数学题集.docx

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数学题集

1、从1~8这8个自然数中,任取2个奇数,2个偶数,可组成N个不同的四位数,求N

答：

C（42）*C（42）*A（44）=6*6*4！

=864个

2、从1~8这8个自然数中,任取2个奇数作千位和百位数字,2个偶数作十位和个位数字,可组成N个不同的四位数,求N

答：

C（42）*A（22）*C（42）*A（22）=6*2*6*2=144

3、充分性判断:

P=1/9,

（1）将骰子先后抛郑2次，抛出的骰子向上的点数之和为5的概率为P

（2）将骰子先后抛郑2次，抛出的骰子向上的点数之和为9的概率为P

答：

和为5有1，4；2，3；3，2；4，1四种情况故4*1/6*1/6=1/9

和为9有3，6；4，5；5，4；6，3四种情况故4*1/6*1/6=1/9

总共有6*6=36种情况,而得9的只有4种情况,得5的只有4种情况，所以概率P=4/36=1/9

4、

（1）在5本不同的书，从中选出3本送给3名同学，每人一本，共有几种不同的送法

（2）书店有5种不同的书，买3本送给3名同学，每人一本，共有几种不同的送法

答：

第一个问题：

相当于五本书中拿出三本来全排列A53（5×4×3=60）或从5本书选3本，C53=10送给3个人：

A33=6

第二个问题：

因为是五种书而不是五本书，所以应该是5的三次方，即125种（每个人都有五种书可以选择）

5、今有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需1人承担，现从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选派方法有

答:

首先分析题目求不同的选法种数，故可先从10人中选出4个人，再在这4个人中选两个从事甲任务，剩下的两个人从事乙或丙任务，即可列出式子，求解得到答案解：

分析题目先从10人中选出4个人，再在这4个人中选两个从事甲任务，剩下的两个人从事乙丙任务．故可列出：

C104•C42•A22=2520．故选C

6、由数字012345组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的情况有多少种？

答：

方法1：

没有重复数字的6位数一共有：

5×5!

＝5×120＝600个，其中个位数字大于十位数字的和个位小于十位的各占一半。

所以符合条件的一共是600/2=300

方法2：

若个位是0，则十位可以是任意数，一共有：

5!

=120

若各个不是0，则十位大于个位的一共有：

4+3+2+1=10种情况。

对每种情况，首位的选择有5-2=3种，其它三位还有3！

，一共有：

10×3×3!

=180

总和是：

120＋180＝300个。

或

当个位是0时：

1*2*3*4*5=120

当个位是1时:

4*3*2*1*3=72

当个位是2时:

3*3*2*1*3=54

当个位是3时2*3*2*1*3=36

当个位是4时1*3*2*1*3=18

S=120+72+54+36+18=300

7、3名毕业生分配到4个部门，其中有一个部门分2个人，一共有多少种分法？

答：

三名毕业生被分成两部分进入两个部门，既有C32=3种分法；这两部分被分到四个部门中的两个部门即为：

A42=4*3=12；

所有共有：

3*12=36种

8、.设有编号为1，2，3，4，5的五个小球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，现将这五个球投放到五个盒子内，要求每个盒内放1个球，并且恰好有两个球的编号与盒子编号相同，则这样的投放方法总数为20种

先选出两个箱子正好与球号相同，有10种，那么看其余的三个箱子：

注意：

它们中不能有号相符合的，因为题目说了是恰有所以只有2种选择，再相乘

9、（n个实数x1,x2,……，xn的方差为D,他们的平均数为x拔，设S=1/n*[（X1^2+X2^2+X3^2+……+Xn^2）-n（x拔）^2],则有（A）

（A）D=S（B）D>S（C）D

2014/11/26几何与平面分析第24题、若实数x,y满足x^2+y^2-2x+4y=0求x-2y的最大值

应该是用几何的方法做更好些

x^2+y^2-2x+4y=0

（x-1）^2+（y+2）^2=5

表示圆心在（1，-2），半径为根号5的圆。

设x-2y=b，它表示一个直线系，随b取值不同而不同。

满足x^2+y^2-2x+4y=0的x-2y的最大值，就是说圆和直线系有交集时b的最大值。

你可以画下图，很容易看出，直线和圆相切时有最大值（上面的是最大值，下面的那个是最小值）。

这时圆心（1，-2）到直线x-2y=b的距离等于圆的半径根号5：

|5-b|/根号5=根号5

|5-b|=5

b=10或b=0

b=10是所求的最大值，b=0为最小值，b的取值范围是0<=b<=10。

2014/11/3034、条件充份性判断，动点p的轨迹是两个圆。

（E）

1）|x|+1=√[1-（y-1）^2]

2）（|x|+|y|）^2=1

（1）轨迹方程是|x|+1=√[1-（y-1）^2]，由题意知：

1-（y-1）^2≥0，（y-1）^2≤1，-1≤y-1≤1，所以有，0≤y≤2.

