数据处理测量误差及不确定度及修约.docx
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数据处理测量误差及不确定度及修约
四数据处理、测量误差及不确定度
（一）数据处理
1．有效数字
（1）（末）的概念
所谓（末），指的是任何一个数最末一位数字所对应的单位量值。
例如：
用分度值为1mm的钢卷尺测量某物体的长度，测量结果为19．8mm，最末一位的量值O．8mm，即为最末一位数字8与其所对应的单位量值0．1mm的乘积，故19．8mm的（末）为0.lmm。
（2）有效数字的概念
人们在日常生活中接触到的数，有准确数和近似数。
对于任何数，包括无限不循环小数和循环小数，截取一定位数后所得的即是近似数。
同样，根据误差公理，测量总是存在误差，测量结果只能是一个真值的估计值，其数字也是近似数。
例如：
将无限不循环小数Pi=3.14159……截取到白分位，可得到近似数3.14，则此时引起的误差绝对值为
|3．14—3．14159……|=0．00159……
近似数3．14的（末）为0．01，因此0．5（末）=0．5×0．01=0．005，而0·00159……<0．005，故近似数3．14的误差绝对值小于0．5（末）。
由此可以得出关于近似数有效数字的概念：
当该近似数的绝对值误差小于0.5（末）时,从左边的第一个非零数字算起,直到最末一位数字为止的所有数字.根据这个概念3.14有3位有效数字.
测量结果的数字，其有效位数代表结果的不确定度。
例如：
某长度测量值为19．8mm，有效位数为3位；若是19．80ram，有效位数为4位。
它们的绝对误差的模分别小于0·5（末），即分别小于0．05mm和0．005mm。
显而易见，有效位数不同，它们的测量不确定度也不同，测量结果19．80mm比19．8mm的不确定度要小。
同时，数字右边的“0”不能随意取舍，因为这些“0”都是有效数字。
2．近似数运算
（1）加、减运算
如果参与运算的数不超过10个，运算时以各数中（末）最大的数为准，其余的数均比它多保留一位，多余位数应舍去。
计算结果的（末），应与参与运算的数中（末）最大的那个数相同。
若计算结果尚需参与下一步运算，则可多保留一位。
例如：
18．3Ω+1．4546Ω+0.87612Ω
18．3Ω+1．45Ω+0．88Ω≈20．63Ω≈20．6Ω
计算结果为20．6Ω。
若尚需参与下一步运算，则取20．63Ω。
（2）乘、除（或乘方、开方）运算
在进行数的乘除运算时，以有效数字位数最少的那个数为准，其余的数的有效数字均比它多保留一位。
运算结果（积或商）的有效数字位数，应与参与运算的数中有效数字位数最少的那个数相同。
若计算结果尚需参与下一步运算，则有效数字可多取一位。
例如：
1．1m×0．3268m×0．10300m
1．1m×0．327mX0．103m=0．0370m3≈0．037m3
计算结果为0．037m3。
若需参与下一步运算，则取0．0370m3。
乘方、开方运算类同。
3．数据修约
（1）数据修约的基本概念
a、数据修约：
对某一拟修约数，根据保留数位的要求，将其多余位数的数字进行取舍，按照一定的规则，选取一个其值为修约间隔整数倍的数（称为修约数）来代替拟修约数，这一过程称为数据修约，也称为数的化整或数的凑整。
为了简化计算，准确表达测量结果，必须对有关数据进行修约。
b、修约间隔：
又称为修约区间或化整间隔，它是确定修约保留位数的一种方式。
修约问隔一般以k×10n（k=1，2，5；n为正、负整数）的形式表示。
人们经常将同一k值的修约间隔，简称为“k”间隔。
修约间隔一经确定，修约数只能是修约间隔的整数倍。
例如：
指定修约间隔为0．1，修约数应在0．1的整数倍的数中选取；若修约间隔为2X10”，修约数的末位只能是0，2，4，6，8等数字；若修约间隔为5X10”，则修约数的末位数字必然不是“0”，就是“5”。
C、修约数位表达形式：
