1充分条件与必要条件.docx

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1充分条件与必要条件

1.2.1　充分条件与必要条件

明目标、知重点

　1.结合具体实例，理解充分条件、必要条件的意义.2.会求（判定）某些简单命题的条件关系.3.通过对充分条件、必要条件的概念的理解和运用，培养分析、判断和归纳的逻辑思维能力．

充分条件与必要条件

命题真假

“若p，则q”是真命题

“若p，则q”是假命题

推出关系

p⇒q

pD/⇒q

条件关系

p是q的充分条件

q是p的必要条件

p不是q的充分条件

q不是p的必要条件

探究点一　充分条件、必要条件

思考1　判断下列两个命题的真假，并思考命题

（1）中条件和结论之间的关系：

（1）若x>a2＋b2，则x>2ab；

（2）若|x|＝1，则x＝1.

答　

（1）为真命题，

（2）为假命题．

命题

（1）中，有x>a2＋b2，必有x>2ab，即x>a2＋b2⇒x>2ab，所以“x>a2＋b2”是“x>2ab”的充分条件，“x>2ab”是“x>a2＋b2”的必要条件．命题

（2）中，|x|＝1，x＝1或－1.

小结　一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可推出q，记作p⇒q，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件．

思考2　结合充分条件、必要条件的定义，说说你对充分条件与必要条件的理解．

答　充分条件是使某一结论成立应该具备的条件，当具备此条件就可得此结论．或要使此结论成立，只要具备此条件就足够了．

必要条件可从命题等价性理解：

p⇒q等价于綈q⇒綈p，q是p的必要条件意味着若q不成立，则p不成立，即q是p成立的必不可少的条件．

思考3　判断命题“若x＝1，则|x|＝1”中条件和结论的关系，并请你从集合的角度来解释．

答　“x＝1”是“|x|＝1”的充分条件，“|x|＝1”是“x＝1”的必要条件．

两个条件“x＝1”和“|x|＝1”都是变量的取值，和集合有关．将“x＝1”对应集合记作A，“|x|＝1”对应集合记作B.显然A⊆B.

思考4　结合以上分析，请你归纳判断充分条件，必要条件有哪些方法？

答　一般地，关于充分、必要条件的判断主要有以下几种方法：

（1）定义法：

直接利用定义进行判断．

（2）等价法：

“p⇔q”表示p等价于q，等价命题可以进行转换，当我们要证明p成立时，就可以去证明q成立．这里要注意“原命题⇔逆否命题”、“否命题⇔逆命题”只是等价形式之一，对于条件或结论是不等式关系（否定式）的命题一般应用等价法．

（3）利用集合间的包含关系进行判断：

如果条件p和结论q都是集合，那么若p⊆q，则p是q的充分条件；若p⊇q，则p是q的必要条件；若p＝q，则p既是q的充分条件，又是q的必要条件．

例1　下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的什么条件？

（充分不必要条件，必要不充分条件，既是充分条件也是必要条件，既不充分也不必要条件）

（1）若x＝1，则x2－4x＋3＝0；

（2）若f（x）＝x，则f（x）为增函数；

（3）若x为无理数，则x2为无理数；

（4）若x＝y，则x2＝y2；

（5）若两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等；

（6）若a>b，则ac>bc.

解　

（1）因为命题“若x＝1，则x2－4x＋3＝0”是真命题，而命题“若x2－4x＋3＝0，则x＝1”是假命题，所以p是q的充分条件，但不是必要条件，即p是q的充分不必要条件；

（2）∵p⇒q，而qD/⇒p，∴p是q的充分不必要条件．

（3）∵pD/⇒q，而q⇒p，∴p是q的必要不充分条件．

（4）∵p⇒q，而qD/⇒p，∴p是q的充分不必要条件．

（5）∵p⇒q，而qD/⇒p，∴p是q的充分不必要条件．

（6）∵pD/⇒q，而qD/⇒p，∴p是q的既不充分也不必要条件．

反思与感悟　本例六个小题分别体现了定义法、集合法、等价法．一般地，定义法主要用于较简单的命题判断，集合法一般需对命题进行化简，等价法主要用于否定性命题．要判断p是否是q的充分条件，就要看p能否推出q，要判断p是否是q的必要条件，就要看q能否推出p.

跟踪训练1　指出下列命题中，p是q的什么条件？

（1）p：

x2＝2x＋1，q：

x＝

；

（2）p：

a2＋b2＝0，q：

a＋b＝0；

（3）p：

x＝1或x＝2，q：

x－1＝

；

（4）p：

sinα>sinβ，q：

α>β.

解　

（1）∵x2＝2x＋1D⇒/x＝

，

x＝

⇒x2＝2x＋1，

∴p是q的必要不充分条件．

（2）∵a2＋b2＝0⇒a＝b＝0⇒a＋b＝0，

a＋b＝0D⇒/a2＋b2＝0，∴p是q的充分不必要条件．

（3）∵当x＝1或x＝2成立时，可得x－1＝

成立，反过来，当x－1＝

成立时，可以推出x＝1或x＝2，

∴p既是q的充分条件也是q的必要条件．

（4）由sinα>sinβ不能推出α>β，反过来由α>β也不能推出sinα>sinβ，∴p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件．

探究点二　充分条件、必要条件与集合的关系

思考　设集合A＝{x|x满足条件p}，集合B＝{x|x满足条件q}，若A⊆B，则p是q的什么条件？

q是p的什么条件？

答　p是q的充分条件，q是p的必要条件．

例2　是否存在实数p，使“4x＋p<0”是“x2－x－2>0”的充分条件？

如果存在，求出p的取值范围；否则，说明理由．

解　由x2－x－2>0，解得x>2或x<－1.

