概率论与数理统计练习题附答案详解.docx

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概率论与数理统计练习题附答案详解

第一童《随机事件及概率》练习题

一、单项选择题

（D）P（AIB）=1°

一定独立

5、设人与B是两个概率不为0的互不相容的爭件.则下列结论中肯定正确的是（）

（C）P（AB）=P（A）P（B）,（D）P（A-B）=P（A）O

6.设人、8为两个对立事件.且PS）MO・P（B）HO.则下面关系成立的是（）

（A）P（4UB）=P（A）+P（B）：

（B）P（A\JB）^P（A）+P（B）i

（C）P（AB）=P（A）P（B）：

（D）P（AB）=P（A）P（B）.

7.对于任意两个爭件人与B,P（A-B）等干（）

（A）P（A）-P{B）（B）P⑷一P（B）+P（4B）；

（C）P{A）-P（AB）,（D）P（A）+P（B）-P（AB）a

二、填空题

1、若Az）B.AoC,P⑷=0.9.P（B|JC）=0.8,则P（A-BC）=。

2、设P（A）=0.3,P（B）=0・4,P（4|B）=0.5,则P（B|4）=.P（B\A\JB）=

3>已知P（A）=0.7.P（A—3）=0・3.则P（AB）=3

4、已知事件A、B满足P{AB）=P（Ar>B）,且P（A）=p,则P（B）=。

5>一批产品，其中10件正品.2件次品，任意抽取2次，每次抽1件.抽岀后不再放回，则第2次抽岀

的是次品的概率为:

6、设在4次独立的试验中，事件人每次出现的概率相等，若已知爭件人至少出现1次的概率是65/81.

则人在1次试验中出现的概率为•

7＞设事件4B的概率分别为P（A）=l/3,P（B）=l/6・①若人与8相互独立，则

P（入UB）=:

②若A与B互不相容，则P（AB）=。

8＞有10个球.其中有3个红球和7个绿球，随机地分给10个小朋友，每人1个，则最后3个分到球的小朋友中恰有1个得到红球的概率为：

9＞两射于•彼此独立地向同一目标射击.设甲击中的概率为0・&乙击中的概率为0.7.则目标被击中的概

率为:

三、计算题

K某工厂生产的一批产品共100个.其中有5个次品：

从这批产品中任取一半來检査，求取到的次品不多于1个的概率。

2、某城市的电话号码为八位数，且第一位为6或8：

求

（1）随机抽取的一个电话号码由完全不相同的数字组成的概率：

（2）随机抽取的电话号码末位数是8的概率。

3、已^iP（A）=P（B）=P（C）=1/4,P38）=o,P（AC）=P（BC）=1/16,求a.B,c至

少有一个发生的概率。

4、设10件产品中有4件不合格品，从中任取2件，已知所取2件中有一件是不合格品，求另外一件也是不合格品的概率。

5、一个工厂有一•二，三3个车间生产同一个产品，每个牟间的产址占总产址的45%.35%.20%・如果

每个车间成品中的次品率分别为5%,4%,2%,

1从全厂产品中任总抽取1个产品，求収出是次品的概率：

2从全厂产品如果抽出的1个恰好是次品.求这个产品由一车•间生产的概率。

6、有两箱同类零件.第一箱装50只（其中一等品10只），第二箱装30只（其中一等品18只）：

今从两箱中任挑一箱，然后从该箱中依次不放回地取零件两次，每次一只：

已知第一次取到的是一等品，求第二次取到的也是一等品的概率。

7.右边是一个串并联电路示意图.A、B.C都

是电路中的元件，它们下方的数是它们各自独立

正常匸作的概率（可釜性），求电路的可靠性。

四、证明：

若P（B\A）=P（B\A）,则爭件人与B相互独立。

第二.三章《随机变■及其分布》练习题

一、单项选择题

K设离散型随机变虽X的分布列为

X

0

1

2

P

0.3

0.3

0.4

F（x）为X的分布函数，则F（1.5）=（）

（A）0：

（B）0.3：

（C）0.6：

（D）1。

2.

