等比数列基础习题选附详细解答.docx
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等比数列基础习题选附详细解答
等比数列基础习题选（附详细解答）
一．选择题（共27小题）
1．已知{an}是等比数列，a2=2，a5=
，则公比q=（ ）
A．
B．
﹣2
C．
2
D．
2．在等比数列{an}中，a1=1，a10=3，则a2a3a4a5a6a7a8a9=（ ）
A．
81
B．
27
C．
D．
243
3．如果﹣1，a，b，c，﹣9成等比数列，那么（ ）
A．
b=3，ac=9
B．
b=﹣3，ac=9
C．
b=3，ac=﹣9
D．
b=﹣3，ac=﹣9
4．已知数列1，a1，a2，4成等差数列，1，b1，b2，b3，4成等比数列，则
的值是（ ）
A．
B．
﹣
C．
或﹣
D．
5．正项等比数列{an}满足a2a4=1，S3=13，bn=log3an，则数列{bn}的前10项和是（ ）
A．
65
B．
﹣65
C．
25
D．
﹣25
6．等比数列{an}中，a6+a2=34，a6﹣a2=30，那么a4等于（ ）
A．
8
B．
16
C．
±8
D．
±16
9．（2012北京）已知{an}为等比数列，下面结论中正确的是（ ）
A．
a1+a3≥2a2
B．
C．
若a1=a3，则a1=a2
D．
若a3＞a1，则a4＞a2
10．（2011辽宁）若等比数列an满足anan+1=16n，则公比为（ ）
A．
2
B．
4
C．
8
D．
16
11．（2010江西）等比数列{an}中，|a1|=1，a5=﹣8a2，a5＞a2，则an=（ ）
A．
（﹣2）n﹣1
B．
﹣（﹣2n﹣1）
C．
（﹣2）n
D．
﹣（﹣2）n
12．已知等比数列{an}中，a6﹣2a3=2，a5﹣2a2=1，则等比数列{an}的公比是（ ）
A．
﹣1
B．
2
C．
3
D．
4
13．正项等比数列{an}中，a2a5=10，则lga3+lga4=（ ）
A．
﹣1
B．
1
C．
2
D．
0
14．在等比数列{bn}中，b3b9=9，则b6的值为（ ）
A．
3
B．
±3
C．
﹣3
D．
9
15．（文）在等比数列{an}中，
，则tan（a1a4a9）=（ ）
A．
B．
C．
D．
16．若等比数列{an}满足a4+a8=﹣3，则a6（a2+2a6+a10）=（ ）
A．
9
B．
6
C．
3
D．
﹣3
17．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若
=3，则
=（ ）
A．
B．
C．
D．
1
18．在等比数列{an}中，an＞0，a2=1﹣a1，a4=9﹣a3，则a4+a5=（ ）
A．
16
B．
27
C．
36
D．
81
19．在等比数列{an}中a2=3，则a1a2a3=（ ）
A．
81
B．
27
C．
22
D．
9
20．等比数列{an}各项均为正数且a4a7+a5a6=16，log2a1+log2a2+…+log2a10=（ ）
A．
15
B．
10
C．
12
D．
4+log25
21．等比数列{an}中a4，a8是方程x2+3x+2=0的两根，则a5a6a7=（ ）
A．
8
B．
±2
C．
﹣2
D．
2
22．在等比数列{an}中，若a3a4a5a6a7=243，则
的值为（ ）
A．
9
B．
6
C．
3
D．
2
23．在3和9之间插入两个正数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则这两个数的和是（ ）
A．
B．
C．
D．
24．已知等比数列1，a2，9，…，则该等比数列的公比为（ ）
A．
3或﹣3
B．
3或
C．
3
D．
25．（2011江西）已知数列{an}的前n项和sn满足：
sn+sm=sn+m，且a1=1，那么a10=（ ）
A．
1
B．
9
C．
10
D．
55
26．在等比数列{an}中，前7项和S7=16，又a12+a22+…+a72=128，则a1﹣a2+a3﹣a4+a5﹣a6+a7=（ ）
