七年级数学下册 第二章 平行线与相交线教案 北师大版.docx

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七年级数学下册第二章平行线与相交线教案北师大版

2019-2020年七年级数学下册第二章平行线与相交线教案北师大版

●课时安排

7课时

第一课时

●课题

§2.1余角与补角

●教学目标

（一）教学知识点

1.余角、补角及对顶角的定义.

2.余角、补角及对顶角的性质.

（二）能力训练要求

1.经历观察、操作、推理、交流等过程，进一步发展空间观念、推理能力和有条理表达的能力.

2.在具体情境中了解补角、余角、对顶角，知道等角的余角相等、等角的补角相等、对顶角相等，并能解决一些实际问题.

（三）情感与价值观要求

通过在具体情境下的讨论，让学生理解基础知识的同时，提高他们理论联系实际的观念.

●教学重点

1.互为余角、互为补角的定义及其性质.

2.对顶角的定义及性质.

●教学难点

互为余角、互为补角、对顶角的定义的理解.

●教学方法

讲练结合法

教师在充分发挥学生的主观能动性的同时，来与学生进行交流、讨论，使之能运用本节内容解决一些实际问题.

●教学过程

Ⅰ.创设现实情景，引入新课

［师］在上册第四章“平面图形及其位置关系”中，我们学习了“平行”与“垂直”，大家想一想：

什么是平行线？

［生］在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.

［师］很好，在日常生活中，我们随处可见道路、房屋、山川、桥梁……等这些大自然的杰作和人类的创造物.这其中蕴涵着大量的平行线和相交线.

下面大家来看几幅图片：

（出示投影片：

P49的桥的图片，宫殿、建筑物、门等的图片）

你能从这些图案中找出平行线和相交线吗？

（同学们踊跃发言，都能准确地找出其中的平行线和相交线）

［师］同学们找得都对，说明大家掌握了所学内容.从今天开始，我们将深入学习这方面的内容：

第二章平行线与相交线.

在这一章里，我们将发现平行线和相交线的一些特征，并探索两条直线平行的条件，我们还将利用圆规和没有刻度的直尺，尝试着作一些美丽的图案.

相信大家，一定会学得很好.

图2－1

Ⅱ．讲授新课

［师］我们知道，光的反射是一种常见的物理现象，通过如图的实验装置我们可以验

证光的反谢定律：

活动内容：

参照教材p59光的反射实验提出下列问题：

（1）模拟试验：

通过模拟光的反射的试验，为学生提供生动有趣的问题情景，将其抽象为几何图形，为下面的探索做好准备。

（2）利用抽象出的几何图形分三个层次提出问题，进行探究。

说出图中各角与∠3的关系。

将学生的回答分类总结，从而得到余角、补角的定义。

图中还有哪些角互补？

哪些角互余？

在巩固刚刚得到的概念的同时，为下一个问题作好铺垫。

图中都有哪些角相等？

由此你能够得到什么样的结论？

在学生充分探究、交流后，得到余角、补角的性质。

由此，我们得到了一个新的概念：

互为余角.即：

如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角（plementaryangle）,也就是说其中一个角是另一个角的余角.

只要有∠BDC+∠1=90°，就可知道∠1与∠BDC互为余角，反过来知道∠1与∠BDC是互为余角，就一定知道∠1与∠BDC的和为直角.

再之：

∠1与∠BDC是互为余角就是说：

∠1是∠BDC的余角，∠BDC也是∠1的余角.

大家看老师手里拿两个三角板（一边演示，一边叙述）：

这一个三角板的60°的角与另一个三角板的30°的角加起来正好是90°，那么我们说这两个角是互为余角.

同学们应注意：

（强调）

（1）互为余角是对两个角而言的.

（2）互为余角仅仅表明了两个角的数量关系，而没有限制角的位置关系.

［生］老师，我们知道了：

两个角的和是直角，则这两个角是互为余角.刚才我们还讨论了：

∠1+∠ADF=180°,∠EDB+∠1=180°.

那么这样的两个角又叫什么呢？

［师］这位同学问得好，这就是我们要学习的另一个概念：

互为补角.即：

如果两个角的和是平角，那么称这两个角互为补角（supplementaryangle）.

