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有限元

有限元结课作业

班级：

071221

姓名：

王丹

学号：

07122032

一、有限元法简介

有限元法（FEM，FiniteElementMethod）是一种为求解偏微分方程边值问题近似解的数值技术。

求解时对整个问题区域进行分解，每个子区域都成为简单的部分，这种简单部分就称作有限元。

它通过变分方法，使得误差函数达到最小值并产生稳定解。

类比于连接多段微小直线逼近圆的思想，有限元法包含了一切可能的方法，这些方法将许多被称为有限元的小区域上的简单方程联系起来，并用其去估计更大区域上的复杂方程。

它将求解域看成是由许多称为有限元的小的互连子域组成，对每一单元假定一个合适的（较简单的）近似解，然后推导求解这个域总的满足条件（如结构的平衡条件），从而得到问题的解。

这个解不是准确解，而是近似解，因为实际问题被较简单的问题所代替。

由于大多数实际问题难以得到准确解，而有限元不仅计算精度高，而且能适应各种复杂形状，因而成为行之有效的工程分析手段。

二、有限元法的基本思想和特点

有限元方法与其他求解边值问题近似方法的根本区别在于它的近似性仅限于相对小的子域中。

20世纪60年代初首次提出结构力学计算有限元概念的克拉夫（Clough）教授形象地将其描绘为：

“有限元法=RayleighRitz法＋分片函数”，即有限元法是RayleighRitz法的一种局部化情况。

不同于求解（往往是困难的）满足整个定义域边界条件的允许函数的RayleighRitz法，有限元法将函数定义在简单几何形状（如二维问题中的三角形或任意四边形）的单元域上（分片函数），且不考虑整个定义域的复杂边界条件，这是有限元法优于其他近似方法的原因之一。

有限元方法（FEM）的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。

采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。

有限元方法最早应用于结构力学，后来随着计算机的发展慢慢用于流体力学的数值模拟。

在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元，在每个单元内选择基函数，用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解，整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的，则整个计算域内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成。

在河道数值模拟中，常见的有限元计算方法是由变分法和加权余量法发展而来的里兹法和伽辽金法、最小二乘法等。

根据所采用的权函数和插值函数的不同，有限元方法也分为多种计算格式。

从权函数的选择来说，有配置法、矩量法、最小二乘法和伽辽金法，从计算单元网格的形状来划分，有三角形网格、四边形网格和多边形网格，从插值函数的精度来划分，又分为线性插值函数和高次插值函数等。

不同的组合同样构成不同的有限元计算格式。

对于权函数，伽辽金（Galerkin）法是将权函数取为逼近函数中的基函数；最小二乘法是令权函数等于余量本身，而内积的极小值则为对代求系数的平方误差最小；在配置法中，先在计算域内选取N个配置点。

令近似解在选定的N个配置点上严格满足微分方程，即在配置点上令方程余量为0。

插值函数一般由不同次幂的多项式组成，但也有采用三角函数或指数函数组成的乘积表示，但最常用的多项式插值函数。

有限元插值函数分为两大类，一类只要求插值多项式本身在插值点取已知值，称为拉格朗日（Lagrange）多项式插值；另一种不仅要求插值多项式本身，还要求它的导数值在插值点取已知值，称为哈密特（Hermite）多项式插值。

单元坐标有笛卡尔直角坐标系和无因次自然坐标，有对称和不对称等。

常采用的无因次坐标是一种局部坐标系，它的定义取决于单元的几何形状，一维看作长度比，二维看作面积比，三维看作体积比。

在二维有限元中，三角形单元应用的最早，近来四边形等参元的应用也越来越广。

对于二维三角形和四边形电源单元，常采用的插值函数为有Lagrange插值直角坐标系中的线性插值函数及二阶或更高阶插值函数、面积坐标系中的线性插值函数、二阶或更高阶插值函数等。

对于有限元方法，其解题步骤可归纳为：

1.建立积分方程，根据变分原理或方程余量与权函数正交化原理，建立与微分方程初边值问题等价的积分表达式，这是有限元法的出发点。

  2.区域单元剖分，根据求解区域的形状及实际问题的物理特点，将区域剖分为若干相互连接、不重叠的单元。

区域单元划分是采用有限元方法的前期准备工作，这部分工作量比较大，除了给计算单元和节点进行编号和确定相互之间的关系之外，还要表示节点的位置坐标，同时还需要列出自然边界和本质边界的节点序号和相应的边界值。