如下四个函数中，哪一个不能作为随机变虽X的分布函数（）

3.十常数b=（）时.pk=—伙=1,2,…）为某一离散型随机变虽的概率分布

k（k+1）

（A）2：

（B）1；（C）1/2：

（D）3&

4、设随机变虽X的分布函数为Fx（Q，则随机变虽Y=2X+1的分布函数FY（y）是（）

（A）F（丄一丄）：

（B）F（丄+1）：

（C）2F（v）+l:

（D）-F（y）--.

2222'2

5.

设随机变虽X〜NS,/）.且y=aX+〃~N（O,l）,则a,b应取（）

6、设某一连续型随机变虽x的概率密度/（x）在区间［a，〃］上等于sinx・而在此区间外等于o.则区

间［心方］为（）

（A）［0,^/2］：

（B）［0,刃：

（C）［一龙/2,0］：

（D）［0,3”/2］°

7.设随机变虽X〜"（“,，），则随b的增大.则P{IX-“lvcr}（）

（A）爪调増加：

（C）保持不变：

（D）増减不定。

8.设两个随机变虽x与y相互独立且同分布，P{X=-l}=P{F=-1}=1/2.

P{X=1}=P{Y=1}=1/2,则下列式子成立的是（）

（A）P{X=Y}=l/2；（B）P{X=Y}=1：

（c>P{X+y=0}=l/4：

（D）P{XY=1}=1/4,

9>设随机变虽X与丫相互独立，它们的分布函数分别为Fx（x）,FY（y）9则Z=min（X,Y）的分布函数为（）

（A）Fz（z）=?

\⑵⑻Fz（z）=Fy⑵：

（C）Fz（z）=min{Fv（z）,Fr（z）}：

（D）Fz（z）=1-[1-FX（z）][l-Fr（z）]o

二、填空题

0,xv-1,a,—Hvl,

仁设离散型随机变虽x的分布函数F（x）=<

则a=b=_.X的分布列为_—

b,

a——y,x>1，

2>设随机变址X的分布函数F（x）=X*

0,xVl,

■

则a=b=・P{-lvXv2}=_・X的概率密度f（x）==

3、将一颗均匀骰子重复独立地掷10次.设X表示3点朝上的次数，则火~・X的概率分布为

0vxv]

0,其它,

札设随机变虽X的概率密度为f（x）=l二亠'则使P{X>a}=P{X

数a=:

5.某一时期在纽约股票交易所登记的全部公司股东所持有的股票利润率服从正态分布.期望值为W.2%,

且具有3.2%的标准差，这些公司股东所持有的股票利润率在15-17.5%之间的概率为。

4、设某人造卫星偏离倾定轨道的距离（米）服从“=0，b=4的正态分布，观测者把偏离值超过10米

时称作“失败二使求5次独立观测中至少有2次“失败”的概率。

5、设X的分布列为：

X

2

-1/2

0

2

4

p

1

1

1

1

1

8

4

8

6

3

求：

（1）X+2：

<2）-X+1；（3）X2的分布列。

6、设随机变址X］与/独立同分布，且已知P（Xj=幻=丄，伙=1,2,3订=1,2）,记随机变址

Y}=max{XpX2}FY2=min（XpX2Jo

求

（1）（YrY2）的联合分布列：

（2）判断片与丫2是否互相独立：

（3）求p（y;+K<3）,p^=y2）o

一fx2+axy,0

7>设（x,Y）的概率密度为f（x,y）=<»亠

I0,其它，

OVx"0分2

其它，

试求

（1）a:

（2）P{X+Y^1}:

（3）X与y是否相互独立？

4x

8、已知（XV）的联合概率密度为/（”』）=・

（1）求关于X和Y的边缘概率密度fx（AA（y）：

⑵判断X与丫是否相互独立：

（3）求P{XNl/2}:

P{Xnl/2,Yni/2}

9、设随机变虽x的概率密度为

I0

f（x）='

0,其它

求函数丫=3XT的概率密度。

第四、五章《随机变■的数字特征与

中心极限定理》练习题

一、单项选择题

1、设X-B（n,p）,且E（X）=2.4,D（X）=1.44,则（）

（A）舁=4,p=0・6；（B）n=6^p=0.4:

（C）舁=&p=0.3:

（D）n=24,p=0.1o

2、设随机变虽x与y满足E（XY）=E（X）E（Y）9则（）

（A）D（XY）=D（X）D（Y）^（B）D（X+Y）=D（X）+D（y）：

（C）x与y独立：

（D）x与丫不独立。

3、随机变虽X服从区间（仏方）上均匀分布，E（X）=l,D（X）=l/3,则区间（a,b）为（）

（A）（0,1）：

（B）（-1,3）：

（C）（0,2）：

（D）（0.5,1.5）«

4、设X］与X?