当x≥0时，两边平方得（x+1）^2+（y-1）^2=1.

在无限制条件的情况下，方程表示圆心在（-1，1）半径为1的圆。

但由于x≥0,0≤y≤2.所以只能有圆上的一个点（0，1）满足条件，

因此轨迹表示一个点。

当x≤0时，两边平方得（x-1）^2+（y-1）^2=1.

在无限制条件的情况下，方程表示圆心在（1，1）半径为1的圆。

但由于x≤0,0≤y≤2.所以只能有圆上的一个点（0，1）满足条件，

因此轨迹表示一个点。

综上所述，动点的轨迹表示点（0，1）。

（2）动点P的轨迹方程是（|x|+|y|）^2=1，因此有|x|+|y|=1或

|x|+|y|=-1.

当x≥0，y≥0时有：

x+y=1;

当x≤0，y≥0时有：

-x+y=1;

当x≤0，y≤0时有：

-x-y=1;

当x≥0，y≤0时有：

x-y=1,

轨迹是一个正方形，四个顶点在坐标轴上，依次为（1，0），

（0，1），（-1，0），（0，-1）.

35、（y+1）/（x+2）的最大值为4/3的充分条件是（C）

1、圆O的方程是x^2+y^2=1

2、动点P（x,y）在圆O上运动

证明：

（3）圆O的方程是x^2+y^2=1

k=（y+1）/（x+2）即为圆上的点与点（-2,-1）连线的斜率

由图形可知当直线y+1=k（x+2）与圆相切时，k取得最大或最小值

y+1=k（x+2）即kx-y+2k-1=0

直线与圆相切，即点（0,0）到y+1=k（x+2）的距离为1，亦即

|2k-1|/√（k^2+1）=1

解得k1=0,k2=4/3，故[y+1]/[x+2]的最大值为4/3。

2、三个质数之积恰好等于它们和的5倍，则这三个质数之和为

（a+b+c）*5=abc

由于均为质数，

不妨设a=5，则（b+c+5）=bc,因式分解得（b-1）（c-1）=6

（1）b=3，c=4舍

（2）b=7,c=2

故（2，5，7）

26、若y与x-1成正比,比例系数为K1;y又与x+1成反比,比例系数为K2,且K1:

K2=2:

3,若两函数图像交点为（x0,y0）,则x0值

由K1:

K2=2:

3可设k1=2k，k2=3k

（1）、y=2k（x-1）

（2）、y=3k/（x+1）

联立

（1）

（2）得

2k（x-1）=3k/（x+1）

即

2（x-1）=3/（x+1）

解得x0=±√10/2

25、已知|x+y|/（x-Y）=2,求x/y

|x+y|=2x-2y≥0

x≥y

则当x≥0,y≥0时

x+y=2x-2y

x=3y

x/y=3

当x≥0,y≤0时

若x+y≥0

|x+y|=x+y=2x-2y,得x/y=3

若x+y≤0

|x+y|=-x-y=2x-2y,得x/y=1/3

当x≤0,y≤0时

|x+y|=-x-y=2x-2y

x/y=1/3

不存在当x≤0,y≥0的情况，此种情况，结果会为负。

则x/y=3或x/y=1/3

27题，m除10^k的余数为1,充分性判断：

m除以10的k次方的余数为一。

条件一，既约分数n/m满足0

条件二，分数n/m可以化为小数部分的一个循环节有k位数字的纯循环小数。

该题答案是条件一和条件二联合起来题干成立，求详细推理过程。

（1）好证明，随便举个最简分数的例子，就能推翻这个说法。

比如2/5，m=5,5除10^k余数不为1。

（2）根据叙述，假设循环节这段数字（整数）为P。

比如，3/7=0.428571428571428571...P=428571,k=6

P=10^k*n/m-n/m

P=（10^k-1）*n/m

到这步，需要把条件

（1）放进来

（10^k-1）肯定是整数，其值=P*m/n,n/m为既约分数，所以P必然是n的倍数。

10^k=m*（p/n）+1,即10^k除以m的余数为1，两个条件合起来成立。

2014/12/1第六题：

若4x^4-ax^3+bx^2-40x+16是完全平方式,则a,b的值为

1设这个式子是2x^2+cx+d则（2x^2+cx+d）^2=4x^2+4x^2（cx+d）+c^2x^2+2cdx+d^2=4x^2+4cx^3+4dx^2+c^2x^2+2cdx+d^2=4x^4-ax^3+bx^2-40x+16所以d^2=16,2cd=-40得到d=4,c=-5或d=-4,c=5因此b=（4d+c^2）=（16+25）=41或b=（-16+25）=9a=-4c=20或a=-20因此a=20b=41或a=-20b=9

