随机过程习题答案doc.docx
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随机过程习题答案doc
随机过程部分习题答案
习题2
2.1设随机过程X（t）Vtb,t（0,）,b为常数，V~N（0,1），求X（t）的一维概率密
度、均值和相关函数。
解因V~
N（0,1）
，所以EV
0,DV
1，X（t）
Vt
b也服从正态分布，
E[X（t）]
E[Vt
b]
tEV
b
b
D[X（t）]
D[Vt
b]
t2DV
t2
所以X（t）~N（b,t2），X（t）的一维概率密度为
1
（xb）2
f（x;t）
2
（
），t
（0,
）
e
2t
x
2t
均值函数
mX（t）
E[X（t）]
b
相关函数
RX（s,t）
E[X（s）X（t）]
E[（Vs
b）（Vt
b）]
E[stV2
bsV
btV
b2]
stb2
2.2设随机变量Y具有概率密度
f（y），令X（t）
eYt，t
0,Y0，求随机过程
X（t）的
一维概率密度及EX（t）,RX（t1,t2）。
解对于任意t
0，X（t）
eYt是随机变量Y的函数是随机变量，根据随机变量函数的分
布的求法，F（x;t）
P{X（t）
x}P{eYt
x}
P{
Yt
lnx}
P{Y
lnx}1P{Y
lnx}1FY（lnx）
t
t
t
对x求导得X（t）的一维概率密度
f（x;t）
lnx
1
0
fY（
）
，t
t
xt
均值函数
mX（t）
E[X（t）]
E[eYt]
eyt
f（y）dy
0
相关函数
RX（t1,t2）
E[X（t1）X（t2）]
E[eYt1eYt2]
E[eY（t1
t2）]
ey（t1t2）f（y）dy
0
2.3若从t0开始每隔1秒抛掷一枚均匀的硬币做实验，定义随机过程
2
X（t）
cos（
t）,
t时刻抛得正面
2t,
t时刻抛得反面
试求：
（1）X（t）的一维分布函数
1
F（
x
）和
F
（1,
）；
2
x
（2）X（t）的二维分布函数
F（
1,1;x1,x2）；
2
（3）X（t）的均值mX（t）,mX
（1），方差
X2（t）,
X2
（1）。
解
（1）t
1
时，X
（1）的分布列为
2
2
1
0
1
X（）
2
1
1
P
2
2
0,
x
0
一维分布函数
F（
1
1
0
x
1
x）
2
2
1,
x
1
t1时，X
（1）的分布列为
X
（1）
-1
2
P
1
1
2
2
0,
x
1
一维分布函数
F（1,x）
1
1
x
2
2
1,
x
2
（2）由于X
（1）与X
（1）相互独立，所以
（X
（1）,X
（1））的分布列为
2
2
X
（1）
-1
2
X（1/2）
0
1
1
4
4
1
1
1
4
4
二维分布函数
（3）mX（t）
mX
（1）
2X（t）
0,
x1
0或x2
1
1
1,
0
x1
1,
1
x22
1;x1,x2）
4
F（
1,
2
0x1
1,x2
2或x11,1x22
2
1,
x1
1,x2
2
1cos（
t）
12t
1cos（
t）
t
2
2
2
1
2
1cos2（
1（2t）2
[1cos（t）t]2
E[X2（t）]
[EX（t）]2
t）
1
1
2
2
2
cos2（
t）
2t2
cos2（
t）
t2
tcos（
t）
2
4
1cos2（
t）
t2
tcos（t）
4
[1cos（
t）t]2
2
X2
（1）
9
4
2.4设有随机过程X（t）
Acos（t）Bsin（t），其中
为常数，A,B是相互独立且服从
正态分布N（0,2）的随机变量，求随机过程的均值和相关函数。
解因A,B独立，A~N（0,
2），B~N（0,
2）
所以，E[A]
E[B]
0,D[A]
D[B]
2
均值
mX（t）
E[X（t）]
E[Acos（
t）
Bsin（t）]
cos（
t）E[A]
sin（
t）E[B]
0
相关函数
RX（t1,t2）
E[X（t1）X（t2）]
E（Acos（
t1）
Bsin（
t1））（Acos（
t2）Bsin（t2））
EA2cos
t1cos
