常见的初中数学公式.docx
《常见的初中数学公式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《常见的初中数学公式.docx（30页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
常见的初中数学公式
初中数学常见几何图形的概念性质和判定
三角形
什么是三角形？
由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结所组成的封闭图形叫做三角形。
平面上三条直线或球面上三条弧线所围成的图形。
三条直线所围成的图形叫平面三角形；三条弧线所围成的图形叫球面三角形，也叫三边形。
一个封闭图形的内角和为180度叫做三角形。
证明：
已知:
△ABC,证明:
∠ABC+∠BAC+∠BCA=180
证明:
做BC的延长线至D点,过C点作AB的平行线至E点
∵AB∥CE
∴∠ABC=∠ECD（两直线平行,同位角相等）,∠BAC=∠ACE（内错角相等）
∵∠BCD=180
∴∠ACB+∠ACE+∠ECD=∠BCD=180
∴∠ABC+∠BAC+∠BCA=180
证毕。
三角形的内角和
三角形的内角和为180度
证明
三角形分类
（1）按角度分
a.锐角三角形：
三个角都小于90度。
并不是有一个锐角的三角形，而是三个角都为锐角，比如等边三角形也是锐角三角形。
b.直角三角形（简称Rt三角形）：
⑴直角三角形两个锐角互余；
⑵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
⑶在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.；
⑷在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°（和⑶相反）；
解直角三角形
在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.则有
（1）正弦定理
a/SinA=b/SinB=c/SinC=2r（外接圆半径为r）
（2）余弦定理。
a^2=b^2+c^2-2bc*CosA
b^2=a^2+c^2-2ac*CosB
c^2=a^2+b^2-2ab*CosC
三角形的性质
1.三角形的任何两边的和一定大于第三边，由此亦可证明得三角形的任意两边的差一定小于第三边。
2.三角形内角和等于180度
3.等腰三角形的顶角平分线，底边的中线，底边的高重合，即三线合一。
4.直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方--勾股定理。
直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。
５.三角形共有六心：
三角形的内心、外心、重心、垂心、欧拉线
内心：
三条角平分线的交点，也是三角形内切圆的圆心。
性质：
到三边距离相等。
外心：
三条中垂线的交点，也是三角形外接圆的圆心。
性质：
到三个顶点距离相等。
重心：
三条中线的交点。
性质：
三条中线的三等分点，到顶点距离为到对边中点距离的2倍。
垂心：
三条高所在直线的交点。
性质：
此点分每条高线的两部分乘积
旁心：
三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点
性质：
到三边的距离相等。
界心：
经过三角形一顶点的把三角形周长分成1：
1的直线与三角形一边的交点。
性质：
三角形共有3个界心，三个界心分别与其对应的三角形顶点相连而成的三条直线交于一点。
欧拉线：
三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心，依次位于同一直线上，这条直线就叫三角形的欧拉线。
6.三角形的外角（三角形内角的一边与其另一边的延长线所组成的角）等于与其不相邻的内角之和。
7.一个三角形最少有2个锐角。
8.三角形的角平分线:
三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线
9.等腰三角形中，等腰三角形顶角的平分线平分底边并垂直于底边。
10.勾股定理逆定理：
如果三角形的三边长a,b,c有下面关系那么a²+b²=c²
那么这个三角形就一定是直角三角形。
三角形为什么具有稳定性
任取三角形两条边，则两条边的非公共端点被第三条边连接
∵第三条边不可伸缩或弯折
∴两端点距离固定
∴这两条边的夹角固定
∵这两条边是任取的
∴三角形三个角都固定，进而将三角形固定
∴三角形有稳定性
任取n边形（n≥4）两条相邻边，则两条边的非公共端点被不止一条边连接
∴两端点距离不固定
∴这两边夹角不固定
∴n边形（n≥4）每个角都不固定，所以n边形（n≥4）没有稳定性
三角形的边角之间的关系
（1）三角形三内角和等于180°；
（2）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和；
（3）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角；
（4）三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；
（5）在同一个三角形内，大边对大角，大角对大边.
（6）三角形中的四条特殊的线段：
角平分线，中线，高，中位线.
（7）三角形的角平分线的交点叫做三角形的内心，它是三角形内切圆的圆心，它到各边的距离相等.
（8）三角形的外接圆圆心，即外心，是三角形三边的垂直平分线的交点，它到三个顶点的距离相等.