A．
8
B．
C．
6
D．
27．等比数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，若4a1，2a2，a3成等差数列，则S4=（ ）
A．
7
B．
8
C．
16
D．
15
二．填空题（共3小题）
28．已知数列{an}中，a1=1，an=2an﹣1+3，则此数列的一个通项公式是 _________ ．
29．数列
的前n项之和是 _________ ．
30．等比数列{an}的首项a1=﹣1，前n项和为Sn，若
，则公比q等于 _________ ．
参考答案与试题解析
一．选择题（共27小题）
1．（2008浙江）已知{an}是等比数列，a2=2，a5=
，则公比q=（ ）
A．
B．
﹣2
C．
2
D．
考点：
等比数列．
专题：
计算题．
分析：
根据等比数列所给的两项，写出两者的关系，第五项等于第二项与公比的三次方的乘积，代入数字，求出公比的三次方，开方即可得到结果．
解答：
解：
∵{an}是等比数列，a2=2，a5=
，
设出等比数列的公比是q，
∴a5=a2q3，
∴
=
=
，
∴q=
，
故选D
点评：
本题考查等比数列的基本量之间的关系，若已知等比数列的两项，则等比数列的所有量都可以求出，只要简单数字运算时不出错，问题可解．
2．（2006湖北）在等比数列{an}中，a1=1，a10=3，则a2a3a4a5a6a7a8a9=（ ）
A．
81
B．
27
C．
D．
243
考点：
等比数列．
分析：
由等比数列的性质知（a2a9）=（a3a8）=（a4a7）=（a5a6）=（a1a10）．
解答：
解：
因为数列{an}是等比数列，且a1=1，a10=3，
所以a2a3a4a5a6a7a8a9=（a2a9）（a3a8）（a4a7）（a5a6）=（a1a10）4=34=81，
故选A
点评：
本题主要考查等比数列的性质．
3．（2006北京）如果﹣1，a，b，c，﹣9成等比数列，那么（ ）
A．
b=3，ac=9
B．
b=﹣3，ac=9
C．
b=3，ac=﹣9
D．
b=﹣3，ac=﹣9
考点：
等比数列．
分析：
由等比数列的等比中项来求解．
解答：
解：
由等比数列的性质可得ac=（﹣1）×（﹣9）=9，
b×b=9且b与奇数项的符号相同，
∴b=﹣3，
故选B
点评：
本题主要考查等比数列的等比中项的应用．
4．已知数列1，a1，a2，4成等差数列，1，b1，b2，b3，4成等比数列，则
的值是（ ）
A．
B．
﹣
C．
或﹣
D．
考点：
等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．
专题：
计算题．
分析：
由1，a1，a2，4成等差数列，利用等差数列的性质求出等差d的值，进而得到a2﹣a1的值，然后由1，b1，b2，b3，4成等比数列，求出b2的值，分别代入所求的式子中即可求出值．
解答：
解：
∵1，a1，a2，4成等差数列，
∴3d=4﹣1=3，即d=1，
∴a2﹣a1=d=1，
又1，b1，b2，b3，4成等比数列，
∴b22=b1b3=1×4=4，解得b2=±2，
又b12=b2＞0，∴b2=2，
则
=
．
故选A
点评：
本题以数列为载体，考查了等比数列的性质，以及等差数列的性质，熟练掌握等比、等差数列的性质是解本题的关键，等比数列问题中符号的判断是易错点
5．正项等比数列{an}满足a2a4=1，S3=13，bn=log3an，则数列{bn}的前10项和是（ ）
A．
65
B．
﹣65
C．
25
D．
﹣25
考点：
等差数列的前n项和；等比数列的通项公式．
专题：
计算题．
分析：
由题意可得
=a2a4=1，解得a3=1，由S3=13可得a1+a2=12，，则有a1q2=1，a1+a1q=12，解得q和a1的值，
由此得到an的解析式，从而得到bn的解析式，由等差数列的求和公式求出它的前10项和．
解答：
解：
∵正项等比数列{an}满足a2a4=1，S3=13，bn=log3an，
∴