互为补角的概念的理解与互为余角的理解基本一样.哪些同学能尝试的说一下呢？

［生甲］只要满足∠1+∠ADF=180°，就可知道∠1与∠ADF是互为补角.反之知道∠1与∠ADF是互为补角，就一定可知道∠1与∠ADF的和是平角.

［生乙］∠1与∠ADF是互为补角，就是说：

∠1是∠ADF的补角，∠ADF也是∠1的补角.

［生丙］互为补角也是对两个角而言的.与角的大小有关，而与位置无关.

［生丁］∠EDB与∠1也是互为补角.

［师］同学们回答得真棒.互为余角、互为补角都是针对两个角而言的，仅仅表示了两个角之间的数量关系，并没有限制角的位置关系.

好，下面大家来想一想.（出示投影片§2.1A）

在下图中，CD与EF垂直，∠1=∠2.

（1）哪些角互为余角？

哪些角互为补角？

（2）∠ADC与∠BDC有什么关系？

为什么？

（3）∠ADF与∠BDE有什么关系？

为什么？

图2－2

（同学们分组讨论，得结论）

［生甲］在图中：

∠1与∠ADC、∠2与∠ADC、∠BDC与∠1、∠BDC与∠2都是互为余角.

∠1与∠ADF、∠EDB与∠1、∠ADF与∠2、∠EDB与∠2都是互为补角.

［生乙］∠ADC与∠BDC相等，因为：

∠ADC+∠1=90°，∠BDC+∠1=90°

所以：

∠ADC=90°－∠1=∠BDC.

［生丙］∠ADC与∠BDC相等的理由还可以这样说：

因为∠ADC+∠1=90°，∠BDC+∠2=90°，所以∠ADC=90°－∠1，∠BDC=90°－∠2，又因为∠1=∠2，所以∠ADC=∠BDC.

［生丁］老师，是不是这样：

∠ADC是∠1的余角，∠BDC也是∠1的余角，所以∠ADC与∠BDC就相等.因此可以说：

同一个角的余角相等.∠ADC是∠1的余角，∠BDC是∠2的余角，而∠1与∠2相等.所以∠ADC与∠BDC相等.因此可以说：

相等的角的余角相等.

［师］丁同学总结得很好.大家的意见怎么样？

［生齐声］丁同学总结得对.

［师］很好，这就得出互为余角的性质：

同角或等角的余角相等.

接下来看第三个问题:

（同学们踊跃发言，得出结论）

［生］∠ADF与∠BDE相等.因为∠1+∠ADF=180°，∠1+∠BDE=180°，所以，∠ADF=180°－∠1=∠BDE.还可以这样说：

因为∠1+∠ADF=180°，∠2+∠BDE=180°，所以∠ADF=180°－∠1，∠BDE=180°－∠2，又因为∠1=∠2，所以∠ADF=∠EDB.

因此得出结论：

同角或等角的补角相等.

［师］同学们表现得很好，通过讨论，得出互为余角、互为补角的性质：

同角或等角的余角相等.

同角或等角的补角相等.

接下来，我们议一议.

（可用电脑演示，也可用实物剪刀实际操作，然后提问.）（出示投影片§2.1B）

（1）用剪刀剪东西时，哪对角同时变大或变小？

（2）如果将剪刀的图形简单表示为下图，请问：

∠1与∠2的位置有什么关系？

它们的大小有什么关系？

为什么？

图2－3

［生甲］

（1）用剪刀剪东西时，相对的角同时变大或变小.

［生乙］图中的∠1与∠2有公共的顶点O，且角的两边互为反向延长线.

∠1与∠2相等，因为∠1是∠BOC的补角，∠2也是∠BOC的补角.由同角的补角相等，可得∠1与∠2相等.

［师］很好，像这样，直线AB与直线CD相交于点O，∠1与∠2有公共顶点，它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫对顶角.

如图中的∠AOD与∠BOC也是对顶角.

由对顶角的概念可知,对顶角的本质特征是：

两个角有公共顶点，两个角的两边互为反向延长线.

所以要在图形中准确地找出对顶角，需两看：

（1）看是不是两条直线相交所得的角;

（2）看是不是有公共顶点而没有公共边（或不相邻）的两个角.