（9）三角形的三条中线的交点叫三角形的重心，它到每个顶点的距离等于它到对边中点的距离的2倍。
（10）三角形的三条高的交点叫做三角形的垂心。
（11）三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的1/2。
（12）三角形的一边与另一边延长线的夹角叫做三角形的外角。
注意:
①三角形的内心、重心都在三角形的内部
.②钝角三角形垂心、外心在三角形外部。
③直角三角形垂心、外心在三角形的边上。
（直角三角形的垂心为直角顶点，外心为斜边中点。
）
④锐角三角形垂心、外心在三角形内部。
特殊三角形
1.相似三角形
（1）形状相同但大小不同的两个三角形叫做相似三角形
（2）相似三角形性质
相似三角形对应边成比例，对应角相等
相似三角形对应边的比叫做相似比
相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方
相似三角形对应线段（角平分线、中线、高）相等
（3）相似三角形的判定
【1】三边对应成比例则这两个三角形相似
【2】两边对应成比例及其夹角相等，则两三角形相似
【3】两角对应相等则两三角形相似
2.全等三角形
（1）能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.
（2）全等三角形的性质。
全等三角形对应角（边）相等。
全等三角形的对应线段（角平分线、中线、高）相等、周长相等、面积相等。
（3）全等三角形的判定
①SAS②ASA③AAS④SSS⑤HL（RT三角形）
3.等腰三角形
等腰三角形的性质：
（1）两底角相等；
（2）顶角的角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合；
等腰三角形的判定：
（1）等角对等边；
（2）两底角相等；
4.等边三角形
等边三角形的性质：
（1）顶角的角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合；
（2）等边三角形的各角都相等，并且都等于60°。
等边三角形的判定：
（1）三个角都相等的三角形是等边三角形；
（2）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.
三角形的面积公式
（1）S△=1/2*ah（a是三角形的底，h是底所对应的高）
（2）S△=1/2*ac*sinB＝1/2*bc*sinA＝1/2*ab*sinC（三个角为∠A∠B∠C，对边分别为a,b,c，参见三角函数）
（3）S△=√［s*（s-a）*（s-b）*（s-c）］【s=1/2（a+b+c）】（海伦—秦九韶公式）
（4）S△=abc/（4R）【R是外接圆半径】
（5）S△=1/2*（a+b+c）*r【r是内切圆半径】
（6）...........|ab1|
S△=1/2*|cd1|
................|ef1|
【.|ab1|
....|cd1|为三阶行列式,此三角形ABC在平面直角坐标系内A（a,b）,B（c,d）,C（e,f）,这里ABC
....|ef1|
选区取最好按逆时针顺序从右上角开始取，因为这样取得出的结果一般都为正值，如果不按这个规则取，可能会得到负值，但不要紧，只要取绝对值就可以了，不会影响三角形面积的大小！
】
生活中的三角形物品
雨伞、帽子、彩旗、灯罩、风帆、小亭子、雪山、楼顶、切成三角形的西瓜、火炬冰淇淋、热带鱼的边缘线、蝴蝶翅膀、火箭、竹笋、宝塔、金字塔、三角内裤、机器上用的三角铁、某些路标、长江三角洲、斜拉桥等。
三角形全等的条件注意:
只有三个角相等无法推出两个三角形全等
（1）三边对应相等的两个三角形相等，简写为“SSS”。
（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“ASA”。
（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成“AAS”。
（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“SAS”。
（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“HL”。
全等三角形的性质
全等三角形的对应角相等，对应边也相等。
三角形中的线段
中线：
顶点与对边中点的连线，平分三角形。
高：
从三角形的一个顶点（三角形任意两条边的交点）向其对边所作的垂线段（顶点至对边垂足间的线段），叫做三角形的高。
角平分线：
顶点到两边距离相等的点所构成的直线。
中位线：
任意两边中点的连线。
[1]
三角形相关定理
重心定理
三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍．
上述交点叫做三角形的重心.
外心定理
三角形的三边的垂直平分线交于一点．
这点叫做三角形的外心.
垂心定理
三角形的三条高交于一点．
这点叫做三角形的垂心.
内心定理
三角形的三内角平分线交于一点．
这点叫做三角形的内心.