=a2a4=1，解得a3=1．
由a1+a2+a3=13，可得a1+a2=12．
设公比为q，则有a1q2=1，a1+a1q=12，解得q=
，a1=9．
故an=9×
=33﹣n．
故bn=log3an=3﹣n，则数列{bn}是等差数列，它的前10项和是
=﹣25，
故选D．
点评：
本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，等差数列的前n项和公式的应用，求出an=33﹣n，是解题的关键，属于基础题．
6．等比数列{an}中，a6+a2=34，a6﹣a2=30，那么a4等于（ ）
A．
8
B．
16
C．
±8
D．
±16
考点：
等比数列的通项公式．
专题：
计算题．
分析：
要求a4，就要知道等比数列的通项公式，所以根据已知的两个等式左右两边相加得到a6，左右两边相减得到a2，根据等比数列的性质列出两个关于首项和公比的关系式，联立求出a和q，得到等比数列的通项公式，令n=4即可得到．
解答：
解：
设此等比数列的首项为a，公比为q，
由a6+a2=34，a6﹣a2=30两个等式相加得到2a6=64，解得a6=32；两个等式相减得到2a2=4，解得a2=2．
根据等比数列的通项公式可得a6=aq5=32①，a2=aq=2②，把②代入①得q4=16，所以q=2，代入②解得a=1，
所以等比数列的通项公式an=2n﹣1，则a4=23=8．
故选A
点评：
此题要求学生灵活运用等比数列的性质解决数学问题，会根据条件找出等比数列的通项公式．本题的关键是根据题中的已知条件得到数列的a2和a6．
7．已知数列{an}满足
，其中λ为实常数，则数列{an}（ ）
A．
不可能是等差数列，也不可能是等比数列
B．
不可能是等差数列，但可能是等比数列
C．
可能是等差数列，但不可能是等比数列
D．
可能是等差数列，也可能是等比数列
考点：
等差关系的确定；等比关系的确定．
专题：
等差数列与等比数列．
分析：
由于
=n2+n﹣λ，而n2+n﹣λ不是固定的常数，不满足等比数列的定义．若是等差数列，则由a1+a3=2a2，解得λ=3，此时，
，显然，不满足等差数列的定义，从而得出结论．
解答：
解：
由
可得
=n2+n﹣λ，由于n2+n﹣λ不是固定的常数，故数列不可能是等比数列．
若数列是等差数列，则应有a1+a3=2a2，解得λ=3．
此时，
，显然，此数列不是等差数列，
故选A．
点评：
本题主要考查等差关系的确定、等比关系的确定，属于中档题．
8．已知数列{an}的前n项和为Sn，若对于任意n∈N*，点Pn（n，Sn）都在直线y=3x+2上，则数列{an}（ ）
A．
是等差数列不是等比数列
B．
是等比数列不是等差数列
C．
是常数列
D．
既不是等差数列也不是等比数列
考点：
等比关系的确定；等差关系的确定．
专题：
计算题．
分析：
由点Pn（n，Sn）都在直线y=3x+2上，可得Sn=3n+2，再利用an=Sn﹣Sn﹣1求解．
解答：
解：
由题意，∵点Pn（n，Sn）都在直线y=3x+2上
∴Sn=3n+2
当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=3
当n=1时，a1=5
∴数列{an}既不是等差数列也不是等比数列
故选D
点评：
本题的考点是等比关系的确定，主要考查由前n项和求数列的通项问题，关键是利用前n项和与通项的关系．
9．（2012北京）已知{an}为等比数列，下面结论中正确的是（ ）
A．
a1+a3≥2a2
B．
C．
若a1=a3，则a1=a2
D．
若a3＞a1，则a4＞a2
考点：
等比数列的性质．
专题：
探究型．
分析：
a1+a3=
，当且仅当a2，q同为正时，a1+a3≥2a2成立；
，所以
；若a1=a3，则a1=a1q2，从而可知a1=a2或a1=﹣a2；若a3＞a1，则a1q2＞a1，而a4﹣a2=a1q（q2﹣1），其正负由q的符号确定，故可得结论．
解答：
解：
设等比数列的公比为q，则a1+a3=
，当且仅当a2，q同为正时，a1+a3≥2a2成立，故A不正确；
，∴
