阿基米德的求圆面积定理.docx
《阿基米德的求圆面积定理.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《阿基米德的求圆面积定理.docx（21页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
阿基米德的求圆面积定理
第四章
阿基米德的求圆面积定理
（公元前约225年）
阿基米德生平
从欧几里得到我们将要介绍的下一位伟大数学家——叙拉古城举世无双的阿基米德（公元前287—212年）之间，经历了两三代人之久。
阿基米德在其辉煌的数学生涯中，将数学疆界从欧几里得时代向前推进了一大步。
实际上，此后将近两千年，数学界再没有出现过像阿基米德这样伟大的数学家。
我们有幸了解一些阿基米德的生平，但因为历经沧桑，其细节的真伪往往受到怀疑。
同时，他的一些数学著作也有幸流传下来，而且有他自己的注解。
所有这些资料，为我们描绘了这位曾经统治古代数学界，受人尊敬，但又有点儿古怪的数学天才的一生。
阿基米德出生于西西里岛的叙拉古城。
据说，他的父亲是一位天文学家，阿基米德从小就萌发了研究宇宙的兴趣，终生乐此不疲。
阿基米德青年时代也曾到过埃及求学，并在亚历山大图书馆学习。
这里曾是欧几里得治学之处，阿基米德自然也会受到欧几里得的影响，这一点在阿基米德的数学著作中可以很清楚地看出。
据说，阿基米德在尼罗河谷期间，曾发明了所谓“阿基米德螺旋水车”，这种装置可以用来把水从低处提到高处。
有趣的是，这一发明，直至今日仍在使用。
他的发明证明了阿基米德的双重天才：
他既可以脚踏实地地研究实际问题，又能够在最抽象、最微妙的领域中探索。
亚历山大显然适合发挥他的才干，但阿基米德还是返回了他的故乡叙拉古城，据我们所知，就在那里度过了他的后半生。
叙拉古城虽然十分闭塞，但阿基米德一直保持着与全希腊，特别是与亚历山大学者们的通信联系。
这种书信往来，使得阿基米德的许多著作得以保存。
阿基米德能够在一段时间里非常专注地研究任何问题，更加提高了他令人敬仰的数学才能。
他在进行研究时，常常会忽略日常的生活问题。
我们从普卢塔克的著作中得知，阿基米德
“……忘记了吃饭，甚至忘记了他自己的存在，有时，人们会强制他洗浴或敷油，他都浑然不知，他会在火烧过的灰烬中，甚至在身上涂的油膏中寻找几何图形，完全进入了一种忘我的境界，更确切些说，他已如醉如痴地沉浸在对科学的热爱之中。
”
这一段文字描绘了这位数学家心不在焉的形象，对于阿基米德来说，整洁似乎已与他无关。
当然，有关阿基米德“心不在焉”的故事，最著名的还是关于叙拉古城国王希伦的王冠的故事。
国王怀疑金匠用一些合金偷换了他王冠上的黄金，就请阿基米德来测定王冠的真正含金量。
正如故事所说，阿基米德一直解不开这道难题，有一天（在他少有的一次洗浴时），他忽然找到了答案。
他兴奋得从浴盆里跳出来，跑到叙拉古城的大街上，边跑边欢呼：
“我找到啦！
我找到啦！
”但遗憾的是，他完全沉浸在他的新发现之中，竟然忘记了还没穿衣服。
很难想象街上的人们看见他一丝不挂地招摇过市，会说些什么。
这个故事也许是杜撰的，但阿基米德发现流体静力学的基本原理却是千真万确的。
他留给我们一篇题为《论浮体》的论文，阐述了他在这一方面的思想。
除此以外，他还发展了光学，创立了机械学，他不仅发明了水泵，而且还发现了杠杆、滑轮和复式滑轮的工作原理。
