函数图像教案.docx
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函数图像教案
适用学科
高中数学
适用年级
适用区域
知识点
苏教版区域
课时时长（分钟）
函数的概念
函数的三要素（定义域、值域、对应法则）
2课时
i区间的意义及表示
解析法
列表法
\图象法
分段函数及其应用
映射的概念
求函数定义域的常用方法求函数值域的常用方法
抽象函数的处理方法
1•掌握作函数图象的两种基本方法：
描点法，图象变换法
2•掌握图象变换的规律，能利用图象研究函数的性质.
教学重点各种图象变换规则，如：
平移变换、对称变换、翻折变换、伸缩变换等
L_!
_
ii
教学难点各种图象变换规则，如：
平移变换、对称变换、翻折变换、伸缩变换等
■I■・■・■・■・■・■・■・■・■・■・■・■・■・■・■・■・■・■・
【知识导图】
■教学过程||
一、导入
函数不仅是高中数学的核心内容，还是学习高等数学的基础，所以在高考中，函数知识占有极其重要的地位。
其试题不但形式多样，而且突出考查学生联系与转化、分类与讨论、数与形结合等重要的数学思想、能力。
知识覆盖面广、综合性强、思维力度大、能力要求高，是高考考数学思想、数学方法、考能力、考素质的主阵地。
二、知识讲解
考点其1基本I」用描点法列作函数描图象连线，首先：
①确定函数的定义域；②化简
函数解析式；③讨论函数的性质（奇偶性、单调性、周期性）；其次：
列表（尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点）；最后：
描
点，连线.
考点2』!
」用基本函数的图象作图
1.平移变换
⑴水平平移：
y=f（x±a）（a>0）的图象，可由y=f（x）的图象向左（+）或向右（-）平移a个单位而得到.
⑵竖直平移：
y=f（x）±（b>0）的图象，可由y=f（x）的图象向上（+）或向下（-）平移b个单位而得到.
2.对称变换
（1）y=f（—x）与y=f（x）的图象关于y轴对称.
（2）y=-f（x）与y=f（x）的图象关于x轴对称.
（3）y=—f（-x）与y=f（x）的图象关于原点对称.
⑷要得到y=|f（x）|的图象，可将y=f（x）的图象在x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴上方，其余部分不变.
⑸要得到y=f（|x|）的图象，可将y=f（x）,x>0的部分作出，再利用偶函数的图象关于y
轴的对称性，作出xv0时的图象.
3.伸缩变换
（1）y=Af（x）（A>0）的图象，可将y=f（x）图象上所有点的纵坐标变为原来的A倍，横坐标
不变而得到.
1
（2）y=f（ax）（a>0）的图象，可将y=f（x）图象上所有点的横坐标变为原来的二倍，纵坐标不
a变而得到.
例题1
分别画出下列函数的图象:
（1）y=|lgx|;
x+2
（2）y=2;
（3）y=x2-2|x|—1
Igx,x>1,
【规范解答】
（1）y=；-^x,o2.
（2）将y=2x的图象向左平移2个单位.图象如图
【总结与反思】画函数图象的一般方法
（1）直接法：
当函数表达式（或变形后的表达式）是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征直接作出.
（2）图象变换法：
若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用
图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.
类型二利用函数图象解决有解类问题
例题1
若关于x的方程|x|=a-x只有一个解，则实数a的取值范围是.
【规范解答】解析：
由题意a=|x|+x
2x,x>0,
令y=|x|+x=*图象如图所示，故要使a=|x|+x只有一解则a>0.答案：
（0,+©
0,XV0,
【总结与反思】
1•作图一般有两种方法：
直接作图法、图象变换法•其中图象变换法，包括平移变换、伸缩
变换和对称变换，要记住它们的变换规律.对于左、右平移变换，可熟记口诀：
左加右减.但
要注意加、减指的是自变量，否则不成立.
2.一个函数的图象关于原点（y轴）对称与两个函数的图象关于原点（y轴）对称不同，前者是
自身对称，且为奇（偶）函数，后者是两个不同的函数对称.
类型三图象变换
已例题义在区间［0,2］上的函数y=f（x）的图象如图所示，贝Uy=-f（2-x）的图象为（）
【规范解答】由y=f（x）的图象知
x0丈1,f（x）珂Kx<2-
当x€[0,2]时，2-x€[0,2],
所以f（2-x）=
|2-x1故y=—f（2—x）=<
—1匹怕，x-21^x12-
【总结与反思】
“看图说话”常用的方法
⑴定性分析法：
通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升（或下降）的趋势，利用这
一特征分析解决问题.
（2）定量计算法：
通过定量的计算来分析解决问题.
（3）函数模型法：
由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题.