提问者评价

高人！

我也作出来了

用（a+b+c）^2和（a-b+c）^2

7、设ax^3+bx^2+cx+d都被x^2+h^2（h不等于零）整除，则a，b，c，d间的关系为

答案：

ad=bc

用待定系数法。

解：

令ax³+bx²+cx+d=（x²+h²）（ax+m）

ax³+bx²+cx+d=ax³+mx²+ah²x+mh²

（b-m）x²+（c-ah²）x+（d-mh²）=0

b-m=0

c-ah²=0

d-mh²=0

解得b=mc=ah²d=mh²=bh²

h²=c/ah²=d/b

c/a=d/b

ad=bc

8、已知a,b,c,d为不等于零的实数，且a不等于b,c不等于d,ad+bc不等于0,，设m1=a+b/a-b,m2=c+d/c-d,m3=ac-bd/ad+bc，则有

（A）m1+m2+m3＞m1m2m3

（B）m1+m2+m3＝m1m2m3

（C）m1+m2+m3＜m1m2m3

（D）m1+m2+m3=1/m1m2m3

m1+m2+m3=（a+b）/（a-b）+（c+d）/（c-d）+（ac-bd）/（ad+bc）

=（2ac-2bd）/（a-b）（c-d）+（ac-bd）/（ad+bc）

=（ac-bd）*（2ad+2bc+ac-ad-bc+ad）/（a-b）（c-d）（ad+bc）

=（ac-bd）（a+b）（c+d）/（a-b）（c-d）（ad+bc）

=m1m2m3

因此选择B

10、已知x^2-1=3x,则多项式3x^3-11x^2+3x+2的值为（）

本题答案：

0

x²=3x+1

则x²用3x+1代替

x³=x×x²

=x（3x+1）

=3x²+x

=3（3x+1）+x

=10x+3

原式=3（10x+3）-11（3x+1）+3x+2

=30x+9-33x-11+3x+2

=0

11、已知多项式f（x）除以x+2所得余数为1；除以x+3所得余数为-1，则多项式f（x）除以（x+2）（x+3）所得的余式为？

解一：

因为f（x）除以x+2所得的余数为1，

所以令f（x）=p（x）*（x+2）+1，其中p（x）是多项式函数。

由此得f（-2）=1，同理f（-3）=-1，

因此，设f（x）=q（x）*（x+2）（x+3）+（ax+b），

则f（-2）=-2a+b=1且f（-3）=-3a+b=-1，

解得a=2，b=5，

所以f（x）除以（x+2）（x+3）所得的余式为2x+5。

解二：

12、对于任意实数X属于（1/8,1/7）,代数式｜1-2X｜+｜1-3X｜+｜1-4X|+...+|1-10X|的值为（）

解：

x∈（1/8,1/7）

1/8

7/8<7x<1

1<8x<8/7

即1-7x>0，1-8x<0

|1-2x|+|1-3x|+|1-4x|+...+|1-7x|+|1-8x|+|1-9x|+|1-10x|

=（1-2x）+（1-3x）+（1-4x）+...+（1-7x）+（8x-1）+（9x-1）+（10x-1）

=（1+1+1+1+1+1-1-1-1）+（8x+9x+10x-2x-3x-4x-5x-6x-7x）

=6-3+0

=3

13、多项式2x^4-x^3-6x^2-x+2的因式分解为（2x-1）q（x），则q（x）等于？

2x^4-x³-6x²+3x-4x+2

=x³（2x-1）-3x（2x-1）-2（2x-1）

=（2x-1）（x³-3x-2）

∴q（x）=x³-3x-2

=x^3-8-3x+6=（x-2）（x^2+2x+4）-3（x-2）=（x-2）（x^2+2x+1）=（x-2）（x+1）^2

14、若（√x+1/x）n次方的展开式中无常数，则N为

通项T=c（n,r）（√x）^（n-r）*（1/x）^r

=c（n,r）x^[（n-r）/2-r]

=c（n,r）x^[（n-3r）/2],

（n-3r）/2≠0，

n不是3的倍数，选C.