普卢塔克记叙过这样一个故事：
多疑的希伦国王怀疑这些简单机械装置的能力，就请阿基米德实际演习一下。
阿基米德以一种戏剧般的方式满足了国王的要求，他选择了国王一艘最大的船只，
“……如果不花费巨大人力，是无法把这艘大船拖离船坞的，况且，船上还满载乘客和货物。
阿基米德坐得远远的，手里只握住滑轮的一端，不慌不忙地慢慢拉动绳索，船就平平稳稳地向前滑动，就像在大海里航行一样。
”
不用说，国王对此留下了深刻印象。
或许，他从这件事中察觉了这位天才科学家的某种宝贵才能，遇有危难关头，这样的工程天才可以派上用场。
公元前212年，罗马人在马塞卢斯率领下，进攻叙拉古城，危难关头来临。
面对罗马的威胁，阿基米德奋起保卫自己的家园，他设计了许多杀伤力很强的武器。
他的这项事业，或许只能称为个体军工企业。
我们继续引用普卢塔克的《马塞卢斯生平》一书，这本书是这位伟大的罗马传记作家在事件发生后约300年时写的。
普卢塔克虽然是在为马塞卢斯作传，但他对阿基米德的钦敬心情却显而易见。
这些描述使我们看到了一个非常引人，栩栩如生的阿基米德形象。
“马塞卢斯率领大军向叙拉古城进发，”普卢塔克写道，“并在离城不远处安营扎寨，又派使者进城劝降。
”但叙拉古城人拒绝投降，马塞卢斯便凭借陆上的兵士和海上60艘装备精良的战船猛扑叙拉古城。
马塞卢斯“……有备而来，历年征战，声威赫赫”，但事实却证明他敌不过阿基米德和他凶狠的守城器械。
据普卢塔克记载，罗马军团进逼城垣，自信战无不胜。
“但是，阿基米德开始摆弄他的器械，他对地面部队启动各种弹射武器，无数大小石块带着惊人的呼啸，猛烈地倾泻下来；乱石之中，无人能够站立，士兵乱了阵脚，纷纷被击中，成堆倒下。
”
而罗马水师的情况也不见佳，
“……从城墙上伸出了长长的杆子，在船上方投下重物，将一些船只击沉；而其他船只则被一只只铁臂或铁钩钩住船头，提升起来……然后又船尾朝下，投入海底；同时，另一些船只在其引擎的拖动下，团团乱转，最后撞碎在城下突起的尖峭岩石上，船上的士兵死伤惨重。
”
这种巨大的伤亡，用普卢塔克的话说，是“一件可怕的事情”，人们不会不同意他的说法。
在这种情况下，马塞卢斯认为最好还是先撤退。
他撤回了他的地面和海上部队，重新部署。
罗马人经过认真研究，决定进行夜袭。
他们以为，只要在夜幕掩盖下，贴近城墙，阿基米德的武器就没有用武之地了。
然而，罗马人再次遭到了意外的打击。
原来，不知疲倦的阿基米德已经为应付这种偷袭作好了充分的安排。
罗马士兵一靠近城防，“石头就劈头盖脸地砸下来，同时，城内又射出飞箭”。
结果，罗马人失魂落魄，不得不再次撤退，但又受到阿基米德远程武器的攻击，“损兵折将”。
这次，自负的罗马军团“看到无形的武器给他们造成的重大伤亡，开始以为他们是在与诸神作战。
”
或许，说马塞卢斯的军队士气低落亦不为过。
他希望他这支受到重创的军队能够重振勇气，继续进攻，但是，以前自认为无敌于天下的罗马人却不愿再打了。
相反，士兵们“只要看到城墙上伸出一小段绳索或一片木头，就立时大哗，以为阿基米德又对他们使用什么武器了，并转身落荒而逃。
”马塞卢斯明白，小心即大勇，于是，他放弃了直接进攻。
马塞卢斯想以断粮逼迫叙拉古城人投降，所以，罗马军团开始长期围困叙拉古城。
时间一天天过去，军事态势没有什么变化。
