北京交通大学号与系统时域分析.docx
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北京交通大学号与系统时域分析
【研讨题目2】信号与系统时域分析专题研讨
【目的】
1.研究用离散方法近似计算连续信号的卷积积分；
2.通过分析近似计算卷积积分过程中出现的问题，锻炼学生分析问题和解决问题的能力；
【知识点】
信号时域分析，卷积积分，卷积和
【研讨题目】连续信号卷积积分的数值近似计算
两个连续信号的卷积积分定义为
为了能用数值方法进行计算，需对连续信号进行抽样。
记x[k]=x（k）,h[k]=h（k）,为进行数值计算所选定的抽样间隔，可以证明连续信号卷积积分可近似的表示为
（1）
由式
（1）可知，可以利用Matlab提供的conv函数近似计算连续信号的卷积积分。
一、（*）理论分析
为了对近似计算的结果进行分析，用解析的方法计算下列卷积积分，推出卷积积分的解析表达式；
（1）时限信号卷积积分
x1（t）=u（t）-u（t-1），y1（t）=x1（t）*x1（t）;
卷积结果为：
y1（t）=x1（t）*x1（t）=r（t）-2*r（t-1）+r（t-2）
（2）分段常数信号卷积积分
x2（t）=x1（t）+2x1（t-1）+x1（t-2），h2（t）=x1（t）-x1（t-1），y2（t）=x2（t）*h2（t）;
卷积结果为：
y2（t）=x2（t）*h2（t）
=y1（t）+y1（t-1）-y1（t-2）-y1（t-3）
=r（t）-r（t-1）-2*r（t-2）+2*r（t-3）+r（t-4）-r（t-5）
（3）非时限信号卷积积分
x3（t）=u（t），h3（t）=e-tu（t）,y3（t）=x3（t）*h3（t）
卷积结果为：
y3=x3（t）*h3（t）=[1-exp（-t）]*u（t）
二、（*）时限信号卷积积分的近似计算
取不同的△值，用Matlab函数conv近似计算卷积积分y1（t）并画出其波形，讨论的取值对计算结果的影响。
上图中，绿线为间隔0.01的结果，蓝线是间隔0.1结果，红线为实际结果，
由此可见：
时间间隔越小，与实际结果越接近。
附程序代码：
t1=[0:
0.01:
5];
t2=[0:
0.1:
5];
t=[0:
0.1:
5];
x1=1.*（t1>=0）-1.*（t1>=1）;
x2=1.*（t2>=0）-1.*（t2>=1）;
y1=convn（x1,x1）;
y2=convn（x2,x2）;
y=t.*[t>=0]-2*（t-1）.*[t>=1]+（t-2）.*[t>=2]
N1=length（y1）;%length函数取y1的长度%
N2=length（y2）;
plot（t,y,'r'）;
holdon;
plot（0:
0.01:
（N1-1）.*0.01,y1*0.01,'g'）;
plot（0:
0.1:
（N2-1）.*0.1,y2*0.1,'b'）;
axis（[0501]）
三、（**）分段常数信号卷积积分的Matlab计算
（1）若x2[k]={1，2，1，0;k=0,1,2},h2[k]={1，1;k=0,1}，计算离散卷积y2[k]=x2[k]*h2[k]；
y2[k]=x2[k]*h2[k]结果如下：
附程序代码：
x2=[1,2,1,0];h2=[1,-1];
y2=conv（x2,h2）;
N=length（y2）;
stem（0:
N-1,y2）;
axis（[08-11]）
（2）比较y2（t）和y2[k]，你发现了什么？
y2（t）的图像如下：
附程序代码：
t=[0:
0.1:
5];
y=t.*[t>=0]-（t-1）.*[t>=1]-2*（t-2）.*[t>=2]+2*（t-3）.*[t>=3]+（t-4）.*[t>=4]-（t-5）.*[t>=5]
plot（t,y）;
holdon;
axis（[08-11]）
y2（t）和y2[k]图像比较：
附程序代码：
x2=[1,2,1,0];h2=[1,-1];
y2=conv（x2,h2）;
t=[0:
0.1:
5];
y=t.*[t>=0]-（t-1）.*[t>=1]-2*（t-2）.*[t>=2]+2*（t-3）.*[t>=3]+（t-4）.*[t>=4]-（t-5）.*[t>=5]
N=length（y2）;
stem（0:
N-1,y2）;
holdon;
axis（[08-11]）
plot（t,y）;
holdon;
axis（[08-11]）
比较两图可知，y2（t）与y2[t]的卷积积分相似，将y2[t]向右平移一个单位后，两图像波形重合，若在y2[t]最前面补零，或缩小抽样间隔，即可由y2[t]的卷积积分近似地求解y2（t）地卷积积分。
（3）对
（2）中发现象进行理论分析，根据理论分析的结果，给出用Matlab函数conv计算卷积积分y2（t）的方法并画出卷积积分y2（t）的波形；
