Lyapunov指数的计算方法.docx

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Lyapunov指数的计算方法

【总结】Lyapunov指数的计算方法非线性理论

近期为了把计算LE的一些问题弄清楚，看了有7～9本书！

下面以吕金虎《混沌时间序列分析及其应用》、马军海《复杂非线性系统的重构技术》为主线，把目前已有的LE计算方法做一个汇总！

1.关于连续系统Lyapunov指数的计算方法?

连续系统LE的计算方法主要有定义方法、Jacobian方法、QR分解方法、奇异值分解方法，或者通过求解系统的微分方程，得到微分方程解的时间序列，然后利用时间序列（即离散系统）的LE求解方法来计算得到。

关于连续系统LE的计算，主要以定义方法、Jacobian方法做主要介绍内容。

（1）定义法

定义法求解Lyapunov指数.JPG

关于定义法求解的程序，和matlab板块的“连续系统LE求解程序”差不多。

以Rossler系统为例

Rossler系统微分方程定义程序

functiondX=Rossler_ly（t,X）

Rossler吸引子，用来计算Lyapunov指数

a=0.15,b=0.20,c=10.0

dx/dt=-y-z,

dy/dt=x+ay,

dz/dt=b+z（x-c）,

a=0.15;

b=0.20;

c=10.0;

x=X

（1）;y=X

（2）;z=X（3）;

%Y的三个列向量为相互正交的单位向量

Y=[X（4）,X（7）,X（10）;

X（5）,X（8）,X（11）;

X（6）,X（9）,X（12）];

%输出向量的初始化，必不可少

dX=zeros（12,1）;

%Rossler吸引子

（1）=-y-z;

（2）=x+a*y;

dX（3）=b+z*（x-c）;

%Rossler吸引子的Jacobi矩阵

Jaco=[0-1-1;

1a?

z0?

x-c];

dX（4:

12）=Jaco*Y;

求解LE代码：

%计算Rossler吸引子的Lyapunov指数

clear;

yinit=[1,1,1];

orthmatrix=[100;

010;

001];

a=0.15;

b=0.20;

c=10.0;

y=zeros（12,1）;

%初始化输入

y（1:

3）=yinit;

y（4:

12）=orthmatrix;

tstart=0;%时间初始值

tstep=1e-3;%时间步长

wholetimes=1e5;%总的循环次数

steps=10;%每次演化的步数

iteratetimes=wholetimes/steps;%演化的次数

mod=zeros（3,1）;

lp=zeros（3,1）;

%初始化三个Lyapunov指数

Lyapunov1=zeros（iteratetimes,1）;

Lyapunov2=zeros（iteratetimes,1）;

Lyapunov3=zeros（iteratetimes,1）;

fori=1:

iteratetimes

tspan=tstart:

tstep:

（tstart+tstep*steps）;?

[T,Y]=ode45（'Rossler_ly',tspan,y）;

%取积分得到的最后一个时刻的值

y=Y（size（Y,1）,:

）;

%重新定义起始时刻

tstart=tstart+tstep*steps;

y0=[y（4）y（7）y（10）;

y（5）y（8）y（11）;

y（6）y（9）y（12）];

%正交化

y0=ThreeGS（y0）;

%取三个向量的模

mod

（1）=sqrt（y0（:

1）'*y0（:

1））;

mod

（2）=sqrt（y0（:

2）'*y0（:

2））;

mod（3）=sqrt（y0（:

3）'*y0（:

3））;

y0（:

1）=y0（:

1）/mod

（1）;

y0（:

2）=y0（:

2）/mod

（2）;

y0（:

3）=y0（:

3）/mod（3）;

lp=lp+log（abs（mod））;

%三个Lyapunov指数

Lyapunov1（i）=lp

（1）/（tstart）;

Lyapunov2（i）=lp

（2）/（tstart）;

Lyapunov3（i）=lp（3）/（tstart）;

y（4:

12）=y0';

end

%作Lyapunov指数谱图

i=1:

iteratetimes;

plot（i,Lyapunov1,i,Lyapunov2,i,Lyapunov3）

程序中用到的ThreeGS程序如下：

%G-S正交化

functionA=ThreeGS（V）?

%V为3*3向量

v1=V（:

1）;

v2=V（:

2）;

v3=V（:

3）;

a1=zeros（3,1）;

a2=zeros（3,1）;

a3=zeros（3,1）;

a1=v1;

a2=v2-（（a1'*v2）/（a1'*a1））*a1;

a3=v3-（（a1'*v3）/（a1'*a1））*a1-（（a2'*v3）/（a2'*a2））*a2;

A=[a1,a2,a3];

计算得到的Rossler系统的LE为————?

0.063231?

0.092635?

-9.8924

Wolf文章中计算得到的Rossler系统的LE为————0.09?

