中考数学专项复习三角形的有关概念及性质.docx

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中考数学专项复习三角形的有关概念及性质

三角形的有关概念及性质

【知识框架】

【知识梳理】

知识点1三角形的概念

叫做三角形．

要点诠释：

（1）三角形的基本元素：

①三角形的边：

即组成三角形的线段；

②三角形的角：

即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角；

③三角形的顶点：

即相邻两边的公共端点.

（2）三角形的定义中的三个要求：

“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”.

（3）三角形的表示：

三角形用符号“△”表示，顶点为A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，注意单独的△没有意义；△ABC的三边可以用大写字母AB、BC、AC来表示，也可以用小写字母a、b、c来表示，边BC用a表示，边AC、AB分别用b、c表示．

知识点2三角形的三边关系

定理：

推论：

要点诠释：

（1）理论依据：

两点之间线段最短.

（2）三边关系的应用：

判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这

三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．

（3）证明线段之间的不等关系．

知识点3三角形的分类

1.按角分类：

要点诠释：

①锐角三角形：

②钝角三角形：

2.按边分类：

知识点4三角形的三条重要线段

三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，列表如下：

线段名称

三角形的高

三角形的中线

三角形的角平分线

文字语言

从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．

三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段．

三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段．

图形语言

作图语言

过点A作AD⊥BC于点D．

取BC边的中点D，连接AD．

作∠BAC的平分线AD，交BC于点D．

标示图形

符号语言

1．AD是△ABC的高．

2．AD是△ABC中BC边上的高．

3．AD⊥BC于点D．

4．∠ADC＝90°，∠ADB＝90°．

（或∠ADC＝∠ADB＝90°）

1．AD是△ABC的中线．

2．AD是△ABC中BC边上的中线．

3．BD＝DC＝

BC

4．点D是BC边的中点．

1．AD是△ABC的角平分线

．

2．AD平分∠BAC，交BC于点D．

3．∠1＝∠2＝

∠BAC．

推理语言

因为AD是△ABC的高，所以AD⊥BC．

（或∠ADB＝∠ADC＝90°）

因为AD是△ABC的中线，所以BD＝DC＝

BC．

因为AD平分∠BAC，所以∠1＝∠2＝

∠BAC．

用途举例

1．线段垂直．

2．角度相等．

1．线段相等．

2．面积相等．

角度相等．

注意事项

1．与边的垂线不同．

2．不一定在三角形内．

—

与角的平分线不同．

重要特征

三角形的三条高（或它们的延长线）交于一点．

一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点．

一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点．

知识点5三角形的内角和定理：

。

   三角形外角的性质

（1）。

（2）。

三角形的外角和等于。

针对练习

类型一、三角形的定义及表示

1．如图所示．

（1）图中共有多少个三角形?

并把它们写出来；

（2）线段AE是哪些三角形的边?

（3）∠B是哪些三角形的角?

如图，以A为顶点的三角形有几个？

用符号表示这些三角形．

类型二、三角形的三边关系

2.三根木条的长度如图所示，能组成三角形的是（）

举一反三：

【变式】判断下列三条线段能否构成三角形.

（1）3，4，5；

（2）3，5，9；（3）5，5，8.

3.若三角形的两边长分别是2和7,则第三边长c的取值范围是_______.

举一反三：

【变式】已知三角形的两边长为4，8，则第三边的长度可以是________（写出一个即可）

类型三、三角形中重要线段

4.小华在电话中问小明：

“已知一个三角形三边长分别为4，9，12，如何求这个三角形的面积?

”小明提示：

“可通过作最长边上的高来求解．”小华根据小明的提示作出的图形正确的是（）．

举一反三：

【变

式】如图所示，已知△ABC，试画出△ABC各边上的高．

5.如图所

示，C

D为△ABC的AB边上的中线，△BCD的周长比△ACD的周长大3c

m，BC＝8cm，求边AC的长．

举一反三：

【变式】如图所示，在△ABC中，D、E分别为BC、AD的中点，且

，则

为________．

类型四、三角形的内角和定理

1.把一块直尺与一块三角板如图放置，若∠1＝40°，则∠2的度数为（）

A．125°B．120°C．140°D．130°

2.如图所示，∠A，∠1，∠2的大小关系是（）

A．∠A>∠1>∠2B．∠2>∠1>∠AC．∠A>∠2>∠1D．∠2>∠A>∠1

【巩固练习】

1．下列各组数中，不可能成为一个三角形三边长的是（）

A．2，3，4B．5，7，7

C．5，6，12D．6，8，10

2．已知直线a∥b，一块含30°角的直角三角尺如图放置．若∠1＝25°，则∠2等于（）

A．50°

B．55°

C．60°

D．65°

3．三角形的重心是（）

A．三角形三条边上中线的交点

B．三角形三条边上高线的交点

C．三角形三条边垂直平分线的交点

D．三角形三条内角平分线的交点

4．若一个三角形的两边长分别为2和4，则该三角形的周长可能是（）

A．6B．7

C．11D．12

5．一个三角形的三个内角的度数之比为1∶2∶3，则这个三角形一定是（）

A．锐角三角形B．直角三角形

C．钝角三角形D．等腰直角三角形

6．如图，在△ABC中，∠B，∠C的平分线BE，CD相交于点F，∠ABC＝42°，∠A＝60°，则∠BFC＝（）

A．118°B．119°

C．120°D．121°

第6题图第7题图

7．一把直尺和一块三角板ABC（含30°，60°角）摆放位置如图所示，直尺一边与三角板的两直角边分别交于点D，点E，另一边与三角板的两直角边分别交于点F，点A，且∠CDE＝40°，那么∠BAF的大小为（）

A．40°B．45°

C．50°D．10°

8．如图，一副分别含有30°和45°角的两个直角三角板，摆成如图所示，其中∠C＝90°，∠B＝45°，∠E＝30°，则∠BFD的度数是（）

A．10°B．15°

C．25°D．30°

第8题图

9．△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，DE＝7，则BC＝．

10．在“三角尺拼角”实验中，小明同学把一副三角尺按如图所示的方式放置，则∠1＝．

第10题图第11题图

11．如图，在△ABC中，点M为BC的中点，AD平分∠BAC，且BD⊥AD于点D，延长BD交AC于点N.若AB＝12，AC＝18，则MD的长为．

12．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1＝30°，∠2＝20°，求∠B的度数．

第12题