当对某一拟修约数进行修约时，需确定修约数位，其表达形式有以下几种：
①指明具体的修约间隔；
②将拟修约数修约至某数位的0．1或0．2或0．5个单位；
③指明按“k”间隔将拟修约数修约为几位有效数字，或者修约至某数位，有时“1”间隔可不必指明，但“2”间隔或“5”间隔必须指明。
（2）数据修约规则
我国的国家标准GB8170—87《数值修约规则》，对“1”、“2”、“5”间隔的修约方法分别作了规定，但使用时比较繁琐，对“2”和“5”间隔的修约还需进行计算。
下面介绍一种适用于所有修约间隔的修约方法，只需直观判断，简便易行：
①如果为修约间隔整数倍的一系列数中，只有一个数最接近拟修约数，则该数就是修约数。
例如：
将1．150001按0．1修约间隔进行修约。
此时，与拟修约数1．150001邻近的为修约间隔整数倍的数有1．1和1．2（分别为修约间隔0．1的11倍和12倍），然而只有1．2最接近拟修约数，因此1．2就是修约数。
又如：
要求将1．015修约至十分位的0．2个单位。
此时，修约间隔为0．02，与拟修约数1．0151邻近的为修约间隔整数倍的数有1．00和1．02（分别为修约间隔的0．02的50倍和51倍），然而只有1．02最接近拟修约数，因此1．02就是修约数。
同理，若要求将1．2505按“5”间隔修约至十分位。
此时，修约间隔为0．5。
1．2505只能修约成1．5而不能修约成1．0，因为只有1．5最接近拟修约数1．2505。
②如果为修约间隔整数倍的一系列数中，有连续的两个数同等地接近拟修约数，则这两个数中，只有为修约间隔偶数倍的那个数才是修约数。
例如：
要求将1150按100修约间隔修约。
此时，有两个连续的为修约间隔整数倍的数1．1×10。
和1．2×10。
同等地接近1150，因为1．1×10。
是修约间隔100的奇数倍（11倍），只有1．2×103是修约间隔100的偶数倍（12倍），因而1．2×10。
是修约数。
又如：
要求将1．500按0．2修约间隔修约。
此时，有两个连续的为修约间隔整数倍的数1．4和1．6同等地接近拟修约数1．500，因为1．4是修约间隔0．2的奇数倍（7倍），所以不是修约数，而只有1．6是修约间隔0．2的偶数倍（8倍），因而才是修约数。
同理，1．025按“5”间隔修约到3位有效数字时，不能修约成1．05，而应修约成1．00。
因为1．05是修约间隔0．05的奇数倍（21倍），而1．00是修约间隔0．05的偶数倍（20倍）。
需要指出的是：
数据修约导致的不确定度呈均匀分布，约为修约间隔的1／2。
在进行修约时还应注意：
不要多次连续修约（例如：
12．251—12．25—12．2），因为多次连续修约会产生累积不确定度。
此外，在有些特别规定的情况（如考虑安全需要等）下，最好只按一个方向修约。
（二）测量误差
1．测量误差和相对误差
（1）测量误差
a、误差的定义：
测量结果减去被测量的真值所得的差，称为测量误差，简称误差。
这个定义从20世纪70年代以来没有发生过变化，以公式可表示为：
测量误差=测量结果一真值。
测量结果是由测量所得到的赋予被测量的值，是客观存在的量的实验表现，仅是对测量所得被测量之值的近似或估计，显然它是人们认识的结果，不仅与量的本身有关，而且与测量程序、测量仪器、测量环境以及测量人员等有关。
b、真值的定义：
真值是量的定义的完整体现，是与给定的特定量的定义完全一致的值，它是通过完善的或完美无缺的测量，才能获得的值。
c、真值的性质：
真值反映了人们力求接近的理想目标或客观真理，本质上是不能确定的，量子效应排除了唯一真值的存在，实际上用的是约定真值，须以测量不确定度来表征其所处的范围。
因而，作为测量结果与真值之差的测量误差，也是无法准确得到或确切获知的。
此即“误差公理”的内涵。
d、误差的性质：
误差与测量结果有关，即不同的测量结果有不同的误差，合理赋予的被测量之值各有其误差而并不存在一个共同的误差。