x2（t）=u（t）+u（t-1）-u（t-2）-u（t-3）,h2（t）=u（t）-2u（t-1）+u（t-2）
x2[k]={1，2，1，0;k=0,1,2},h2[k]={1，1;k=0,1}
当抽样间隔为0.1时，y2[t]比y2（t）超前一个单位，故在y2[t]最前面补零，采用plot即可画出y2（t）的正确波形。
另外，由二题研讨可知，将抽样间隔缩小（例如抽样间隔取0.01），采用plot画图也可以得到y2（t）的正确波形。
采用补零的方法画出y2（t）的波形为：
附程序代码：
x2=[0,1,2,1,0];h2=[1,-1];%在x2最前面补零
y2=conv（x2,h2）;
N=length（y2）;
plot（0:
N-1,y2）;
axis（[08-11]
（4）若分段常数的区间宽度不是1，应如何修改算法？
如图，若间隔为0.5时，图像及代码如下：
附程序代码：
x2=[1,2,1,0];h2=[1,-1];
y2=conv（x2,h2）;
N=length（y2）;
stem（0:
0.5:
（N-1）.*0.5,y2）;%红体为相比间隔为1的函数修改的部分
axis（[08-11]）
（5）完成了分段常数信号卷积积分的分析和计算后，你对y1（t）的近似计算方法有无新的认识？
可以由离散的卷积来近似的计算连续函数的卷积，但是要根据实际函数在0右边的积分的值，来确定离散函数向右偏移的格数，如可以取y1（t）的边界值先进行离散序列的卷积，如在用y2[t]来近似计算y2（t）时，由于y2（t）在0~1时，存在卷积积分的由0逐渐增长，到1时，存在着积分的变化，所以应将离散的图形向右平移一个单位。
同时由于连续序列卷积后也是连续的可以将相邻的离散点相连。
这样可以较快的计算出y1（t）的近似。
四、（**）非时限信号卷积积分的近似计算
近似计算若卷积积分y3（t）。
若出现问题请分析出现问题的原因，并给出一种解决问题的方案；根据提出的方案完成近似计算卷积分的程序；
用近似方法计算y3（t）的代码及结果如下。
当区间长度为20时：
附程序代码：
N=0.01;
t=0:
0.01:
20;
x=1*（t>=0）;
y=exp（-t）.*（t>=0）;
yt=conv（x,y）;
subplot（211）;
n=0:
0.01:
40;
plot（n,N*yt）;
axis（[02002]）;
xlabel（'时间（s）'）;
ylabel（'近似值yt（t）'）;
subplot（212）;
yt1=（1-exp（-t））.*（t>=0）;
plot（t,yt1）;
axis（[0inf02]）;
xlabel（'时间（s）'）;
ylabel（'真实值yt（t）'）;
当区间长度为40时：
附程序代码：
N=0.01;
t=0:
0.01:
20;
x=1*（t>=0）;
y=exp（-t）.*（t>=0）;
yt=conv（x,y）;
subplot（211）;
n=0:
0.01:
40;
plot（n,N*yt）;
axis（[04002]）;
xlabel（'时间（s）'）;
ylabel（'近似值yt（t）'）;
subplot（212）;
yt1=（1-exp（-t））.*（t>=0）;
plot（t,yt1）;
axis（[0inf02]）;
xlabel（'时间（s）'）;
ylabel（'真实值yt（t）'）;
出现这种情况的原因：
因为conv函数无法计算一个无穷的卷积，题目中虽然是算了exp（-t）的卷积，但是实际取的是（0，20）这个区间内的值，在做卷积的计算过程中，使用matlab对t进行了赋值，在赋值以外的点，被认为时0，所以在t>=0&t<=20这个区间内是没有问题的，但是t一但大于20两者的卷积就会有缺失，计算值就不在准确，t>20的部分就相当于是错误的，没有任何意义。
解决方法：
在绘制图形时，将绘制图形的坐标范围限定在t的取值范围之内，或绘制图形后去掉无效值。
五、（***）卷积函数conv函数选项的定义与应用研究
在新版MATLAB中，卷积函数conv提供了选项conv（A,B,’valid’），下面将研究conv（A,B,’valid’）的定义及应用。
（1）读MATLAB提供的关于conv的Help，给出卷积函数conv（A,B,’valid’）的定义。
设计一些简单的实验，验证你给出的定义。
你认为这样定义的卷积有何优缺点？
键入“helpconv”可知matlab对于valid的定义：
C=CONV（A,B,SHAPE）returnsasubsectionoftheconvolutionwithsize
specifiedbySHAPE:
'valid'-returnsonlythosepartsoftheconvolution
thatarecomputedwithoutthezero-paddededges.
LENGTH（C）isMAX（LENGTH（A）-MAX（0,LENGTH（B）-1）,0）.