3.确定单元基函数，根据单元中节点数目及对近似解精度的要求，选择满足一定插值条件的插值函数作为单元基函数。

有限元方法中的基函数是在单元中选取的，由于各单元具有规则的几何形状，在选取基函数时可遵循一定的法则。

4.单元分析：

将各个单元中的求解函数用单元基函数的线性组合表达式进行逼近；再将近似函数代入积分方程，并对单元区域进行积分，可获得含有待定系数（即单元中各节点的参数值）的代数方程组，称为单元有限元方程。

5.总体合成：

在得出单元有限元方程之后，将区域中所有单元有限元方程按一定法则进行累加，形成总体有限元方程。

6.边界条件的处理：

一般边界条件有三种形式，分为本质边界条件（狄里克雷边界条件）、自然边界条件（黎曼边界条件）、混合边界条件（柯西边界条件）。

对于自然边界条件，一般在积分表达式中可自动得到满足。

对于本质边界条件和混合边界条件，需按一定法则对总体有限元方程进行修正满足。

7.解有限元方程：

根据边界条件修正的总体有限元方程组，是含所有待定未知量的封闭方程组，采用适当的数值计算方法求解，可求得各节点的函数值。

三、有限元法的分析

目前使用的偏微分方程的数值解法主要有三种：

有限差分法、有限元法和边界元法。

有限差分法的出发点是用结点量的差商代表控制方程中的导数。

以矩形域二维无源稳定传热问题为例:

起控制方程为拉普拉斯方程，即无源场中各点的散度为零：

（5-1）

边界条件为

（5-2）

式中，

为区域

内任意点

的温度；n为区域

边界

上任意点的外向法线；

代表在

上给定的温度（例如左边界

，右边界为

）；

代表边界

上给定的热流密度。

则式中的二阶偏导数可用结点温度的二阶差商近似表达为

（5-3）

同理（5-4）

带入得

（5-5）

式中，

和

在结点划分完毕后是已知的。

这样，式（5-5）即为一个以

和围绕（i,j）结点的4个结点的u值为未知量的线性代数方程。

若区域

有m-n个结点个m个边界结点，则可建立n-m个如式（5-5）所示的线性代数方程，加上式（5-2）所示m个结点的边界条件就可将所有结点的未知温度u求出。

有限差分法概念及方法比较简单，但不适合于求解区域形状复杂的问题。

边界元法是一种继有限元法之后发展起来的一种新数值方法,与有限元法在连续体域内划分单元的基本思想不同,边界元法是公在定义域的边界上划分单元,用满足控制议程的函数去逼近边界条件.所以边界元法与有限元相比具有单元的未知数少,数据准备简单等优点.但用边界元法解非线性问题时,遇到同非线性项相对应的区域积分,这种积分在奇异点附近有强烈的奇异性,使求解遇到困难.

以上所述三种数值解法中，有限元法通用性最好，引用最广，其基本思想是将问题的求解域划分为一系列单元，单元之间仅靠结点联接。

单元内部点的待求量可由单元结点量通过选定的函数关系插值求得。

由于单元形状简单，易于由平衡关系或能量关系建立结点量之间的方程式。

然后将各个单元方程“组集”在一起而形成总体代数方程组，计入边界条件后即可对方程组求解，单元划分越细，计算结果就越准确。

四、有限元法的基本步骤

1、单元划分

将求解域离散为有限单元。

根据基本长变量与坐标的关系决定采用一维、二维、三维单元。

一维元用线段表示；二维元可为三角形元货四边形元；三维元常用四面体元或六面体元。

单元划分越密，计算精度越高，但计算工作量也越大。

通常，在场变量变化剧烈处可将单元取密些，反之则取疏些。

2、确定插值函数（形函数）

在有限元法中，单元内任一点（x,y,z）的场变量需通过选定的插值形式由单元结点值插值求得，即

式中，m为单元结点自由度总数；

是单元自由度列阵，即

；

称为单元的形函数矩阵，它与单元结点坐标结点数目及插值形式有关。

形函数矩阵分量的数目应与单元结点自由度数相等。

以二维问题的三结点三角形单元为例，设每一结点只有一个自由度，则单元中任一点（x,y）处的场

可表达为

上式对于单元的任一点均成立。

显然在单元的三结点1、2和3处应有

比较上式左右两端，显然有

即对于i，j=1，2，3可写为

3、建立单元方程

在上述的例子中，直接根据问题的物理概念建立了单元方程。

不过，在一般情况下，特别是二维和三维单元，这种直接法就显得过于繁杂而难以应用。

为此，需要采用更为一般的数学方法，如变分法、加权余量法或具有明显物理意义上的虚功原理。

4、单元组集----建立总体方程组

首先将在单元方程有局部自由度编号系统扩展到总体自由度编号系统中，将单元矩阵元素和列阵元素按照局部和总体自由度的关系“对号入座”，然后将这种扩展了的单元方程相加即得到总体方程组。