另外，从对顶角的定义还可知：

对顶角总是成对出现的，它们是互为对顶角；一个角的对顶角只有一个.

接下来大家想一想：

对顶角有什么性质？

［生齐声］对顶角相等.

［师］好，“对顶角相等”是对顶角的重要性质.

下面大家来议一议（出示投影片§2.1C）

如图（P52的上图）所示，有一个破损的扇形零件，利用图中的量角器可以量出这个扇形零件的圆心角的度数，你能说出所量角是多少度吗？

你的根据是什么？

［生甲］根据对顶角相等，可以得出所量角的度数是40°.

［生乙］我利用补角可得出所量角的度数是180°－140°=40°.

［师］同学们能利用学过的有关事实解决实际问题，这很好.

下面我们来做一练习，以巩固所学内容.

Ⅲ.课堂练习

1.下图中有对顶角吗？

若有，请指出，若没有，请说明理由.

图2－4

答案：

图

（1）、

（2）、（3）中没有对顶角，因为这三个图形中的∠1、∠2不是两条直线相交所形成的.图（4）中有对顶角，分别是∠1与∠3；∠2与∠4.

2.判断对错

（1）顶点相对的角是对顶角.（）

（2）有公共顶点，并且相等的角是对顶角.（）

（3）两条直线相交，有公共顶点的角是对顶角.（）

（4）两条直线相交，有公共顶点，没有公共边的两个角是对顶角.（）

答案：

×××√

（举反例说明）

Ⅳ.课时小结

这节课我们学习了三个定义、三个性质，现在来总结一下：

定义：

互为余角：

如果两个角的和是直角，则这两个角互为余角.

互为补角：

如果两个角的和是平角，则这两个角互为补角.

对顶角：

像这样直线AB与直线CD相交于O，∠1与∠2有公共顶点，它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角.

注意：

（1）互为余角、互为补角只与角的度数有关，与角的位置无关.

（2）对顶角的判断条件：

性质：

同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等.

对顶角相等.

Ⅴ．课后作业

（一）课本P52习题2.11、2、3

（二）1.预习内容：

P53~54

2.预习提纲

（1）直线平行的条件是什么？

（2）同位角的概念.

（3）会用三角尺过已知直线外一点画这条直线的平行线.

●板书设计

§2.1台球桌面上的角

一、台球桌面上红球滑过的痕迹

图2－5

∠1+∠ADC=90°

∠1+∠BDC=90°

∠1+∠ADF=180°

∠1+∠BDE=180°

二、互为余角、互为补角的定义

三、互为补角、互为余角的性质

同角或等角的余角相等.

同角或等角的补角相等.

四、对顶角的定义

五、对顶角的性质：

对顶角相等.

六、练习

七、小结

八、作业1．习题2.1数学理解1，2

习题2.1问题解决1，2

第二课时

●课题

§2.2.1探索直线平行的条件

（一）

●教学目标

（一）教学知识点

1.直线平行的条件：

同位角相等.

2.会用三角板过已知直线外一点画这条直线的平行线.

（二）能力训练要求

1.经历探索直线平行的条件的过程，掌握直线平行的条件，并能解决一些问题.

2.会用三角尺过已知直线外一点画这条直线的平行线.

3.经历观察、操作、想象、推理、交流等活动，进一步发展空间观念、推理能力和有条理表达的能力.

（三）情感与价值观要求

1.在探索和交流的活动中，培养学生与人协作的习惯.

2.培养学生理论联系实际的观点.

●教学重点

在操作、观察的基础上总结出直线平行的条件.

●教学难点

同位角的概念.

●教学方法

观察——探索——归纳

教师创设情景，使学生主动地、积极地参与学习活动，进行观察，探究，发现规律，从而找到直线平行的条件.

●教学过程

Ⅰ.创设现实情景，引入新课

［师］在日常生活中，人们经常用到平行线，那什么是平行线呢？

［生］在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.

［师］好，在上册书中，我们简单了解了平行线，下面我们来复习回顾一下（出示投影片§2.2.1A）.

判断正误：

1.两条直线不相交，就叫平行线.（）

2.与一条直线平行的直线只有一条.（）

3.如果直线a、b都和直线c平行，那么a、b就互相平行.（）

［生甲］第1句话是错的.只有在同一平面内的两条不相交的直线才是平行线.