类型四函数图象探究函数性质
例题12
已知函数y=f（x）的周期为2,当x€[-1,1]时f（x）=x2，那么函数y=f（x）的图象与函数y=|lgx|的图象的交点共有（）
【规范解答】根据f（x）的性质及f（x）在[-1,1]上的解析式可作图如下：
可验证当x=10时，y=|lg10|=1;0x>10时|lgx|>1.
结合图象知y=f（x）与y=|lgx|的图象交点共有10个.
【反思与总结】1.利用函数的图象研究函数的性质
对于已知或易画出在给定区间上图象的函数，其性质（单调性、奇偶性、周期性、最值（值
域）、零点）常借助于图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应关系.
2.利用函数的图象研究方程根的个数
当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程f（x）=0的根就是
函数f（x）图象与x轴的交点的横坐标，方程f（x）=g（x）的根就是函数f（x）与g（x）图象的交点的横坐标.
四、课堂运用
基础
1、将函数f（x）=|2x-2写成分段函数的形式为
0,x：
：
0
2、已知函数f（x）=^,x=0，贝Vf{f[f（—1）]}=
x1,x0
3x2-2,x0
，fx]0时x的取值集合为
”I
3、已知f（x}=和，x=0
—1,xc0
答案与解析
巩固
b
1.在下列图象中，二次函数y=ax2+bx与指数函数y=（）x的图象只可能是（）
a
2.已知函数
（x1）的图象过点0,2，那么函数f（x）的图象一定经过点
3.函数y^引加3"的图象大致是（）
1.【答案】
A
【解析】
bbb2
由指数函数图象可以看出0:
:
:
-：
：
：
1。
抛物线方程是y-a（x）-2，其顶
a2a4a2
点坐标为（-2,-丄），又由0：
：
：
b：
：
：
1，可得-丄b<0.观察选择支，可选A。
2a4aa22a
2.【答案】
1,2
【解析】
fx的图象是fx+1的图象象右平移一个单位，因此一定经过1,2
3.【答案】
A
【解析】由log3x>0得y=3"3"》1故选A.
拔高
1.函数f（x）=1•log2X与g（x）=2宀在同一直角坐标系下的图象大致是（）
2•函数f（2x-3）的图象，可由函数f（2x3）的图象经过变换得到
3•设f（x）=|2—x2，若a答案与解析
1.【答案】C
【解析】因函数f（x）=1・log2x的图象是由y=log2x的图象向上平移1个单位得到，
11
故B、c、D满足；又函数g（x）=2」"=，其图象为y=
（2）x的图象向右平移1个单位得到，故A、C满足•由此选C.
2.【答案】向右平移三个单位
【解析】将函数f（2x・3）中的x用x-3代之，即可得到函数f（2x-3），
所以将函数f（2x・3）的图象向右平移3个单位即可得到函数f（2x-3）的图
象，
3.【答案】
2
【解析】保留函数y=2-X在x轴上方的图象，将其在x轴下方的图象翻折到x轴上区即可得到函数f（x）=|2-x2的图象.通过观察图象，可知f（x）在区间（严—冋上是减函数，在区间［-•.、2,0］上是增函数，
由a：
：
：
b：
：
：
0，且f（a）=f（b）.可知a：
：
：
-•.2:
:
:
b0，所以f（a）=a2-2，f（b）=2-b2，从而a2-2=2-b2，即a2b2=4，
222
又（a-b）二ab-2ab=4-2ab>0，所以0:
:
ab：
：
2.
1.函数图象
（1）作图方法：
以解析式表示的函数作图象的方法有两种，即列表描点法和图象变换法，
掌握这两种方法是本讲座的重点。
作函数图象的步骤：
①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质即单调性、奇偶性、周期性、最值（甚至变化趋势）；④描点连线，画出函数的图象。
运用描点法作图象应避免描点前的盲目性，也应避免盲目地连点成线要把表列在关键
大致特征、变化趋势等作一个大
处，要把线连在恰当处这就要求对所要画图象的存在范围、
第6页
变换法作函数图象要确定以哪一种函数的图象为基础进行变换，以及确定怎样的变换，这也
是个难点。
（2）三种图象变换：
平移变换、对称变换和伸缩变换等等；
1平移变换：
I、水平平移：
函数y=f（x•a）的图象可以把函数y=f（x）的图象沿x轴方向向左
（a0）或向右（a■：
.0）平移|a|个单位即可得到；
左移h右移h
1）y=f（x）ry=f（x+h）;2）y=f（x）—■y=f（x-h）;
n、竖直平移：
函数y二f（x）•a的图象可以把函数y=f（x）的图象沿x轴方向向上
（a-0）或向下（a：
：
：
0）平移|a|个单位即可得到；
上移h下移h
1）y=f（x）—■y=f（x）+h;2）y=f（x）—■y=f（x）-h。