（a+b+c）^3=a^3+b^3+c^3+3a^2b+3ab^2+3a^2c+3ac^2+3b^2c+3bc^2+6abc

1204

39.用若干个大小相同的小球，一个挨一个可摆成一个正方形面或正三角形面（注：

小球全用完）

证明：

（1）正方形一边上摆5个小球=/=>小球的总数确定

（2）摆成正三角形时比摆成正方形时每边多2个小球==>小球的总数确定

先计算一下正方形和正三角形的需求：

假设每边放n个小球，那么

正方形需求：

n^2;

正三角形需求：

1+2+3+...+n=n（n+1）/2;

所以有

（1）当正方形一边上摆5个小球，若要摆成正三角形小球全用完，即要求n（n+1）/2=25有正整数解，不成立，故得证

（2）当摆成正三角形时比摆成正方形时每边多2个小球,假设正三角形每边放n个,即要求（n-2）^2=n（n+1）/2有正整数解，解之得n=6,小球总数为36个确定，故得证

自然数N满足条件4N-N^2-3>0

条件1自然数N加上2后是一个完全平方数

条件2自然数N减去1后是一个完全平方数

问条件1和2分别是否充分,联合起来是否充分?

n+2为完全平方数设为a^2，同样n-1设为b^2,于是a^2-b^2=（a+b）*（a-b）=n+2-（n-1）=3,由于a，b均为自然数，所以有a+b=3,a-b=1，解得a=2,b=1，于是n=2，代入可知4n-n^2-3=4*2-2*2-3=1>0，成立

32.数列{a}的奇数项与偶数项依原顺序分别组成公比不为1的等比数列;

证明：

（2）数列{a}中,aa=（1/2）^n对任意n∈N均成立==>（A）

证明:

因为aa=（1/2）^n对任意n∈N均成立

所以有aa=（1/2）^（n+1）,

两式相除得

（aa）/（aa）=[（1/2）^（n+1）]/（1/2）^n=1/2,

所以a/a=1/2

所以当n是偶数时,令n=2k,则a<2k+2>）/a<2k>=1/2,即

a<2（k+1）>）/a<2k>=1/2

此时数列an中的偶数项是以1/2为公比的等比数列;

同理可知当n是奇数时,令n=2k-1,则a<2k-1+2>）/a<2k-1>=1/2,即

a<2（k+1）-1>）/a<2k-1>=1/2

此时数列an中的奇数项是以1/2为公比的等比数列;

故数列{a}的奇数项与偶数项依原顺序分别组成公比不为1的等比数列

其它解法：

数列{an}的奇数项与偶数项依原顺序分别组成公比不为1的等比数列

（1）{an}是等比数列

（2）{an}中，an*an+1=（1/2）^n，对任意n∈N均成立

条件1不充分，因为1,1,1,1,1这个等比数列不满足题设

an*（an+1）=（1/2）^n,那么（an-1）*an=（1/2）^（n-1）,相除得an+1/an-1=1/2 

最简单的例子 1,1/2,1/2,1/4,1/4,1/8,1/8,1/16.......

 答案是B。

35.a+b+c=26

证明：

（1）a、b、c成等比数列，且a,b+4,c成等差数列=/=>结论

（2）a、b、c成等比数列，且a,b,c+32成等比数列=/=>结论

（3）a、b、c成等比数列，且a,b+4,c成等差数列，a,b,c+32成等比数列=/=>结论

∙解：

（1）设公比为q则a+aq+aq^2=26

∙又a+aq^2=2（aq+4）-->a-2aq+aq^2=8

∙所以aq=6-->a=6/q

∙所以6/q+6+6q=26-->6-20q+6q^2=0

∙解得q=3或q=1/3-->a=2或a=18

∙所以a=2,b=6,c=18或a=18,b=6,c=2

∙无解

36-2.设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知1/3S3与1/4S4的等比中项为1/5S5，1/3S3与1/4S4的等差中项为1，求等差数列{an}的通项an

Sn=na1+[n（n-1）d]/2

1/3S3=1/3{3a1+[3×（3-1）]d/2}=1/3（3a1+3d）=a1+d

1/4S4=1/4{4a1+[4×（4-1）]d/2}=1/4（4a1+6d）=a1+3d/2

1/5S5=1/5{5a1+[5×（5-1）]d/2}=1/5（5a1+10d）=a1+2d

1/3S3与1/4S4的等比中项为1/5S5,

（a1+2d）^2=（a1+d）×（a1+3d/2）

3a1d/2+5d^2/2=0......

（1）

1/3S3与1/4S4的等差中项为1,

（a1+d）+（a1+3d/2）=2×1

a1+5d/4=1......