一个测量结果的误差，若不是正值（正误差）就是负值（负误差），它取决于这个结果是大于还是小于真值。
如图6—1所示，被测量值为Y，其真值为t，第i次测量所得的观测值或测得值为Yi。
由于误差的存在使测得值与真值不能重合，设测得值呈正态分布N（μ，σ），则分布曲线在数轴上的位置（即μ值）决定了系统误差的大小，曲线的形状（按σ值）决定了随机误差的分布范围[μ-kσ，μ+kσ]，及其在范围内取值的概率。
由图可见，误差和它的概率分布密切相关，可以用概率论和数理统计的方法来恰当处理。
e、误差的表示：
实际上，误差可表示为：
误差=测量结果一真值=（测量结果一总体均值）十（总体均值一真值）
=随机误差+系统误差
因此，任意一个误差均可分解为系统误差和随机误差。
实际上，测量结果的误差往往是由若干个分量组成的，这些分量按其特性均可分为随机误差与系统误差两大类，而且无例外地取各分量的代数和，换言之，测量误差的合成只用“代数和”方式。
f、误差与不确定度的区别：
不要把误差与不确定度混为一谈。
测量不确定度表明赋予被测量之值的分散性，它与人们对被测量的认识程度有关，是通过分析和评定得到的一个区间。
测量误差则是表明测量结果偏离真值的差值，它客观存在但人们无法准确得到。
例如：
测量结果可能非常接近于真值（即误差很小），但由于认识不足，人们赋予的值却落在一个较大区间内（即测量不确定度较大）；
图6—1测量误差示意图
也可能实际上测量误差较大，但由于分析估计不足，使给出的不确定度偏小。
．国际上开始研制铯原子频率标准时，经分析其测量不确定度达到10-15量级，运行一段时间后，发现有一项重要因素不可忽视，经再次分析和评定，不确定度扩大到10-14量级，这说明人们的认识提高了。
因此，在评定测量不确定度时应充分考虑各种影响因素，并对不确定度的评定进行必要的验证。
e、绝对误差：
当有必要与相对误差相区别时，测量误差有时称为测量的绝对误差。
设测量结果y减去被测量约定真值t，所得的误差或绝对误差为△。
注意不要与误差的绝对值相混淆，后者为误差的模。
（2）相对误差
a、定义：
测量误差除以被测量的真值所得的商，称为相对误差。
设测量结果y减去被测量约定真值t，所得的误差或绝对误差为△。
将绝对误差△除以约定真值t,即可求得相对误差为
。
所以，相对误差表示绝对误差所占约定真值的百分比，它也可用数量级来表示所占的份额或比例，即表示为
当被测量的大小相近时，通常用绝对误差进行测量水平的比较。
当被测量值相差较大时，用相对误差才能进行有效的比较。
例如：
测量标称值为10．2mm的甲棒长度时，得到实际值为10．0mm，其示值误差△=0．2mm；而测量标称值为100．2mm的乙棒长度时，得到实际值为100．0mm，其示值误差△’=0．2mm。
它们的绝对误差虽然相同，但乙棒的长度是甲棒的10倍左右，显然要比较或反映两者不同的测量水平，还须用相对误差或误差率的概念。
即
=0．2／10．0=2％而
’=0．2／100．0=0．2％，所以乙棒比甲棒测得准确。
或者用数量级表示为艿=2N10，占’=2×10～，从而也反映出后者的测量水平高于前者一个数量级。
还应指出的是：
绝对误差与被测量的量纲相同，而相对误差是量纲一的量或无量纲量。
2．误差分类：
随机误差和系统误差
（1）随机误差
a、定义：
测量结果与在重复性条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值之差，称为随机误差。
b、重复性条件：
是指在尽量相同的条件下，包括测量程序、人员、仪器、环境等，以及尽量短的时间间隔内完成重复测量任务。
这里的“短时间”可理解为保证测量条件相同或保持不变的时间段，它主要取决于人员的素质、仪器的性能以及对各种影响量的监控。
从数理统计和数据处理的角度来看，在这段时间内测量应处于统计控制状态，即符合统计规律的随机状态。
通俗地说，它是测量处于正常状态的时间间隔。
重复观测中的变动性，正是由于各种影响量不能完全保持恒定而引起的。