后来，在狄安娜节日期间，叙拉古城居民“完全放松了警惕，他们纵酒狂欢”，松懈下来。
一直在窥测时机的罗马人乘其不备，一举攻破了防守懈怠的一段城防，怀着一腔怨毒涌入叙拉古城。
据说，马塞卢斯环视着这座美丽的城市，为他的士兵不可避免地要对叙拉古城泄怒施暴雨落下了眼泪。
的确，据历史记载，罗马人对叙拉古城人的做法完全不亚于他们在66年后对迦太基人的暴行。
但是，阿基米德的死使马塞卢斯极为悲伤，因为他对这位天才的对手至为尊敬。
据普卢塔克记载：
“……也许是命该如此，（阿基米德）正在专心研究几何图形，他全神贯注地思考，完全没有注意到罗马人的入侵，也没有注意到城市的陷落。
正在他聚精会神地研究和思考的时候，没想到一个士兵前来，命令他立刻去见马塞卢斯；但阿基米德在没有解出他的几何证明题之前，拒绝跟他走。
士兵大怒，拔出佩剑，一剑刺死了阿基米德。
”
就这样，阿基米德走完了他的一生，他死了，像他活着时一样，执着于他所喜爱的数学。
我们可以认为他是一位科学研究的殉难者，也可以认为他是自己无暇它顾的牺牲者。
总之，古往今来，数学家不知有多少，但像阿基米德这样结局者，却是绝无仅有的。
阿基米德尽管发明了许多利器和工具，但他真正喜爱的还是纯数学。
与他发现的美妙定理相比，他的杠杆、滑轮和石弩都不过是雕虫小技。
我们还是引用普卢塔克的话来说明：
“阿基米德具有高尚的情操，深刻的灵魂和丰富的科学知识，虽然这些发明使他赢得了超乎常人的名望，但他并未屈尊留下任何有关这些发明的著述；相反，他却鄙薄工程学这一行当，以及任何仅仅出于实用和赢利目的的技艺，他将他的全部情感与理想寄托于与尘世无涉的思索之中。
”
数学是阿基米德的最大遗产。
在这一领域，阿基米德无可争议地被公认为古代最伟大的数学家。
他的那些幸存下来的十几部著作及一些零散的文稿是最高质量的。
其逻辑上的严谨与复杂，令后人惊叹不已。
毫不奇怪，他一定非常精通欧几里得的理论并不愧为欧多克索斯穷竭法的大师；借用牛顿的名言，阿基米德一定是站在巨人的肩上。
但是，过去的影响虽然很大，却不能充分解释阿基米德带给数学学科的巨大发展。
伟大的定理：
求圆面积
公元前约225年，阿基米德发表了一篇题为《圆的测定》的论文，这篇论文中的第一个命题对圆面积作了十分透彻的分析。
但是，在我们讲述这一不朽之作之前，我们有必要先介绍一下在阿基米德探讨这一问题时，有关圆面积问题的发展状况。
当时的几何学家已知，不论圆的大小如何，圆的周长与直径之比总是一定的。
用现代术语，我们可以说
如图4.1所示，公式中的C代表周长，D代表直径。
换句话说，圆的周长与直径之比是一个常数，现代数学家定义这一比率为π。
（注意：
古希腊人在这里不使用符号。
）因此，公式
正是表明了常数π的定义，即两个长度（圆的周长与直径）的比。
那么，圆的面积又如何呢？
我们已经知道，《原本》的命题Ⅻ.2证明了两个圆的面积之比等于两圆直径的平方比，因此，圆面积与其直径的平方比是一个常数。
用现代术语说，欧几里得证明了常数k的存在，因而
至此，一切顺利。
但是，这两个常数之间相互有什么关系呢？
也就是说，人们是否能够发现在这“一维”常数π（表示圆周长与直径的关系）与“二维”常数k（表示面积与直径的关系）之间存在着一种简单的联系？
显然，欧几里得没有发现这种联系。
然而，阿基米德在其短小精炼的论文《圆的测定》中证明了有关结果，而这相当于现代涉及π的求圆面积公式。