（2）

（1）,

（2）两式联立，解得：

d=0或d=-12/5

当d=0时，代入

（2）中，a1=1,an=1

当d=-12/5时，代入

（2）中，a1=4,an=32/5-12n/5

23.式子a（1/b+1/c）+b（1/c+1/a）+c（1/a+1/b）有意义且值为-3

条件1：

abc≠0

2：

a+b+c=0

若A,B,C其中一个是0,则a（1/b+1/c）+b（1/c+1/a）+c（1/a+1/b）不成立或无意义,所以abc≠0

∵a+b+c=0

∴a+b=-c,或a+c=-b,或b+c=-a

a（1/b+1/c）+b（1/c+1/a）+c（1/a+1/b）

=a/b+a/c+b/c+b/a+c/a+c/b

=（a/b+c/b）+（a/c+b/c）+（b/a+c/a）

=（a+c）/b+（a+b）/c+（b+c）/a

=-b/b+（-c/c）+（-a/a）

=-1-1-1

=-3。

19．4x^2+7xy-2y^2是9的倍数,

（1）x,y是整数

（2）4x-y是3的倍数

（1）设x=1,y=-1,则4x^2+7xy-2y^2=4-7-2=-5不是9的倍数.

（2）设x=1/4,y=-2,则4x^2+7xy-2y^2=-45/4不是9的倍数.

（3）4x^2+7xy-2y^2=（x+2y）（4x-y）

4x^2+7xy-2y^2＝4x^2+8xy－（xy＋2y^2）

＝4x（x+2y）-y（x+2y）

=（x+2y）（4x-y）

（x+2y）（4x-y）是9的倍数，则需要满足x+2y、4x-y至少为9的倍数或者同时为3的倍数

（1）x、y同时为整数则x+2y、4x-y不一定能满足上述条件，所以不能推导出结论

（2）4x-y是3的倍数，如果x+2y不是3的倍数，不能推导出结论

（3）又当4x-y是3的倍数时，可以写成4x-y=3a（a为整数），则x+2y＝9x-6N=3（3x-2a）当x,y为整数时x+2y也是3的倍数，所以可以推导出结论

令4x-y=3a（a为整数）

则y=4x-3ax+2y=x+8x-6a=9x-6a=3（3x-2a）

因此:

4x^2+7xy-2y^2=9a（3x-2a）

因为a和x都是整数,所以9a（3x-2a）是整数,且是9的倍数.

20.x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1成立

条件1：

x/a+y/b+z/c=1

2：

a/x+b/y+c/z=0

因为（x/a+y/b+z/c）^2=x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2+2[xy/（ab）+xz/（ac）+yz/（bc）]

因为等式左边=1，要证明x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1，即要证明xy/（ab）+xz/（ac）+yz/（bc）=0{标记为1式}

1式*abc，原题即要证明

xyc+xbz+ayz=0

上式除以xyz，原题即要证明

c/z+b/y+a/x=0（已知）

21．当n为自然数时，有x^6n+1/x^6n=2

证明：

（1）x+1/x=-1==>x^6n+1/x^6n=2

（2）x+1/x=1==>x^6n+1/x^6n=2

证明：

（1）x+1/x=-1==>x^2+x+1=0==>x^3-1=（x-1）（x^2+x+1）=0==>x^3=1==>x^6=1

==>x^6n=1==>x^6n+1/x^6n=2

（2）x+1/x=1==>x^2-x+1=0==>x^3+1=（x+1）（x^2-x+1）=0==>x^3=-1==>x^6=1

==>x^6n=1==>x^6n+1/x^6n=2

22.有a=b=c=d成立

条件1：

2a²+2b²+2c²+2d²-2ab-2bc-2cd-2da=0

2：

a^4+b^4+c^4+d^4-4abcd

解1、原式两边乘以二得

2a²+2b²+2c²+2d²-2ab-2bc-2cd-2da=0

=2a²+2b²+2c²+2d²-2ab-2bc-2cd-2da=0

=（a²-2ab+b²）+（b²-2bc+c²）+（c²+2cd+d²）+（d²-2da+a²）=0

=（a-b）²+（b-c）²+（c-d）²+（d-a）²=0

2、原式整理得

a^4-2a²b²+b^4+c^4-2c²d²+d^4-4abcd+2a²b²+2c²d²=0

（a²-b²）²+（c²-d²）²+2（ab-cd）²=0

条件1充分。

2不充分。

24.a+b/c+d=√a2+b2/√c2+d2

充分性判断

1.a/b=c/d且b.d均为正数

2.a/b=c/d且b.d均为负数

1.令a/b=c/d=t，则a=btc=dt

（a+b）/（c+d）=（bt+b）/（dt+d）=b（t+1）/d（t+