c、测量结果：
测量结果是真值、系统误差与随机误差三者的代数和；而测量结果与无限多次测量所得结果的平均值（即总体均值）之差，则是这--N量结果的随机误差分量。
此前，随机误差曾被定义为：
在同一量的多次测量过程中，以不可预知方式变化的测量误差的分量。
这个所谓以不可预知方式变化的分量，是指相同条件下多次测量时误差的绝对值和符号变化不定的分量，它时大时小、时正时负、不可预定。
例如：
天平的变动性、测微仪的示值变化等，都是随机误差分量的反映。
事实上，多次测量时的条件不可能绝对地完全相同，多种因素的起伏变化或微小差异综合在一起，共同影响而致使每个测得值的误差以不可预定的方式变化。
现在，随机误差是按其本质定义的，但可能确定的只是其估计值，因为测量只能进行有限次数，重复测量也是在上述重复性条件下进行的。
d、随机误差的特点:
就单个随机误差估计值而言，它没有确定的规律；但就整体而言，却服从一定的统计规律，故可用统计方法估计其界限或它对测量结果的影响。
e、随机效应：
随机误差大抵来源于影响量的变化，这种变化在时间上和空间上是不可预知的或随机的，它会引起被测量重复观测值的变化，故称之为“随机效应”。
可以认为正是这种随机效应导致了重复观测中的分散性，我们用统计方法得到的实验标准[偏]差是分散性，确切地说是来源于测量过程中的随机效应，而并非来源于测量结果中的随机误差分量。
f、随机误差的统计规律性，主要可归纳为对称性、有界性和单峰性三条：
①对称性:
是指绝对值相等而符号相反的误差，出现的次数大致相等，也即测得值是以它们的算术平均值为中心而对称分布的。
由于所有误差的代数和趋近于零，故随机误差又具有抵偿性，这个统计特性是最为本质的；换言之，凡具有抵偿性的误差，原则上均可按随机误差处理。
②有界性:
是指测得值误差的绝对值不会超过一定的界限，也即不会出现绝对值很大的误差。
③单峰性:
是指绝对值小的误差比绝对值大的误差数目多，也即测得值是以它们的算术平均值为中心而相对集中地分布的。
（2）系统误差
a、定义：
在重复性条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值与被测量的真值之差，称为系统误差。
它是测量结果中期望不为零的误差分量。
由于只能进行有限次数的重复测量，真值也只能用约定真值代替，因此可能确定的系统误差只是其估计值，并具有一定的不确定度。
这个不确定度也就是修正值的不确定度，它与其他来源的不确定度分量一样贡献给了合成标准不确定度。
值得指出的是：
不宜按过去的说法把系统误差分为已定系统误差和未定系统误差，也不宜说未定系统误差按随机误差处理。
因为。
这里所谓的未定系统误差，其实并不是误差分量而是不确定度；而且所谓按随机误差处理，其概念也是不容易说得清楚的。
b、系统效应：
系统误差大抵来源于影响量，它对测量结果的影响若已识别并可定量表述，则称之为“系统效应”。
该效应的大小若是显著的，则可通过估计的修正值予以补偿。
例如：
高阻抗电阻器的电位差（被测量）是用电压表测得的，为减少电压表负载效应给测量结果带来的“系统效应”，应对该表的有限阻抗进行修正。
但是，用以估计修正值的电压表阻抗与电阻器阻抗（它们均由其他测量获得），本身就是不确定的。
这些不确定度可用于评定电位差的测量不确定度分量，它们来源于修正，从而来源于电压表有限阻抗的系统效应。
另外，为了尽可能消除系统误差，测量仪器须经常地用计量标准或标准物质进行调整或校准；但是同时须考虑的是：
这些标准自身仍带着不确定度。
至于误差限、最大允许误差、可能误差、引用误差等，它们的前面带有正负（±）号，因而是一种可能误差的分散区间，并不是某个测量结果的误差。
对于测量仪器而言，其示值的系统误差称为测量仪器的“偏移”，通常用适当次数重复测量示值误差的均值来估计。
过去所谓的误差传播定律，所传播的其实并不是误差而是不确定度，故现已改称为不确定度传播定律。
还要指出的是：
