABCD每组对棱相互垂直②四面体ABCD每个面的面积相等
③从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90。
而小于180。
④连接四面体ABCD每组对棱中点的线段互垂直平分
⑤从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长【答案】②④⑤
【解析】②四面体ABCD每个面是全等三角形,面积相等;③从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱两两夹角之和等于180ο;④连接四面体ABCD每组对棱中点构成菱形,线段互垂直平分;
⑤从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长。
25.【2012高考全国文16】已知正方体1111ABCDABCD-中,
E、
F分别为11BBCC、的中点,那么异面直线AE与1DF所成角的余弦值为____________.【答案】5
3
【解析】
如图连接FDDF1,,则AEDF//,所以DF与
FD1所成的角即为异面直线所成的角,设边长为2,则51==FDDF,在三角形F
DD1中5
3
5
52455cos1=
⨯⨯-+=
FDD.
三、解答题
26.【2012高考全国文19】（本小题满分12分（注意:
在试题卷上.....作答无效....
如图,四棱锥PABCD-中,底面ABCD为菱形,PA⊥底面
ABCD
AC=2PA=,E是PC上的一点,2PEEC=。
（Ⅰ证明:
PC⊥平面BED;
（Ⅱ设二面角APBC--为90,求PD与平面PBC所成角的大小。
【答案】
D
27.【2012高考安徽文19】（本小题满分12分
如图,长方体1111DCBAABCD中,底面1111DCBA是正方形,O是BD的中点,E是棱1AA上任意一点。
（Ⅰ证明:
BD1EC⊥;
（Ⅱ如果AB=2,AE=2,1ECOE⊥,,求1AA的长。
【答案】
【解析】
28.【2012高考四川文19】（本小题满分12分
如图,在三棱锥PABC-中,90APB∠=,60PAB∠=
ABBCCA==,点P
在平面ABC内的射影O在AB上。
（Ⅰ求直线PC与平面ABC所成的角的大小;（Ⅱ求二面角BAPC--的大小。
命题立意:
本题主要考查本题主要考查直线与平面的位置关系,线面角的概念,二面角的概念等基础知识,考查空间想象能力,利用向量解决立体几何问题的能力.【答案】【解析】
229.【2012高考重庆文20】（本小题满分12分,（Ⅰ小问4分,（Ⅱ小问8分已知直
三棱柱111ABCABC-中,4AB=,3ACBC==,D为AB的中点。
（Ⅰ求异面直线1CC和AB的距离;（Ⅱ若11ABAC⊥,求二面角11ACDB--的平面角的余弦值。
【答案】（Ⅰ（Ⅱ
1
3
【解析】（Ⅰ如答（20图1,因AC=BC,D为AB的中点,故CD⊥AB。
又直三棱柱中,
1CC⊥面ABC,故1CDCC⊥,所以异面直线1CC和AB的距离
为
=（Ⅱ:
由1CD,CD,ABBB⊥⊥故CD⊥面11AABB,从而1CDDA⊥,1CDDB⊥故11ADB∠为所求的二面角11ACDB--的平面角。
因1AD是1AC在面11AABB上的射影,又已知11C,ABA⊥由三垂线定理的逆定理得11D,ABA⊥从而11AAB∠,1ADA∠都与1BAB∠互余,因此111AABADA
∠=∠,所以1RtAAD≌11RtBAA,因此
1111
AAABADAA=得2
1118AAADAB=⋅=
从而111ADBDAD===所以在11ADB中,由余弦定理得222111111111
cos23
ADD
BABADBADDB+-=
=⋅【2012高考上海文19】本题满分12分本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分6分
如图,在三棱锥PABC-中,PA⊥底面ABC,D是PC的中点,已知∠BAC=
2
π
2AB=
AC=2PA=,求:
的体积
（1三棱锥PABC
（2异面直线BC与AD所成的角的大小（结果用反三角函数值表示
【答案】
【点评】本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系,考查空间想象能力和推理论证能力.综合考查空间中两条异面直线所成的角的求解,同时考查空间几何体的体积公式的运用.本题源于《必修2》立体几何章节复习题,复习时应注重课本,容易出现找错角的情况,要考虑全面,考查空间想象能力,属于中档题.
30.【2012高考天津文科17】（本小题满分13分
如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,AD⊥PD,BC=1,PD=CD=2.
（I求异面直线PA与BC所成角的正切值;
（II证明平面PDC⊥平面ABCD;
（III求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值。
【答案】
31.【2012高考新课标文19】（本小题满分12分
如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直底面,∠ACB=90°,AC=BC=12
AA1,D是棱AA1的中点
（I证明:
平面BDC1⊥平面BDC
（Ⅱ平面BDC1分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比.
【答案】
32.【2012高考湖南文19】（本小题满分12分
如图6,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是等腰梯形,AD∥BC,AC⊥BD.
（Ⅰ证明:
BD⊥PC;
（Ⅱ若AD=4,BC=2,直线PD与平面PAC所成的角为30°,求四棱锥P-ABCD的体积.