在证明中，他在圆周长（及因此产生的π）与圆面积之间建立了重要联系。
他的证明需要两个非常直接的初步定理和一种非常复杂的逻辑方法，称为双重归谬法（反证法）。
我们先来看这两个初步定理。
一个是关于正多边形面积的定理，正多边形的中心为O，周长为Q，边心距为h。
这里，边心距是指从多边形的中心引向任何一条边的垂线长度。
证明设正多边形（图4.2）有n条边，每条边长b。
作从O到每个顶点的连线，将多边形划分为n个全等三角形，每个三角形的高为h（边
因为（b+b+……+b）是周长。
证讫。
简单明快。
阿基米德的第二个定理当时也非常著名，而且显然是不证自明的。
这一定理称，如果给我们一个已知圆，我们可以作圆内接正方形；欧几里得在命题IV.6中已证明过这种作图。
当然，正方形的面积肯定小于其外接圆的面积。
我们通过平分正方形的每条边，就可以确定圆内接正八边形的顶点位置。
当然，正八边形比正方形更接近于圆的面积。
如果我们再平分八边形的每条边，就可以得到圆内接正16边形，这当然比八边形又更接近圆的面积。
这一过程可以无限继续。
实际上，这种方法的实质就是前面曾提到过的著名的欧多克索斯穷竭法。
显然，内接正多边形的面积永远不会等于圆的面积；不论内接正多边形产生多少条边，都永远小于圆的面积。
但是（这是穷竭法的关键），如果预先给定任一面积，不论其多小，我们都能作出一个内接正多边形，而使圆面积与其内接正多边形的面积之差小于这一预
作一个内接正多边形，而使
这一正多边形也许有几百条边或几千条边，但这并不重要，重要的是它存在。
外切正多边形也具有类似的规律。
我们可以用一句话来概括这两种正多边形的规律，即，对于任何已知圆，我们都可以作出它的内接正多边形或外切正多边形，其面积可任意接近圆的面积。
正是这句“可任意接近”成为了阿基米德成功的关键。
以上就是阿基米德的两个初步命题。
下面，我们有必要就他论证两个面积相等时所采用的逻辑方法作一个简单的介绍。
在某种意义上，这种逻辑方法比我们以往所见到的任何方法都更复杂，或者说，至少更曲折。
例如，我们可以回想一下，欧几里得是如何证明直角三角形斜边上正方形的面积等于两条直角边上正方形面积之和的：
他直接推理，证明了问题中的面积相等。
他的证明方法虽然非常巧妙，却只是正面论证。
然而，阿基米德在论证更为复杂的圆面积问题时，采用了一种间接证明的方法。
他认为，任何两个量A与B，一定只能属于下列三种情况中的一种：
A＜B，或A＞B，或A=B。
为了证明A=B，阿基米德首先假设A＜B，并由此推导出逻辑矛盾，因而排除这种情况的可能性。
然后，他再假设A＞B，并再次推导出逻辑矛盾。
排除了这两种可能性后，就只剩下了一种可能性，即A等于B。
这就是阿基米德极为精彩的间接证明方法——“双重归谬法”，将三种可能性中的两种引入逻辑矛盾。
这种方法初看起来似乎有点绕圈子，但细想一下就会觉得非常合理。
排除了三种可能性中的两种，就迫使人们得出结论，只有第三种可能性是正确的。
当然，没有人能比阿基米德更熟练地应用双重归谬法了。
依据这两个初步定理，我们就可以来看一看这位几何大师是如何证明《圆的测定》一书中的第一个命题的。
命题1任何圆的面积都等于这样一个直角三角形的面积，该直角三角形的一条直角边等于圆的半径，另一条直角边等于圆的周长。
证明阿基米德首先作两个图形（图4.3）：
