完整版算法分析与设计习题集整理.docx

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完整版算法分析与设计习题集整理

算法分析与设计习题集整理第一章算法引论一、填空题：

1、算法运行所需要的计算机资源的量,称为算法复杂性,主要包括时间复杂度和空间复杂匪.

2、多项式A（n）=amnm+a,n+ao的上界为O（nm）.

3、算法的根本特征：

输入、输出、确定性、有限性、可行性.

4、如何从两个方面评价一个算法的优劣：

时间复杂度、空间复杂度.

5、计算下面算法的时间复杂度记为：

O（n3）q

for（i=1;i<=n;i++）

for（j=1；j<=n；j++）

{c[i][j]=0；

for（k=1;k<=n;k++）

c[i][j]=c[i][j]+a[i][k]*b[k][j];

}

6、描述算法常用的方法：

自然语言、伪代码、程序设计语言、流程图、盒图、PAD图.

7、算法设计的根本要求：

正确性和可读性.

8、计算下面算法的时间复杂度记为：

O（n2）q

for（i=1;i

{y=y+1;

for（j=0;j<=2n;j++）x++;

}

9、计算机求解问题的步骤：

问题分析、数学模型建立、算法设计与选择、算法表示、算法—分析、算法实现、程序调试、结果整理文档编制.

10、算法是指解决问题的方法或过程.

11、算法由操作、限制结构、数据结构三要素组成.

二、简做题：

1、根据时间复杂度从低到高排列：

0（4n2）、0（logn）、0（3n）、0（20n）、0

（2）、0（n2/3）,

0（n!

）应该排在哪一位

答：

0

（2）,0（logn）,0（n2/3）,0（20n）,0（4n2）,0（3n）,0（n!

）

2、什么是算法算法的特征有哪些

答：

1）算法：

指在解决问题时,根据某种机械步骤一定可以得到问题结果的处理过程.通俗讲,算法：

就是解决问题的方法或过程.

2）特征：

1）算法有零个或多个输入；2）算法有一个或多个输出；3）确定性；4）有穷性

3、给出算法的定义何谓算法的复杂性

计算下例在最坏情况下的时间复杂性

for（j=1;j<=n;j++）

（1）

for（i=1;i<=n;i++）

（2）

{c[i][j]=0;（3）

for（k=1;k<=n;k++）（4）

c[i][j]=c[i][j]+a[i][k]*b[k][j];}（5）

答：

1）定义：

指在解决问题时,根据某种机械步骤一定可以得到问题结果的处理过程.

2）算法的复杂性：

指的是算法在运行过程中所需要的资源（时间、空间）多少.所需资源越多,说明算法的复杂性越高

3）该算法的主要元操作是语句5,其执行次数是n3次.故该算法的时间复杂度记

为O（n3）.

4、算法A和算法B解同一问题,设算法A的时间复杂性满足递归方程

'T（n）=1,n=1

T（n）=4T（n/2）+n,n>1

算法B的时间复杂性满足递归方程3T"）=1,n=1,假设要使得算法A时间复杂

T（n）=aT（n/4）+n,n>1

性的阶高于算法B时间复杂性的阶,a的最大整数值可取多少

答：

分别记算法A和算法B的时间复杂性为TA（n）和TB（n）,解相应的递归方程得：

TA（n）=O（n2）

O（n）,a<4

TB（n）=

log4a.

0（n）,a>4

依题意,要求最大的整数a使彳11TB（n）〈TA（n）.显然,当a<=4时,TB（n）〈TA（n）；

当a>4时,TB（n）

所以,所求的a的最大整数值为15.

5、算法分析的目的

答：

1）为了对算法的某些特定输入,估算该算法所需的内存空间和运行时间；

2）是为了建立衡量算法优劣的标准,用以比拟同一类问题的不同算法.

6、算法设计常用的技术（写5种）

答：

①分治法；②回溯法；③贪心法；④动态规划法

⑤分治限界法；⑥蛮力法；⑦倒推法

三、算法设计题

1、蛮力法：

百鸡百钱问题

2、倒推法：

穿越沙漠问题

第二章分治算法〔1〕----递归循环

一、填空题：

1、直接或间接地调用自身的算法称为递归算法,用函数自身给出定义的函数称为_递

归函数.

2、递归方程和约束函数〔递归终止条件〕是递归函数的两个要素.