，故B正确；
若a1=a3，则a1=a1q2，∴q2=1，∴q=±1，∴a1=a2或a1=﹣a2，故C不正确；
若a3＞a1，则a1q2＞a1，∴a4﹣a2=a1q（q2﹣1），其正负由q的符号确定，故D不正确
故选B．
点评：
本题主要考查了等比数列的性质．属基础题．
10．（2011辽宁）若等比数列an满足anan+1=16n，则公比为（ ）
A．
2
B．
4
C．
8
D．
16
考点：
等比数列的性质．
专题：
计算题．
分析：
令n=1，得到第1项与第2项的积为16，记作①，令n=2，得到第2项与第3项的积为256，记作②，然后利用②÷①，利用等比数列的通项公式得到关于q的方程，求出方程的解即可得到q的值，然后把q的值代入经过检验得到满足题意的q的值即可．
解答：
解：
当n=1时，a1a2=16①；当n=2时，a2a3=256②，
②÷①得：
=16，即q2=16，解得q=4或q=﹣4，
当q=﹣4时，由①得：
a12×（﹣4）=16，即a12=﹣4，无解，所以q=﹣4舍去，
则公比q=4．
故选B
点评：
此题考查学生掌握等比数列的性质，灵活运用等比数列的通项公式化简求值，是一道基础题．学生在求出q的值后，要经过判断得到满足题意的q的值，即把q=﹣4舍去．
11．（2010江西）等比数列{an}中，|a1|=1，a5=﹣8a2，a5＞a2，则an=（ ）
A．
（﹣2）n﹣1
B．
﹣（﹣2n﹣1）
C．
（﹣2）n
D．
﹣（﹣2）n
考点：
等比数列的性质．
专题：
计算题．
分析：
根据等比数列的性质，由a5=﹣8a2得到
等于q3，求出公比q的值，然后由a5＞a2，利用等比数列的通项公式得到a1大于0，化简已知|a1|=1，得到a1的值，根据首项和公比利用等比数列的通项公式得到an的值即可．
解答：
解：
由a5=﹣8a2，得到
=q3=﹣8，解得q=﹣2，
又a5＞a2，得到16a1＞﹣2a1，解得a1＞0，所以|a1|=a1=1
则an=a1qn﹣1=（﹣2）n﹣1
故选A
点评：
此题考查学生灵活运用等比数列的性质及前n项和的公式化简求值，是一道中档题．
12．已知等比数列{an}中，a6﹣2a3=2，a5﹣2a2=1，则等比数列{an}的公比是（ ）
A．
﹣1
B．
2
C．
3
D．
4
考点：
等比数列的性质．
专题：
计算题．
分析：
根据等比数列的通项公式化简已知的两等式，得到关于首项和公比的两个方程，分别记作①和②，把①提取q后，得到的方程记作③，把②代入③即可求出q的值．
解答：
解：
由a6﹣2a3=2，a5﹣2a2=1得：
，
由①得：
q（a1q4﹣2a1q）=2③，
把②代入③得：
q=2．
故选B
点评：
此题考查学生灵活运用等比数列的通项公式化简求值，掌握等比数列的性质，是一道基础题．
13．正项等比数列{an}中，a2a5=10，则lga3+lga4=（ ）
A．
﹣1
B．
1
C．
2
D．
0
考点：
等比数列的性质．
专题：
计算题．
分析：
等比数列的定义和性质，得到a3a4=10，故有lga3+lga4=lga3a4=lg10=1．
解答：
解：
∵正项等比数列{an}中，a2a5=10，∴a3a4=10，∴lga3+lga4=lga3a4=lg10=1，
故选B．
点评：
本题考查等比数列的定义和性质，得到a3a4=10，是解题的关键．
14．在等比数列{bn}中，b3b9=9，则b6的值为（ ）
A．
3
B．
±3
C．
﹣3
D．
9
考点：
等比数列的性质．
专题：
计算题．
分析：
在等比数列{bn}中，由b3b9=b62=9，能求出b6的值．
解答：
解：
∵在等比数列{bn}中，
b3b9=b62=9，
∴b6=±3．
故选B．
点评：
本题考查等比数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．
15．（文）在等比数列{an}中，
，则tan（a1a4a9）=（ ）
A．
B．
C．
D．
考点：
等比数列的性质．
分析：
由
，根据等比数列{an}的通项公式得a1a4a9=
