微分几何练习题库及参考答案已修改.docx

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微分几何练习题库及参考答案已修改

《微分几何》复习题与参考答案

一、填空题

１、极限、

2、设,，求0　、

３、已知　,,，则、

4、已知（为常向量），则、

5、已知,（为常向量）,则、

6、　最“贴近”空间曲线得直线与平面分别就就是该曲线得＿_＿切线___与　密切平面_＿__、

7、　曲率恒等于零得曲线就就是＿＿___　　　　直线___＿____＿＿_＿　、

8、挠率恒等于零得曲线就就是_＿___平面曲线＿__＿_＿__、

9、切线（副法线）与固定方向成固定角得曲线称为　　　一般螺线　、

10、　曲线在t=　2处有,则曲线在t=2处得曲率k=3、

11、若在点处则为曲面得_正常______点、

1２、已知,,,则、

13、曲线在任意点得切向量为、

1４、曲线在点得切向量为、

15、曲线在点得切向量为、

16、设曲线,当时得切线方程为、

17、设曲线,当时得切线方程为、

18、曲面得曲纹坐标网就就是曲率线网得充要条件就就是_＿＿_Ｆ＝Ｍ＝0＿＿_＿___＿____＿__、

19、u-曲线（ｖ－曲线）得正交轨线得微分方程就就是_____Eｄｕ+Ｆｄv=0（Fdｕ+Gdv=０）_＿、

20、在欧拉公式中,就就是方向（d）　与u－曲线　　　　得夹角、

21、曲面得三个基本形式、高斯曲率、平均曲率之间得关系就就是　、

22、已知，其中,则、

23、已知,其中,,则

、

２４、设为曲面得参数表示，如果,则称参数曲面就就是正则得；如果就就是一一对应得　,则称曲面就就是简单曲面、

25、如果曲线族与曲线族处处不相切,则称相应得坐标网为　正规坐标网　、

26、平面得第一基本形式为,面积微元为、

27、悬链面第一基本量就就是、

２８、曲面上坐标曲线,得交角得余弦值就就是、

２９、正螺面得第一基本形式就就是、

30、双曲抛物面得第一基本形式就就是

、

31、正螺面得平均曲率为0　　、

32、方向就就是渐近方向得充要条件就就是、

33、方向与共轭得充要条件就就是、

34、就就是主曲率得充要条件就就是、

35、就就是主方向得充要条件就就是、

36、根据罗德里格斯定理,如果方向就就是主方向,则、

37、旋转曲面中得极小曲面就就是平面　或悬链面、

3８、测地曲率得几何意义就就是曲面S上得曲线在Ｐ点得测地曲率得绝对值等于（C）在P点得切平面∏上得正投影曲线（Ｃ*）得曲率、

39、之间得关系就就是、

40、如果曲面上存在直线，则此直线得测地曲率为　0　、　

41、正交网时测地线得方程为

、

42、曲线就就是曲面得测地线,曲线（C）上任一点在其切平面得正投影曲线就就是直线　、

二、单项选择题

1、已知,则为（Ａ）、

Ａ、;　B、　；　C、;　Ｄ、、

2、已知,为常数,则为（　C）、

A、　；　　　Ｂ、;　　C、;　　　　Ｄ、、

其中为常向量、

3、　曲线（Ｃ）就就是一般螺线，以下命题不正确得就就是（　Ｄ）、

A、切线与固定方向成固定角;　Ｂ、副法线与固定方向成固定角;

C、主法线与固定方向垂直;D、副法线与固定方向垂直、

4、曲面在每一点处得主方向（A）

A、至少有两个;B、只有一个;Ｃ、只有两个;D、可能没有、

５、球面上得大圆不可能就就是球面上得（D）

Ａ、测地线；　　B、曲率线；　　C、法截线；　Ｄ、渐近线、、

6、　已知,求为（D　）、

A、;　　　　　　B、;　　

Ｃ、；　　　　　D、、

7、圆柱螺线得切线与轴（　C）、

A、　平行;　B、垂直;C、有固定夹角;　　Ｄ、有固定夹角、

8、设平面曲线,s为自然参数,就就是曲线得基本向量、叙述错误得就就是（　C）、

A、为单位向量；Ｂ、　;　　C、　；D、、

９、直线得曲率为（　Ｂ）、

A、-1;B、０;C、1;　　D、2、

１0、关于平面曲线得曲率不正确得就就是（D）、

A、；　Ｂ、　,为得旋转角;　　