令A＝{x|x>2或x<－1}，

由4x＋p<0，得B＝{x|x<－

}．

由题意得B⊆A，即－

≤－1，即p≥4，

此时x<－

≤－1⇒x2－x－2>0，

∴当p≥4时，“4x＋p<0”是“x2－x－2>0”的充分条件．

反思与感悟　

（1）设集合A＝{x|x满足p}，B＝{x|x满足q}，则p⇒q可得A⊆B；q⇒p可得B⊆A；p⇔q可得A＝B，若p是q的充分不必要条件，则AB.

（2）利用充分条件、必要条件求参数的取值范围的关键就是找出集合间的包含关系，要注意范围的临界值．

跟踪训练2　已知p：

3x＋m<0，q：

x2－2x－3>0，若p是q的一个充分不必要条件，求m的取值范围．

解　由3x＋m<0得，x<－

.∴p：

A＝{x|x<－

}．

由x2－2x－3>0得，x<－1或x>3.

∴q：

B＝{x|x<－1或x>3}．

∵p⇒q而qD⇒/p，∴AB，∴－

≤－1，

∴m≥3，即m的取值范围是[3，＋∞）．

1．a<0，b<0的一个必要条件为（　　）

A．a＋b<0B．a－b>0C.

>1D.

<－1

答案　A

解析　a＋b<0D⇒/a<0，b<0，而a<0，b<0⇒a＋b<0.

2．“θ＝0”是“sinθ＝0”的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

答案　A

解析　由于θ＝0时，一定有sinθ＝0成立，反之不成立，所以“θ＝0”是“sinθ＝0”的充分不必要条件．

3．“a>b”是“a>|b|”的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

答案　B

解析　由a>|b|⇒a>b，而a>b推不出a>|b|.

4．若“x0”的充分不必要条件，求m的取值范围．

解　由（x－1）（x－2）>0可得x>2或x<1，

由已知条件，知{x|x2或x<1}．

∴m≤1.

[呈重点、现规律]

1．充分条件、必要条件的判断方法：

（1）定义法：

直接利用定义进行判断．

（2）等价法：

“p⇔q”表示p等价于q，等价命题可以进行转换，当我们要证明p成立时，就可以去证明q成立．

（3）利用集合间的包含关系进行判断：

如果条件p和结论q相应的集合分别为A和B，那么若A⊆B，则p是q的充分条件；若A⊇B，则p是q的必要条件；若A＝B，则p是q的充分必要条件．

2．根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时，主要根据充分条件、必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式（组）进行求解．

一、基础过关

1．“－21或x<－1”的（　　）

A．充分条件但不是必要条件

B．必要条件但不是充分条件

C．既不是充分条件，也不是必要条件

D．既是充分条件，也是必要条件

答案　C

解析　∵－21或x<－1且x>1或x<－1D⇒/－21或x<－1”的既不充分条件，也不必要条件．

2．“ab≠0”是“直线ax＋by＋c＝0与两坐标轴都相交”的（　　）

A．充分条件但不是必要条件

B．必要条件但不是充分条件

C．既是充分条件，也是必要条件

D．既不是充分条件，也不是必要条件

答案　C

解析　ab≠0，即

，此时直线ax＋by＋c＝0与两坐标轴都相交；又当ax＋by＋c＝0与两坐标轴都相交时，a≠0且b≠0.

3．给定两个命题p，q，若綈p是q的必要而不充分条件，则p是綈q的（　　）

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

答案　A

解析　q⇒綈p⇔p⇒綈q.

4．已知p：

α≠β，q：

cosα≠cosβ，则p是q的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

答案　B

解析　q⇒p成立，但pD/⇒q，

∴p是q的必要不充分条件．

5．设a，b为实数，则“0

或b>

”的________条件．

答案　充分而不必要

解析　∵0

∴当a>0，b>0时，a<

；当a<0，b<0时，b>

.

∴“0

或b>

”的充分条件．

而取a＝－1，b＝1，显然有a<

，但不能推出0

∴“0

或b>

”的充分而不必要条件．

6．设0

，则“xsin2x<1”是“xsinx<1”的________条件．

答案　必要而不充分

解析　因为0

，所以0

，而

>1，因此充分性不成立．

7．下列各题中，p是q的什么条件？

说明理由．

（1）p：

△ABC中，b2>a2＋c2，q：

△ABC为钝角三角形；

（2）p：

△ABC有两个角相等，q：

△ABC是等边三角形．

解　

（1）△ABC中，∵b2>a2＋c2，∴cosB＝

<0，∴B为钝角，即△ABC为钝角三角形，反之，若△ABC为钝角三角形，B可能为锐角，这时b2

∴p⇒q，qD/⇒p，故p是q的充分不必要条件．

（2）有两个角相等不一定是等边三角形，反之一定成立，

∴pD/⇒q，q⇒p，故p是q的必要不充分条件．

二、能力提升

8．设x，y是两个实数，命题：

“x，y中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件是（　　）

A．x＋y＝2B．x＋y>2

C．x2＋y2>2D．xy>1

答案　B

解析　对于选项A，当x＝1，y＝1时，满足x＋y＝2，但命题不成立；对于选项C，D，当x＝－2，y＝－3时，满足x2＋y2>2，xy>1，但命题不成立，也不符合题意．

9．设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的（　　）

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

答案　A

解析　x2＋y2≥4表示以原点为圆心，以2为半径的圆以及圆外的区域，即|x|≥2且|y|≥2，而x≥2且y≥2时，x2＋y