一堂立体几何习题课的实录及后记.docx
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一堂立体几何习题课的实录及后记
一堂立体几何习题课的实录及后记
一、课堂实录
学生状况：
农村市级重点中学高二（10）班，学生主要来自农村，生源质量属全市中等略偏上水平，极个别学生成绩优异.
授课时间：
2003年6月20日.
1.出示题目
如图1在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面是边长为1的菱形，侧棱长为2.
当∠A1B1C1在[
]上变化时，求异面直线AC1与A1B1所成角的取值范围？
学生思考，教师巡视并与学生略作交谈，发现：
大多数人在得到∠A1B1C1与∠ABC的关系式后卡了壳；也有十余人干脆将∠A1B1C1用
和
代入，求出了∠BAC1的两个值，然后得出一个范围.约六分钟后，我决定将十余位同学的这种解法抛出来“问路”.
2.一石激起千层浪
教师：
刚才我看到有几位同学的方法类似，请同学发表意见，大家帮他分析分析.
学生一：
设∠A1B1C1=α=
，则A1C1=1，在△AA1C1中，∠AA1C1=
（直四棱柱），故AC1=
.
连结BC1，易知∠BAC1=β即为所求的角，在△BAC1中，由余弦定理知，cosβ=
.
同理，设α=
得cosβ=
.
∵∠A1B1C1∈[
]，
∴β∈[arccos
arccos
].
话音刚落，立即有十余位同学要站起来，我点了其中的一位.
学生二：
这个解法有问题，不可以用区间端点直接代入.
教师（故作不解）：
噢？
说说理由.
学生二：
α的变化引起β的变化，α变大后，β是否一直变大或变小，同学一好像认为β一直变小，这缺乏根据.
学生三（急着补充）：
不知道是否单调，不能将区间端点直接代入，比如y=x2（-1≤x≤2）的值域就不是[1,4].
教师：
同意以上两位同学发言的举手.
连刚才发言的学生一也举起了手，看来这个问题是解决了.
3.敢问路在何方
教师：
还有哪位同学想发表意见.
学生四：
在α、β之间可建立一个等量关系.
在△A1B1C1中，A1
=2-2cosα.
在△AA1C1中，A1
=6-2cosα（直角三角形），
故在△BAC1中，cosβ=
，可惜，做不下去了.
教师：
你准备接下来做哪方面的工作？
学生四：
按照同学三的看法，接下来当然是考察
在[
]上的单调性了，但你看，设
≤α1≤α2≤
，
无法变形，只有放弃.
课堂陷入片刻的宁静.
4.东方初吐鱼肚白
学生五：
我有个想法：
令1-cosα=t，则t∈[
1]，cosβ=
，这种形式好像以前见过.
学生六：
等式右边可变形为
接下来考虑
在t∈[
1]上的单调性.
他的发言使不少同学顿悟.
教师（趁机补充）：
看似要开方，其实根号已被架空了.
学生七：
刚才同学四做不下去的原因也是根号问题，既如此，作个平方差吧.
他顿了顿，获得普遍首肯后接着说：
令cosα=t，则t∈[
1]，于是，
只要看分子的正负，比刚才要复杂，但我想肯定能解出.
教师：
我对此也充满信心.时间关系，这个问题只能请同学们课后完成了.哪位同学把刚才几位的发言做个小结.
学生五：
看来本题证明单调性的障碍是根号.同学六用换元的方法将根号架空，看似有根号，其实根号的作用已被削弱；同学七用平方的方法去掉了根号，可以说与同学六殊途同归，只可惜过程较繁.
学生八：
令
=t也能达到去根号的目的，此时cosβ=
，t∈[
].
学生九：
对，可再将
裂项变为
，这个函数的单调性证明比刚才简单.
其他同学有一种茅塞顿开的感觉，并向学生九投去赞许的目光.我有意顿了顿：
教师（对学生九）：
那么就请你谈谈你现在的想法与感受，如何？
学生九：
同样是换元，但同学八和同学五换的元不一样，看来换元也有个时机问题.