【只返回那些卷积计算无零填充的边缘部分】
接下来利用A=[12345]和B=[123]对valid进行研究。
根据计算，A与B的卷积为[1,4,10,16,22,22,15]。
用conv和conv-vaild分别计算的结果如下：
结论：
由图像可得，在valid模式下，计算卷积只会计算A,B序列完全重合的部分，略去未完全重合的部分。
思考：
与conv不同，valid返回在卷积过程中，未使用边缘补0部分进行卷积计算，使得卷积出来的结果具有实际意义。
但同时valid有一个显著缺点，即卷积运算时，只会将B翻转与A比较，而不会自动选择短的序列进行翻转，当B的长度大于A时，无法得出卷积结果。
附代码：
A=[12345];
B=[123];
C=conv（A,B）;
C1=conv（A,B,'valid'）;
subplot（211）
stem（（1:
length（C））-1,C）;
axis（[-1,10,0,30]）;
xlabel（'conv（A,B））'）
c=length（C）
subplot（212）
stem（（1:
length（C1））-1,C1）;
axis（[-1,10,0,30]）;
xlabel（'conv（A,B,‘valid’）'）
c1=length（C1）
附：
valid的原理图解：
图
（1）图
（2）
图（3）图（4）
图（5）图（6）
图（7）图（8）
图
（1）~（8）依次为b’序列（b序列翻转后）向右平移0~7个单位长度。
观察图像有：
图（3）时序列b’开始与序列a有重叠，但是图（3）图（4）两序列尚未完全重合，b’序列均存在未重合部分。
在valid模式下，它们因为缺少与之相乘的数，故b’序列未完全重合前不管重合部分，系统全部默认置零。
图（5），（6），（7）b’序列与序列a完全重合，这些部分可以计算卷积的值，分别为10，16，22，符合valid图像。
而从图（8）开始序列b’最右点移出序列a，两序列不再完全重合，系统再次完全置零。
（2）能否用conv（A,B,’valid’）完成conv（A,B）？
请给出解释，编程验证你的观点。
观察
（1）中结果,可以得到conv（A,B,'valid'）的返回值长度比conv（A,B）少两倍的length（B）-1,所以其结果是conv（A,B）两端各除去length（B）-1个值所得的结果；
考虑卷积性质,B的’valid’卷积返回值长度应与conv（A,B）相等，数值也应相同，将A两端各补充length（B）-1个0得到A1,得到与conv（A,B）相同的值。
附代码：
A=[12345];
B=[123];
A1=[zeros（1,length（B）-1）,A,zeros（1,length（B）-1）];
C=conv（A,B）;
C1=conv（A1,B,'valid'）;
subplot（211）
stem（（1:
length（C））-1,C）;
axis（[-1,10,0,30]）;
xlabel（'conv（A,B））'）
c=length（C）
subplot（212）
stem（（1:
length（C1））-1,C1）;
axis（[-1,10,0,30]）;
xlabel（'conv（A1,B,‘valid’）'）
c1=length（C1）
（3）探索能否用conv（A,B,’valid’）解决非时限信号卷积积分的近似计算出现的问题？
若行，请给出解决问题的方案及实验结果。
若不行，请给出理由。
因函数conv（A1,B,'valid'）可削除结果中两端length（y）-1个值,故可以将非时限卷积积分结果的无效值削除；根据卷积性质,只需在x左端插入length（y）-1个0,即可削除因t取值有限而造成的无效值而保留有效值。
例如重新计算y3（t）如下：
附代码：
t=0:
0.01:
20;
x=1*（t>=0）;
y=exp（-t）.*（t>=0）;
x1=[zeros（1,length（y）-1）,x];
yt=conv（x1,y,'valid'）;
subplot（211）;
plot（N*（[1:
length（yt）]）,N*yt）;
axis（[03002]）;
xlabel（'Time'）;
ylabel（'近似值yt（t）'）;
subplot（212）;
yr=（1-exp（-t））.*（t>=0）;
plot（t,yr）;
axis（[03002]）;
xlabel（'Time'）;
ylabel（'真实值yr（t）'）;
（4）关于卷积conv（A,B,’valid’）的应用，你还有什么见解？
欢迎发表新想法，胆要大，不要怕犯错。
建议：
因为valid的缺点是必须是前一个序列长于后一个序列所以希望，增加一个判断，比较A，B长度，若B序列比A长交换A,B序列，其他算法不变，即可得到卷积结果
【温馨提示】
（1）研讨内容中标注的星号表示难度系数，（*）表示难度系数低，（**）表示难度系数中，（***）表示难度系数高。
【研讨要求】
（1）编写实现上述研讨内容的MATLAB仿真程序，画出程序运行结果图。
（2）结合信号与系统基本原理，对程序运行结果进行分析和讨论。
（3）在研讨过程中，若发现问题，要进行探究，并给出解决问题的方案。
（4）写出在本次研讨中自主学习内容，列出参考文献目录。
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