误差一词应按其定义使用，不宜用它来定量表明测量结果的可靠程度。
3．修正值和偏差
（1）修正值和修正因子
修正值:
用代数方法与未修正测量结果相加，以补偿其系统误差的值，称为修正值。
含有误差的测量结果，加上修正值后就可能补偿或减少误差的影响。
由于系统误差不能完全获知，因此这种补偿并不完全。
修正值等于负的系统误差，这就是说加上某个修正值就像扣掉某个系统误差，其效果是一样的，只是人们考虑问题的出发点不同而已，即
真值=测量结果+修正值=测量结果一误差
在量值溯源和量值传递中，常常采用这种加修正值的直观的办法。
用高一个等级的计量标准来校准或检定测量仪器，其主要内容之一就是要获得准确的修正值。
例如：
用频率为
疋的标准振荡器作为信号源，测得某台送检的频率计的示值为厂，则示值误差△为f-fs。
所以，在今后使用这台频率计量应扣掉这个误差，即加上修正值（一△），可得厂+（一△），这样就与疋一致了。
换言之，系统误差可以用适当的修正值来估计并予以补偿。
但应强调指出：
这种补偿是不完全的，也即修正值本身就含有不确定度。
当测量结果以代数和方式与修正值相加之后，其系统误差之模会比修正前的要小，但不可能为零，也即修正值只能对系统误差进行有限程度的补偿。
修正因子:
为补偿系统误差而与未修正测量结果相乘的数字因子，称为修正因子。
含有系统误差的测量结果，乘以修正因子后就可以补偿或减少误差的影响。
例如：
由于等臂天平的不等臂误差，不等臂天平的臂比误差，线性标尺分度时的倍数误差，以及测量电桥臂的不等称误差所带来的测量结果中的系统误差，均可以通过乘一个修正因子得以补偿。
但是，由于系统误差并不能完全获知，因而这种补偿是不完全的，也即修正因子本身仍含有不确定度。
通过修正因子或修正值已进行了修正的测量结果，即使具有较大的不确定度，但可能仍然十分接近被测量的真值（即误差甚小）。
因此，不应把测量不确定度与已修正测量结果的误差相混淆。
（2）偏差
偏差:
一个值减去其参考值，称为偏差。
这里的值或一个值是指测量得到的值，参考值是指设定值、应有值或标称值。
以测量仪器的偏差为例，它是从零件加工的“尺寸偏差”的概念引伸过来的。
尺寸偏差是加工所得的某一实际尺寸，与其要求的参考尺寸或标称尺寸之差。
相对于实际尺寸来说，由于加工过程中诸多因素的影响，它偏离了要求的或应有的参考尺寸，于是产生了尺寸偏差，即
尺寸偏差=实际尺寸一应有参考尺寸
对于量具也有类似情况。
例如：
用户需要一个准确值为lkg的砝码，并将此应有的值标示在砝码上；工厂加工时由于诸多因素的影响，所得的实际值为1．002kg，此时的偏差为十0．002kg。
显然，如果按照标称值lkg来使用，砝码就有一0．002kg的示值误差；而如果在标称值上加一个修正值+0．002kg后再用，则这块砝码就显得没有误差了。
这里的示值误差和修正值，都是相对于标称值而言的。
现在从另一个角度来看，这块砝码之所以具有一0．002kg的示值误差，是因为加工发生偏差，偏大了0．002kg，从而使加工出来的实际值（1．002kg）偏离了标称值（1kg）。
为了描述这个差异，引入“偏差”这个概念就是很自然的事，即
偏差=实际值一标称值=1．002kg一1．000kg=0．002kg
在此可见，偏差与修正值相等，或与误差等值而反向。
应强调指出的是：
偏差相对于实际值而言，修正值与误差则相对于标称值而言，它们所指的对象不同。
所以在分析时，首先要分清所研究的对象是什么。
还要提及的是：
上述尺寸偏差也称实际偏差或简称偏差，而常见的概念还有上偏差（最大极限尺寸与应有参考尺寸之差）、下偏差（最小极限尺寸与应有参考尺寸之差），它们统称为极限偏差。
由代表上、下偏差的两条直线所确定的区域，即限制尺寸变动量的区域，通称为尺寸公差带。
（三）量不确定度
1．测量不确定度和标准不确定度
（1）测量不确定度
a、测量不确定度:
表征合理地赋予被测量之值的分散性、与测量结果相联系的参数，称为测量不确定度。
b、定义解释：