二、判断题：

1、所有的递归函数都能找到对应的非递归定义.〔V〕

2、定义递归函数时可以没有初始值.〔X〕

三、简做题：

1、什么是递归算法递归算法的特点

答：

1〕递归算法：

是一个模块〔函数、过程〕除了可调用其它模块〔函数、过程〕外,还可以直接或间接地调用自身的算法.

2〕递归算法特点：

①每个递归函数都必须有非递归定义的初值；否那么,递归函数无法计算；〔递归终止条

件〕

②递归中用较小自变量函数值来表达较大自变量函数值；〔递归方程式〕

2、比拟循环与递归的异同

答：

1〕相同：

递归与循环都是解决“重复操作〞的机制.

2〕不同：

就效率而言,递归算法的实现往往要比迭代算法消耗更多的时间〔调用和返回均需要额

外的时间〕与存贮空间〔用来保存不同次调用情况下变量的当前值的栈栈空间〕,也限制了

递归的深度.

每个迭代算法原那么上总可以转换成与它等价的递归算法；反之不然.

递归的层次是可以限制的,而循环嵌套的层次只能是固定的,因此递归是比循环更灵活的重复操作的机制.

3、递归算法解题通常有三个步骤

答：

1〕分析问题、寻找递归：

找出大规模问题与小规模问题的关系,这样通过递归使问题的规模逐渐变小.

2〕设置边界、限制递归：

找出停止条件,即算法可解的最小规模问题.

3〕设计函数、确定参数：

和其它算法模块一样设计函数体中的操作及相关参数.

四、算法设计题：

1、楼梯上有n个台阶,上楼时可以上1步,也可以上2步,设计一递归算法求出共有多少

种上楼方法F（n）.

①写出F（n）的递归表达式

②并写出其相应的递归算法

解：

①写出F（n）的递归表达式

分析：

到n阶有两种走法：

1）n-1阶到n阶；

2）n-2阶到n阶；

1n=1

F（n）=2n=2

F（n-1）+F（n-2）n>2

②写出其相应的递归算法

IntF（intn）

（

if（n=1）return1;

elseif（n=2）

return2;

else

returnF（n-1）+F（n-2）;

）

2、设a,b,c是3个塔座.开始时,在塔座a上有一叠共n个圆盘,这些圆盘自下而上,由

大到小地叠在一起.各圆盘从小到大编号为1,2,…,n,现要求将塔座a上的这一叠圆盘移到

塔座b上,并仍按同样顺序叠置.在移动圆盘时应遵守以下移动规那么：

规那么1:

每次只能移动1个圆盘；

规那么2：

任何时刻都不允许将较大的圆盘压在较小的圆盘之上；

规那么3:

在满足移动规那么1和2的前提下,可将圆盘移至a,b,c中任一塔座上.

①写出该问题的解题步骤

②并写出其相应的递归算法

解：

①第一步：

将n—1个盘子看成一个整体,从A移到C;

第二步：

将第n个盘子移到B;

第三步：

将n—1个盘子看成一个整体,从C移到B;

②写出其相应的递归算法：

voidhanoi（intn,inta,intb,intc）

{if（n>0）

（

hanoi（n-1,a,c,b）;

move（a,b）;

hanoi（n-1,c,b,a）;

第二章分治算法

（2）分治算法

一、填空题：

1、在快速排序、插入排序和合并排序算法中,插入排序算法不是分治算法.

2、合并排序算法使用的是分治算法设计的思想.

3、二分搜索算法是利用分治算法思想设计的.

二、简做题：

1、适合用分治算法求解的问题具有的根本特征

答：

1）该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易解决；

2）该问题可以分解为假设干个规模较小的相同问题,即该问题具有最优子结构性质；

3）该问题所分解出的各个子问题是相互独立的,即子问题之间不包含公共的子问题.

4）利用该问题分解出子问题解可以合并为该问题解；2、分治算法根本思想,解题步骤?

三、算法设计题：

1、改写二分查找算法：

设a[1…n]是一个已经排好序的数组,改写二分查找算法,使得当搜索元素x不在数组中时,返回小于x的最大元素位置i,和大于x的最小元素位置j;当搜索元素x在数组中时,i和j相同,均为x在数组中的位置.