t2
B2sin
t1sin
t2
ABcos
t1sint2
ABcost2sint1
cos
t1cos
t2E[A2]
sin
t1sin
t2E[B2]
2（cos
t1cost2
sin
t1sin
t2）
2cos（t1t2）
2.5
已知随机过程X（t）的均值函数mX（t）和协方差函数BX（t1,t2）,
（t）为普通函数，令
Y（t）
X（t）
（t），求随机过程Y（t）均值和协方差函数。
解
均值mY（t）
E[Y（t）]
E[X（t）
（t）]
E[X（t）]
（t）
mX（t）
（t）
协方差CY（t1,t2）
RY（t1,t2）
mY（t1）mY（t2）
E[Y（t1）Y（t2）]
mY（t1）mY（t2）
E（X（t1）
（t1）（X（t2）
（t2）
[mX（t1）
（t1）][mX（t2）
（t2）]
E[X（t1）X（t2）]
mX（t1）mX（t2）
其它项都约掉了
RX（t1,t2）mX（t1）mX（t2）
CX（t1,t2）
2.6
设随机过程X（t）
Asin（
t
），其中A,
是常数，
在（
）上服从均匀分布，
令
Y（t）
X2（t），求RY（t,t
）和RXY（t,t
）。
解
RY（t,t
）
E[Y（t）Y（t
）]
E[X2（t）X2（t
）]
EA2sin2（
t
）A2sin2（
t
）
A2
E（1
cos（2
t
2
））（1
cos（2t
2
2
））
4
A2
E1
cos（2
t
2
）cos（2t
2
2
）cos（2
t
2
）
cos（2
t2
2）
4
而E[cos（2t
2
）]
1
cos（2t
2
）d
1sin（2
t
2
）
0
2
4
同理Ecos（2
t
2
2
）
0
利用三角积化和差公式
Ecos（2t
2
）cos（2
t
2
2
）
1Ecos（2
）
cos（4
t
2
4
）
2
1
cos2
2
所以，RY（t,t
）
A2
[1
1cos2
]
4
2
RXY（t,t
）
E[X（t）Y（t
）]
E[X（t）X2（t
）]
E[Asin（
t
）A2sin2（
t
）]
A3
E[sin（
t
）（1
cos（2
t
2
2
））]
2
A3
E[sin（
t
）
sin（
t
）cos（2
t
2
2
）]
2
A3
E[2sin（t
）
sin（
t
2
）
sin（3t
2
3）]
4
而E[2sin（
t
）]
1
sin（
t
）d
0
同理E[sin（
t
2
）]
0,
E[sin（3t
2
3
）]
0
所以，RXY（t,t
）
0
2.7设随机过程X（t）
X
Yt
Zt2，其中X,Y,Z是相互独立的随机变量，且具有均值为
零，方差为
1，求随机过程
X（t）的协方差函数。
解根据题意，EX
EY
EZ
0,DX
EX2
DY
EY2
DZEZ2
1
mX（t）E[X（t）]
E[X
Yt
Zt2]
EX
tEY
t2EZ
0
CX（t1,t2）
E[X（t1）
mX（t1）][X（t2）
mX（t2）]
E[X（t1）X（t2）]
E[（X
Yt1
Zt12）（X
Yt2
Zt22）]
因X,Y,Z相互独立，均值为零，所以上面交叉乘积项数学期望为零
EX2
t1t2EY2
t12t22EZ2
1t1t2t12t22
2.8设X（t）为实随机过程，
x为任意实数，令
1,
X（t）
x
Y（t）
X（t）
x
0,
证明随机过程
Y（t）的均值函数和相关函数分别为
X（t）的一维和二维分布函数。
证明
mY（t）
E[Y（t）]
1
P{X（t）
x}
0
P{X（t）x}
P{X（t）
x}
FX（x;t）
（Y（t1）,Y（t2））的取值为（1,1）,（1,0）,（0,1）,（0,0）
RY（t1,t2）
E[Y（t1）Y（t2）]11P{X（t1）
x1,X（t2）
x2}
10P{X（t1）
x1,X（t2）
x2}
01P{X（t1）
x1,X（t2）
x2}
00P{X（t1）
x1,X（t2）
x2}
P{X（t1）
x1,X（t2）
x2}
FX（x1,x2;t1,t2）
2.9设f（t）是一个周期为
