贾雁麟 勾股定理习题一.docx

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贾雁麟勾股定理习题一

贾雁麟勾股定理知识点及练习题

2013年11月30日

一

知识点

勾股定理的证明方法，达300余种。

这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手。

我国数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会识别这种语言的。

这个事实可以说明勾股定理的重大意义。

尤其是在两千年前，是非常了不起的成就。

1、勾股定理：

如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那

a^2+b^2=c^2

2、勾股定理逆定理：

如果三角形三边长a,b,c满足a^2+b^2=c^2，那么这个三角形是直角三角形。

3、勾股定理的证明及简单计算。

4、勾股定理的综合应用，应用勾股定理及逆定理解决实际问题。

勾股定理综合练习题

（一）

一、选择题：

1.三角形的三边长分别为6,8,10，它的最短边上的高为（）

　　A.6B.4.5C.2.4D.8

2.下面几组数:

①7,8,9；②12,9,15；③m2+n2,m2-n2,2mn（m，n均为正整数,mn）；④,,.其中能组成直角三角形的三边长的是（）

　　A.①②B.②③C.①③D.③④

3、三角形的三边长为7、24、25,则这个三角形是（）

A.等边三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.锐角三角形.

4．已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长是（　　）

A．8B．25C．13D．5

5．已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积是（　　）

　　A.24cm2B.36cm2C.48cm2D.60cm2

6．直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为（　）

　　A．121B．120C．90D．不能确定

7、记住下表规律，表中所给的每行的三个数a、b、c，有a＜b＜c，试根据表中已有数的规律，写出当a=19时，b，c的值，并把b、c用含a的代数式表示出来。

（学生研究完成下表）

3、4、5

32+42=52

5、12、13

52+122=132

7、24、25

72+242=252

9、40、41

92+402=412

……

……

19，b、c

192+b2=c2

8.放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都是40米/分，小红用15分钟到家，小颖20分钟到家，小红和小颖家的直线距离为（）

A．600米B.800米C.1000米D.不能确定

二

、填空题

9.在△ABC中，∠C=90°，AB＝5，则（）+（）=_____

10．直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为_______．

11．（记住）直角三角形的三边长为连续偶数，则这三个数分别为__________．

12一根树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离底部12米处．树折断之前有_米.

13．梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2米，梯子的顶端B到地面的距离为7米．现将梯子的底端A向外移动到A'，使梯子的底端A'到墙根O的距离等于3米，同时梯子的顶端B下降至B'，那么BB'的值：

①等于1米；②大于1米5；③小于1米.其中正确结论的序号是

14.小刚准备测量河水的深度,他把一根竹竿插到离岸边1.5m远的水底,竹竿高出水面0.5m,把竹竿的顶端拉向岸边,竿顶和岸边的水面刚好相齐,河水的深度为

三、解题

15已知：

如图，在△ABC中，∠C=60°，AB=

，AC=4，AD是BC边上的高，求BC的长。

16．（5分）已知：

如图，在△ABC中，AB=AC，D在CB的延长线上。

求证：

⑴AD2－AB2=BD·CD

⑵若D在CB上，结论如何，试证明你的结论。

4．提示：

过A作AE⊥BC于E。

17、（8分）已知：

等边△ABC的边长是6cm。

⑴求等边△ABC的高。

⑵求S△ABC。

18（6分）小东拿着一根长竹竿进一个宽为3米的城门，他先横着拿不进去，又竖起来拿，结果竿比城门高1米，当他把竿斜着时，两端刚好顶着城门的对角，问竿长多少米？

19.（7分）印度数学家什迦逻（1141年-1225年）曾提出过"荷花问题"：

"平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；

出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边，

渔人观看忙向前，花离原位二尺远；

能算诸君请解题，湖水如何知深浅？

"

请用学过的数学知识回答这个问题.

20（6分）已知：

在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。

求证：

a2＋b2=c2。

分析：

利用面积相等进行证明。

⑵拼成如图所示，等量关系为：

4S△+S小正=S大正4×

ab＋（b－a）2=c2，化简可证。

21（8分）已知：

在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。

求证：

a2＋b2=c2。

左边S=4×

ab＋c2

右边S=（a+b）2

左边和右边面积相等，即

4×

ab＋c2=（a+b）2

22（8分）．已知：

在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥BC于D，∠A=60°，CD=

，求线段AB的长。

23（6分）2．已知：

如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD⊥DC，AB⊥AC，∠B=60°，CD=1cm，求BC的长。

24、（8分）已知：

如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AC=

，

求

（1）AB的长；

（2）S△ABC。

25．（8分）如图，直角△ABC的主要性质是：

∠C=90°，（用几何语言表示）

⑴两锐角之间的关系：

；

⑵若D为斜边中点，则斜边中线；

⑶若∠B=30°，则∠B的对边和斜边：

；

⑷三边之间的关系：

。

刘老师（贾雁麟）勾股定理知识点及练习题

2013年11月30日

一

知识点

勾股定理的证明方法，达300余种。

这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手。

我国数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会识别这种语言的。

这个事实可以说明勾股定理的重大意义。

尤其是在两千年前，是非常了不起的成就。

1、勾股定理：

如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那

a^2+b^2=c^2

2、勾股定理逆定理：

如果三角形三边长a,b,c满足a^2+b^2=c^2，那么这个三角形是直角三角形。

3、勾股定理的证明及简单计算。

4、勾股定理的综合应用，应用勾股定理及逆定理解决实际问题。

勾股定理综合练习题

（一）

一、选择题：

1.三角形的三边长分别为6,8,10，它的最短边上的高为（D）

　　A.6B.4.5C.2.4D.8

2.下面几组数:

①7,8,9；②12,9,15；③m2+n2,m2-n2,2mn（m，n均为正整数,mn）；④,,.其中能组成直角三角形的三边长的是（B）

　　A.①②B.②③C.①③D.③④

3、三角形的三边长为7、24、25,则这个三角形是（C）

A.等边三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.锐角三角形.