（也可举例：

如异面直线.学生只要说清即可）.

［生乙］第2句话是错的.因为一条直线的平行线有无数条，只有经过直线外一点，才有且只有一条直线与已知直线平行.

［生丙］第3句是对的，它是平行线的一个性质.

［师］同学们分析得很好.下面我们来看一个生活中的实例（出示投影片§2.2.1B）

如P53的上图，装修工人正在向墙上钉木条，如果木条b与墙壁边缘垂直，那么木条a与墙壁边缘所夹角为多少度时，才能使木条a与木条b平行?

（同学们讨论）

［师］大家可以用课前裁好的线条在桌子上演示.

［生］木条a也与墙壁边缘垂直时，才能使木条a与木条b平行.

［师］大家经过讨论，得到了：

若木条b与墙壁边缘垂直时，只有木条a也与墙壁边缘垂直时，才能使木条a与木条b平行.那么在同一平面内，两条直线除不相交外，还可能在什么情况下平行呢？

这节课我们就来探索直线平行的条件.

Ⅱ．讲授新课

［师］大家拿出准备好的纸条，按如下方法来做一做（出示投影片§2.2.1C）

如图

（1）所示，三根木条相交成∠1,∠2,固定木条b、c,转动木条a.

图2－11

如图

（2），在木条a的转动过程中，观察∠2的变化以及它与∠1的大小关系，你发现木条a与木条b的位置关系发生了什么变化？

木条a何时与木条b平行？

改变图

（1）中∠1的大小，按照上面的方式再做一做.∠1与∠2的大小满足什么关系时，木条a与木条b平行？

［师］同学们先独立操作、观察，找出结论，然后前后四人讨论，得出结论.

（学生动手操作，然后交流，教师指导、巡视）

［生甲］在转动木条a的过程中，看到∠1与∠2的大小关系为三种情况：

大于、等于、小于；木条a与木条b的位置关系有两种情况：

相交与平行；当∠1=∠2时，木条a与木条b平行.

［师］你们同意他的说法吗？

［生齐声］同意.

［师］好，这只是一种情况下得出的结论.如果改变∠1的大小，情况又如何呢？

［生乙］我们观察到的情况与甲同学说的一样.

［生丙］我注意到：

只要∠2与∠1的大小相等，那么木条a、b就平行.

［师］是这样的吗？

［生齐声］是.

［师］好.由此可以看到：

木条a、b的位置关系与∠1、∠2的大小关系密切相关，当∠1等于∠2时，木条a、b所在的直线就平行.那么∠1、∠2是什么样的角呢？

看图：

图2－12

直线AB、CD与直线l相交（或者说两条直线AB、CD被第三条直线l所截），构成八个角.∠1与∠2这两个角分别在直线CD、AB的上方，并且都在直线l的右侧，像这样具有位置相同的一对角称为同位角（correspondingangles）,∠3与∠4也是同位角.

辨别同位角时要注意位置上的两个“同”字，在第三条直线的同旁，被截两直线的同方向.

下面大家看这个图中，还有没有其他的同位角呢？

［生甲］∠5与∠6是同位角.这两个角在直线l的右侧，又在直线CD、AB的下方.

［生乙］∠7与∠8是同位角.这两个角分别在直线CD、AB的下方，并且在直线l的左侧.

［师］很好，大家了解了同位角后，想一想刚才我们得到的：

“当∠1=∠2时，木条a、b所在的直线平行”这个结论应该怎么叙述？

［生］从图中可知：

∠1与∠2是同位角.所以可以这样说：

同位角相等，两条直线平行.

［师］好，这样我们就得到直线平行的条件：

同位角相等.即：

平行线的判定：

同位角相等，两直线平行.

用几何符号表示：

∠1=∠2→a∥b

在上学期，我们学过了利用移动三角尺的方法来画平行线，那现在大家来分组讨论讨论.（出示投影片§2.2.1D）

怎样用移动三角尺的方法画两条平行线？

你能用这种方法过已知直线外一点画它的平行线吗？

请说出其中的道理.