为两个随机变虽，且D（X1）=5,D（X2）=&£>（X1+X2）=10.则cov（XpX2）=

（）

（A）3/2：

（B）-3/2：

（C）3；（D）一3。

5、设随机变虽X与丫独立同分布，记U=X+Y,V=X-Y・则"与“必（）

（A）独立：

（B）不独立：

（C）不相关：

（D）相关系数不为零。

5、设X的概率密度f（x）=—exp{-则E（2X2-1）=（）

2站8

（A）1：

（B）6：

（C）4：

（D）9。

二、填空题

K设随机变相互独立，且都服从Ngb、而Y=（Xl+X2+Xi）/3.则

Y〜.1-2Y-.

2＞设随机变量X服从参数为彳的泊松分布，且E[（X-1）（X-2）]=1,则兄=,

3、设x与y相互独立，且X~t/（0,2）,Y~t/（2,4）,则E（XY}=D（X-Y）=_。

4、设X服从均值为1/2的抬数分布，则P（X＞jD（X）}=—_。

5、若随机变址X服从区间上的均匀分布，则E（sinX）=-

44

6、一枚锁币连抛1000次.则正面向上的次数大于等于550的概率为o

7、已知ZXXjuZS'ZXyrSd/X'JOuO.b则D（X-Y）=.

8＞设x与y的相关系数pXY=0.9.若Z=X—0.4，则y与z的相关系数为。

9、设E（X）=E（Y）=Q,E（X2）=E（Y2）=2.pXY=0.5,则E[（X+Y）2]=°

10.设随机变址y=[0,X=0,则D（Y）=

一1,XV0,

11>（X,Y）的分布律为

0

1

2

-1

1/10

1/20

7/20

2

3/10

1/10

1/10

则E（X）=■E（Y）=■E（XY）=三、计算及证明题

K某保险公司规定：

如一年中顾客的投保爭件人发生，则赔a元：

经统计一年中4发生的概率为p，若公司期望得到收益的为a/10.则要求顾客交藝少保险费？

（

ax90

bx+c,2

0,其它.

且E（X）=2,P{1

（1）a、b、c

（2）E（eX）.

3.

设（X,Y）在以（0,1）,（1,0），（1,1）为顶点的三角形区域上服从均匀分布，试求D（X+Y）O

5、飞机在第一次飞行后必须进行检修的概率是0・4,在以后的两次飞行中.每一次飞行后其被检修的概率

各増加0・1,求三次飞行后修理次数的数学期望。

《数理统计》练习题

一、单项选择题

1、设总体X-N（ju,（t2）.“未知，而j已知，（X-Xzi'Xn）为一样札

x+x

2、X〜N（0q2）,（X],X”X3，XJ为样木…则统US12=服从的分布为（）

■〜Jx；+xi

（A）N（O,1）：

（B）/2

（2）：

（C）Z

（2）：

（D）F（2,2）n

3、设随机变虽X~N（O,1），而〜满足P{X>ua}=a,若P{|X|vx}=a.则兀=（）

（A）Wa/2:

（B）旳*（C）U^2a:

（D）叽"2。

—1"

4、设总体X的二阶矩存在.（X[,X2，・・・，X〃）为一样木.x=-^x{

n/-I

s：

=££（/•一X）2,则E（X2）的矩估计为（）

11/-I

（Xi,x2,・・・，xn）为一样本

2、设总体X~N（1.4）,（X^X^X.）为样木，X是样木均值，S，为样木方差.则

E（X）=.D（X）=,E$）=

_~X-n

3、设总体X〜"（“,/）•（X^X2Xn）为一样木，X是样木均值。

则U=n

（一）2服从

b

的分布为>

4、设X~N（0,4）,（XpX2,X3）为样木，若婆求[^Xf+b（X2—X3）-]~Z'