5、计入边界条件，解方程组

组集后的总体特性矩阵式奇异的，必须计入边界条件才能求得唯一解，计入边界条件有三种方法：

1）、直接代入法

上述引例中所用的方法，即将自由度的已知量从总体方程组中消去，从而得到一组阶数降低了的修正方程。

由于这种方法是方程组阶数改变，使程序编制复杂化，故程序中一般不采用。

2）、对角线元素置1法

由式子

（5-6）

因为边界条件

，则可将矩阵中与

对应的对角线元素置为1，与

这种计入边界条件的方法简单，不仅改变原方程的阶数和未知量顺序；但只适用于边界条件为零值的情况。

3）、对角元素乘大数法

仍以式（5-6）为例。

为计入

，可将式子中矩阵的第一个对角线元素（记为

乘以一大数

（如取

）并将原

用

代替，

则式子变为

那么上式中的第一个方程相当于

式中，

表示

的已知值。

经边界条件修正过的总体线性代数方程组可采用成熟的解线性代数方程组的程序求解，如对称带状矩阵的高斯校园发等，对于大型方程组则可采用分块解法或波前发等。

这些解法属于纯数值分析问题。

4、处理计算

根据解方程组后求得的结点基本场变量计算其他有关量，如应变、应力或热流密度等，视具体问题而定。

五、有限元的应用及其发展趋势

有限元的应用范围也是相当的广的。

它涉及到工程结构、传热、流体运动、电磁等连续介质的力学分析中，并在气象、地球物理、医学等领域得到应用和发展。

电子计算机的出现和发展是有限元法在许多实际问题中的应用变为现实，并具有广阔的前景。

国际上早20世纪在50年代末、60年代初就投入大量的人力和物力开发具有强大功能的有限元分析程序。

其中最为著名的是由美国国家宇航局（NASA）在1965年委托美国计算科学公司和贝尔航空系统公司开发的NASTRAN有限元分析系统。

该系统发展至今已有几十个版本,是目前世界上规模最大、功能最强的有限元分析系统。

从那时到现在,世界各地的研究机构和大学也发展了一批规模较小但使用灵活、价格较低的专用或通用有限元分析软件,主要有德国的ASKA、英国的PAFEC、法国的SYSTUS、美国的ABQUS、ADINA、ANSYS、BERSAFE、BOSOR、COSMOS、ELAS、MARC和STARDYNE等公司的产品。

当今国际上FEA方法和软件发展呈现出以下一些趋势特征:

1、从单纯的结构力学计算发展到求解许多物理场问题

有限元分析方法最早是从结构化矩阵分析发展而来,逐步推广到板、壳和实体等连续体固体力学分析,实践证明这是一种非常有效的数值分析方法。

而且从理论上也已经证明,只要用于离散求解对象的单元足够小,所得的解就可足够逼近于精确值。

所以近年来有限元方法已发展到流体力学、温度场、电传导、磁场、渗流和声场等问题的求解计算,最近又发展到求解几个交叉学科的问题。

例如当气流流过一个很高的铁塔时就会使铁塔产生变形,而塔的变形又反过来影响到气流的流动……这就需要用固体力学和流体动力学的有限元分析结果交叉迭代求解,即所谓"流固耦合"的问题。

2、由求解线性工程问题进展到分析非线性问题

随着科学技术的发展,线性理论已经远远不能满足设计的要求。

例如建筑行业中的高层建筑和大跨度悬索桥的出现,就要求考虑结构的大位移和大应变等几何非线性问题;航天和动力工程的高温部件存在热变形和热应力,也要考虑材料的非线性问题;诸如塑料、橡胶和复合材料等各种新材料的出现,仅靠线性计算理论就不足以解决遇到的问题,只有采用非线性有限元算法才能解决。

