垂直于弦的直径必平分弦对吗.docx
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垂直于弦的直径必平分弦对吗
垂直于弦的直径必平分弦对吗
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垂直于弦的直径必平分弦对吗
这是垂直于弦的直径必平分弦对吗，是优秀的数学教案文章，供老师家长们参考学习。
垂直于弦的直径必平分弦对吗第1篇
各位老师大家好，今天我说课的内容是义务教材人教版初中九年级上第24章中“垂直于弦的直径”一节。
下面我从教材分析、教学策略、学法指导、教学程序、板书设计五个方面对本课的设计进行说明。
一、教材分析（说教材）
1、教材所处的地位和作用
本节内容是圆性质的重要体现，是圆轴对称性的具体化。
也是今后证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据。
同时也为进行圆的计算和作图提供了方法和依据。
所以它在教材中处于很重要的地位。
对圆的后续学习起到了奠基作用。
另外，本节课通过“实验—观察—猜想—合作交流—证明”的途径可以培养学生的动手能力、观察能力、分析、归纳以及与人合作交流的能力。
同时利用圆的轴对称性激发学生学习数学的兴趣，可以对学生进行数学美的教育。
因此，这节课无论从知识上还是从学生能力的培养及情感教育方面都起着十分重要的作用。
2、教学目标
（1）知识与技能：
理解圆的轴对称性；掌握垂径定理；学会运用垂径定理解决有关的证明、计算和作图问题。
培养学生的观察能力、分析能力及联想能力。
（2）过程与方法：
教师创设问题情景，激发学生的求知欲望；学生在教师的引导下进行自主探索、合作交流，收获新知；通过分组训练，深化新知，共同感受收获的喜悦。
（3）情感态度与价值观：
能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心与求知欲；体验数学活动充满着探索与创造，认识通过观察、实验、归纳、推断可以获得数学猜想。
3、重点、难点以及确定的依据
通过教材分析，我们看到“垂径定理”在教材中起着重要作用，是今后解决有关计算、证明和有关作图问题的重要依据，因此本节课的教学重点是“垂径定理及其应用”。
由于垂径定理的题设与结论比较复杂，很容易混淆遗漏，所以对垂径定理的题设与结论的区分是本节难点之一。
同时，对定理的证明方法“叠合法”学生不常用到，是本节又一难点。
因此本节课的教学难点是“对垂径定理题设与结论的区分及定理的证明方法”。
二、教学策略（说教法）
如何选择合理的教学方法，恰当的处理教材，突出重点、突破难点，从而实现教学目标，我在教学过程中拟计划如下操作。
1、教学过程中选用“引导发现法”和“直观演示法”。
让学生在课堂上多活动、多观察、多合作、多交流，主动参与到整个教学活动中来，组织学生参与“实验—观察—猜想—证明”的活动，最后得出定理。
2、教学过程中充分利用教具和投影仪，提高教学效果。
在实验演示、操作、观察、练习等师生的共同活动中启发学生，让每个学生动手、动口、动眼、动脑，培养学生的直觉思维能力。
3、教学活动中我还注重用不同颜色的对比来启发学生，增强视觉冲击力，提高学生学习的兴趣。
关于教材处理：
1、对于圆的轴对称性及垂径定理的发现、证明，采用师生共同演示的方法。
2、例1讲完后，总结出辅助线作法的七字口诀“半径半弦弦心距”得直角三角形中三边的关系式r2=d2+（）2,注意前后知识的链接，将例2作为例1的延伸，设法将实际问题转化为数学问题，结合代数方法求解。
3、课本p88页练习要求学生课堂完成。
P95页部分题课后完成。
三、学法指导
通过本节课的教学，我应引导学生学会观察、归纳的学习方法。
培养学生的想象力，充分调动学生自己动手、动脑，引导他们自己分析、讨论、得出结论，鼓励他们合作交流。
四、教学程序
课堂结构：
复习提问、引入新课、讲授新课、定理的应用、巩固练习、课堂小结、布置作业七个环节。
1、复习提问—创设情景
教师演示动画：
将一等腰三角形对折，启发学生共同回忆等腰三角形是轴对称图形，复习轴对称图形的相关概念，并提出问题：
如果以这个等腰三角形的顶点为圆心，腰长为半径作圆，得到的圆是否是轴对称图形呢？