并分析其时间复杂度

解：

intbinsearch（inta[n],intx,）//x待查数据

{intmid,i,j;low=1;

inthigh=n;

while（low<=high）

{mid=（low+high）/2;

if（a[mid]=x）returni=j=mid;

if（a[mid]>x）high=mid-1;//继续在左边查找

else//（a[mid]

low=mid+1;//继续在右边查找

}i=right;j=left;return0;//low大于high查找区间为空,查找失败

}

计算时间复杂性为O（logn）2、棋盘覆盖在一个2kx2k个方格组成的棋盘中,恰有一个方格与其它方格不同,称该方格为一特殊方格,且称该棋盘为一特殊棋盘.在棋盘覆盖问题中,要用图示的4种不同形态的L型骨牌覆盖给定的特殊棋盘上除特殊方格以外的所有方格,且任何2个L型骨牌不得重叠覆盖.

求：

①简述分治算法的根本思想

②设计该棋盘覆盖问题的分治算法

③计算所设计算法的时间复杂度〔要求写出递推公式〕

解：

①

分解：

将一个难以直接解决的大问题,分割成一些规模较小的相同子问题,以便各个击破,分

而治之.

对这k个子问题分别求解：

如果子问题的规模仍然不够小,那么再划分为k个子问题,如此递归的进行下去,直到问题规模足够小,很容易求出其解为止求小问题解、合并：

将求出的小规模的问题的解合并为一个更大规模的问题的解,自底向上逐步求出原来问

题的解.

②、③

3、金块问题〔求最大最小兀问题〕

老板有一袋金块〔共n块〕,最优秀的雇员得到其中最重的一块,最差的雇员得到其中最轻的

一块.假设有一台比拟重量的仪器,我们希望用最少的比拟次数找出最重的金块.

求：

①简述分治算法的根本思想

②设计该金块问题的分治算法

③计算所设计算法的时间复杂度〔要求写出递推公式〕

答：

①简述分治算法的根本思想：

问题可以简化为：

在含n〔n是2的哥〔n>=2〕〕个元素的集合中寻找极大元和极小元.

用分治法〔二分法〕可以用较少比拟次数地解决上述问题：

1〕将数据等分为两组〔两组数据可能差1〕,目的是分别选取其中的最大〔小〕值.

2〕递归分解直到每组元素的个数w2,可简单地找到最大〔小〕值.

3〕回溯时将分解的两组解大者取大,小者取小,合并为当前问题的解.

②、③

第三章动态规划算法

一、填空题：

1、动态规划算法中存储子问题的解是为了防止重复求解子问题.

2、〔最优子结构〕是问题能用动态规划算法求解的前提.

3、矩阵连乘问题的算法可由〔动态规划〕算法设计实现.

二、判断题：

1、动态规划算法根本要素的是最优子结构.〔V〕

2、最优子结构性质是指原问题的最优解包含其子问题的最优解.〔V〕

3、动态规划算法求解问题时,分解出来的子问题相互独立.〔X〕

三、简做题：

1、动态规划算法解题步骤

答：

①找出最优解的性质,并刻划其结构特征；

〔即原问题的最优解,包含了子问题的最优解〕

②递归地定义最优值；

〔即子问题具有重叠性,由子问题定义原问题〕

③以自底向上的方式计算出最优值；

④根据计算最优值时得到的信息,构造最优解；

2、动态规划算法根本思想

答：

动态规划算法与分治法类似,其根本思想也是将待求解问题分解成假设干个子问题；

但是经分解得到的子问题往往不是互相独立的.不同子问题的数目常常只有多项式量级.

在用分治法求解时,有些子问题被重复计算了许屡次；

如果能够保存已解决的子问题的答案,而在需要时再找出已求得的答案,就可以防止大量重

复计算,从而得到多项式时间算法.

3、动态规划与分治算法异同点?

4、动态规划算法的根本要素?

四、算法设计与计算题：

1、X=a,X2,L,XmNY={y1,y2,L,yj的最长公共子序列为Z={z1,4,L,zj.

问：

假设用c[i][j]记录序列Xj={%,x2,L,x}和丫={y1,y2,L,力}公共子序列长度.求:

①用动态规划法求解时,计算最优值的递归公式

②设计计算最优值的算法以及构造最优解的算法

2、长江游艇俱乐部在长江上设置了n个游艇出租站1,2…n.游客可在这些游艇出租站

租用游艇,并在下游的任何一个游艇出租站归还游艇.