圆的圆心为O，半径为r，周长为C；直角三角形的底边等于C，高等于r。
我们用A代表圆的面积，用T代表三角形的面积，而前者就是阿基米德求证的对象。
显然，
命题宣称A=T。
为证明这一点，阿基米德采用了双重归谬法证明，他需要考虑并排除其他两种可能性。
例1假设A＞T。
这一假设表明，圆面积以一定量大于三角形面积。
换言之，其超出量A-T是一个正量。
阿基米德知道，通过作圆内接正方形，并反复平分正方形的边，他就可以得到一个圆内接正多边形，其面积与圆面积不等，且小于正量A-T。
即
A-面积（内接正多边形）＜A-T
在不等式的两边各加上“面积（内接正多边形）+T-A”，得
T＜面积（内接正多边形）
但是，这是一个圆内接正多边形（图4.4）。
因此，多边形的周长Q小于圆周长C，其边心距h当然也小于圆的半径r。
我们据此得出
至此，阿基米德推导出了预期的矛盾，因为他已得出T＜面积（内接多边形）和面积（内接多边形）＜T两种结论。
这在逻辑上是不成立的，因此，我们得出结论，例1是不可能的；圆面积不能大于三角形面积。
现在，他来考虑第二种可能性。
例2假设A＜T。
这次，阿基米德假设圆的面积小于三角形面积，因而，T-A代表三角形面积对圆面积的超出量。
我们知道，我们可以作一个圆外切正多边形，其面积大于圆面积，但小于T-A。
也就是
面积（外切正多边形）-A＜T-A
如果我们在这一不等式两边各加上A，则
面积（外切正多边形）＜T
但是，外切正多边形（图4.5）的边心距h等于圆的半径r，而正多边形的周长Q显然大于圆的周长C。
因此
这样，就再次出现了矛盾，因为外切多边形的面积不可能既小于、又大于三角形的面积。
因此，阿基米德推断，例2也是不可能的；圆面积不能小于三角形面积。
最后，阿基米德写道：
“由于圆的面积既不大于、也不小于（三角形面积），因此，圆面积等于三角形面积。
”证讫。
这就是阿基米德的证明，这颗小小的明珠出自一位无可争议的伟大数学家之手。
阿基米德用圆面积既不大于、也不小于三角形面积的方法来证明这两个面积一定相等，这种证明方法使一些人感到甚为奇特。
一些人感到这种论证方法太绕圈子，对他们我们不妨引述《哈姆雷特》中大臣波洛涅斯一句话的大意：
“这虽则是疯狂，却有深意在内。
”人们可能会感到奇怪，这么简短的证明方法，希波克拉底或欧多克索斯或欧几里得怎么会忽略了呢？
事后聪明总是不难。
这里，我们再次引述普卢塔克关于阿基米德数学的描述：
“在全部几何学中很难找到比这更困难更复杂的问题，以及更简洁更清楚的证明。
有些人将此归于他的天赋；而另一些人则认为是他惊人的努力和勤奋产生了这些显然十分容易而又未被他人证明的定理。
你费尽力气，仍然一无所获，可一旦看到他的证明，立刻就会认为，自己本来也能够推导出这些结论。
他引导你，沿着一条平坦的捷径，得出预定的结果。
”
既然阿基米德已证明圆的面积与三角形面积相等，那么，他是否可以解决我们曾在第一章中讨论过的人们长期探索的求圆面积问题呢？
答案当然是否定的，因为要成功地解决圆的求积问题，就必须要作出与圆面积相等的直线图形。
但是，阿基米德的证明没有，也没有声称能够提供任何有关如何作这种等面积三角形的线索。
当然，作出三角形的一条直角边等于圆的半径并不难，难的是作出三角形的另一条直角边，使之等于圆的周长。
因为C=πD，所以，要作出圆的周长，就必须作出π。
