六年级奥数习题.docx

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六年级奥数习题

奥数习题

【一】鸡兔同笼：

大约在1500年前，《孙子算经》中记载：

“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？

意思是：

有若干只鸡和兔同在一个笼子里，数头有35个；数脚有94只。

求笼中有鸡和兔各多少只？

    ※①假如砍去每只鸡、每只兔一半的脚，则每只鸡就变成了“独角鸡”，每只兔就变成了“双脚兔”。

这样，

（1）鸡和兔的脚的总数就由94只变成94÷2=47只；

（2）如果笼子里有一只兔子，则脚的总数就比头的总数多1。

因此，脚的总只数47与总头数35的差，就是兔子的只数，即47－35＝12（只）。

显然，鸡的只数是35－12＝23（只）。

  【“砍足法”令古今中外数学家赞叹不已，这种思维方法叫化归法。

化归法就是在解决问题时，先不对问题采取直接的分析，而是将题中的条件或问题进行变形，使之转化，最终把它归成某个已经解决的问题。

】

    ②用“假设法”：

假设全部是鸡，头有35个，则脚有35×2=70只，相差94-70=24只，是兔多出的脚，每只兔多2只脚，兔有24÷2=12只，鸡有35－12＝23（只）。

    ③用“方程”来解：

解设兔头X只，则鸡有35-X只，列式为4X+（35-X）×2=94，X=12，鸡有35－12＝23（只）。

  【二】牛顿问题：

英国科学家牛顿，曾经写过一本数学书。

书中有一道有名的、关于牛在牧场上吃草的题目，人们把它称为“牛顿问题”：

“有一牧场，已知养牛27头，6天把草吃尽；养牛23头，9天把草吃尽。

如果养牛21头，几天能把牧场上的草吃尽？

（并且牧场上的草是不断生长的）”

    ※一般解法是：

把一头牛一天所吃的牧草看作1。

（1）27头牛6天所吃的牧草为：

27×6＝162（这162包括牧场原有的草和6天新长的草。

）

（2）23头牛9天所吃的牧草为：

23×9＝207（这207包括牧场原有的草和9天新长的草。

）

  （3）1天新长的草为：

（207－162）÷（9－6）＝15

  （4）牧场上原有的草为：

27×6－15×6＝72

  （5）每天新长的草足够15头牛吃，21头牛减去15头，剩下6头吃原牧场的草：

72÷（21－15）＝72÷6＝12（天）所以养21头牛，12天才能把牧场上的草吃尽。

    【练一练】有一牧场，如果养25只羊，8天可以把草吃尽；养21只羊，12天把草吃尽。

如果养15只羊，几天能把牧场上不断生长的草吃尽？

    【三】鬼谷算：

我国汉代有位大将叫韩信，他每次集合部队，只要求部下先后按l～3、1～5、1～7报数，然后再报告一下各队每次报数的余数，他就知道到了多少人。

他的这种巧妙算法，人们称为鬼谷算，也叫隔墙算，或称为韩信点兵，外国人还称它为“中国剩余定理”。

到了明代，数学家程大位用诗歌概括了这一算法，他写道：

“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆月正半，除百零五便得知。

”这首诗的意思是：

用3除所得的余数乘上70，加上用5除所得余数乘以21，再加上用7除所得的余数乘上15，结果大于105就减去105的倍数，这样就知道所求的数了。

比如，一篮鸡蛋，三个三个地数余1，五个五个地数余2，七个七个地数余3，篮子里有鸡蛋一定是52个。

算式是：

1×70＋2×21＋3×15＝157，157－105＝52（个）

    【练一练】四皓小学订《中国少年报》若干张，如果三张三张地数，余数为1张；五张五张地数，余数为2张；七张七张地数，余数为2张。

四皓小学订《中国少年报》多少张？

    【四】电灯泡问题：

“过道里依次挂着标号是1，2，3,……100的电灯泡，开始它们都是灭的。

当第一个人走过时，他将标号为1的倍数的灯泡的开关拉一下；当第二个人走过时，他将标号为2的倍数的灯泡的开关拉一下；当第三个人走过时，他将标号为3的倍数的电灯泡的开关拉一下；……如此进行下去，当第一百个人走过时，他将标号为100的倍数的灯泡的开关拉一下。