游艇出租站i到游艇出租站j之间的租金为r（i,j）,其中1<=i

求：

①用动态规划法求解时,计算最优值（最少租金）的递归公式

②设计计算最优值（最少租金）的算法

③并分析其时间复杂度

解：

①

0i二j

r[i,j]min{r[i,k]r[k1,j]}ij.i_k：

；：

j

②计算最优值算法

publicstaticvoidmatrixChain（int[]p,int[][]m,int[][]s）{

intn=p.length-1;

for（inti=1;i<=n;i++）m[i][i]=0;//1个站

for（intr=2;r<=n;r++）

for（inti=1;i<=n-r+1;i++）

{intj=i+r-1;

m[i][j]=m[i][i]+m[i+1][j];

s[i][j]=i;//断点位置在i处

for（intk=i+1;k

{intt=m[i][k]+m[k+1][j];if（t

{m[i][j]=t;s[i][j]=k;}}}}

构造最优解算法

publicvoidtraceback（ints[][],intI,intj）{if（i=j）return;

traceback（s,i,s[i][j]）;

traceback（s,s[i][j]+1,j）;

System.out.println（"A"+i++s[i][j]+«A+s[i][j]+1+

+j）

}//（m[i,s[i][j]]）（m[s[i][j]+1,j]）

③时间复杂度：

O（n3）

第4章贪心算法

一、填空题:

1、某单位给每个职工发工资〔精确到元〕.为了保证不要临时兑换零钱,且取款的张数最少,

统计所需各种币值〔100,50,20,10,5,2,1元共七种〕的张数.

贪心算法如下：

voidgreedy_zhaoling（floatGZ,intB[],intS[]）〃GZ

计算当前总价值,mHF包剩余载重

;//计算物品单位价值ww[]

初始化

按单位价值将物品排序,便于贪心选择

贪心选择,总是选择价值最大放入背包

当前物品小于背包剩余载重

2、贪心算法的两个根本要素是〔贪心选择性〕和〔最优子结构〕.

3、给定n种物品和一个背包.物品i的重量是Wi,其价值为Vi,背包的容量为M应如何选择装入背包的物品,使得装入背包中物品的总价值最大.

贪心算法如下：

floatgreedy_knapsack（floatM,floatw[],floatp[],floatx[]）

//x[]背包问题最优解,w[]物品重量,P[]物品价值

{intn=w.length;

floatpp=0;

floatmm=M;//pp

for（inti=1;i<=n;i++）

{

floatww[i]=p[i]/w[i]

x[i]=0;

}//

Mergesort（w[],n）;//

for（inti=1;i<=n;i++）//

{

x[i]=1;

mm=mm-w[i];

PP=PP+P[i]；}

else

〔

x[i]=mm/w[i];

PP=PP+x[i]*P[i];

break;

}//i局部放入背包

}

returnpp;

}

二、判断题：

1、满足贪心选择性质必满足最优子结构性质.〔X〕

三、简做题：

1、贪心算法的根本思想

2、贪心算法的根本要素

3、贪心算法与动态规划算法的异同

四、算法设计题：

1、假设有7个物品,它们的重量和价值如下表所示.假设这些物品均可以被分割,且背包容量七150,如果使用贪心方法求解此背包问题〔背包不超载的前提下,装载的物品价值达到最大〕.

物品

A

B

C

D

E

F

G

35

30

60

50

40

10

25

价值

10

40

30

50

35

40

30

①利用贪心算法求解该问题时,为了进行贪心选择,首先应该做什么然后进行贪心装载,给出一种正确的物品装载顺序并给出其最优装载方案

②利用贪心思想设计该普通背包问题的贪心算法

③分析其时间复杂度

解：

①1〕依据不同的标准对这些物品进行排序,标准有重量、价值、单位价值；

2〕重量从小到大：

FGBAEDC得到的贪心解为：

FGBAE全部放入,D放入20%,得到

价值为165;

价值从大到小：

DFBEGCA得到的贪心解为：

DFBE全部放入,G放入80%,得到价值为189;

单位价值从大到小：

FBGDECA得到的贪心解为：

FBGD全部放入,E放入87.5%,得到价值为190.625;

3）显然使用单位价值得出最正确转载方案.

2、设有n个活动集合,其中每个活动都要求使用同一资源,如足球场,而在同一时间只能

有一个活动使用该资源.

每个活动i都有一个要求使用该资源起始时间si和结束时间fi,且si

择了活动i,那么它在半开区间［si,fi）占用资源.