学生十：
同学五换元后没有升次，同学八换元后将原式升了次，更主要的是分母成了一个项，为同学九打下了基础，否则想不到裂项.
教师（趁机补充）：
从以上几位同学的发言是不是可以看出，本题解题繁简的关键实际上在于对中间变量的选择，同学八选择的变量很好地起到了降低运算量的作用.
5.蓦然回首，那人却在灯火阑珊处
学生四：
同学八令
=t，其实t就是图中AC1的长，怎么这么巧？
课堂陷入宁静，也就是10秒左右，有学生忽地站起.
学生十一：
α变大了，A1C1是肯定长了（停了停，他继续）；A1C1变长了，AC1当然也长了；故α增大后，AC1的长跟着增大.
学生十二：
剩下来的关键问题成了AC1的变化与β的变化之间有何关系，这只需用余弦定理来沟通一下就可以了，同学八恰好做了这个工作.
学生十一（急着再补充）：
如果我们观察图能得到AC1随α增大而变大的话，是可以直接在△BAC1中用余弦定理的.
学生十三：
既如此，我看也不一定非用余弦定理，用正弦定理也能解.
……
下课铃响了.但课后关于此题的争论仍在继续.第二天课前，仍有学生告诉我说还可以画个圆说明问题……
二、后记
题目并不难，一开始我完全可以扭住学生的思维，往我的正确思路上“引”，而我却没有这么做，进度是慢了，但学生在解题过程中的兴奋让我兴奋.尽管有的解法显得幼稚和不成熟，但这却是我们一步步走向成熟的基础.
学生迸发的思维火花，需要我们精心的呵护.
你们都是未来的建筑师
———“两平面平行的判定”教学案例研究
增城中学：
秦红指导教师：
胡首双
设计理念
本节课的教学设计以“新课改”理念和“有效教学”理念为指导；遵循“以教师为主导，以学生为主体”的教学原则；注意“以发展学生思维为主线”；充分利用学生的学习心理，认知结构，贯彻教师对数学的理解，倡导学生自主学习、自我构建。
背景介绍
今年是进入新课改的第三年，我校部分教师虽然对立体几何初步的教学有了一些经验，但对新课标中“立体几何的教学重在采用直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等方法去探索几何图形及其性质”的这一提法的理解不够深刻。
到底怎样才能上好立体几何课？
这是广大教师关注的问题，通过大家讨论，安排了“两平面平行的判定”这节研讨课，期望通过对这节课的研讨，使教师对立体几何的新课标有更深刻的理解，对怎样上好立体几何课有些启发。
本节课的教学内容是《人教A版数学必修
》中“2.1.4平面与平面的位置关系和2.2.2平面与平面平行的判定”两部分，它是立体几何初步的主要内容，有着举足轻重的地位，是培养学生数学思维能力的绝好材料。
高一
（1）班学生基础较好，他们已学习了直线与平面的位置关系以及直线与平面平行的判定和性质，初步掌握了直线与平面之间的位置关系，这是研究平面与平面之间的位置关系的有利因素。
本班学生好奇心较强，反应较快，渴望与人交流，上课非常积极主动，参与意识强，通过适当的引导容易激发学生的学习兴趣。
高一阶段的学生的思维正处于从“经验型”抽象思维向“理论型”抽象思维过渡的时期，很大程度上仍然需要依赖具体形象的经验材料来理解抽象的逻辑关系，教学过程中适当的使用实物模型进行观察是必要的。
情景描述
授课班级：
增城中学高一
（1）班；授课教师：
胡首双；
听课教师：
高一数学备课组教师；记录：
秦红。
教师面带微笑，拿着课本和教具（一块薄木板和三个水平器）走进教室。
生：
老师，您拿的是什么？
师：
一个“平面”和几条“直线”啊……（声音拉长，学生思考状，然后会心一笑）
点评：