旁心定理
三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点．
这点叫做三角形的旁心．三角形有三个旁心．
三角形的重心、外心、垂心、内心、旁心称为三角形的五心．
它们都是三角形的重要相关点．
中位线定理
三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．
三边关系定理
三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
勾股定理
在Rt三角形ABC中，A≤90度，则
AB·AB+AC·AC=BC·BC
A〉90度，则
AB·AB+AC·AC>BC·BC
梅涅劳斯定理
梅涅劳斯（Menelaus）定理是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。
它指出：
如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么（AF/FB）×（BD/DC）×（CE/EA）=1。
证明：
过点A作AG∥BC交DF的延长线于G,
则AF/FB=AG/BD,BD/DC=BD/DC,CE/EA=DC/AG。
三式相乘得：
AF/FB×BD/DC×CE/EA=AG/BD×BD/DC×DC/AG=1
它的逆定理也成立：
若有三点F、D、E分别在的边AB、BC、CA或其延长线上，且满足（AF/FB）×（BD/DC）×（CE/EA）=1，则F、D、E三点共线。
利用这个逆定理，可以判断三点共线。
塞瓦定理
设O是△ABC内任意一点，
AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，则BD/DC*CE/EA*AF/FB=1
证法简介
（Ⅰ）本题可利用梅涅劳斯定理证明：
∵△ADC被直线BOE所截，
∴CB/BD*DO/OA*AE/EC=1①
而由△ABD被直线COF所截，∴BC/CD*DO/OA*AF/BF=1②
②÷①:
即得：
BD/DC*CE/EA*AF/FB=1
（Ⅱ）也可以利用面积关系证明
∵BD/DC=S△ABD/S△ACD=S△BOD/S△COD=（S△ABD-S△BOD）/（S△ACD-S△COD）=S△AOB/S△AOC
③
同理CE/EA=S△BOC/S△AOB④AF/FB=S△AOC/S△BOC⑤
③×④×⑤得BD/DC*CE/EA*AF/FB=1
利用塞瓦定理证明三角形三条高线必交于一点:
设三边AB、BC、AC的垂足分别为D、E、F，
根据塞瓦定理逆定理，因为（AD:
DB）*（BE:
EC）*（CF:
FA）=[（CD*ctgA）/[（CD*ctgB）]*[（AE*ctgB）/（AE*ctgC）]*[（BF*ctgC）/
[（AE*ctgB）]=1，所以三条高CD、AE、BF交于一点。
莫利定理
将三角形的三个内角三等分，靠近某边的两条三分角线相得到一个交点，则这样的三个交点可以构成一个正三角形。
这个三角形常被称作莫利正三角形。
平行四边形
定义:
在同一平面内两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
特点
⑴如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对边分别相等。
（简述为“平行四边形的对边相等”）
⑵如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对角分别相等。
（简述为“平行四边形的对角相等”）
（3）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两条对角线互相平分。
（简述为“平行四边形的两条对角线互相平分”）
（4）平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点。
判定
1.两组对边分别相等的四边形是平行四边形
2.对角线互相平分的四边形是平行四边形
3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形
5.两组对边分别平行的四边形是平行四边形
性质
⑴连接平行四边形各边的中点所得图形是平行四边形。
⑵如果一个四边形的对角线互相平分，
那么连接这个四边形的中点所得图形是平行四边形。
⑶平行四边形的对角相等，两邻角互补
⑷过平行四边形对角线交点的直线，将平行四边形分成全等的两部分图形。
⑸平行四边形是中心对称图形，对称中心是两对角线的交点。
⑹平行四边形的面积等于底和高的积。
（可视为矩形）
平行四边形中常用辅助线的添法
一、连对角线或平移对角线
二、过顶点作对边的垂线构造直角三角形
三、连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造线段平行或中位线
四、连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等积三角形。
五、过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等
平行四边形对边平行
平行四边形的对角相等
平行四边形的对边相等
平行四边形的对角线互相平分
平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心
面积与周长
1.平行四边形的面积可以底乘高（推导方法如图）；如用“h”表示高，“a”表示底，“s平“表示平行四边形面积，
则S平=ah
2.平行四边形周长可以二乘（底1+底2）；如用“a"表示底1，“b”表示底2，“c平“表示平行四边形周长，
则C平=2（a+b）
菱形
定义
一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
性质
对角线互相垂直且平分；
四条边都相等；
对角相等，邻角互补；
每条对角线平分一组对角，
菱形既是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在直线，也是中心对称图形
在60°的菱形中，短对角线等于边长，长对角线是短对角线的√3倍。
菱形具备平行四边形的一切性质。
判定
一组邻边相等的平行四边形是菱形
四边相等的四边形是菱形
关于两条对角线都成轴对称的四边形是菱形
对角线互相垂直且平分的四边形是菱形.