-9.77

需要注意的是——定义法求解的精度有限，对有些系统的计算往往出现计果和理论值有偏差的现象。

正交化程序可以根据上面的扩展到N*N向量，这里就不加以说明了，对matlab用户来说应该还是比较简单的！

（2）Jacobian方法

通过资料检索，发现论坛中用的较多的LET工具箱的算法原理就是Jacobian方法。

基本原理就是首先求解出连续系统微分方程的近似解，然后对系统的Jacobian矩阵进行QR分解，计算Jacobian矩阵特征值的乘积，最后计算出LE和分数维。

经过计算也证明了这种方法精度较高，对目前常见的混沌系统，如Lorenz、Henon、Duffing等的Lyapunov指数的计算精度都很高，而且程序编写有一定的规范，个人很推荐使用。

（虽然我自己要做的系统并不适用

）

LET工具箱可以在网络上找到，这里就不列出了！

关于LET工具箱如果有问题，欢迎加入本帖讨论！

Jacobian法求解Lyapunov指数.JPG

对离散动力系统，或者说是非线性时间序列，往往不需要计算出所有的Lyapunov指数，通常只需计算出其最大的Lyapunov指数即可。

“1983年，格里波基证明了只要最大Lyapunov指数大于零，就可以肯定混沌的存在”。

目前常用的计算混沌序列最大Lyapunov指数的方法主要有一下几种：

（1）由定义法延伸的Nicolis方法

（2）Jacobian方法

（3）Wolf方法

（4）P－范数方法

（5）小数据量方法

其中以Wolf方法和小数据量方法应用最为广泛，也最为普遍。

下面对Nicolis方法、Wolf方法以及小数据量方法作一一介绍。

（1）Nicolis方法

这种方法和连续系统的定义方法类似，而且目前应用很有限制，因此只对其理论进行介绍，编程应用方面就省略了Nicolis方法求最大LE.JPG

（2）Wolf方法Wolf方法求最大LE.JPG

Wolf方法的Matlab程序如下：

functionlambda_1=lyapunov_wolf（data,N,m,tau,P）

该函数用来计算时间序列的最大Lyapunov指数--Wolf方法

嵌入维数！

一般选大于等于10

tau:

时间延迟！

一般选与周期相当，如我选2000

data:

时间序列！

可以选1000；

时间序列长度满足公式：

M=N-（m-1）*tau=24000-（10-1）*1000=5000

时间序列的平均周期,选择演化相点距当前点的位置差，即若当前相点为I，则演化相点只能在|I－J|>P的相点中搜寻!

P=周期=600

lambda_1:

返回最大lyapunov指数值

min_point=1?

;%&&要求最少搜索到的点数

MAX_CISHU=5;?

%&&最大增加搜索范围次数

%FLYINGHAWK

求最大、最小和平均相点距离

max_d=0;?

%最大相点距离

min_d=1.0e+100;?

%最小相点距离

avg_dd=0;

Y=reconstitution（data,N,m,tau）;?

%相空间重构可将此段程序加到

整个程序中，在时间循环内，可以保存时间序列的地方。

见完整程序。

M=N-（m-1）*tau;?

%重构相空间中相点的个数

fori=1:

（M-1）

forj=i+1:

d=0;

fork=1:

d=d+（Y（k,i）-Y（k,j））*（Y（k,i）-Y（k,j））;

end

d=sqrt（d）;

ifmax_d

max_d=d;

end

ifmin_d>d

min_d=d;

end

avg_dd=avg_dd+d;

end

avg_d=2*avg_dd/（M*（M-1））;?

%平均相点距离

dlt_eps=（avg_d-min_d）*0.02;?

%若在min_eps～max_eps中找不到演化相点时，对max_eps的放宽幅度

min_eps=min_d+dlt_eps/2;?

%演化相点与当前相点距离的最小限

max_eps=min_d+2*dlt_eps?

%&&演化相点与当前相点距离的最大限

从P+1～M-1个相点中找与第一个相点最近的相点位置（Loc_DK）及其最短距离DK

DK=1.0e+100;?

%第i个相点到其最近距离点的距离

Loc_DK=2;?

%第i个相点对应的最近距离点的下标

fori=（P+1）:

（M-1）?

%限制短暂分离，从点P+1开始搜索

d=0;

fork=1:

d=d+（Y（k,i）-Y（k,1））*（Y（k,i）-Y（k,1））;

end

d=sqrt（d）;

if（dmin_eps）

DK=d;

Loc_DK=i;

end

以下计算各相点对应的李氏数保存到lmd（）数组中

i为相点序号，从1到（M-1），也是i-1点的演化点；Loc_DK为相点i-1对应最短

距离的相点位置，DK为其对应的最短距离

%Loc_DK+1为Loc_DK的演化点，DK1为i点到Loc_DK+1点的距离，称为演化距离

前i个log2（DK1/DK）的累计和用于求i点的lambda值

sum_lmd=0;?

%存放前i个log2（DK1/DK）的累计和

fori=2:

（M-1）?

%计算演化距离?

DK1=0;

fork=1:

DK1=DK1+（Y（k,i）-Y（k,Loc_DK+1））*（Y（k,i）-Y（k,Loc_DK+1））;

end

DK1=sqrt（DK1）;

old_Loc_DK=Loc_DK;?