问：

当第一百个人走过后，过道里亮着的电灯泡标号是多少？

”

    ※此题实质是找每个灯泡的因数个数。

第一个灯泡只有因数1，灯亮；第二个灯泡有两个因数1、2，等灭；由此可以看出因数的个数是奇数时，灯亮；因数的个数是偶数时，灯灭。

故当第一百个人走过后，过道里亮着的电灯泡标号是1、4、9、16、25、36、49、64、81、100.  

  【五】巧求六位数：

“六位数□4321□能被4321整除，这个六位数是多少？

”

    ※采用“假设──计算──排错──验证”的方法。

    假设六位数为943219，那么943219÷4321＝218…1241，由于余数大于9，所以不合题意。

    假设六位数为843219，则有843219÷4321＝195…64，余数大于9，也不合题意。

    假设六位数为743219，则743219÷4321＝172…7，余数小于9，可见符合条件的六位数为743219－7＝743212。

    当六位数的首位数分别为6、5、4、3、2、l时，经计算均不合题意。

综上分析，要求的六位数为743212。

    【练一练】：

四位数□89□能被89整除，这个四位是多少？

答案：

（4895）

    【六】时钟问题：

①“钟面上有时针与分针，每针转动的速度是确定的。

”分针每分钟旋转的速度：

360°÷60＝6°，时针每分钟旋转的速度：

360°÷（12×60）＝0．5°，在钟面上要么是分针追赶时针，要么是分针超越时针。

这里的转动角度用度数来表示，相当于行走的路程。

因此钟面上两针的运动相当于典型的追及问题。

    例1：

钟面上3时多少分时，分针与时针恰好重合？

    ※整3时，分针在12的位置上，时针在3的位置上，两针相隔90°。

当两针第一次重合，就是3时过多少分。

在整3时到两针重合的这段时间内，分针要比时针多行走360÷12×3=90°，每分钟分针比时针多走6－0．5＝5．5（度），所用时间为90÷5．5≈16．36（分）。

    例2：

在钟面上5时多少分时，分针与时针在一条直线上，而指向相反？

    ※在整5时，时针与分针相隔360÷12×5=150°，然后分针先是追上时针，分针需比时针多行走150°，然后超越时针180°，共150＋180=330°，分针每分钟旋转的速度：

360°÷60＝6°，时针每分钟旋转的速度：

360°÷（12×60）＝0．5°，（150＋180）÷（6—0．5）＝60（分）5时60分即6时正。

    例3：

钟面上12时30分时，时针在分针后面多少度？

    ※整12时，分针与时针重合，相当于在同一起跑线上。

到12时30分钟，分针走180°到达6时的位置上，而时针在30分钟内也在行走。

实际上两针相隔的度数是在30分钟内分针超越时针的度数：

（6—0．5）×30=55×3=165（度）

    例4：

钟面上6时到7时之间两针相隔90°时，是几时几分？

    ※从6时整作为起点，此时两针成180°。

当分针在时针后面90°时或分针超越时针90°时，就是所求的时刻。

（180—90）÷（6—0．5）＝90÷5．5≈16.36（分钟）（180＋90）÷（6—0．5）＝270÷5.5≈49．09（分钟）

    [此题还可采用分率方法来解决]

  【七】最优化问题：

既要在尽可能节省人力、物力和时间前提下，争取获得在可能范围内的最佳效果，因此，最优化问题涉及统筹、线性规划——排序不等式等内容。

    例1:

货轮上卸下若干只箱子，总重量为10吨，每只箱子的重量不超过1吨，为了保证能把这些箱子一次运走，问至少需要多少辆载重3吨的汽车？

  【分析】因为每一只箱子的重量不超过1吨，所以每一辆汽车可运走的箱子重量不会少于2吨，否则可以再放一只箱子。

所以，5辆汽车本是足够的，但是4辆汽车并不一定能把箱子全部运走。

例如，设有13只箱子，，所以每辆汽车只能运走3只箱子，13只箱子用4辆汽车一次运不走。

因此，为了保证能一次把箱子全部运走，至少需要5辆汽车。

    例2:

用10尺长的竹竿来截取3尺、4尺长的甲、乙两种短竹竿各100根，至少要用去原材料几根？

怎样截法最合算？

  【分析】一个10尺长的竹竿应有三种截法：

（1）3尺两根和4尺一根，最省；

（2）3尺三根，余一尺；（3）4尺两根，余2尺。

为了省材料，尽量使用方法

（1），这样50根原材料，可截得100根3尺的竹竿和50根4尺的竹竿，还差50根4尺的，最好选择方法（3），这样所需原材料最少，只需25根即可，这样，至少需用去原材料75根。

    例3:

一个锐角三角形的三条边的长度分别是两位数，而且是三个连续偶数，它们个位数字的和是7的倍数，这个三角形的周长最长是多少厘米？

  【分析】三角形三边是三个连续偶数，所以它们的个位数字只能是0，2，4，6，8，且它们的和也是偶数，又它们的个位数字的和是7的倍数，只能是14，三角形三条边最大可能是86，88，90，周长最长为86+88+90=264厘米。

    例4:

把25拆成若干个正整数的和，使它们的积最大。

    【分析】先从较小数形开始实验，发现其规律：

    把6拆成3+3，其积为3×3=9最大；

    把7拆成3+2+2，其积为3×2×2=12最大；

    把8拆成3+3+2，其积为3×3×2=18最大；

    把9拆成3+3+3，其积为3×3×3=27最大；……

    这就是说，要想分拆后的数的乘积最大，应尽可能多的出现3，而当某一自然数可表示为若干个3与1的和时，要取出一个3与1重合在一起再分拆成两个2之和，因此25可以拆成3+3+3+3+3+3+3+2+2，其积37×22=8748为最大。

    例5:

A、B两人要到沙漠中探险，他们每天向沙漠深处走20千米，已知每人最多可携带一个人24天的食物和水，如果不准将部分食物存放于途中，问其中一个人最远可以深入沙漠多少千米（要求最后两人返回出发点）？

如果可以将部分食物存放于途中以备返回时取用呢？

  【分析】设A走X天后返回，A留下自己返回时所需的食物，剩下的转给B，此时B共有（48-3X）天的食物，因为B最多携带24天的食物，所以X=8，剩下的24天食物，B只能再向前走8天，留下16天的食物供返回时用，所以B可以向沙漠深处走16天，因为每天走20千米，所以其中一人最多可以深入沙漠320千米。

    如果改变条件，则问题关键为A返回时留给B24天的食物，由于24天的食物可以使B单独深入沙漠12天的路程，而另外24天的食物要供A、B两人往返一段路，这段路为24÷4=6天的路程，所以B可以深入沙漠18天的路程，也就是说，其中一个人最远可以深入沙漠360千米。

    例6、今有围棋子1400颗，甲、乙两人做取围棋子的游戏，甲先取，乙后取，两人轮流各取一次，规定每次只能取7P（P为1或不超过20的任一质数）颗棋子，谁最后取完为胜者，问甲、乙两人谁有必胜的策略？

    【想】因为1400=7×200，所以原题可以转化为：

有围棋子200颗，甲、乙两人轮流每次取P颗，谁最后取完谁获胜。

乙有必胜的策略。

由于200=4×50，P或者是2或者可以表示为4k+1或4k+3的形式（k为零或正整数）。

乙采取的策略为：

若甲取2，4k+1，4k+3颗，则乙取2，3，1颗，使得余下的棋子仍是4的倍数。

如此最后出现剩下数为不超过20的4的倍数，此时甲总不能取完，而乙可全部取完而获胜。

  [说明]

（1）此题中，乙是“后发制人”，故先取者不一定存在必胜的策略，关键是看他们所面临的“情形”