2对称变换：
I、函数y=f（-x）的图象可以将函数y=f（x）的图象关于y轴对称即可得到：
y=f（x）
y轴
'y=f（-x）
n、函数y--f（x）的图象可以将函数y=f（x）的图象关于x轴对称即可得到：
y=f（x）
X轴
—y=-f（x）
川、函数y=-f（-x）的图象可以将函数y=f（x）的图象关于原点对称即可得到：
y=f（x）
原点
—y=f（-x）
w、函数X=f（y）的图象可以将函数y=f（x）的图象关于直线y二X对称得到：
y=f（x）
直线y=x
一x=f（y）
V、函数y=f（2a-x）的图象可以将函数y二f（x）的图象关于直线x=a对称即可得到：
直线x=a
y=f（x）—■y=f（2a-x）。
3翻折变换：
I、函数y计f（x）|的图象可以将函数y二f（x）的图象的x轴下方部分沿x轴翻折到x轴上
方，去掉原x轴下方部分，并保留y=f（x）的x轴上方部分即可得到;
n、函数y=f（|x|）的图象可以将函数y=f（x）的图象右边沿y轴翻折到y轴左边替代原y轴左边部分并保留y=f（x）在y轴右边部分即可得到
4伸缩变换：
I、函数y=af（x）（a-0）的图象可以将函数y=f（x）的图象中的每一点横坐标不变纵坐
标伸长（a.1）或压缩（0:
:
:
a:
:
:
1）为原来的a倍得到：
y=f（x）ry=af（x）
n、函数y=f（ax）（a.0）的图象可以将函数y=f（x）的图象中的每一点纵坐标不变横坐1X迪
标伸长（a1）或压缩（0:
:
:
a:
:
:
1）为原来的倍得到：
f（x）y=f（x）>y=f（ax）
a
（3）识图：
分布范围、变化趋势、对称性、周期性等等方面。
六、课后作业
'x|x0』，且fxy二fx5xy。
若f9=8，则
基础
1.已知函数fx的定义域为
f3=.
2.根据fx的图象写出其解析式:
1
3•函数f（x）=loga|x「1（0：
：
：
a<1）的图象大致为（）
1.【答案】4
【解析】：
fxy二fx5xy,令x=3,y=3,f9=f3+45，又f9=8，故f3=-37
2.【答案】见解析
-x,x一0
【解析】fx二2x,0:
:
:
x:
:
:
1
2,x-1
3.【答案】A
【解析】考虑0：
：
：
a：
：
：
1，当x-0时，f（x）=logax•1为减函数，淘汰B、c.
当x=1时，f（x）=1，故选A.
1.巩固定义域为R的函数f（x）在8,+：
：
上为减函数，且函数y=fx+8为偶函数，则
f7—f10
2.已知函数f（x）=|lgx|,若0：
：
：
a：
：
：
b,且fa=fb,则ab=
3
3•将函数y的图象向左平移2个单位得到曲线C,若曲线C关于原点对称，那么
x+a
实数a的值为
答案与解析
1.【答案】
【解析】y=fx+8是偶函数，.fx的对称轴为x=8，f7=f9，又fx在
8+二递减，f9>f10，故f7f10
2.【答案】1
【解析】作出函数图象，；0：
a：
.b,且fa=fb,0：
：
：
a：
：
：
仁：
b,得
-lga=lgp，故ab=1
3.【答案】a=：
「1
33
【解析】y二—得图象向左平移一个单位得到y二一3，因为关于原点对称，
a+xa+x+1
所以为奇函数，f-1=-f1，代入求得a=—1
拔高
1
1.函数y=3x的图象与函数y二（§）2的图象关于对称
2.直线y=1与曲线y=x2-x+a有四个交点，贝Ua的取值范围是.
3.已知定义在R上的奇函数f（x），满足f（x-4）=-f（x），且在区间［0,2］上是增函数，若方程f（x）=m（m>0）在区间L8,8上有四个不同的根x-i,x2,x3,x4,
Xj+x2+x3+x4=.
1.【答案】X
【解析】若记y二f（x）=3x，则
（1）2=32」=f（2-x）,
由于y=f（x）与y=f（2-x）的图象关于直线x=1对称
2.【答案】a1,5
I4丿
【解析】因为函数y=x2—x+a是偶函数，所以曲线y=x2—x+a关于y轴对称.
当x》0寸，y=x2—xa=（x--）2a--,
24
其图象如下:
故a的取值范围是
3.【答案】-8
【解析】因为定义在R上的奇函数，满足f（x-4）=-f（x），所以f（4-x）=f（x）,
函数图象关于直线x=2对称，且f（0>0再由f（x-4）--f（x知f（x-8）=f（x），所以函数是以8为周期的周期函数，
又因为f（x）在区间［0，2］上是增函数，所以f（x）在区间［—2,0］上也是增函数.
如图所示，那么方程f（x）=m（m>0）在区间一8,8】上有四个不同的根为必必,％,
不妨设捲：
：
：
x2”：
x3”：
由对称性知x-!
x2=-12x3x^=4所以
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