（学生分组操作、讨论）

［生甲］（学生一边操作，一边叙述）.先画一条直线，用一个三角尺的一边与这条直线重合，然后把第二个三角尺紧靠第一个三角尺，第二个三角尺不动，移动第一个三角尺，这样就可以画出与已知直线平行的直线.

用这种方法可以作：

过已知直线外一点画它的平行线.

（图如下：

AB∥CD,点P在CD上.）

图2－13

［生乙］画直线CD与AB平行的过程中，实际上使用了一个三角尺的一边和另一个三角尺的一个角.一个三角尺不动，在另一个三角尺平移的过程中，那个角的大小不变，而且从一个位置平移到另一个位置，两个位置上的那个角构成了同位角关系.“同位角相等，两直线平行.”

［师］同学们分析得很好.在画已知直线的平行线时，实际就用到了“同位角相等，两直线平行”这个直线平行的条件.

好，下面大家动手画一画：

过直线外一点画这条直线的平行线.

（学生动手操作，教师指导）

［师］好，同学们画得很好.接下来我们做练习，以巩固本节所学内容.

Ⅲ.课堂练习

课本P55随堂练习

1.找出图2－14点阵中互相平行的线段，并说明理由（点阵中相邻的四个点构成正方形）.

图2－14图2－15

答案：

AB∥CD、EF∥GH

因为线段EF、GH与线段AB、CD相交所成的锐角都是45°.

2.如图2－15，∠1=∠2=55°，∠3等于多少度？

直线AB、CD平行吗？

说明你的理由.

答案：

∠3=55°,因为∠3与∠2是对顶角，对顶角相等，所以∠3=55°.

因为∠1=∠2=55°，∠3=55°,所以可得∠1=∠3.又因为∠1与∠3构成的是同位角.由同位角相等，两直线平行可得：

AB与CD平行.

Ⅳ.课时小结

本节课我们主要探讨了直线平行的条件：

“同位角相等，两直线平行”.还认识了同位角，并且会用三角尺过已知直线外一点作这条直线的平行线.

到现在为止，我们就有了三种判定两直线平行的方法：

（1）定义（不常用）

（2）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行.

（3）同位角相等，两直线平行.

Ⅴ.课后作业

一、课本P55习题2.21、2

二、1.预习内容：

P56~57

2.预习提纲：

（1）内错角、同旁内角的概念.

（2）两直线平行的条件.

●板书设计

§2.2.1探索直线平行的条件

一、直线平行的条件：

1.同位角的定义.

2.直线平行的条件：

同位角相等，两直线平行

∠1=∠2→AB∥CD

二、议一议

画一画.

三、课堂练习

四、课时小结

五、课后作业

第三课时

●课题

§2.2.2探索直线平行的条件

（二）

●教学目标

（一）教学知识点

1.会判断内错角、同旁内角.

2.直线平行的条件.

（二）能力训练要求

1.经历观察、操作、想象、推理、交流等活动，进一步发展空间观念、推理能力和有条理表达的能力.

2.经历探索直线平行的条件的过程，掌握直线平行的条件，并能解决一些实际问题.

（三）情感与价值观要求

创设情境，激发学生积极参与交流、学习，主动解决问题，鼓励其创造精神，并从中使他们受益.

●教学重点

两条直线平行的条件：

角相等或互补.

●教学难点

两条直线平行的条件的应用.

●教学方法

探索发现法

教师创设现实情景，让学生积极主动地去探索、发现，使其找到解决问题的方法.

●教学过程

Ⅰ.创设现实情景，引入新课

［师］上节课我们探讨了直线平行的条件.谁来给大家总结一下：

判定两条直线平行的方法.

［生］判定两条直线平行的方法到现在为止有以下三种：

①定义：

即：

在同一平面内不相交的两条直线是平行线.

②如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行.

③同位角相等，两直线平行.

［师］这位同学总结得很好.大家要会应用这些方法来判定两直线平行.下面来看一个实际例子.（出示投影片§2.2.2A）

小明有一块小画板，他想知道它的上下边缘是否平行，于是他在两个边缘之间画了一条线段AB.（如图2－23所示）

图2－23

小明身边只有一个量角器，他通过测量某些角的大小就能知道这个画板的上下边缘是否平行，你知道他是怎样做的吗？

［师］大家分组讨论一下.