，再结合三角函数的性质可求出tan（a1a4a9）的值．
解答：
解：
∵
，
∴a1a4a9=
，
∴tan（a1a4a9）=
．
故选B．
点评：
本题考查等比数列的性质和应用，解题时要注意三角函数的等价转换．
16．若等比数列{an}满足a4+a8=﹣3，则a6（a2+2a6+a10）=（ ）
A．
9
B．
6
C．
3
D．
﹣3
考点：
等比数列的性质．
专题：
计算题．
分析：
根据等比数列的性质若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有aman=apaq可得a6（a2+2a6+a10）=（a4+a8）2，进而得到答案．
解答：
解：
由题意可得：
在等比数列{an}中，若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有aman=apaq．
因为a6（a2+2a6+a10）=a6a2+2a6a6+a10a6，
所以a6a2+2a6a6+a10a6=（a4+a8）2=9．
故选A．
点评：
解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的通过性质，并且结合正确的运算，一般以选择题的形式出现．
17．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若
=3，则
=（ ）
A．
B．
C．
D．
1
考点：
等比数列的性质．
专题：
计算题．
分析：
首先根据等比数列的前n项和对
=3进行化简，求出q3，进而即可求出结果．
解答：
解：
∵
=3，
∴
整理得，1+q3=2，
∴q3=2
∴
=
故选B．
点评：
本题考查了等比数列的关系，注意在题中把q3当作未知数，会简化运算．
18．在等比数列{an}中，an＞0，a2=1﹣a1，a4=9﹣a3，则a4+a5=（ ）
A．
16
B．
27
C．
36
D．
81
考点：
等比数列的性质．
专题：
计算题．
分析：
首先根据等比数列的性质求出q=3和a1=的值，然后代入a4+a5=a1q3+a1q4=即可求出结果．
解答：
解：
∵a2=1﹣a1，a4=9﹣a3∴a1q+a1=1①a1q3+a1q2=9②
两式相除得，q=±3
∵an＞0
∴q=3a1=
∴a4+a5=a1q3+a1q4=27
故选B．
点评：
本题考查了等比数列的性质，熟练掌握性质是解题的关键，属于基础题．
19．在等比数列{an}中a2=3，则a1a2a3=（ ）
A．
81
B．
27
C．
22
D．
9
考点：
等比数列的性质．
专题：
计算题．
分析：
由等比数列的性质可得：
a1a2a3=a23，结合题意即可得到答案．
解答：
解：
由等比数列的性质可得：
a1a2a3=a23，
因为a2=3，所以a1a2a3=a23=27．
故选B．
点评：
本题考查了等比数列的性质，解题的关键a1an=a2an﹣1=…=akan﹣k，属于中档题．
20．等比数列{an}各项均为正数且a4a7+a5a6=16，log2a1+log2a2+…+log2a10=（ ）
A．
15
B．
10
C．
12
D．
4+log25
考点：
等比数列的性质．
专题：
计算题．
分析：
先用等比数列{an}各项均为正数，结合等比数列的性质，可得a1a10=a2a9=a3a8=a4a7=a5a6＞0，从而a1a2a3…a9a10=
（a5a6）5，然后用对数的运算性质进行化简求值，可得正确选项．
解答：
解：
∵等比数列{an}各项均为正数
∴a1a10=a2a9=a3a8=a4a7=a5a6＞0
∵a4a7+a5a6=16
∴a5a6=a4a7=8
根据对数的运算性质，得
log2a1+log2a2+…+log2a10=log2（a1a2a3…a9a10）=log2（a5a6）5=log2（8）5=15
∵（8）5=（23）5=215
∴log2（8）5=log2215=15
故选A
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