这样了解了学生的认知基础，带领学生做好学习新课的知识准备并逐步引入新课。
2、引入新课—揭示课题
在引入新课的同时，运用教具与学具（学生课前自制的圆形纸片）演示，让每个学生都动手实验、观察。
通过实验，引导学生得出结论：
板书：
（1）圆是轴对称图形
（2）任何一条直径所在的直线（注：
不能说直径）都是它的对称轴（3）圆的对称轴有无数条（出示教具演示）。
然后再请同学们在自己作的图中作图：
（1）任作一弦AB，
（2）过圆心作AB的垂线得直径CD且交AB与点E。
（出示教具演示）。
引导学生分析直径CD与弦AB的垂直关系，说明CD是垂直于弦的直径，并设问：
它除了上述的性质外，是否还有其它的性质呢？
这样就很自然的`导出本节课的课题，此时板书课题--垂直于弦的直径，这样通过全体学生参与实验，逐步导出新课。
3、讲解新课—探求新知
（1）探索垂径定理
首先让学生实验，观察并得出猜想，然后引导学生分析上述猜想的条件和结论，并将文字语言转化成符号语言，写出已知、求证，为分清定理的题设和结论作好铺垫，从而得到解决难点的目的。
接下来再对学生引导分析，让学生合作讨论、展示成果。
最后教师共同演示，验证猜想的正确性，同时利用动画得出证明方法，从而解决本节的又一难点—叠合法的证明方法。
此时再板书垂径定理的内容。
垂径定理垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧
定理注解①该定理中的直径也可理解为过圆心的直线，即：
如果一条直线过圆心且垂直于一条弦，那么这条直线平分弦，且平分弦所对的两条弧。
条件中的“垂”与“径”缺一不可，结论中的“两条弧”指弦所对的优弧和劣弧。
②该定理用数学符号语言表达为：
因为CD是直径，CD⊥AB,所以AE=BE,弧AC=弧BC,弧AD=弧BD③该定理可理解为：
若一条直线具有两条性质a、过圆心b、垂直于一条弦，则此直线具有另外三条性质c、平分此弦d、平分此弦所对的劣弧e、平分此弦所对的优弧。
加深对定理的理解，突出重点，分散难点，避免学生记混。
试一试：
你能平分一条已知弧吗？
先独立尝试，后全体交流。
（2）定理变式
教师出示图思考：
AB是⊙O的弦（不是直径），作一条平分AB的直径CD交AB于点E，你能发现图中有哪些等量关系？
说明理由。
鼓励学生独立探索，然后互相交流得出结论。
鼓励有能力的学生书写证明过程。
板书：
垂径定理的逆定理平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
强调：
括号中的条件不可丢，由于两条直径总是互相平分的，而互相平分的两条直径不一定垂直。
学生采用类比法分组讨论本定理的题设与结论、证明方法。
师生共同评定。
强调：
区别记忆定理及逆定理。
4、定理的应用
为了及时巩固，帮助学生对所学定理的理解与使用，讲完定理及变式后，我依据学生的实际情况设计了题组训练一和两个例题。
5、巩固练习—测评反馈
为了检验学生对本课教学目标的达成情况，进一步加强定理的应用训练，我设计了反馈题组训练二，针对学生解答情况，及时查漏补缺。
6、课堂小结—深化提高
至此，估计学生基本能够掌握定理，达到预定目标。
（1）利用提问形式，师生共同小结垂径定理及其逆定理，以及解题技巧。
（2）教师加深点化：
下列五点①直线过圆心②直线垂直于弦③直线平分弦（不是直径）④直线平分所对的劣弧⑤直线平分所对的优弧。
只要把其中的两点作为条件，另外三点作为结论，构造的命题都是真命题。
供学生课后探讨。
7、布置作业
目的在于检验学生对本节内容的理解和运用程度以及实际接受情况，并促使学生进一步巩固和掌握所学的内容，我综合学生的实际情况，为了更好的因材施教，我的作业分为必做题与选做题。
目的是调动学生学习积极性，提高学生思维的广度，培养学生良好的学习习惯及思维品质，让学有余力的学生进一步提高。
题组训练三及选做题。
五、板书设计
为了使本节课更具理论性，逻辑性，我将板书设计为三部分：
第一部分为圆的轴对称性，第二部分为垂径定理及其逆定理，第三部分为测评反馈区（学生板演区）。
附：
例1、如图在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径。
AB
说明：