教师使用幽默的语言，在不经意中培养学生的抽象概括能力。
生：
这节课我们是不是继续学习直线与平面的位置关系啊？
师：
“直线与平面的关系”同学们学得很好了，这节课我们研究新的问题。
生：
是不是研究平面与平面之间的位置关系？
师：
聪明！
平面与平面之间有怎样的位置关系呢？
（声音拉长，留一点时间给学生思考,转身板书课题：
两平面之间的位置关系）
点评：
既鼓励了学生，激发学生的学习兴趣，又指明了课题，为本课学习营造良好的氛围。
生：
很简单，平面与平面之间就是平行和相交这两种位置关系嘛！
（回答得很整齐。
）
师：
是吗？
那怎么定义平面与平面平行或相交呢？
点评：
设置问题情境，造成学生认知冲突，激发学生求知欲。
生：
定义？
（学生都在思考，觉得简单，却不知如何表达。
）
师：
可以类比直线与平面平行、相交的定义。
生：
哦，早说。
当平面与平面没有公共点时平面与平面平行；而平面与平面有一条公共直线时平面与平面相交。
（顿时课堂又活跃起来了。
）
师：
不错，非常准确。
那我们分别来看看这两种情况。
点评：
肯定学生，提高学生学习、探究的积极性。
师：
两个平面相交，即两个平面有无数个公共点且这些公共点都在一条直线上。
一般画图我们怎么来画呢？
大家一起来看我画的这几个平面相交的图：
师：
同学们看第
（1）个图，这两个平面相交像什么呢？
（学生争着表达自己的意见。
）
生1：
像黑板所在的面和地面。
生2：
像张开的书。
生3：
我看像一台笔记本电脑。
生4：
呵呵，就想上网……
师：
有什么好笑的，这本来就很像一台笔记本电脑。
（及时控制学生的讨论。
）
那第
（2）个图呢？
生5：
倒放着的笔记本电脑。
生6：
没创意！
师：
这个可就像那些想上课睡觉的同学摆放的书，故做学习状，其实是在睡觉，这个习惯可不好；第（3）个图才像是真正用心学习的同学摆放的书呢，或是睡觉醒了的同学反省后觉得该学习了，将书放下来了。
点评：
调节课堂气氛，使学生对这些图形印象更深刻，同时对学生进行了德育教育，暗示学生要养成良好的学习习惯。
生：
哈哈！
是啊！
师：
你能举出生活中两平面平行的例子吗？
生：
前后的黑板所在平面、天花板和地面……。
师：
画两个平面平行：
师：
一般画第
（1）种图，便于观察，而第
（2）个图就有相交的嫌疑。
（学生又相视而笑。
）
师：
现在我们知道平面与平面有这样的两种位置关系，那如果这里巳经有两个平面，怎么去判定这两个平面平行呢？
（给学生时间思考，学生又积极发言了。
）
生1：
根据定义：
两个平面若没有公共点则两个平面平行。
师：
好！
同学们看，这时木板和讲桌面是平行的（教师拿起木板，使它和讲桌面平行，学生得到教师的表扬，显得很惬意。
）
师：
我们可以看出木板和讲桌没有公共点；眼前看起来没有交点，但平面是可以无限延展的，谁能保证无限延展到美国仍没有交点吗？
（学生大笑。
）
点评：
借助问题情境，通过直观感知，加深学生对空间图形的理解；同时教师又幽默地指出直观感知的局限性，既调节了课堂气氛，又提高了学生继续探究的积极性。
师：
还有什么办法判定这两个平面平行呢？
（学生沉思，个别学生欲言又止。
）
师：
假如同学们都是建筑师，现在给你们一个任务，让你来做课室里的天花板，当然天花板是平行于地面的，你们准备怎么做呢？
（学生们此时都抬头看着天花板，开始了讨论，气氛比较热烈。
一会儿，有同学示意找到了方法。
）
点评：
数学来源于生活。
把生活观引入数学课堂符合学生的认知规律，同时让数学课堂富有生活情境，创设了轻松的学习氛围，提高了学生自主学习的积极性，提高了课堂效率。