［生甲］小明只有量角器，所以想到应该用“同位角相等，两直线平行”来判定.但图中又没有同位角，是不是应该找另外的角呢？

［生乙］我们说：

两条线段平行是指这两条线段所在的直线平行.所以我想把这个图形中的上下边缘及线段AB都变成直线，则图形变为图2－24.

图2－24

在图中可以看到：

∠1与∠2是同位角，∠3与∠2是对顶角，并且相等，所以只要∠1=∠3，则直线CD∥EF.

［生丙］实际上只需要把线段AB延长即可.

图2－25

［师］同学们讨论得很精彩，知道只要量出如图2－25所示的∠1与∠3的度数，就可知画板的上下边缘是否平行.那这两个角是什么样的角呢？

两直线平行还有哪些条件呢？

这节课我们来继续探讨：

直线平行的条件.

Ⅱ．讲授新课

［师］大家看图2－26.

图2－26

直线AB、CD与EF相交（或者说：

两条直线AB、CD被第三条直线所截），∠1与∠2这两个角都在直线AB、CD之间，并且∠1在直线EF的左侧，∠2在直线EF的右侧.像具有这种位置关系的角称为内错角（alternateinteriorangles）.

注意：

辨认内错角时，要看清两个角是否在被截两直线之间，是否在截线的两旁.

图中还有内错角吗？

［生］有，∠3与∠4是内错角.

［师］好，我们再看：

∠1与∠3的位置关系如何呢？

［生］∠1与∠3，这两个角也都在直线AB、CD之间，但它们在直线EF的同一旁.

［师］同学们说得很好，我们把具有这种位置关系的角称为同旁内角.

［生甲］老师，我知道了，那么∠2与∠4也是同旁同角，是吧？

［师］对，那谁能说一说：

辨认同旁内角要掌握什么呢？

［生乙］要看清两个角是否在截线的同旁，是否在被截两直线之间.

［师］很好，下面同学们看图，从中找出同位角、内错角、同旁内角.辨认时，一定要注意哪两条直线被哪一条直线所截.（出示投影片§2.2.2B）

在下图中，找出所有的同位角、内错角、同旁内角.

图2－27

［生甲］∠1与∠2、∠3与∠4、∠5与∠6是同位角.∠4与∠6是内错角.∠4与∠2是同旁内角.

［生乙］还有呢：

∠7与∠8是同位角，∠2与∠8是内错角，∠6与∠8是同旁内角.

［师］还有吗？

［生齐声］没有了.

［师］好.两条直线被第三条直线所截，形成了八个角，这八个角之间的关系要弄清楚.现在我们再来看那个实例——小明测画板上下边缘是否平行.（再次出示图形）

刚才我们经过讨论得知：

当∠1=∠3时画板的上下边缘就平行.那么∠1与∠3是什么角呢？

由此可得出什么结论呢？

［生］∠1与∠3是内错角.由此可得出：

内错角相等，两条直线就平行.

［师］很好.由此我们又得出了直线平行的条件，或者说是判定两条直线平行的方法：

内错角相等，两直线平行.

同学们来叙述一下为什么.

［生］如图2－28，∠3与∠2是对顶角，相等，又由于∠1=∠3,所以∠2=∠1，因此可以得出AB∥CD.

图2－28

［师］同学们叙述得很好，即：

AB∥CD（内错角相等，两直线平行）

噢，三线八角中，我们能用同位角相等或内错角相等来判定两条直线平行，那同旁内角又如何呢？

下面大家来议一议（出示投影片§2.2.2C）

同旁内角满足什么关系时，两条直线平行？

为什么？

（分组讨论、归纳）

［生甲］如图2－29，当∠1=∠2时，AB∥CD，而∠1+∠5=180°.

图2－29

所以猜想∠2+∠5=180°时，AB∥CD.

验证：

当∠2+∠5=180°时，又∠1+∠5=180°（平角定义），所以由“同角的补角相等”，可得：

∠1=∠2，因此由“同位角相等，两直线平行”可得：

AB∥CD.从而可知：

同旁内角互补，两直线平行.

［生乙］还可以这样验证：

当∠2+∠5=180°时，又平