“合理”意指应考虑到各种因素对测量的影响所做的修正，特别是测量应处于统计控制的状态下，即处于随机控制过程中。
“相联系”意指测量不确定度是一个与测量结果“在一起”的参数，在测量结果的完整表示中应包括测量不确定度。
此参数可以是诸如标准[偏]差或其倍数，或说明了置信水准的区间的半宽度。
测量不确定度从词义上理解，意味着对测量结果可信性、有效性的怀疑程度或不肯定程度，是定量说明测量结果的质量的一个参数。
实际上由于测量不完善和人们的认识不足，所得的被测量值具有分散性，即每次测得的结果不是同一值，而是以一定的概率分散在某个区域内的许多个值。
虽然客观存在的系统误差是一个不变值，但由于我们不能完全认知或掌握，只能认为它是以某种概率分布存在于某个区域内，而这种概率分布本身也具有分散性。
测量不确定度就是说明被测量之值分散性的参数，它不说明测量结果是否接近真值。
c、表征方式：
为了表征这种分散性，测量不确定度用标准[偏]差表示。
在实际使用中，往往希望知道测量结果的置信区间，因此规定测量不确定度也可用标准[偏]差的倍数或说明了置信水准的区间的半宽度表示。
为了区分这两种不同的表示方法，分别称它们为标准不确定度和扩展不确定度。
d、测量不确定度可能来源
在实践中，测量不确定度可能来源于以下十个方面：
①对被测量的定义不完整或不完善；
②实现被测量的定义的方法不理想；
③取样的代表性不够，即被测量的样本不能代表所定义的被测量；
④对测量过程受环境影响的认识不周全，或对环境条件的测量与控制不完善；
⑤对模拟仪器的读数存在人为偏移；
⑥测量仪器的分辨力或鉴别力不够；
⑦赋予计量标准的值或标准物质的值不准；
⑧引用于数据计算的常量和其他参量不准；
⑨测量方法和测量程序的近似性和假定性；
⑩在表面上看来完全相同的条件下，被测量重复观测值的变化。
’
e、测量不确定度的评价与表征
由此可见，测量不确定度一般来源于随机性和模糊性，前者归因于条件不充分，后者归因于事物本身概念不明确。
这就使测量不确定度一般由许多分量组成，其中一些分量可以用测量列结果（观测值）的统计分布来进行评价，并且以实验标准[偏]差表征；而另一些分量可以用其他方法（根据经验或其他信息的假定概率分布）来进行评价，并且也以标准[偏]差表征。
所有这些分量，应理解为都贡献给了分散性。
若需要表示某分量是由某原因导致时，可以用随机效应导致的不确定度和系统效应导致的不确定度，例如：
由修正值和计量标准带来的不确定度分量，可以称之为系统效应导致的不确定度。
f、不确定度计算方法：
不确定度当由方差得出时，取其正平方根。
当分散性的大小用说明了置信水准的区间的半宽度表示时。
g、相对不确定度：
当不确定度除以测量结果时，称之为相对不确定度，这是个无量纲量，通常以百分数或10的负数幂表示。
在测量不确定度的发展过程中，人们从传统上理解它是“表征（或说明）被测量真值所处范围的一个估计值（或参数）”；也有一段时期理解为“由测量结果给出的被测量估计值的
可能误差的度量”。
这些含义从概念上来说是测量不确定度发展和演变的过程，与现定义并不矛盾，但它们涉及到真值和误差这两个理想化的或理论上的概念，实际上是难以操作的未知量，而可以具体操作的则是测量结果的变化，即被测量之值的分散性。
（2）标准不确定度和标准[偏]差
a标准不确定度:
以标准[偏]差表示的测量不确定度，称为标准不确定度。
标准不确定度用符号能表示，它不是由测量标准引起的不确定度，而是指不确定度以标准[偏]差表示，来表征被测量之值的分散性。
这种分散性可以有不同的表示方式，例
如：
用
表示时，由于正残差与负残差可能相消，反映不出分散程度；用
表示时，则不便于进行解析运算。
只有用标准[偏]差表示的测量结果的不确定度，才称为标准不确定度。
b实验标准[偏]差：
当对同一被测量作n次测量，表征测量结果分散性的量s按下式算出时，称它为
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