%保存原最近位置相点

old_DK=DK;

计算前i个log2（DK1/DK）的累计和以及保存i点的李氏指数

if（DK1~=0）&（DK~=0）

sum_lmd=sum_lmd+log（DK1/DK）/log

（2）;

end

lmd（i-1）=sum_lmd/（i-1）;此处可以保存不同相点i对应的李氏指数，见完整程序。

。

以下寻找i点的最短距离:

要求距离在指定距离范围内尽量短,与DK1的角度最小

point_num=0;%&&在指定距离范围内找到的候选相点的个数

cos_sita=0?

;%&&夹角余弦的比较初值——要求一定是锐角

zjfwcs=0?

;%&&增加范围次数

while（point_num==0）

%*搜索相点

forj=1:

（M-1）

ifabs（j-i）<=（P-1）?

%&&候选点距当前点太近，跳过！

continue;?

end

%*计算候选点与当前点的距离

dnew=0;

fork=1:

dnew=dnew+（Y（k,i）-Y（k,j））*（Y（k,i）-Y（k,j））;

end

dnew=sqrt（dnew）;

if（dnewmax_eps）?

%&&不在距离范围，跳过！

continue;?

end

%*计算夹角余弦及比较

DOT=0;

fork=1:

DOT=DOT+（Y（k,i）-Y（k,j））*（Y（k,i）-Y（k,old_Loc_DK+1））;

end

CTH=DOT/（dnew*DK1）;

continue;

end

ifCTH>cos_sita?

%&&新夹角小于过去已找到的相点的夹角，保留

cos_sita=CTH;

Loc_DK=j;

DK=dnew;

end

point_num=point_num+1;

end?

ifpoint_num<=min_point

max_eps=max_eps+dlt_eps;

zjfwcs=zjfwcs+1;

ifzjfwcs>MAX_CISHU?

%&&超过最大放宽次数，改找最近的点

DK=1.0e+100;

forii=1:

（M-1）

ifabs（i-ii）<=（P-1）?

%&&候选点距当前点太近，跳过！

continue;?

end

d=0;

fork=1:

d=d+（Y（k,i）-Y（k,ii））*（Y（k,i）-Y（k,ii））;

end

d=sqrt（d）;

if（dmin_eps）

DK=d;

Loc_DK=ii;

end

break;

end

point_num=0;?

%&&扩大距离范围后重新搜索

cos_sita=0;

end

%取平均得到最大李雅普诺夫指数（此处只有一个值，若为正说明体系是混沌的，若为负则说明体系是周期性的确定性运动）

lambda_1=sum（lmd）/length（lmd）;

程序中用到的reconstitution函数如下：

此段程序可直接放在时间循环内部，即可以保存时间序列的地方。

见完整程序范例。

functionX=reconstitution（data,N,m,tau）

%该函数用来重构相空间

%m为嵌入空间维数

%tau为时间延迟

%data为输入时间序列

%N为时间序列长度

%X为输出,是m*n维矩阵

M=N-（m-1）*tau;%相空间中点的个数

forj=1:

%相空间重构

fori=1:

X（i,j）=data（（i-1）*tau+j）;

end

这里声明一下，这些程序并非我自己编写的，均是转载，其使用我已经验证过，绝对可以运行！

（3）小数据量方法

说小数据量方法是目前最实用、应用最广泛的方法应该不为过吧，呵呵！

小数据量方法求最大Lyapunov指数.JPG

上面两种方法，即Wolf方法和小数据量方法，在计算LE之前，都要求对时间序列进行重构相空间，重构相空间的优良对于最大LE的计算精度影响非常大！

因此重构相空间的几个参数的确定就非常重要。

（1）时间延迟

主要推荐两种方法——自相关函数法、C－C方法

自相关函数法——对一个混沌时间序列，可以先写出其自相关函数，然后作出自相关函数关于时间t的函数图像。

根据数值试验结果，当自相关函数下降到初始值的1－1/e时，所得的时间t即为重构相空间的时间延迟。

C－C方法——可以同时计算出时间延迟和时间窗口，个人推荐使用这种方法！

（2）平均周期

平均周期的计算可以采用FFT方法。

在matlab帮助中有一个太阳黑子的例子，现摘录如下：

loadsunspot.dat?

%装载数据文件

year=sunspot（:

1）;?

%读取年份信息

wolfer=sunspot（:

2）;?

%读取黑子活动数据

plot（year,wolfer）?

%绘制原始数据图

title（'SunspotData'）

Y=fft（wolfer）;?

%快速FFT变换

N=length（Y）;?

%FFT变换后数据长度

（1）=[];?

%去掉Y的第一个数据，它是所有数据的和

power=abs（Y（1:

N/2））.^2;?

%求功率谱

nyquist=1/2;?

freq=（1:

N/2）/（N/2）*nyquist;%求频率

plot（freq,power）,gridon?

%绘制功率谱图

xlabel（'cycles/year'）

title（'Periodogram'）

period=1./freq;?

%年份（周期）

plot（period,power）,axis（[04002e7]）,gridon?

％绘制年份－功率谱曲线

ylabel（'Power'）

xlabel（'Period（Years/Cycle）'）

[mp,index]=max（power）;?

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