（2）我们可以这样来分析这个问题的解法，将所有的情形--剩余棋子的颗数分成两类，第一类是4的倍数，第二类是其它。

若某人在取棋时遇到的是第二类情形，那么他可以取1或2或3，使得剩下的是第一类情形，若取棋时面临第一类情形，则取棋后留给另一个人的一定是第二类情形。

所以，谁先面临第二类情形谁就能获胜，在绝大部分双人比赛问题中，都可采用这种方法。

    例7、有一个80人的旅游团，其中男50人，女30人，他们住的旅馆有11人、7人和5人的三种房间，男、女分别住不同的房间，他们至少要住多少个房间？

    [分析]为了使得所住房间数最少，安排时应尽量先安排11人房间，这样50人男的应安排3个11人间，2个5人间和1个7人间；30个女人应安排1个11人间，2个7人间和1个5人间，共有10个房间。

    [练习]

    1、十个自然数之和等于1001，则这十个自然数的最大公约数可能取的最大值是多少？

（不包括0）

    2、在两条直角边的和一定的情况下，何种直角三角形面积最大，若两直角边的和为8，则三角形的最大面积为多少？

    3、5个人各拿一个水桶在自来水龙头前等候打水，他们打水所需要的时间分别是1分钟、2分钟、3分钟、4分钟和5分钟，如果只有一个水龙头适当安排他们的打水顺序，就能够使每个人排队和打水时间的总和最小，那么这个最小值是多少分钟？

    4、某水池可以用甲、乙两水管注水，单放甲管需12小时注满，单放乙管需24小时注满。

若要求10小时注满水池，并且甲、乙两管合放的时间尽可能地少，则甲乙两管全放最少需要多少小时？

    5、有1995名少先队员分散在一条公路上值勤宣传交通法规，问完成任务后应该在该公路的什么地点集合，可以使他们从各自的宣传岗位沿公路走到集合地点的路程总和最小？

    6、甲、乙两人轮流在黑板上写下不超过10的自然数，规则是禁止写黑板上已写过的数的约数，不能完成下一步的为失败者。

问：

是先写者还是后写者必胜？

如何取胜？

    [习题参考答案及思路分析]

    1、∵1001=7×11×13，∴可以7×13为公约数,这样这十个正整数可以是,91×2，它们的最大公约数为91。

    2、对于直角三角形而言，在直角边的和一定的情况下，等腰直角三角形的面积最大。

若两直角边的和为8，则三角形的最大面积为×4×4=8。

    3、为了使每个人排队和打水时间的总和最小，有两种方法：

（1）排队的人尽量少；

（2）每次排队的时间尽量少。

因此应先让打水快的人打水，才能保证开始排队人多的时候，每个人等待的时间要少，故共需5×1+4×2+3×3+2×4+5=35（分钟）。

    4、由于甲、乙单独开放都不可能在10小时注满水池，因此必须有时间甲、乙全放。

为了使它们合放的时间最少，应尽量开放甲管（速度快），这样甲开10小时注满水池的，余下只能由乙注满，需。

因此甲乙两管全放最少需要4小时。

    5、此问题我们可以从最简单问题入手，寻找规律，从而解决复杂问题，最后集合地点应在中间地点。

    6、先写者存在获胜的策略。

甲第一步写6，乙仅可写4，5，7，8，9，10中的一个，把它们分成数对（4，5），（8，10），（7，9）。

如果乙写数对中的某个数，甲就写数对中的另一个数，则甲必胜。

    【八】利润与折扣：

工厂和商店有时减价出售商品，通常称为“打折扣”出售，几折就是百分之几十。

一般情况下，商品从厂家购进的价格称为本价，商家在成本价的基础上提高价格出售，所赚的钱称为利润，利润与成本的百分比称之为利润率。

期望利润=成本价×期望利润率。

  例1、某商店将某种DVD按进价提高35%后，打出“九折优惠酬宾，外送50元出租车费”的广告，结果每台仍旧获利208元，那么每台DVD的进价是多少元？

    ※定价是进价的1+35%=135%，打九折后，实际售价是进价的135%×90%=121.5%，每台DVD的实际盈利：

208+50=258（元），每台DVD的进价258÷（121.5%-1）=1200（元）

    例2：

一种服装，甲店比乙店的进货便宜10%，甲店按20%的利润定价，乙店按15%的利润定价，甲店比乙店的出厂价便宜11.2元，甲店的进货价是多少元？

    ※设乙店的成本价为1，乙店的定价是（1+15%），甲店的定价（1-10%）×（1+20%），甲店比乙店的出厂价便宜  11.2元的对应分率是（1+15%）-（1-10%）×（1+20%）=7%，11.2÷7%=160（元）160×（1-10%）=144（元）