此题为基础题目，对各个层次的学生都要求独立完成．总结出辅助线作法的七字口诀“半径半弦弦心距”，构造“直角三角形”模型，以后经常用到。
例2、1300年前，我国隋朝建造的赵州石拱桥是圆弧形，它的跨度（即弧所对的弦长）为37.4米，拱高（即弧的中点到弦的距离）为7.2米，求桥拱所在圆的半径（结果精确到0.1米）。
C
ADB
O
说明：
学生独立完成，老师指导解题方法和步骤；①对学生进行爱国主义的教育；②本题是垂径定理的应用，解题过程中使用了列方程方法，向学生渗透用代数方法解决几何问题的思想。
解题思路：
实际问题——（转化，构造直角三角形）——数学问题．③应用垂径定理计算：
涉及四条线段的长：
弦长a、圆半径r、弦心距d、弓形高h，关系：
r=h+d；r2=d2+（）2
讲完例题后指导学生归纳：
在圆中解决弦的有关问题经常作的辅助线——弦心距.构造垂径定理的基本图形，垂径定理和勾股定理的结合是计算弦长、半径、弦心距等问题的常用方法；
题组训练一判断正误
（1）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的弧。
（）
（2）垂直于弦的直径平分弦。
（）
（3）圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平分。
（）
（4）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
（）
（5）圆内两条非直径的弦不能互相平分。
（）
题组训练二
1、P95第7题（较简单，过O作AB的垂线，垂足为E，证得AC=BD）
2、如果圆的两条弦互相平形，那么这两条弦所夹的弧相等吗？
为什么？
（提示：
符合条件的图形有三种情况：
圆心在平行弦外；在其中一条弦上；在平行弦内，但说理思路一样。
思路为：
作出垂直于弦的直径，利用垂径定理得两组弧分别相等，利用“等量减等量差相等”可证得）
3、P88第2题（要求学生综合运用所学知识解决问题，考查了学生分析问题、解决问题以及推理的能力）
题组训练三
1、P95第8题说明：
①此题主要是渗透分类思想，具体情况全面分析，不能遗漏任何一种情况，培养学生的严密性思维和解题方法：
确定图形——分析图形——数形结合——解决问题；②培养学生作辅助线的方法和能力．
2、P95第9题如图，一条公路的转弯出是一段圆弧（即图中的弧AB，点O是弧AB的圆心）其中AB=300m,C为弧AB上一点，且OC⊥AB，垂足为点D，CD=45m，求这段弯路的半径。
（解题思路于类似例2）
A
C
B
3、如图点M为⊙O内一点，利用尺规作一条弦AB,使AB过点M，并且AM=BM。
4、如图把破残的圆片复制完整。
选做题：
第95页12、13题。
垂直于弦的直径必平分弦对吗第2篇
垂直于弦的直径是人教版九年级《数学》上册第二十四章第二节的教学内容，简称为垂径定理，它是在学生学习了轴对称图形、等腰三角形、直角三角形和圆的有关概念的基础上进行教学的.垂径定理是圆众多知识中的一个重要的性质，利用垂径定理可以简化线段的计算、线段相等的证明以及弧相等的证明，等等.
垂径定理的内容是：
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧，其中主要涉及三个量，分别为：
直径、弦和弦心距.根据这个定理，我们可以得到两个推论，推论一：
平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧；推论二：
弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的弧.
有关垂径定理的应用，主要有以下几个方面：
一、利用定理求解圆的半径
例1如图1所示，在圆O中，圆心到弦AB的距离OD为4cm，且弦AB=10cm，求圆O的半径.
解如图所示：
在圆O中连接OA，所以，AOD为直角三角形.又因为弦AB=10，所以，根据垂径定理可得：
AD=BD=5cm.
即在RtAOD中，由勾股定理可得：
OA2=OD2+AD2=42+52=41，
可得OA=■（cm）.
即求得圆O的半径r=■（cm）.
评注：
在利用垂径定理解题时，主要有三种类型的题目：
①已知弦长和弦心距，求圆的半径，正如例1所示.
