计算方法实验报告.docx
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计算方法实验报告
数学软件实验任务书
课程名称
数学软件实验
班级
学号
实验课题
线性方程组的J-迭代，GS-迭代，SOR-迭代，SSOR-迭代方法
实验目的
熟悉线性方程组的J-迭代，GS-迭代，SOR-迭代，SSOR-迭代方法
实验要求
运用Matlab/C/C++/Java/Maple/Mathematica等其中一种语言完成
实验内容
线性方程组的J-迭代
线性方程组的GS-迭代
线性方程组的SOR-迭代
线性方程组的SSOR-迭代方法
成绩
教师
实验1Jacobi迭代
一实验原理
系数矩阵A的主对角元不全为0，如果A作以下分解：
A=D-L-U；其中D为A的住对角线元素构成的矩阵，L为下三角矩阵，U为上三角矩阵，得到了Jacibi迭代法，它的迭代公式为：
二数据来源
用Jacobi迭代求解下列方程组
三实验步骤
步骤一：
编写Jacobi迭代法的函数。
在打开Editor编辑器，输入以下语句：
functionJacobi
clc
clearall
max1=1000;%迭代次数
tol=10e-5;%设置迭代精度
A=[4-11;4-81;-215];
b=[7-2115]';
x0=[000]';
%计算D，L，U
n=length（A）;
D=zeros（n）;
L=zeros（n）;
U=zeros（n）;
fori=1:
n
forj=1:
n
ifi==j
D（i,j）=A（i,j）;
elseifi>j
L（i,j）=-A（i,j）;
else
U（i,j）=-A（i,j）;
end
end
end
D;
L;
U;
Bj=inv（D）*（L+U）;
f=inv（D）*b;
x=Bj*x0+f;
k=1;%迭代次数
whilenorm（x-x0）>=tol
x0=x;
x=Bj*x0+f;
k=k+1;
if（k>=max1）
disp（'Warning:
迭代次数到多，可能不收敛！
'）;
return;
end
end
x
以文件Jacobi保持
4计算结果
运行程序可以得到运算结果
x=
2.0000
4.0000
3.0000
x是线性方程组的解
k=
11
k为迭代次数。
实验2Gauss-Seidel迭代
1实验原理
系数矩阵A的主对角元不全为0，如果A作以下分解：
A=D-L-U
其中D的意义同雅可比迭代法，L为下三角矩阵，U为上三角矩阵，得到了Gauss-Seidel迭代法，它的迭代公式为：
2数据来源
用Gauss-Seidel迭代求解下列方程组
3实验步骤
步骤一：
编写GS迭代法的函数。
在打开Editor编辑器，输入以下语句：
functiongauseidel
clc
clearall
max1=1000;%迭代次数
tol=10e-5;%近似精度
A=[4-11;4-81;-215];
b=[7-2115]';
x0=[000]';
n=length（A）;
D=zeros（n）;
L=zeros（n）;
U=zeros（n）;
%求D,L,U
fori=1:
n
forj=1:
n
ifi==j
D（i,j）=A（i,j）;
elseifi>j
L（i,j）=-A（i,j）;
else
U（i,j）=-A（i,j）;
end
end
end
D;
L;
U;
%求G,f
G=（D-L）\U;
f=（D-L）\b;
x=G*x0+f;
k=1;
%迭代格式
whilenorm（x-x0）>=tol
x0=x;
x=G*x0+f;
k=k+1;
if（k>=max1）
disp（'迭代次数过多，可能不收敛'）;
return;
end
end
x
文件保存名为gauseidel
4计算结果
运行程序得到运算结果：
x=
2.0000
4.0000
3.0000
x是线性方程组的解
k=
7
k为迭代次数。
实验3SOR迭代
1实验原理
对A作一些分解：
，Q，L，U的意义与Gauss-Seidel迭代法相同。
是一个事先选好的常数，称为松弛因子，当
时叫超松弛法，也叫SOR迭代法。
其迭代公式为：
2数据来源