B1
CBA
DC1A1
【答案】
【解析】（Ⅰ因为,,.PAABCDBDABCDPABD⊥⊂⊥平面平面所以
又,,ACBDPAAC⊥是平面PAC内的两条相较直线,所以BD⊥平面PAC,
而PC⊂平面PAC,所以BDPC⊥.
（Ⅱ设AC和BD相交于点O,连接PO,由（Ⅰ知,BD⊥平面PAC,
所以DPO∠是直线PD和平面PAC所成的角,从而DPO∠30=.
由BD⊥平面PAC,PO⊂平面PAC,知BDPO⊥.
在RtPOD
中,由DPO∠30=,得PD=2OD.因为四边形ABCD为等腰梯形,ACBD⊥,所以
AODBOC均为等腰直角三角形,从而梯形ABCD的高为111（423,222
ADBC+=⨯+=于是梯形ABCD面积1（4239.2
S=⨯+⨯=
在等腰三角形AOD中,ODAD==
所以24.PDODPA====
故四棱锥PABCD-的体积为11941233VSPA=
⨯⨯=⨯⨯=.
【点评】本题考查空间直线垂直关系的证明,考查空间角的应用,及几何体体积计算.第一问只要证明BD⊥平面PAC即可,第二问由（Ⅰ知,BD⊥平面PAC,所以DPO∠是直线PD和平面PAC所成的角,然后算出梯形的面积和棱锥的高,由13
VSPA=
⨯⨯算得体积.33.【2012高考山东文19】（本小题满分12分
如图,几何体EABCD-是四棱锥,△ABD为正三角形,,CBCDECBD=⊥.
（Ⅰ求证:
BEDE=;
（Ⅱ若∠120BCD=︒,M为线段AE的中点,
求证:
DM∥平面BEC.
【答案】（19（I设BD中点为O,连接OC,OE,则由BCCD=知,
COBD⊥,又已知CEBD⊥,所以BD⊥平面OCE.
所以BDOE⊥,即OE是BD的垂直平分线,
所以BEDE=.
（II取AB中点N,连接,MNDN,
∵M是AE的中点,∴MN∥BE,
∵△ABD是等边三角形,∴DNAB⊥.
由∠BCD=120°知,∠CBD=30°,所以∠ABC=60°+30°=90°,即BCAB⊥,所以ND∥BC,
所以平面MND∥平面BEC,故DM∥平面BEC.
34.【2012高考湖北文19】（本小题满分12分
某个实心零部件的形状是如图所示的几何体,其下部是底面均是正方形,侧面是全等的等腰梯形的四棱台A1B1C1D1-ABCD,上部是一个底面与四棱台的上底面重合,侧面是全等的矩形的四棱柱ABCD-A2B2C2D2。
A.证明:
直线
B1D1⊥平面AC
C2A2;
B.现需要对该零部件表面进行防腐处理,已知AB=10,A1B1=20,AA2=30,AA1=13（单
位:
厘米,每平方厘米的加工处理费为0.20元,需加工处理费多少元?
【答案】
【解析】本题考查线面垂直,空间几何体的表面积;考查空间想象,运算求解以及转化与划归的能力.线线垂直⇔线面垂直⇔面面垂直是有关垂直的几何问题的常用转化方法;四棱柱与四棱台的表面积都是由简单的四边形的面积而构成,只需求解四边形的各边长即可.来年需注意线线平行,面面平行特别是线面平行,以及体积等的考查.
35.【2012高考广东文18】本小题满分13分
如图5所示,在四棱锥PABCD-中,AB⊥平面PAD,//ABCD,PDAD=,E是PB的中点,F是CD上的点且12
DFAB=,PH为△PAD中AD边上的高.
（1证明:
PH⊥平面ABCD;
（2若1PH=,AD=,1FC=,求三棱
锥EBCF-的体积;
（3证明:
EF⊥平面PAB.
【解析】（1证明:
因为AB⊥平面PAD,
所以PHAB⊥。
因为PH为△PAD中AD边上的高,
所以PHAD⊥。
因为ABADA=,
所以PH⊥平面ABCD。
（2连结BH,取BH中点G,连结EG。
因为E是PB的中点,
所以//EGPH。
因为PH⊥平面ABCD,
所以EG⊥平面ABCD。
则1122
EGPH==,
111332EBCFBCFVSEGFCAD-∆=⋅=⋅⋅⋅⋅=。
（3证明:
取PA中点M,连结MD,ME。
因为E是PB的中点,
所以1
//
2MEAB=。
因为1//2DFAB=,所以//MEDF=
所以四边形MEDF是平行四边形,
所以//EFMD。
因为PDAD=,
所以MDPA⊥。
因为AB⊥平面PAD,
所以MDAB⊥。
因为PAABA=,
所以MD⊥平面PAB,
所以EF⊥平面PAB。
36.【2102高考北京文16】（本小题共14分如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,D,E分别为AC,AB的中点,点F为线段CD上的一点,将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1F⊥CD,如图2。
（I求证:
DE∥平面A1CB;
（II求证:
A1F⊥BE;
（III线段
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