一致连续与柯西收敛准则docx.docx

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柯西准则十/

设函叽）在区间止有定义，警囂驚霊正如总存在着正数汶使得对于区间止的任思两2、兀2,当0/-忖，0讣2-4<沛就有

>0,35>0,\/xvx2Elfi<\x^a\<3fi<\x2-a\

证明:

1

+—

1

X

COSXCOSX

xfxr

<6

COSX

XfFSjq

利用柯西收敛准则，证明极限lim沁存在。

兀T+S兀

人COSX

X

则|念'）-/（£）|=弩-冒5XX

XT+00，.•・不妨设¥；x">（X

2令X。

=min{x\x\K'J|/（x）-/X）|<一，

xon

于是，对Vw>0,欲便『（巧-f（%"）<只要—<22%

或只gx0>-,故取则当/*>X时，恒有££

|/（V）-/（xff）|=

由柯西收敛准则知，极限lim=存在。

利用柯西收敛准则，证明极限^sinx不存在。

证明：

给定&（）=丄’对任意的X>0,

总有点內=2必,兀2=2必+彳，州宀皿，（取兀充分大）使得|sin旺一sin对=1〉&o，

由柯西收敛准则知，极限帆sin%不存在。

一致连续性

设函W（X）在区间/上有定义，如果对丁'任意给疋的正数務总存在着正数5,使得对于区间/上的任意两点內、兀2,牛1-兀2|<耐,就有

\f（^1）_/（兀2）|

那么称函WW在区间/上是一致连续的。

\/s>0,33>0yxvx2eI,\xi-x2\<3,

专心）-心）心

用定义证明函数“兀）二兀+sin兀在（-g,*°）上一致连续。

证明：

•••|/（鬲）一一smQl

X+x2・％1一％2

牛一对+|sinm-sin对+-对+Zcos-^-sin-^牛一对+2sin宁|牛-对+2茫斗~冇-对

I

...血〉0,羽二三＞0,对任意的坷宀丘（-°°严）,

If''議I

当卜］一兀2＜耐,恒有|于（兀1）一于（兀2）|＜£

函数f（兀）二兀+sin兀在（-oo,_Kx））上一致连续。

证明：

函数fO）,gO）在区间/上一致连续，则函数fO）+g（x）在区间/上一致连续。

证明：

•••函数f（x）,g（x）在区间/上一致连续，

>0,日5>0,对任意的壬,兀2e/,当卜1一V却寸，

££

•■-|[/（兀1）+g（无1）]_[/（兀2）+&（兀2）]<©+㊁=&

故函数f（兀）+g（兀）在区间/上一致连续O

证明:

若函数A（x）=excos丄在区间（0」）上非一致连续o

x

证明：

给定正数勺（VD对任意的正数5总有

11

V/*■■

K]—•—%—

2〃龙-兀

/./（x）=excos—在区间（0,1）上非一致连续。

X

柯西准则与一致收敛关系

V^>0,3^>0,Vx15x2e/,0

围柯一

证明：

若函数/（兀皿,收）上连续,且帆几力=6则函数

牙T十eq

；.\/s>0,3X>0,当兀>X时if（x）_b<㊁•将区间⑷炖）分为区间M，X］与［X,*o）,（I）在闭区间S,X］上，因为心）连续，所以一致连续。

故对上述的£，存在a>0,对任意的%］,兀2W0，X］，当卜1_珂

⑶*X\e[a,X],x2w[X,+oo）,对上述的g与当卜厂对<胡寸，必有卜厂X|<〃与卜2_乂|<&故由①与⑵得

）-/（兀2）15|/（^）-/（X）|+|/（x2）-f（X）\

££

<~+~=£.

22

综上讨论，对任意的“2引50）,当―時〜寸,

|/（兀1）-/（兀2）|<&

二/（x）在区间[匕+00）上一致连续。

例11■证明：

若函数f（兀）=sinF在区间（―乜亦）上非一致连续。

%,2一xf

sin—

2°

—Xq7t

—2—=孑

证明：

•・•sin屛-sinx：

=2cos^^L2r:

°2

取正数/兀2,满足匕垃=2册-兰

24

贝llx?

=2n7r,=2yi兀,

2

2n7r-—,

2

给定正数％,对任意的正数5总有兀1二yl2n7r,x2=

B|Jxx=yl2n7v,x2=

使得

兀1_兀2〔=

Inn-—,

2

<6,（只要斤充分大）2（丁2斤龙+（2”-彳）

9V2V2=21>£n.

22

71

而|sinA；：

-sinx

・・.函数fO）=sin/在区间（-00,+co）上非一致连续。

.2