T
的周期函数，随机变量
Y在（0，T）上均匀分布，令
X（t）
f（t
Y），求证随机过程
X（t）满足
E[X（t）X（t
）]
1
T
f（t）f（t
）dt
T
0
fY（y）
1,
y（0,T）
证明Y的密度函数为
T
0,
其它
E[X（t）X（t
）]
E[f（t
Y）f（t
Y）]
f（t
y）f（t
y）fY（y）dy
1
T
f（ty）f（t
y）dy
T
0
t
yu
1
t
T
f（u）f（u）du
T
t
1
t
f（u）f（u
）du
T
t
T
1
T
f（u）f（u
）du
T
0
2.13
设{X（t）,t
0}是正交增量过程，
X（0）
0,
V是标准正态随机变量，若对任意的
t0，X（t）与V相互独立，令Y（t）X（t）V，求随机过程{Y（t）,t0}的协方差函数。
解因X（t）是正交增量过程，
V~N（0,1），所以E[X（t）]0,E[V]0,D[V]
1，
有mY
E[Y（t）]
E[X（t）
V]
E[X（t）]E[V]0
CY（t1,t2）
E[Y（t1）mY（t1）][Y（t2）mY（t2）]
E[Y（t1）Y（t2）]
E[（X（t1）
V）（X（t2）
V）]
E[X（t1）X（t2）]
E[V2]
E[X（t1）V]
E[X（t2）V]
（因X（t）与V独立，E[X（t）]
0,E[V]
0）
E[X（t1）X（t2）]
E[V2]
X2[min（t1,t2）]1（利用正交增量过程的结论）
习题4
4.1设质点在区间[0，4]的整数点做随机游动，到达0点或4点后以概率1停留在原处，在其它整数点分别以概率1向左、向右移动一格或停留在原处，求质点随机游动的一步和二步
3
转移概率矩阵。
解转移概率如图
一步概率转移矩阵为
1
0
0
0
0
1
1
1
0
0
3
3
3
1
P0
1
1
0
3
3
3
1
0
0
1
1
3
3
3
0
0
0
0
1
二步转移概率矩阵为
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
1
1
0
0
1
1
1
0
0
4
2
2
1
0
3
3
3
3
3
3
9
9
9
9
P
（2）
0
1
1
1
0
0
1
1
1
0
1
2
3
2
1
3
3
3
1
3
3
3
1
9
9
9
9
9
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
2
2
4
3
3
3
3
3
3
9
9
9
9
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
4.2独立地重复抛掷一枚硬币，每次抛掷出现正面的概率为p，对于n
2，令
Xn
0,1,2或3，这些值分别对应于第
n-1次和第n次抛掷的结果为（正，正）
，（正，反），
（反，正），（反，反），求马尔可夫链
{Xn,n0,1,2,
}的一步和二步转移概率矩阵。
解对应状态为0
（正，正），1
（正，反），2
（反，正），3
（反，反）
正，正）（正，正）
，
p
P{（正，反）（正，正）}
q
p00
P{（
}
p
01
p02
P{（反，正）（正，正）}
0（不可能事件）
p03
P{（反，反）（正，正）}
0（不可能事件）
同理可得下面概率
p10
P{（正，正）（正，反）}
0，p11
P{（正，反）（正，反）}
0
反，正）（正，反）
，
p
P{（反，反）（正，反）}
q
p12
P{（
}
p
13
p20
P{（
正，正）（反，正）
p
，p
21
P{（正，反）（反，正）}
q
}
p22
P{（反，正）（反，正）}
0，p23
P{（反，反）（反，正）}
0
p30
P{（正，正）（反，反）}
0，p31
P{（正，反）（反，反）}
0
反，正）（反，反）
，
p
P{（反，反）（反，反）}
q
p32
P{（
}
p
33
一步转移概率矩阵为
pq00
00pq
P
pq00
00pq
二步
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