生2：
我要是建筑师啊，可以用铅垂线来帮我，我只要在天花板上任意取几个不共线的点来挂长度相等的铅垂线，使铅垂线的底端恰好落在地面上，也就是到地面的距离相等就可以了。
生3：
任意取不共线的三个点就可以了，因为不共线的三点确定一个平面。
（全班同学都表示认同。
）
师：
这的确是一种好方法，从理论上可以保证天花板与地面平行。
实际上建筑师们有时就是这样做的。
抽象成数学问题即：
一个平面内不共线的三个点在另一平面的同侧且到这个平面的距离相等，则两个平面平行，这是正确的。
（学生显得很高兴。
）
师：
但是，又有一个新问题了：
如果要你做一个与水平面平行的平面，你又该怎么做呢？
比如：
怎样把教师手中的木板水平放置？
生1：
还用刚才那方法嘛！
生2：
不行，水平面在哪？
如何用铅垂线来度量距离相等呢？
（学生又陷入沉思。
）
师：
对了，有些同学发现了，现在由于水平面不像地面这样具体，哪里去找水平面，啊里去找距离相等呢？
（学生冥思苦想。
）
生3：
可不可以根据直线与平面平行的判定方法？
生4：
对，老师拿的水平器可能有用？
师：
若水平器是水平放置时，空气泡就在正中心位置，而如果水平器非水平放置时，空气泡就会跑两边去。
如图：
（教师演示水平器的用法。
）
点评：
建构问题解决的数学情景，借助直观感知，从学生感兴趣的数学情境出发，既体现了数学的生活化，又能增强学生的数学建模思想，提高学生理解问题、解决问题的能力。
生：
我想到办法了，把一个水平器放在木板上，空气泡在正中心位置上就可以了。
师：
这样可以吗？
（教师演示如图：
）
生1：
水平器与水平面平行，但不能保证木板水平放置。
生2：
一个水平器不行，多放几个。
师：
这样可以吗？
（教师演示如图：
）
生3：
要放成垂直的。
生4：
不用放成垂直的，只要相交就可以了。
生5：
也不要那么多水平器，有两个水平器就行了。
生6：
只要两个水平器交叉放置就可以了。
（同学们议论纷纷，各抒己见。
）
师：
这样可以吗？
（教师教师演示如图：
）
生：
可以。
（学生齐声回答，显得很兴奋。
）
点评：
师生合作，生生合作，共同探究，师生关系平等。
学生由被动的听课者变成了知识的探究者、发现者，教师成了学生数学活动的合作者。
师：
很好！
这样是可行的，木板所在平面与水平面平行了，你们真聪明，看来你们个个都可能成为未来的建筑师，工程师。
（学生很得意的笑。
）
点评：
肯定学生的发现，让学生体验学习数学带来的自信和成就感。
师：
你们能把它抽象成数学问题吗？
能用数学语言来表达吗？
同学们可以相互交流，有信心吗？
生：
有！
（学生齐声回答，显得很自信。
）
生1：
水平器看作直线，木板看成一个平面，水平面也可看作是另一个平面。
生2：
水平器放在木板上，既直线在平面内。
生3：
一个平面内的两条相交直线都和另一个平面平行，则这两个平面平行。
师：
很好！
能用符号语言和图形语言表达吗？
学生板演：
点评：
学生完善探究发现过程，将生活问题抽象概括为数学问题，培养学生的抽象思维能力；同时用不同的方式表达同一定理，能够培养学生在文字语言、符号语言、图形语言这三种数学语言间相互转换的能力。
师：
同学们，能不能举一些例子来说明这个命题呢？
生：
能，在长方体中就很容易找到，如
则
；
生：
还有很多呢。
（学生踊跃发言。
）
师：
我们把这个命题叫做“平面与平面平行的判定定理”。
点评：
正例强化。
通过学生熟悉的几何模型，加深学生对定理的理解和应用。
师：
还有一些时间，对于刚才在探讨中我们最初提出来的问题：