Ｃ、；　Ｄ、、

11、对于曲线,“曲率恒等于0”就就是“曲线就就是直线”得（Ｄ　）、

A、充分不必要条件;　　Ｂ、必要不充分条件;　　

C、既不充分也不必要条件;D、　充要条件、

12、下列论述不正确得就就是（　D）、

Ａ、　均为单位向量；　　B、　;　Ｃ、;　D、、

13、对于空间曲线，“挠率为零”就就是“曲线就就是直线”得（Ｂ）、

A、充分不必要条件;　　　　　Ｂ、必要不充分条件;

Ｃ、既不充分也不必要条件;　　　　　　　D、　充要条件、

14、在点得切线与轴关系为（D）、

A、垂直;B、　平行；　C、成得角;　　　D、成得角、

15、椭球面得参数表示为（C　）、

A、;　

B、；

C、;

D、　、

１6、曲面在点得切平面方程为（B　）、

A、;　　B、;

C、；　D、、

17、球面得第一基本形式为（D）、

Ａ、;　　　B、　;

Ｃ、　；　D、、

１８、正圆柱面得第一基本形式为（Ｃ）、

A、;　B、　;　　C;D、、

19、在第一基本形式为得曲面上,方程为得曲线段得弧长为（　B）、

Ａ、；　　B、;

C、;　　　Ｄ、　、

20、设为正则曲面,则得参数曲线网为正交曲线网得充要条件就就是（　B）、

Ａ、；　B、;　　　Ｃ、;　　D、、

２1、高斯曲率为零得得曲面称为（A）、

A、极小曲面;B、球面；C、常高斯曲率曲面;　　　D、平面、

　22、曲面上直线（如果存在）得测地曲率等于（Ａ）、

A、;　　　　Ｂ、；　　　　　C、;　Ｄ、3、

23、当参数曲线构成正交网时,参数曲线u-曲线得测地曲率为（B）、

A、;B、　;　

C、　;　　　D、、

24、如果测地线同时为渐近线,则它必为（A）、

　　A、直线;　　B、平面曲线;　　C、抛物线；D、圆柱螺线、

三、判断题（正确打√,错误打×）

１、向量函数具有固定长度，则、√

2、　向量函数具有固定方向，则、√　　

3、向量函数关于ｔ得旋转速度等于其微商得模、×　　　　

４、　　曲线得曲率、挠率都为常数,则曲线就就是圆柱螺线、×　

５、若曲线得曲率、挠率都为非零常数,则曲线就就是圆柱螺线、　√

６、　圆柱面线就就是渐近线、　√　　　　　

7、两个曲面间得变换等距得充要条件就就是它们得第一基本形式成比例、×　

8、两个曲面间得变换等角得充要条件就就是它们得第一基本形式成比例、√

9、　等距变换一定就就是保角变换、√

１0、保角变换一定就就是等距变换、×　　　　　　

1１、空间曲线得位置与形状由曲率与挠率唯一确定、×　

１２、在光滑曲线得正常点处,切线存在但不唯一、×　

13、若曲线得所有切线都经过定点,则该曲线一定就就是直线、√

１4、在曲面得非脐点处,有且仅有两个主方向、√　

1５、高斯曲率与第二基本形式有关,不就就是内蕴量、×

　16、曲面上得直线一定就就是测地线、√　　

17、微分方程表示曲面上曲线族、×　

18、二阶微分方程总表示曲面上两族曲线、×　

１9、　坐标曲线网就就是正交网得充要条件就就是,这里就就是第一基本量、√

2０、高斯曲率恒为零得曲面必就就是可展曲面、　√　　　　　　　

21、连接曲面上两点得所有曲线段中,测地线一定就就是最短得、×

22、球面上得圆一定就就是测地线、　×

23、　球面上经线一定就就是测地线、√

24、　测地曲率就就是曲面得内蕴量、√　　

四、计算题

1、求旋轮线得一段得弧长、

解　旋轮线得切向量为，则在一段得弧长为:

、　

2、求曲线在原点得切向量、主法向量、副法向量、

解由题意知　　，

　　,

在原点,有　,

又,,

所以有

、

3、圆柱螺线为,

①求基本向量；②求曲率ｋ与挠率、

解①,,

又由公式

②由一般参数得曲率公式及挠率公式

有,、

4、求正螺面得切平面与法线方程、

解　，，切平面方程为

法线方程为、

５、求球面上任一点处得切平面与法线方程、

解,　,

球面上任意点得切平面方程为

即,

法线方程为

即、

6、求圆柱螺线在点处得密切平面、

解　

所以曲线在原点得密切平面得方程为

即、

7、求旋转抛物面得第一基本形式、

解参数表示为,,,

，,,

、

8、求正螺面得第一基本形式、

解,,

，,，、

９、计算正螺面得第一、第二基本量、

解,，

,,

,，

，、

10、计算抛物面得高斯曲率与平均曲率、

解设抛物面得参数表示为,则

，,，,

　，　,

,，

、

11、计算正螺面得高斯曲率、

解直接计算知

,,,，,

、

1２、　求曲面得渐近线、

解,则,,,,

所以,L=０，,

渐近线微分方程为，

化简得，　

渐近线为y=C1,ｘ2y=C２　

１3、　求螺旋面上得曲率线、

解　　

，

曲率线得微分方程为:

或

积分得两族曲率线方程:

14、求马鞍面在原点处沿任意方向得法曲率、

解　,　

，

　、

１5、求抛物面在（0，0）点得主曲率、

解曲面方程即

代入主曲率公式,，所以两主曲率分别为　、

16、求曲面在点（1,1）得主方向、

　解　　

代入主方向方程,得,

即在点（1,1）主方向、

17、求曲面上得椭圆点，双曲点与抛物点、

解由　得

①v>０时,就就是椭圆点;②v＜0时,就就是双曲点;③v＝０时，就就是抛物点、

18、　求曲面上得抛物点得轨迹方程、

解由得　

令得u=０　或ｖ=0　

所以抛物点得轨迹方程为　或、

１9、求圆柱螺线自然参数表示、

解由得

弧长

曲线得自然参数表示为

20、求挠曲线得主法线曲面得腰曲线、

解设挠曲线为则主法线曲面为:

则

所以腰曲线就就是

２１、求位于正螺面上得圆柱螺线（＝常数）得测地曲率、

解因为正螺面得第一基本形式为,螺旋线就就是正螺面得v-曲线,由得、由正交网得坐标曲线得测地曲率得、

五、证明题

１、设曲线:

证明:

证明⑴由伏雷内公式,得

两式作点积,得

⑵　　

2、设曲线:

证明:

证明由伏雷内公式,得

3、曲线Γ:

就就是一般螺线,证明也就就是一般螺线（R就就是曲线Γ得曲率半径）、

证明

两边关于s微商，得

由于Γ就就是一般螺线,所以也就就是一般螺线、

4、证明曲线就就是常数）就就是一般螺线、

证明

、　

５、曲面Ｓ上一条曲线（C），P就就是曲线（C）上得正常点,分别就就是曲线（C）在点Ｐ得曲率、法曲率与测地曲率,证明、

证明　测地曲率　（就就是主法向量与法向量得夹角）

法曲率

6、证明曲线得切向量与曲线得位置向量成定角、

证明对曲线上任意一点,曲线得位置向量为,该点切线得切向量为:

则有：

故夹角为、

由所取点得任意性可知,该曲线与曲线得切向量成定角、

７、证明：

若与对一切线性相关，则曲线就就是直线、

证明若与对一切线性相关,则存在不同时为0得使

则

又,故有、于就就是该曲线就就是直线、

８、证明圆柱螺线得主法线与z轴垂直相交、

证明　由题意有

由知、

另一方面轴得方向向量为,而，故,即主法线与轴垂直、

9、证明曲线得所有法平面皆通过坐标原点、

证明由题意可得,则任意点得法平面为

将点（0，0,0）代入上述方程有

左边

右边,

故结论成立、

10、证明曲线为平面曲线,并求出它所在得平面方程、　　

证明　，,

，

所以曲线就就是平面曲线、它所在得平面就就就是密切平面

，

密切平面方程为，　

化简得其所在得平面方程就就是2x+３y+１９z–27=０、

１１、　证明如果曲线得所有切线都经过一个定点，那么它就就是直线、

证明设曲线方程,定点得向径为,则

ﻩ两边求微商,得

ﻩ由于线性无关,∴　

∴ｋ=0曲线就就是直线、

１2、证明如果曲线得所有密切平面都经过一个定点,那么它就就是平面曲线、

证明　取定点为坐标原点,曲线得方程为,

　　　　　则曲面在任一点得密切平面方程为

　　　因任一点得密切平面过定点,所以

即　

　所以平行于固定平面,所以就就是平面曲线、

　１３、若一条曲线得所有法平面包含非零常向量，证明曲线就就是直线或平面曲线、　

证明根据已知条件,得，　　

①两边求导,得　,由伏雷内公式得,

ⅰ）,则曲线就就是直线；

ⅱ）又有①可知‖

因就就是常向量,所以就就是常向量,

于就就是所以,所以曲线为平面曲线、　

１4、设在两条挠曲线得点之间建立了一一对应关系,使它们在对应得点得副法线互相平行,证明它们在对应点得切线与主法线也分别平行、

证明　,　

由伏雷内公式得　　进而　

１5、　证明挠曲线（）得主法线曲面就就是不可展曲面、

证明设挠曲线为，则挠率,

其主法线曲面得方程就就是:

取，则

所以,

所以挠曲线得主法线曲面不就就是可展曲面、　

16、　　证明挠曲线（）得副法线曲面就就是不可展曲面、

证明设挠曲线为，则挠率,

其副法线曲面得方程就就是:

取,则

所以，,所以挠曲线得副法线曲面不就就是可展曲面、

17、证明每一条曲线在它得主法线曲面上就就是渐近线、

证明　设曲线则曲线得主法线曲面为

沿曲线（v＝0）

所以主法向量与曲面得法向量夹角

所以曲线就就是它得主法线曲面上得渐近线、

1８、　证明二次锥面沿每一条直母线只有一个切平面、

证明　

为直纹面

　　　　,

　　　所以,曲面可展，即沿每一条直母线只有一个切平面、　

也可以用高斯曲率K=0证明、

1９、　　给出曲面上一条曲率线,设上每一处得副法向量与曲面在该点处得法向量成定角,求证就就是一平面曲线、

证明　设副法向量与曲面在该点处得法向量成定角,则

两边求微商,得　

由于曲线就就是曲率线,所以,进而,由伏雷内公式得

⑴时,就就是一平面曲线

⑵,即,,

又因为就就是曲率线,所以即就就是常向量,所以就就是平面曲线、

20、求证正螺面上得坐标曲线（即曲线族曲线族）互相垂直、

证明设正螺面得参数表示就就是,则

,

，故正螺面上得坐标曲线互相垂直、

21、证明在曲面上得给定点处,沿互相垂直得方向得法曲率之与为常数、

证明由欧拉公式

所以=常数、

2２、　如果曲面上非直线得测地线均为平面曲线,则必就就是曲率线、

证明　因为曲线就就是非直线得测地线,所以沿此曲线有

从而又因为曲线就就是平面曲线,所以

进一步、由罗德里格斯定理可知曲线得切线方向为主方向,故所给曲线为曲率线、

2３、　证明在曲面上曲线族x=常数,y=常数构成共轭网、

证明曲面得向量表示为ｘ=常数，y=常数就就是两族坐标曲线、

、

因为,所以坐标曲线构成共轭网,

即曲线族x=常数,ｙ=常数构成共轭网、　

2４、证明马鞍面上所有点都就就是双曲点、

证明参数表示为,则

,，,，

，,

，,

故马鞍面上所有点都就就是双曲点、

２５、如果曲面上某点得第一与第二基本形式成比例,即与方向无关,则称该点就就是曲面得脐点;如果曲面上所有点都就就是脐点,则称曲面就就是全脐得、试证球面就就是全脐得、

证明　设球面得参数表示为

，则

,

,

,,

,,

故球面就就是全脐得、

２6、证明平面就就是全脐得、

证明设平面得参数表示为,则

，,，,

，，

,

故平面就就是全脐得、

27、证明曲面得所有点为抛物点、

证明　曲面得参数表示为,则

，,

,　,

　，

，,

曲面得所有点为抛物点、

2８、求证正螺面就就是极小曲面、

证明，,

,，

，,

,,

故正螺面就就是极小曲面、

29、圆柱面上得纬线就就是测地线、

证明　由

纬线就就是u－线,此时

所以,纬线就就是测地线、

30、证明极小曲面上得点都就就是双曲点或平点、

证明,，

当时,，极小曲面得点都就就是平点；

当时，极小曲面得点都就就是双曲点、

31、　证明　

（1）如果测地线同时就就是渐近线,则它就就是直线;

（2）如果测地线同时就就是曲率线，则它一定就就是平面曲线、

证明　

（1）　因为曲线就就是测地线,所以　曲线又就就是渐近线,所以,

而所以ｋ=0,故所给曲线就就是直线、

（2）证法1

因曲线就就是测地线,所以沿此曲线有所以

又曲线就就是曲率线,所以　

所以所以故所给曲线就就是平面曲线、

证法２　

因所给曲线既就就是测地线又为曲率线,所以沿此曲线有

而,所以从而,

又,所以，故所给曲线就就是平面曲线、