我们已知，这种作图是根本不可能的。
阿基米德的证明决不能被解释成他试图据此作出圆的等面积正方形；情况不是这样。
尽管如此，读者从阿基米德的定理中，也许仍然看不出我们所熟悉的求圆面积公式，因为他所证明的毕竟只是圆面积等于一定三角形的面积。
但是，我们将看到，这正是典型的阿基米德方法——使一个未知图形的面积与一个更简单的已知图形面积相联系。
然而，问题不仅如此。
因为我们所说的三角形，其底边等于圆的周长，这里有两层重要含义。
其一，阿基米德不像欧几里得那样，不是将一个圆的面积与另一个圆的面积相联系（这基本上是一种“相对性”的方法），而是将圆的面积与它自己的周长和半
阿基米德就在一维概念的周长与二维概念的面积之间建立了联系。
因为C=πD=2πr，我们可把阿基米德的定理重新写成
这就出现了几何学中我们最熟悉，也是最重要的公式之一。
还应指出，阿基米德的命题显然包含了欧几里得关于两个圆面积之比等于其直径的平方比这一比较平淡的命题。
也就是，如果我们设一个圆的面积为A1，直径为D1，设第二个圆的面积为A2，直径为D2，则阿基米德证明
因此
这就概括了欧几里得的定理。
所以，阿基米德的命题足以表明欧几里得的命题是一个不甚重要的系定理。
因而，阿基米德的命题标志着数学上的一个真正进步。
回头再看以前的讨论，现在我们能够确定“欧几里得”表达式A=KD2中常数k的数值。
因为根据阿基米德的发现，我们知道，
πr2=A=kD2=k（2r）2=4kr2
“一维”圆周长常数π的四分之一。
所以，阿基米德的命题带给我们一个好消息，我们无需计算这两个不同的常数。
如果我们能够从圆周长问题中确定π的值，就能够将其应用于圆面积公式。
这后一点也没有难倒阿基米德。
实际上，在《圆的测定》一书的第三个命题中，他就推导出了常数π的值。
数，阿基米德的命题就成为3.140845……＜π＜3.142857……：
这样，就确定了常数π的值，精确到两位小数，为3.14。
阿基米德得出π的估计值，又一次显示了他的才能。
他准备再次应用他非常有用的圆内接和外切正多边形，不同的是，这次他不再求面积，而将注意力集中在多边形的周长上。
他首先作圆内接正六边形（图4.6）。
已知正六边形的边长等于圆的半径，其长度我们称之为r。
因此，
当然，这是对π值的非常粗略的估计，但阿基米德刚刚迈出第一步。
接下来，他将这一内接多边形的边数加倍，得到一个正12边形。
他必须计算出这个12边形的周长。
正是在这个问题上，他使现代数学家惊叹不已，因为要确定十二边形的周长，就要算出3的平方根。
当然，我们今天使用计算器或计算机，这已不是什么难事，但在阿基米德时代，不仅这些先进设备无法想象，而且，甚至没有帮助进行这种计算的适当数系。
阿基米德
这是非常接近的估计。
随后，阿基米德继续平分内接多边形的边，得到正24边形，然后是正48边形，最后得到正96边形。
在这一过程中，每一步他都要估算复杂的平方根，但他从不动摇。
当他得到96边形时，他的估算值为
阿基米德似乎意犹未尽，又转向外切正12边形、24边形、48边形
是糟糕透顶的数系，而且没有估算平方根的简单方法，但他的估算证实了他令人敬畏的才华。
这些计算采用了笨拙的算术方法，犹如一个人戴着沉重的镣铐参加高栏赛跑。
然而，阿基米德凭借他的智慧和毅力，成功地计算出了重要常数π的第一个科学近似值。