一个平面内不共线的三个点在另一平面的同侧且到这个平面的距离相等，则两个平面平行，那现在你们能不能给出证明吗？
（接下来的时间，老师指导学生完成这一结论的证明、课堂小结、布置作业等，在此就不再叙述了。
）
教学诠释
一、教学目标：
1、知识与能力目标：
（1）了解平面与平面之间的位置关系，能正确画出平面与平面之间各种位置关系的图形；
（2）理解并掌握平面与平面平行的判定定理；
（3）通过对问题的探究，培养学生分析问题、解决问题的能力和空间想象能力。
2、过程与方法目标：
（1）在启发、诱思下逐步完成定理的推出过程；
（2）通过师生互动，生生互动，让学生自主地发现问题、解决问题并获取知识。
3、情感、态度与价值观目标：
通过创设问题情境，激发学生的学习动机，使其主动参与多边交流活动，培养学生的自主学习、自我构建的良好学习习惯；在培养学生逻辑思维能力的同时，让学生养成严谨的思维习惯。
二、教学重点与难点
重点：
平面与平面平行的判定定理及其应用。
难点：
平面与平面平行的判定定理的探究。
三、教学点评：
在课堂上，教师的角色发生了改变，由过去的编剧、主演、正确的化身，转变为现在的扮演者、鼓动者、参谋、建议者。
本节课是符合高中数学新课标实验教学要求的。
让学生经历数学知识形成与应用过程；鼓励学生自主探索和合作交流；关注学生数学思维能力的发展；与时俱进的认识“双基”，抓好“双基”。
此案例中，教师能注意灵活处理教材，重点是通过学生自主探究、操作确认平面与平面平行的判定定理，为定理的探求花了很大的心思。
同时教师层层深入的剖析问题，抛砖引玉，努力创设自主、合作的学习氛围，做到了师生一体，共同研究。
学生陷入困境时，及时点拔，引导学生正确的思考。
如学生提出可以用平面上点到另一平面的距离相等，则这两个平面平行，这个方法当然是可行的，但这个问题不需要在本节课的上深层次的探讨，所以在鼓励学生方法正确的同时也要提出新的问题，既使学生有成功的喜悦，又有积极性投入下一步的探讨，最终得到判定定理，最后也给学生机会验证自己提出来的结论，学生会很有激情的。
这样处理可以激发学生探索新问题的兴趣，也增强了他们研究数学问题的自信心。
四、建议讨论的问题：
（1）课堂中学生通过自主探索和合作交流，完成定理的发现和论证，这完全符合新课改的要求，但是，课堂上的时间是有限的，多了探究、讨论的时间，而应用定理解决问题的时间自然就少了，和传统课堂教学相比，没有比较多的课堂练习，对学生的掌握情况不是很清楚，可能会导致学生不能熟练的应用定理解决问题。
传统教学和新课标下的课堂教学有两个不同的侧重点，一个注重结果和解题；而另一个注重知识的形成过程。
怎样把二者都兼顾到呢？
这个问题需要我们不断探讨。
（2）课堂上注重对学生的启发，热热闹闹中不知道有多少学生是清醒的，又有多少学生在热闹中迷失了。
怎样才能准确的了解学生的个体差异呢？
（3）立体几何教学注重让学生直观感知，它和培养学生的空间想象能力在某种程度上来说是相矛盾的，怎么去把握这个度呢？
（4）教师通过引导，让学生自主探索，操作确认得出了平面与平面平行的判定定理，而不要求学生掌握它的证明过程，对培养学生的思维严谨性是不利的，如何解决“操作确认”与“推理论证”这对矛盾呢？
（5）在课堂中虽然学生在教师的启发下能积极主动的进行思考和探索，但极少有学生能自主地提出有价值的问题。
实际上在数学学习过程中，学生提出有价值的问题比解决问题更重要，那么，如何使学生自主地提出有价值的问题呢？
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