假设两个活动［si,fi）与［sj,fj）不相交,那么称活动i与活动j是相容的；

活动安排问题：

就是在所给的活动集合中选出最大相容活动子集合；

求：

①利用贪心算法求解该问题的根本思想

②设计该活动安排问题的贪心算法并分析其时间复杂度

3、给定以下图G=（V,E）是一个无向连通图,对每一条边（v,w）,其权彳1为c（v,w）;

求：

①利用prim算法构造其最小生成树,画出其选边的过程

并构造其算法并分析其时间复杂度

②利用kruskal算法构造其最小生成树,画出其选边的过程?

并构造其算法并分析其时间复杂度

4、对以下图中的有向图,应用Dijkstra算法计算从源（顶点1）到其它顶点间最短路径的过程

要求：

给出Dijkstra算法的迭代过程,计算源到给个顶点的最短路径（用表表示）

解：

见课本123页表4-2

解：

迭代过程:

迭代

S

U

dist[2]

dist[3J

dlst[4]

dist[5]

新骷

（1）

—

10

maxinI

30

100

1

{1,2}

2

60

30

100

2

[1,2,4）

4

50

90

3

{1,2,4,3}

3

60

41

[1,2,4,3,5）

5

10

P50

30

60

Dijkstra算法的迭代过程;

=士_丝枣二二；

V-S

第5章回溯算法

一、填空题

1、回溯法与分支限界法搜索方式不同,回溯法按深度优先搜索解空间,分支限界法按

广度优先或最小消耗优先搜索解空间.

二、判断题

1、回溯法中限界函数的目的是剪去得不到最优解的子树.〔V〕

2、分支限界法类似于回溯法,也是一种在问题的解空间树T上搜索问题解的算法,两者的

搜索方式是相同的.〔X〕三、简做题

1、简述回溯法和分支限界法的相同点和不同点

2、什么是子集树什么是排列树什么叫满m叉树

3、回溯算法的根本思想回溯算法的解题步骤四、算法设计题

1、n皇后问题

在4X4格的棋盘上放置彼此不受攻击的4个皇后.根据国际象棋的规那么,皇后可以攻击与之处在同一行或同一列或同一斜线上的棋子.

用回溯算法解决4皇后问题：

①构造求解该问题的解空间树

②设计该4皇后问题的回溯算法

解：

①解空间树

2、0—1背包问题：

假设有3个物品,它们的重量和价值如下表所示.假设这些物品均不可以被分割,且背包

容量M=10,问应该如何装入使背包中物品的总价值最大

用回溯算法求解该0—1背包问题：

①构造求解该问题的解空间树

②设计该0—1背包问题的回溯算法

解：

1〕解空间树；

物品

A

B

C

重量

6

5

5

价值

42

25

30

2）3、图的着色问题：

如以下图

给定无向连通图G和m种不同的颜色；

用这m种颜色为图G的各个顶点着色,是否有一种方法使得图G中每一条边的两个顶点着不同颜色；

求：

①构造求解该问题的解空间树

②设计该图的着色问题回溯算法

解：

1〕解空间树:

2）算法：

doublemcoloring（intmm）

{intm=mm;

doublesum=0;

backtrack

（1）;

returnsum;

}

//m

//sum

//

可用颜色数

当前着色方案数

深度优先搜索解空间

voidbacktrack（intt）{if（t>n）//

{sum++;

//

搜索到叶子节点

着色方案数加1

for（inti=1;i<=n;i++）system.out.print（x[i]）;}//输出解,顶点i着颜色else//搜索到中间节点{for（inti=1;i<=m;i++）

x[i]

{x[t]=i;

if（ok（t））

//

backtrack（t+1）;

顶点t着颜色i=1.•.m

}

}

}

当前着色顶点与以前相邻顶点是否同色

booleanok（intk）//

{for（intj=1;j<=n;j++）

if（a[k][j]&&（x[j]==x[k]））

//数组a[][]是图的邻接矩阵

且色同：

x[j]==x[k]

returnfalse;elsereturntrue;}

③算法分析（m种颜色,n个节点）

计算限界函数,一重for循环时间复杂度：

O（n）;

在最坏的情况下每一个内节点都需要判断约束,内节点个数：

1+m+m+

n3++mn-1=（mn-1）/（m-1）个；

故图的m着色问题的回溯算法,时间复杂度为：

O（n*mn）.