犹如本章后记所述，自此，科学家再不曾停止过寻求高精确度的π近似值。
《圆的测定》一书流传到我们手中，只有三个命题，不过薄薄几页。
而且，第二个命题也不恰当，难以令人满意。
毫无疑问，这是阿基米德谢世后多少年来低劣的抄写、编辑和翻译造成的。
表面看来，这样短的论文似乎不太可能产生这样大的影响。
但试想在第一个命题中，阿基米德就证明了关于圆面积的著名公式；在最后一个命题中，他又出色地给出了π的近似值，这篇短论文何以得到历代数学家高度评价，就显而易见了。
论文的优劣不在于篇幅长短，而在于其数学质量。
根据这一标准，《圆的测定》一书不愧是一部经典之作。
阿基米德名作：
《论球和圆柱》
上述三个命题仅仅讨论了阿基米德数学遗产的一部分，除此以外，他还写过有关螺线，劈锥曲面和椭球体的几何论文，并发现了通过求一无穷几何级数之和来确定抛物线弓形面积的方法。
这后一个问题（求曲线面积），现在属于微积分领域，由此可见，阿基米德超越他所处的时代有多么远。
然而，相对于所有这些成就，他无可争议的代表作则是一部内容广泛的两卷本著作，题为《论球和圆柱》。
在这部著作中，阿基米德以其近乎超人的智慧，确定了球体及有关几何体的体积和表面积，从而像在《圆的测定》中对二维图形的研究一样，解决了三维立体的问题。
这是一项伟大的成就，阿基米德自己似乎也认为，这标志着他数学事业的顶峰。
我们首先应回顾一下古希腊人对三维立体表面积和体积的认识。
如前一章所述，欧几里得证明了两个球体体积之比等于其直径的立方比；换言之，这里有一个“体积常数”m，因而，
体积（球体）=mD3
这是欧几里得对球体体积的认识，但对于球体的表面积，他却始终保持沉默。
因而，对这个问题的成功解决，再次有赖于阿基米德《论球和圆柱》的出现。
这一部两卷本著作运用了一种大家熟悉的论述方式，首先是一系列定义和假设，然后从中推导出复杂的定理。
总之，还是欧几里得的模式。
书中的第一个命题平平淡淡：
“已知一个圆外切正多边形，则其周长大于圆的周长。
”但是，阿基米德很快就转向了更复杂的问题。
通观他的全部论述，（至少用现代人的眼光来看），一个很大的缺憾是，由于缺乏简明的代数符号，他无法用简单的公式来表示体积和表面积，而只能依靠陈述，例如：
命题13任一正圆柱除上下底面以外的表面积等于一圆的面积，该圆的半径是圆柱的高与底面直径的比例中项。
乍一看，这一命题似乎非常深奥而陌生。
但实际上，我们所感到陌生的，只是其语言，而不是其内容。
由于没有代数，阿基米德只好用这种方式来表示他所求证的面积（本例为正圆柱体的侧面积）等于一个已知图形的面积（本例为一个圆）（图4.7）。
但是，是一个什么样的圆呢？
显然，阿基米德必须要指定他的等面积圆，这就是命题中所说的以比例中项为半径的圆。
用现代术语表示，阿基米德的命题就是
侧面积（半径为r，高为h的圆柱）
=面积（半径为x的圆）
到了著名公式：
侧面积（圆柱）=面积（圆）=πx2=2πrh
阿基米德通过一系列测探性的命题，接近了他第一个主要目标——球体的表面积。
由于篇幅所限，我们不能详细介绍他对这个问题的推理过程，但我们承认他推理的巧妙。
前面我们已介绍过阿基米德数学的特点，读者对他再次应用穷竭法就不会感到奇怪了。
他利用以前曾证明了其表面积的圆锥体和圆锥台，从内外双向逼近，“穷竭”了球体。
待尘埃落定后，他已证明下面这一非凡的
命题
升级会员 