    例3、原来将一批水果按100%的利润定价出售，由于价格过高，无人购买，不得不按38%的利润重新定价，这样出售了其中的40%，此时因害怕剩余水果会变质，不得不再次降价，售出了全部水果。

结果实际获得的总利润是原来利润的30.2%，那么第二次降价后的价格是原来定价的百分之几？

    ※要求第二次降价后的价格是原来定价的百分之几，则需要求出第二次是按百分之几的利润定价。

解：

设第二次降价是按x%的利润定价的。

38%×40%＋x%×（1-40%）=30.2%，X%=25%，（1+25%）÷（1+100%）=62.5%  

    [练习]：

    1、某商品按每个7元的利润卖出13个的钱，与按每个11元的利润卖出12个的钱一样多。

这种商品的进货价是每个多少元？

    2、租用仓库堆放3吨货物，每月租金7000元。

这些货物原计划要销售3个月，由于降低了价格，结果2个月就销售完了，由于节省了租仓库的租金，所以结算下来，反而比原计划多赚了1000元。

问：

每千克货物的价格降低了多少元？

    3、张先生向商店订购了每件定价100元的某种商品80件。

张先生对商店经理说：

“如果你肯减价，那么每减价1元，我就多订购4件。

”商店经理算了一下，若减价5％，则由于张先生多订购，获得的利润反而比原来多100元。

问：

这种商品的成本是多少元？

    4、某商店到苹果产地去收购苹果，收购价为每千克1.20元。

从产地到商店的距离是400千米，运费为每吨货物每运1千米收1.50元。

如果在运输及销售过程中的损耗是10％，商店要想实现25％的利润率，零售价应是每千克多少元？

    5、小明到商店买了相同数量的红球和白球，红球原价2元3个，白球原价3元5个。

新年优惠，两种球都按1元2个卖，结果小明少花了8元钱。

问：

小明共买了多少个球？

    6、某厂向银行申请甲、乙两种贷款共40万元，每年需付利息5万元。

甲种贷款年利率为12％,乙种贷款年利率为14％。

该厂申请甲、乙两种贷款的金额各是多少？

    7、商店进了一批钢笔，用零售价10元卖出20支与用零售价11元卖出15支的利润相同。

这批钢笔的进货价每支多少元？

    8、某种蜜瓜大量上市，这几天的价格每天都是前一天的80％。

妈妈第一天买了2个，第二天买了3个，第三天买了5个，共花了38元。

若这10个蜜瓜都在第三天买，则能少花多少钱？

    9、商店以每双13元购进一批凉鞋，售价为14.8元，卖到还剩5双时，除去购进这批凉鞋的全部开销外还获利88元。

问：

这批凉鞋共多少双？

    10、体育用品商店用3000元购进50个足球和40个篮球。

零售时足球加价9％，篮球加价11％，全部卖出后获利润298元。

问：

每个足球和篮球的进价是多少元？

    【九】找次品问题：

例1有4堆外表一样的球，每堆4个。

其中三堆是正品、一堆是次品，正品球每个重10克，次品球每个重11克，请你用天平只称一次，把是次品的那堆找出来。

    ※依次从第一、二、三、四堆球中，各取1、2、3、4个球，这10个球一起放到天平上去称，总重量比100克多几克，第几堆就是次品球。

    例2、有27个外表一样的球，其中有一个次品，重量比正品轻，用天平只称三次（不用砝码），把次品球找出来。

    ※第一次：

把27个球分为三堆，每堆9个，取其中两堆分别放在天平的两个盘上。

若天平不平衡，可找到较轻的一堆；若天平平衡，则剩下来称的一堆必定较轻，次品必在较轻的一堆中。

    第二次：

把第一次判定为较轻的一堆又分三堆，每堆3个球，按上法称其中两堆，可找出次品在其中较轻的那一堆。

    第三次：