4．已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长是（　D　）

A．8B．25C．13D．5

5．已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积是（　C　）

　　A.24cm2B.36cm2C.48cm2D.60cm2

6．直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为（　C　）

　　A．121B．120C．90D．不能确定

7、记住下表规律，表中所给的每行的三个数a、b、c，有a＜b＜c，试根据表中已有数的规律，写出当a=19时，b，c的值，并把b、c用含a的代数式表示出来。

（学生研究完成下表）

3、4、5

32+42=52

5、12、13

52+122=132

7、24、25

72+242=252

9、40、41

92+402=412

……

……

19，b、c

192+b2=c2

8.放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都是40米/分，小红用15分钟到家，小颖20分钟到家，小红和小颖家的直线距离为（C）

A．600米B.800米C.1000米D.不能确定

二、填空题

9.在△ABC中，∠C=90°，AB＝5，则（）+（）=__25___

10．直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为___4____．

11．（记住）直角三角形的三边长为连续偶数，则这三个数分别为_6,8,10_________．

12．一根树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离底部12米处．树折断之前有_24米.

13．梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2米，梯子的顶端B到地面的距离为7米．现将梯子的底端A向外移动到A'，使梯子的底端A'到墙根O的距离等于3米，同时梯子的顶端B下降至B'，那么BB'的值：

①等于1米；②大于1米5；③小于1米.其中正确结论的序号是③．

14.小刚准备测量河水的深度,他把一根竹竿插到离岸边1.5m远的水底,竹竿高出水面0.5m,把竹竿的顶端拉向岸边,竿顶和岸边的水面刚好相齐,河水的深度为1.4m.

三、解题

15已知：

如图，在△ABC中，∠C=60°，AB=

，AC=4，AD是BC边上的高，求BC的长。

16．（5分）已知：

如图，在△ABC中，AB=AC，D在CB的延长线上。

求证：

⑴AD2－AB2=BD·CD

⑵若D在CB上，结论如何，试证明你的结论。

4．提示：

过A作AE⊥BC于E。

17、（8分）已知：

等边△ABC的边长是6cm。

⑴求等边△ABC的高。

⑵求S△ABC。

分析：

勾股定理的使用范围是在直角三角形中，因此注意要创造直角三角形，作高是常用的创造直角三角形的辅助线做法。

欲求高CD，可将其置身于Rt△ADC或Rt△BDC中，但只有一边已知，根据等腰三角形三线合一性质，可求AD=CD=

AB=3cm，则此题可解。

18（6分）小东拿着一根长竹竿进一个宽为3米的城门，他先横着拿不进去，又竖起来拿，结果竿比城门高1米，当他把竿斜着时，两端刚好顶着城门的对角，问竿长多少米？

19.（7分）印度数学家什迦逻（1141年-1225年）曾提出过"荷花问题"：

"平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；

出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边，

渔人观看忙向前，花离原位二尺远；

能算诸君请解题，湖水如何知深浅？

"

请用学过的数学知识回答这个问题.

20（6分）已知：

在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。

求证：

a2＋b2=c2。

分析：

利用面积相等进行证明。

⑵拼成如图所示，等量关系为：

4S△+S小正=S大正4×

ab＋（b－a）2=c2，化简可证。

21（8分）已知：

在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。

求证：

a2＋b2=c2。

分析：

左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等。

左边S=4×

ab＋c2

右边S=（a+b）2

左边和右边面积相等，即

4×

ab＋c2=（a+b）2

22（8分）．已知：

在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥BC于D，∠A=60°，CD=

，求线段AB的长。

分析：

本题是“双垂图”的计算题，“双垂图”是中考重要的考点，所以要求学生对图形及性质掌握非常熟练，能够灵活应用。

目前“双垂图”需要掌握的知识点有：

3个直角三角形，三个勾股定理及推导式BC2-BD2=AC2-AD2，两对相等锐角，四对互余角，及30°或45°特殊角的特殊性质等。

另外可以画图，并正确标图。

引导学生分析：

欲求AB，可由AB=BD+CD，分别在两个三角形中利用勾股定理和特殊角，求出BD=3和AD=1。

或欲求AB，可由

，分别在两个三角形中利用勾股定理和特殊角，求出AC=2和BC=6。

23（6分）2．已知：

如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD⊥DC，AB⊥AC，∠B=60°，CD=1cm，求BC的长。

分析：

如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC，

本题通过将图形转化为直角三角形的方法，把四边形面积化为三角形面积。

24、（8分）已知：

如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AC=

，

求

（1）AB的长；

（2）S△ABC。

25．（8分）如图，直角△ABC的主要性质是：

∠C=90°，（用几何语言表示）

⑴两锐角之间的关系：

；

⑵若D为斜边中点，则斜边中线；

⑶若∠B=30°，则∠B的对边和斜边：

；

⑷三边之间的关系：

。