（2）,则"=

b=o

5、设总体/在（2&+1）上服从均匀分布，（Xi，X2，・・・，X」为一样木，则&的矩估计为_

三、计算题

1、设总体X~N（1,4）,Xl9X2,X3是x的样本,试求E（XfX；X；）,O（XlX2X3）o

2、设总体X服从方差为4的正态分布.）是一样木.求门使样木均值与总休均值之

差的绝对值不超过0.1的概率不小于0.95：

_1n

3.设总体X~N（4,4）・（X],X2，・・・，Xio）为x的简单随机样木.X=—》Xi为样木均值.

ni-i

s2=—）2为样木方差,

〃一1i

⑴求P{S>2.908}：

⑵若5=2.5,求P{X>6.569].

4、设总体x的概率密度f（x.e）=

1；二0

0,其它.

矩估汁。

一、单项选择题

一章练习题參考解答

1.（D）。

2、（A）o3、（B）o

4、（B）a5、（D）o6、（A）o

7、（C）o

二填空题

K0.72、

2/3,0.8

3、0.64X1-p5.

1/6

6、1/37、

13/18:

1/2

8、C；C?

/C瞎）=21/40。

9、0.94

三、计算题

—曾舄

2、解：

令△二｛抽取的电话号码由完全不相同的数字组成｝,

2xA^2xl04

昨收的电话号码末位数是8｝’则％）=顽・戶（斫时。

3、解:

P（AUBUC）=P（4）+P（B）+P（C）-P（AB）-P（BC）-P（AC）+P（4BC）=5/8

4.解：

令山｛2件中有1件为次品｝,"｛另一件也为次品｝.欲求P（BIA）.

厂2p/AR\I

^io^io尸（A）3

5.解：

设人珂任取一件产品为次品｝.易珂任取一件产品是第i个吃间生产的｝,1=173.

则A=AUB2AU・且BlA,B2A,BiA两两互不相容:

已知P（B]）=0.45,P（B2）=0.35,P（BJ=0.20.

P（A\Bl）=0.05,7^（AI场）=0.04,P（AI=0.02:

①P（A）=P（B]）P（AIB[）+P（B2）P（A\B2）+P（Bi）P（A\Bi）=0.0405:

6、解：

设A=｛第门矢取到一等品｝,Bi=｛取到第i号箱｝.i=l,2,

Al=BlAl\jB2Al,且B,A^BzA,两两互不相容•从而

A{A2=BlAlA2（JB2A{A2,且BlAlA2,B2AlA2两两互不相容，从而

7、解：

以4sB.C分别表示元件A、B、C正常工作之事，由于各元件独立工作.故人、B、C相互独

立，且P（A）=0・90,P（B）=0.70,P（C）=0.70、

所求为P（ABUAC）=P（AB）+P（AC）-P（ABC）

=P（A）P（B）+P（A）P（C）-P（A）P（B）P（C）=0.819

代入P（BIA）=P（BIA）得P（AB）=P（A）P（B）•故A与B相互独立。

随机变■及其分布练习题參考答案

一、单项选择题

1.（C）2、（B）3.（B）4、（A）5、（C）6、（A）7、（C）8.（A）9、（D）。

二、填空题

1、U=_1/6_・方=_5/6_,X的分布为

X

-1

1

2

P

1/6

2/6

1/2

P{-1

3.X~8（10,1/6）,

7>x的分布律为

x的概率分布为P{X=k}=C；°（丄十（号严,«=0,1,…,10.

66

丫的分布律为

Y

1

2

P

1/3

a+b+1/3

8、X与丫的联合分布律为

5、①（2・28）-①（1.5）=0.0555。

6、b=近。

X

1

2

3

p

1/2

a+1/9

b+1/18

z的分布为

mf（x,y）=\2

0,其它.

Z

0

1

P

1-1/2e

1/2e

三、计算题

X

1

2

3

4

p

（43-33）/43

（33-23）/43

（23-l）/43

l/f

解：

X的分布律为

2*

2、解：

令藐点数为x,X~広仇），分布律为P{X=k}=R=O，1,…,

k\

已知P{X=0}=0.4493，故e"=0.4493,2=-In0.4493«0.8，所求为

4，

P{X>4}=l_》P{X=k}=l_0・4493》千

4no*

«0.0091o

3、解：

（1）由归一性得

f+00「1/4\令

I/（x）dx=]、dr=4arcsinxL]=加4=1，所以

一8yjl—X2

A=l/^o

r1/2「1/21

（2）P{IXkl/2}=J_i/2/（x）dx=J_i/2dx=l/3.