从第二次找出的较轻的一堆3个球中取出2个称一次，若天平不平衡，则较轻的就是次品，若天平平衡，则剩下一个未称的就是次品。

21、一杯牛奶250g，小明喝了这杯奶的1/5，然后加满水，又喝了这杯奶的1/4，再加满水，又喝了半杯，小明共喝了多少g纯奶？

    ※

（1）第一次喝了  250×1/5=50g，余奶250-50=200g，加满水后，含奶率为200÷250×100%=80%，第二次喝纯奶250×1/4×80%=50g，这时杯中有纯奶250-50-50=150g，再加满水后含奶率为150÷250×100%=60%，又喝了半杯，喝纯奶250×1/2×60%=75g，共喝了50+50+75=175g。

（2）第一次喝了1/5，余1-1/5=4/5,第二次喝了这杯奶的1/4，即喝了4/5的1/4，4/5×1/4=1/5，两次喝后余奶为1--1/5-1/5=3/5，第三次喝了半杯，即喝了3/5的1/2，3/5×1/2=3/10,三次共喝  1/5+1/5+3/10=7/10,即喝了250g的7/10，250×7/10=175g。

    22、一批零件，甲独做要17/2天，比乙独做多用1/2天。

两人合作4天后，还剩210个零件由甲完成，甲共做多少个？

    ※乙独做需17/2-1/2=8天，两人合作4天完成了（2/17+1/8）×4=31/34.还余1-31/34=3/34.这批零件共有210÷3/34=2380个，甲4天做了2380×2/17×4=1120个，甲共做1120+210=1330个。

    23、一条公路上，每隔20km有一仓库，共有五个。

1号存货20吨，2号存货30吨，5号存货40吨，3号4号空着，现将货物存放一处，如果每吨货物运1km运费是0.25元，那么最少要多少运费？

集中几号仓库？

1□—2□—3□—4□—□5

    ※①存入3号。

1号每吨货物需运费0.25×40=10元，20吨货物需10×20=200元；2号每吨货物需运费0.25×20=5元，30吨货物需5×30=150元；5号每吨货物需运费0.25×40=10元，40吨货物需10×40=400元，共200+150+400=750元。

    ②存入4号。

1号每吨货物需运费0.25×60=15元，20吨货物需15×20=300元；2号每吨货物需运费0.25×40=10元，30吨货物需10×30=300元；5号每吨货物需运费0.25×20=5元，40吨货物需5×40=200元，共300+300+200=800元，750<800,故存入3号仓库。

    24、三种动物赛跑，已知狐狸的速度是兔子的2/3，兔子的速度是松鼠的2倍，1分钟兔子比狐狸多跑28m，那么1分钟松鼠比狐狸少跑多少m？

    ※由“狐狸的速度是兔子的2/3”知，兔是单位“1”，1分钟兔子比狐狸多1-2/3=1/3，兔的速度是28÷1/3=84m；由“兔子的速度是松鼠的2倍”知松鼠的速度是84÷2=42m；狐狸的速度是84×2/3=56m，1分钟松鼠比狐狸少跑56-42=14m.

    25、甲乙两队从两端同时铺一条水管，铺完时，甲乙两队完成任务的比是5：

6.已知甲队每天铺150m，乙队独铺需要20天，问这条水管有多长？

    ※①想：

两队工作量的比是5：

6，则工效的比也是5：

6，甲效5份是150m，每份是150÷5=30m，乙效是6份，共30×6=180m，20天铺180×20=3600m.

    总任务为5+6=11份，乙占6/11，共需6/11÷1/20=120/11天，即甲也需要120/11天，150×120/11÷5/11=3600m。

    26、一人骑车从甲地去乙地，需5.5小时，途中3.6km因大雨冲刷，速度只