②已知弦长和圆的半径，求弦心距的长度.
③已知圆的半径和弦心距，求圆的弦长.
在这三种情况下，无论出现哪种题型，我们主要是首先利用垂径定理，得到平分弦，然后再利用在直角三角形中地勾股定理，即可求解问题.在某些情况下，有的问题是这三种情况的综合，所以，在求解这类题目的时候，一定要严格细心地观察题目，最后利用所学知识进行求解.
二、利用定理求解面积
例2如图2所示，在圆O和圆Q中，其中圆Q中长为16cm的弦AB平行于直径CD且与圆O相切，求圆Q的面积减去圆O的面积.
解观察题目可知，连接QB=R，分别从点O和点Q向弦AB作垂线，垂足分别为点P和点M，又因为AB∥CD，所以，r=OP=QM.
根据垂径定理可知，AM=BM=■AB=8cm，在RtQBM中，根据勾股定理可得MB2=QB2-QM2=QB2-OP2.
又因为所求的面积S为：
S=π（R2-r2）=π（QB2-OP2）=π（QB2-QM2）
=πMB2=82π=64π，
故所求的面积S为64π.
评注：
本题主要是借助切线与半径的垂直关系以及垂径与弦的垂直关系，把两个圆的半径转化到同一个直角三角形中，然后简洁地求出所要求得面积.以此题为例，讲了一种利用垂径定理求解其他关于面积、周长等问题，解决这类问题的前提是熟练地掌握垂径定理以及和本题有关的知识，然后综合两者清晰分析出解决此问题的方法，最后进行求解.
三、利用垂径定理进行探究性研究
例3如图3所示，AB是圆O的弦，其中OC，OD为它的弦，并且它们分别交弦AB于E，F两点，有AE=BF.现在请你找出线段OE与OF的数量关系，并给出证明.
解OE和OF的关系为：
OE=OF，
具体证明过程如下：
过圆心O向弦AB作垂线，垂足为点M，则由垂径定理可知AM=MB，又因为题目中所给条件AE=BF，所以有
EM=AM-AE=MB-BF=MF
（1）
成立.
又因为EMO和FMO都为直角三角形，所以，根据勾股定理可知，在RtEMO中，OE2=OM2+EM2.
同理可得OF2=OM2+FM2.
根据
（1）式可得OE=OF.故结论得证.
评注：
在本例中，题目中所给的条件是线段间的等量关系，以及相关的图形信息，最终要求我们去探究线段之间的数量关系.在求解这样的问题时，我们往往需要作辅助线，然后构造出垂径定理的相关条件及结果，最后利用勾股定理等等理论探究出OF和OE之间的数量关系.这种类型的题目充分地展现了垂径定理在解决探究性问题中的作用，这应该引起我们重视及关注.
四、利用垂径定理确定圆心
例4如图4所示，要把破残的圆片复制完整，已知弧上三点A，B，C.
（1）用尺规作图法，找出弧BAC所在圆的圆心O；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）设ABC为等腰三角形，底边BC=10cm，腰AB=6cm，求圆片的半径R；（结果保留根号）
（3）若在
（2）题中的R满足n 解
（1）作法：
作AB，AC的垂直平分线，标出圆心O.
如图（5）所示.
（2）（3）略.
综上可知，垂径定理在初中阶段的用处是十分广泛的，其地位也是十分重要的，它的重要性不仅仅表现在圆的领域中求解半径、弦心距和弦的长，更重要的是在于和其他知识相结合，以及和现实生活相结合，这样更能够体现出“学以致用”的教学理念.