依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形。
不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形。
菱形的中点四边形是矩形（对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为矩形）
，对角线相等的四边形的中点四边形定为菱形。
菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法。
菱形面积
1.对角线乘积的一半（只要是对角线互相垂直的四边形都可用）；
2.底乘高。
特征
顺次连接菱形各边中点为矩形
正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四边相等的图形不只是正方形。
正方形
定义
四条边都相等且四个角都是直角的四边形叫做正方形。
各边相等且有三个角是直角的四边形叫做正方形。
有一组邻边相等的矩形是正方形。
有一组邻边相等且一个角是直角的平行四边形是正方形。
性质
边：
两组对边分别平行；四条边都相等；相邻边互相垂直
内角：
四个角都是90°；
对角线：
对角线互相垂直；对角线相等且互相平分；每条对角线平分一组对角；
对称性：
既是中心对称图形，又是轴对称图形（有四条对称轴）。
判定方法
1：
对角线相等的菱形是正方形
2：
对角线互相垂直的矩形是正方形，正方形是一种特殊的矩形
3：
四边相等，有三个角是直角的四边形是正方形
4：
一组邻边相等的矩形是正方形
5：
一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形
6：
四边均相等，对角线互相垂直平分且相等的平行四边形
依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形。
不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形。
正方形的中点四边形是正方形。
面积计算公式：
S=a×a
或：
S=对角线×对角线÷2
周长计算公式:
C=4a
正方形是特殊的长方形,菱形，平行四边形，四边形
勾股定理
勾股定理:
在我国，把直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方这一特性叫做勾股定理或勾股弦定
古埃及人利用打结作RT三角形理，又称毕达哥拉斯定理或毕氏定理（PythagorasTheorem）。
定理：
如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a^平方+b^平方=c^平方；即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
如果三角形的三条边a，b，c满足a^平方+b^平方=c^平方，如：
一条直角边是3，一条直角边是四，斜边就是3*3+4*4=X*X，X=5。
那么这个三角形是直角三角形。
（称勾股定理的逆定理）
来源：
毕达哥拉斯树是一个基本的几何定理，传统上认为是由古希腊的毕达哥拉斯所证明。
据说毕达哥拉斯证明了这个定理后，即斩了百头牛作庆祝，因此又称“百牛定理”。
在中国，《周髀算经》记载了勾股定理的一个特例，相传是在商代由商高发现，故又有称之为商高定理；三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释，作为一个证明。
法国和比利时称为驴桥定理，埃及称为埃及三角形。
我国古代把直角三角形中较短得直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦。
最早的勾股定理
从很多泥板记载表明，巴比伦人是世界上最早发现“勾股定理”的，这里只举一例。
例如公元前1700年的一块泥板（编号为BM85196）上第九题，大意为“有一根长为5米的木梁（AB）竖直靠在墙上，上端（A）下滑一米至D。
问下端（C）离墙根（B）多远？
”他们解此题就是用了勾股定理，如图
设AB=CD=l=5米，BC=a，AD=h=1米，则BD=l-h=5-1米=4米
∴a=√[l-（l-h）]=√[5-（5-1）]=3米，∴三角形BDC正是以3、4、5为边的勾股形。
《周髀算经》简介
青朱出入图
《周髀算经》算经十书之一。
约成书于公元前二世纪，原名《周髀》，它是我国最古老的天文学著作，主要阐明当时的盖天说和四分历法。
唐初规定它为国子监明算科的教材之一，故改名《周髀算经》。
《周髀算经》在数学上的主要成就是介绍了勾股定理及其在测量上的应用。
原书没有对勾股定理进行证明，其证明是三国时东吴人赵爽在《周髀注》一书的《勾股圆方图注》中给出的。
《周髀算经》使用了相当繁复的分数算法和开平方法。
伽菲尔德证明勾股定理的故事
1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。
他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨。
由于好奇心驱使，伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么。
只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。
于是伽菲尔德便问他们在干什么？
那个小男孩头也不抬地说：
“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？
”伽菲尔德答道：
“是5呀。
”小男孩又问道：
“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？
”伽菲尔德不加思索地回答到：
“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方．”小男孩说：
“先生，你能说出其中的道理吗？
”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心里很不是滋味。
，伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他出的难题。
他经过反复思考与演算，终于弄清了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。
如下:
解：
在网格内，以两个直角边为边长的小正方形面积和，等于以斜边为边长的的正方形面积。
勾股定理的内容：
直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，
a^2;+b^2;=c^2;
说明：
我国古代学者把直角三角形的较短直角边称为“勾”，较长直角边为“股”，斜边称为“弦”，所以把这个定理成为“勾股定理”。
勾股定理揭示了直角三角形边之间的关系。
举例：
如直角三角形的两个直角边分别为3、4，则斜边c^2=a^2+b^2=9+16=25即c=5
则说明斜边为5。
勾股定理部分习题
第一章勾股定理一、勾股定理的内容，勾股定理是怎样得到的，从定理的证明过程中你得到了什么启示？
练习：
1、在△ABC中,∠C=90°.
（1）若a=2,b=3则以c为边的正方形面积是多少?
（2）若a=5,c
=13.则b是多少?
.（3）若c=61,b=11.则a是多少?
（4）若a∶c=3∶5且c=20则b是多少?
（5）
若∠A=60°且AC=7cm则AB=＿cm，BC=＿cm.
2、直角三角形一条直角边与斜边分别为8cm和10cm.则斜边上的高等于＿cm.
3、等腰三角形的周长是20cm,底边上的高是6cm,则底边的长为＿cm.
4、△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AB=12cm,则BC边上的高AD=＿cm.
5、已知：
△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，BC=,DB=2cm,则BC＝＿cm,AB=＿cm,AC=
＿cm.
6、如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达点B200m，结果他在水中实际游了520m，求该河流的宽度为_
升级会员 