众所周知,非线性的数值计算是很复杂的,它涉及到很多专门的数学问题和运算技巧,很难为一般工程技术人员所掌握。

为此近年来国外一些公司花费了大量的人力和投资开发诸如MARC、ABQUS和ADINA等专长于求解非线性问题的有限元分析软件,并广泛应用于工程实践。

这些软件的共同特点是具有高效的非线性求解器以及丰富和实用的非线性材料库。

3、增强可视化的前置建模和后置数据处理功能

早期有限元分析软件的研究重点在于推导新的高效率求解方法和高精度的单元。

随着数值分析方法的逐步完善,尤其是计算机运算速度的飞速发展,整个计算系统用于求解运算的时间越来越少,而数据准备和运算结果的表现问题却日益突出。

在现在的工程工作站上,求解一个包含10万个方程的有限元模型只需要用几十分钟。

但是如果用手工方式来建立这个模型,然后再处理大量的计算结果则需用几周的时间。

可以毫不夸张地说,工程师在分析计算一个工程问题时有80%以上的精力都花在数据准备和结果分析上。

因此目前几乎所有的商业化有限元程序系统都有功能很强的前置建模和后置数据处理模块。

在强调"可视化"的今天,很多程序都建立了对用户非常友好的GUI（GraphicsUserInterface）,使用户能以可视图形方式直观快速地进行网格自动划分,生成有限元分析所需数据,并按要求将大量的计算结果整理成变形图、等值分布云图,便于极值搜索和所需数据的列表输出。

4、与CAD软件的无缝集成

当今有限元分析系统的另一个特点是与通用CAD软件的集成使用,即在用CAD软件完成部件和零件的造型设计后,自动生成有限元网格并进行计算,如果分析的结果不符合设计要求则重新进行造型和计算,直到满意为止,从而极大地提高了设计水平和效率。

今天,工程师可以在集成的CAD和FEA软件环境中快捷地解决一个在以前无法应付的复杂工程分析问题。

所以当今所有的商业化有限元系统商都开发了和著名的CAD软件（例如Pro/ENGINEER、Unigraphics、SolidEdge、SolidWorks、IDEAS、Bentley和AutoCAD等）的接口。

5、在Wintel平台上的发展

早期的有限元分析软件基本上都是在大中型计算机（主要是Mainframe）上开发和运行的,后来又发展到以工程工作站（EWS,EngineeringWorkStation）为平台,它们的共同特点都是采用UNIX操作系统。

PC机的出现使计算机的应用发生了根本性的变化,工程师渴望在办公桌上完成复杂工程分析的梦想成为现实。

但是早期的PC机采用16位CPU和DOS操作系统,内存中的公共数据块受到限制,因此当时计算模型的规模不能超过1万阶方程。

MicrosoftWindows操作系统和32位的IntelPentium处理器的推出为将PC机用于有限元分析提供了必需的软件和硬件支撑平台。

因此当前国际上著名的有限元程序研究和发展机构都纷纷将他们的软件移植到Wintel平台上。

下表列出了用ADINAV7.3版在PC机的WindowsNT环境和SGI工作站上同时计算4个工程实例所需要的求解时间。

从中可以看出最新高档PC机的求解能力已和中低挡的EWS不相上下。

为了将在大中型计算机和EWS上开发的有限元程序移植到PC机上,常常需要采用Hummingbird公司的一个仿真软件Exceed。

这样做的结果比较麻烦,而且不能充分利用PC机的软硬件资源。

所以最近有些公司,例如IDEAS、ADINA和R&D开始在Windows平台上开发有限元程序,称作"NativeWindows"版本,同时还有在PC机上的Linux操作系统环境中开发的有限元程序包。

在大力推广CAD技术的今天，从自行车到航天飞机，所有的设计制造都离不开有限元分析计算，有限元法在工程设计和分析中将得到越来越广泛的重视。

目前以分析、优化和仿真为特征的CAE（ComputeraidedEngineeringCAE）技术在世界范围内蓬勃发展。

它通过先进的CAE技术快速有效地分析产品的各种特性、揭示结构各类参数变化对产品性能的响，进行设计方案的修改和调整，使产品达到性能和质量上的最优，原材料消耗最低。

因此，基于计算机的分析、优化和仿真的CAE技术的研究和应用，是高质量、高水平、低成本产品设计与开发的保证，有限元法也必将在科技发展史上大放异彩。