（3）

0,xv_l,

F（x）=f（t）dx=

I®兀

1,X>1.

4、解：

设某人造卫星備离预定轨道的距离为X,5次独立观测中“失败”的次数为y.

则X〜N（0,42）,每次观测“失败”的概率为

P{|X|>10}=1-P{IX/41<2.5}=2-20（2・5）=0.0124,

由此得y~B（5,0.0124）.所求概率为

P{Y^2}=1-P{Y=0}-P{Y=1}

=l-（0.9876）5-Cl（0.0124）（0.9876）4«0.0015

5.解⑴

X+2

0

3/2

2

4

6

p

1/8

1/4

1/8

1/6

1/3

-X+l

•3

-1

1

3/2

3

p

1/3

1/6

1/8

1/4

1/8

X2

0

1/4

4

16

p

1/8

1/4

7/24

1/3

6.

（1）

1

2

3

1

1/9

0

0

2

2/9

1/9

0

3

2/9

2/9

1/9

（2）两个边缘分布列为

因为

（3）P（K+均《3）=P（K=1,Y2=1）+P（Y】=1,场=2）+P（K=2,岭=1）=1/3：

P（YX=岭）=P（Yt=1,岭=1）+P（Z=2,丫2=2）+P（Z=3,丫2=3）=1/3°

7、解：

（1）由归一性得

=J：

dxJ（：

（x2+axy）dy=（2x2+2^x）dx=|+«

（2）P{X+VA1}=JJ/（x』）dxdy=J；dxJ：

3+¥）dy=

x+y>1x5IL

（3）加）£小丽屮2+子）T宀牛ogi

[o,其它.

g，

y^4.

随机变■的数字特征与中心极限定理复习自测題解答

一、单项选择题

二、填空题

在f（x,y）的非零区域内/（x,j）#/Y（x）/r（j）5故X与丫不独立.

'2

t、严宀、丄「4xdj=4x\

8、

（1）办（x）=Jf（x,y）dy={J。

y0,其它.

十ff*4xdx=2-2j,0^>^1,

十其它.

（2）在f（x,y）的非零区域内f（x,y）^fx（x）fY（y）,故X与丫不独立。

（3）P{Xnl/2}=JJ/（x,y）dxdy=J：

2呵;4xdy=—：

P{Xnl/2,Ynl/2}=JJf（x9y）dxdy=j^,_drj^4xdj=1/4.X21/2y>1/2

8/证明：

Y的分布函为

7x37a8、0.9

^2e~2xdx=e'a5._0_o6、1-0（710）=0.0007.

io、E（y2）_[E（y）]2=i_（i/3）2=8/9n11%21/20,1/2,_3/20

三、计算及证明题

2、解：

（1）由归一性得『"/（AOdx=J（；ordx+J：

（加+c）dx=加+6方+2r=l：

«400.2M4&/56h令

而E（X）=Jxf（x）dx=x-ardx+Jx（〃x+c）dr=—+^-+6r=2：

P{l

（加+c）dx=辛+*+c

解得a=b=——,c=144

⑵E（『）=J^eV（x）dx=fV・汕+fV（l-扌）dx=Je4-卜+

3、解：

（X,r）的概率密度为/（X,y）=｛：

晕;

E（X+F）=f^°f+<30（x+j）/（x,j）drdj

J—00J—00

=IodxIiL（X+J）2dj=fo（x2+2x）dx=5

E[（X+y）2]=J（：

dxJ：

（X+刃22%=屠[（x+l）3_i皿=#

D（X+Y）=E[（X+Y）2]_[E（X+Y）]2

4、解：

=+j）dy=7/12,

E（X2）=J（：

dxJ：

x2（x+y）dy=5/12,D（X）=E（X2）-[E（X）]2=11/144:

由对称性得E（Y）=君，。

（丫）=昔：

而E（XY）=j*drjj