垂直于弦的直径必平分弦对吗第3篇
1、说教材的地位和作用：
本节内容结合研究圆的轴对称性，得到了垂径定理及有关的结论，其定理及其推论反映了圆的重要性质，是今后证明线段、角相等，以及垂直关系的重要依据，同时也为有关圆的一些计算和作图问题提供了方法和依据。
又为以后学习解决实际问题奠定了基础，所以它在教材中处于非常重要的地位。
同时这节课还培养了学生的运算能力，逻辑推理能力、抽象思维能力，创造能力，对培养学生探索精神和创新意识都有非常重要意义。
二、说教学目标
1、知识与技能目标
（1）、经历探索圆的轴对称性及相关的性质的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法：
（2）、理解并撑握垂经定理，并能利用它解决一些实际问题；
2、过程与方法
（1）、通过对垂径定理的证明，使学生了解分步骤，由浅入深的证明数学命题的思想方法，从而提高学生分析问题，解决问题的能力。
（2）、通过把实际问题抽象成数学问题，培养学生的数学建模能力，同时也培养了学生的创新意识和创新能力。
3、情感态度与价值观
（1）、通过实际问题转化为数学问题，培养学生勇于探索，锲而不舍的精神。
（2）、通过对赵州桥的介绍，培养学生的自豪感。
（3）、把解圆中的有关弦的半径，弓高等计算问题转化为解直角三角形，渗透了辩证唯物主义思想。
三，说重难点
（1）、教学重点
a、理解圆的轴对称性并掌握垂径定律。
b、学会运用垂径定理等结论解决一些有关证明，计算等问题。
（2）、教学难点
首先垂径定理及其推论的理解和掌握是本节的一个难点，特别是其推论“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧”中的弦不是直径这一条件的理解，其次这部分内容的题设和结论比较复杂，容易混淆，所以它也是本章节的另一个难点。
三、说教学过程
1、创设情境知识的引入
（1）、介绍赵州桥：
赵州桥是世界著名的古代石拱桥，到现在已经是1300多年了，还保持着它原来的雄姿，它那高度的技术水平和不朽的艺术价值，充分显示了我国古代劳动人民的智慧和力量。
2、温故知新
回忆轴对称图形从而对比圆，得出相关性质a、圆是轴对称图形；
b、经过圆心的每条直线（注：
提醒学生说不能说直径）都是它的对称轴；c、圆的对称轴有无数条。
3、深入探讨知识的形成通过探究，小组讨论找出相等的弦，弧和线段从而推出垂径定理及其他们之间的关系
首先让学生分组进行实验、观察并得出猜想，然后引导学生分析上述猜想条件和结论，并将文字语言转化为符号语言，写出已知、求证。
为分清定理的题设和结论作好铺垫，从而达到解决难点的目的。
接下来再对学生引导分析，让学生合作讨论，展示成果，最后师生共同演示、验证猜想的正确性，此时再板书垂径定理的内容。
得到定理后，再进一步帮助学生分析定理的题设和结论.
这样可以加深学生对定理的理解，同时也为学生学习进一步的结论作好准备。
再道出以这5个论断中的任意两个论断作题设，其它的三个论断作为结论，看能得出哪些结论？
得出结论后另外应特别强调“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧”，这一推论中对于弦不是直径的这个条件。
4、巩固概念,知识的应用
出示例题，解决如何求圆的半径问题，主要是根据所学知识，先把图形问题转化为数学问题，根据图形进行解答，充分体现了学以致用，尝试让学生自己解决，然后师生共同订正步骤，加以规范，使学生凌乱的思维得以梳理，完成本节课的教学。
5、培养创新,知识的延伸
为了检测学生对本节课教学目标的达成情况，进一步加强定理的应用训练。
设计了练习，帮助学生加深对所学圆的轴对称性、垂线定理及其推论的理解，针对学生解答情况，及时查漏补缺。
学生可以选做、
6、反馈释疑
（1）、首先，小组讨论利用本节知识解决赵州桥的半径问题，从而达到前后呼应
（2），通过练习巩固知识加深印象（3）、布置作业：
82页课后练习题目的是调动学生学习积极性，提高学生思维的广度，培养学生良好的学习习惯及思维品质；同时让学有余力的学生进一步的得到提高。
四、说教法
1、这节课我充分利用了观察、猜想、合作交流等教学方法，突出重点，突出难点，以科学设计问题为出发点，采用引导探索讨论教学方法，面向全体学生层层设问，充分的体现了以教师为主导，以学生为主体的教学思想。
2、采用了启发式，谈话式等教学方法，鼓励学生积极发言，活跃课堂气氛，调动学生学习的积极性。
五、知识小结
垂直于弦的直径必平分弦对吗第4篇
一、设计初衷
数学教学应该从学生的生活经验和已有知识背景出发，采取不同的内容呈现方式，帮助他们在自主探索的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数
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