用SOR迭代求解下列方程组
3实验步骤
步骤一：
编写SOR迭代法的函数。
在打开Editor编辑器，输入以下语句：
functionSOR
clc
clearall
max1=1000;%迭代次数
tol=10e-5;%设置迭代近似精度
A=[4-11;4-81;-215];
b=[7-2115]';
x0=[000]';
n=length（A）;
D=zeros（n）;
L=zeros（n）;
U=zeros（n）;
%求L，U
fori=1:
n
forj=1:
n
ifi==j
D（i,j）=A（i,j）;
elseifi>j
L（i,j）=-A（i,j）;
else
U（i,j）=-A（i,j）;
end
end
end
D;
L;
U;
w=1.5;%设置松弛系数
%迭代格式
B=inv（D-L*w）*（（1-w）*D+w*U）;
f=w*inv（（D-L*w））*b;
x=B*x0+f;
k=1;%迭代次数
whilenorm（x-x0）>=tol
x0=x;
x=B*x0+f;
k=k+1;
if（k>=max1）
disp（'迭代次数过多可能不收敛'）;
return;
end
end
x
文件保存为SOR
4计算结果
x=
2.0000
4.0000
3.0000
x是线性方程组的解
k=
18
k为迭代次数。
实验四SSOR-迭代方法
1实验原理
超松弛迭代还有一种改进形式，叫做对称逐次超松弛迭代（SSOR），它采用的是两步迭代公式：
2数据来源
用SSOR迭代求解下列方程组
3实验步骤
步骤一：
编写SOR迭代法的函数。
在打开Editor编辑器，输入以下语句：
functionSSOR
clc
clearall
max1=1000;%迭代次数
eps=10e-5;%近似精度
A=[4-11;4-81;-215];
b=[7-2115]';
x0=[000]';
n=length（A）;
D=zeros（n）;
L=zeros（n）;
U=zeros（n）;
%计算D,L,U
fori=1:
n
forj=1:
n
ifi==j
D（i,j）=A（i,j）;
elseifi>j
L（i,j）=-A（i,j）;
else
U（i,j）=-A（i,j）;
end
end
end
D;
L;
U;
w=1.5;%松弛因子
%迭代格式
B1=inv（D-L*w）*（（1-w）*D+w*U）;
B2=inv（D-U*w）*（（1-w）*D+w*L）;
f1=w*inv（（D-L*w））*b;
f2=w*inv（（D-U*w））*b;
x=x0
k=0;%迭代次数
tol=1
whiletol>=eps;
x1=B1*x0+f1;
x=B2*x1+f2;
k=k+1;
tol=norm（x-x0）;
x0=x;
if（k>=max1）
disp（'迭代次数太多，SOR方法可能不收敛'）;
return;
end
end
x
k
文件保存为SSOR
4计算结果
x=
2.0000
4.0000
3.0000
k=
11
实验结论
以上用3种迭代方法对同一个线性方程组在相同精度要求下分别进行了求解，从计算方法及最后的结果我们可以得到：
高斯—赛的尔迭代比雅可比迭代在相同精度要求下收敛的快，即高斯—赛的尔迭代所需要迭代的次数较少（雅可比迭代，k=11;高斯—赛的尔迭代,k=7），高斯—赛的尔迭代相当于是雅可比迭代的改进。
SOR迭代，从算法的设计来看它是对高斯—赛的尔迭代的改进，使得计算结果的误差降低，SSOR迭代是SOR迭代与高斯—赛的尔迭代的综合，是SOR的改进使得计算误差更小，但是SOR和SSOR引入了松弛因子
松弛因子的取值可能会使迭代速度加快也有可能使迭代速度减慢。
所以SOR、SSOR迭代虽然计算结果误差降低但是如果
松弛因子取值不合适会使迭代速度慢。
如在本实验中SOR迭代k=18（即迭代了18次）,SSOR迭代，k=11（即迭代了11次）,这超过了高斯—赛德尔迭代和雅可比迭代。
因此每种算法都有各自的优缺点，在实际应用中我们应根据实际要求选择合适的迭代方法。
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