（理）（20xx·杭州学军中学）已知m，n∈R，则“m≠0或n≠0”是“mn≠0”的（）
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案]A
[解析]∵mn≠0?
m≠0且n≠0，
故选A.
6．（文）（20xx·北京东××区）“x＝”是“函数y＝sin2x取得最大值”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案]A
[解析]x＝时，y＝sin2x取最大值，但y＝sin2x取最大值时，2x＝2kπ＋，k∈Z，不一定有x＝.
（理）“θ＝”是“tanθ＝2cos”的（）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案]A
[解析]解法1：
∵θ＝为方程tanθ＝2cos的解，
∴θ＝是tanθ＝2cos成立的充分条件；又∵θ＝也是方程tanθ＝2cos的解，∴θ＝不是tanθ＝2cos的必要条件，故选A.解法2：
∵tanθ＝2cos，∴sinθ＝0或cosθ＝－，∴方程tanθ＝2cos的解集为
A＝，显然A，故选A.
7．“m＝”是“直线（m＋2）x＋3my＋1＝0与直线（m－2）x＋（m＋2）y－3＝0相互垂直”的（）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必
要条件
[答案]B
[解析]两直线垂直的充要条件是（m＋2）（m－2）＋3m（m＋2）＝0即m＝或m＝－2，∴m＝是两直线相互垂直的充分而不必要条件．
8．（20xx·浙江宁波统考）设m，n是平面α内的两条不同直线，l1，l2是平面β内两条相交直线，则α⊥β的一个充分不必要条件是（）
A．l1⊥m，l1⊥nB．m⊥l1，m⊥l2
C．m⊥l1，n⊥l2D．m∥n，l1⊥n
[答案]B
[解析]当m⊥l1，m⊥l2时，∵l1与l2是β内两条相交直线，∴m⊥β，∵m?
α，∴α⊥β，但α⊥β时，未必有m⊥l1，m⊥l2.
9．（20xx·黑龙江哈三中）命题甲：
x,21－x,2x2成等比数列；命题乙：
lgx，lg（x＋1），lg（x＋3）成等差数列，则甲是乙的（）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案]B
[解析]由条件知甲：
（21－x）2＝x·2x2，
∴2（1－x）＝－x＋x2，解得x＝1或－2；
命题乙：
2lg（x＋1）＝lgx＋lg（x＋3），
∴，∴x＝1，∴甲是乙的必要不充分条件．
10．（20xx·辽宁文，4）已知a>0，函数f（x）＝ax2＋bx＋c，若x0满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列选项的命题中为假命题的是（）
A．?
x∈R，f（x）≤f（x0）
B．?
x∈R，f（x）≥f（x0）
C．?
x∈R，f（x）≤f（x0）
D．?
x∈R，f（x）≥f（x0）
[答案]C
[解析]∵f′（x）＝2ax＋b，
又2ax0＋b＝0，∴有f′（x0）＝0
故f（x）在点x0处切线斜率为0
∵a>0f（x）＝ax2＋bx＋c
∴f（x0）为f（x）的图象顶点的函数值
∴f（x）≥f（x0）恒成立
故C选项为假命题，选C.
[点评]可以用作差法比较．
二、填空题
11．给出以下四个命题：
1若p∨q为真命题，则p∧q为真命题．
2命题“若A∩B＝A，则A∪B＝B”的逆命题．
3设a、b、c分别是△ABC三个内角A、B、C所对的边，若a＝1，b＝，则A＝30°是B＝60°的必要不充分条件．
4命题“若f（x）是奇函数，则f（－x）是奇函数”的否命题，其中真命题的序号是．
[答案]②③④
[解析]①∵p∨q为真，∴p真或q真，故p∧q不一定为真命题，故①假．
2逆命题：
若A∪B＝B，则A∩B＝A，∵A∪B＝B，A?
B，∴A∩B＝A，故②真．
3由条件得，＝＝，当B＝60°时，有sinA＝，注意b>a，故A＝30°；但当A＝30°时，有sinB＝，B＝60°，或B＝120°.故③真；
4否命题：
若f（x）不是奇函数，则f（－x）不是奇函数，这是一个真命题，假若f（－x）为奇函数，则f[－（－x）]＝－f（－x），即f（－x）＝－f（x），∴f（x）为奇函数，与条件矛盾．
12．（文）设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a、
b∈P，都有a＋b、a－b、ab、∈P（除数b≠0），则称P是一个数域．例如有理数集Q是数域．有下列命题：
1数域必含有0,1两个数；
2整数集是数域；
3若有理数集Q?
M，则数集M必为数域；
4数域必为无限集；
其中正确命题的序号是．（把你认为正确命题的序号都
填上）
[答案]①④
[解析]结合题设的定义，逐一判断，可知①④正确．
（理）设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a、b∈P，都有a＋b、a－b、ab、∈P（除数b≠0），则称P是一个数域．例如有理数集Q是数域；数集F＝｛a＋b|a，b∈Q｝也是数域．有下列命题：
1整数集是数域；
2若有理数集Q?
M，则数集M必为数域；
3数域必为无限集；④存在无穷多个数域．
其中正确命题的序号是．（把你认为正确命题的序号都
填上）
[答案]③④
[解析]①整数a＝2，b＝4，不是整数；
2如将有理数集Q，添上元素，得到数集M，则取a＝3，b＝，a＋b?
M；
3由数域P的定义知，若a∈P，b∈P（P中至少含有两个元素），则有a＋b∈P，从而a＋2b，a＋3b，⋯，a＋nb∈P，∴P中必含有无穷多个元素，∴③对．
4设x是一个非完全平方正整数（x>1），a，b∈Q，则由数域定义知，F＝｛a＋b|a、b∈Q｝必是数域，这样的数域F有无穷多个．
13．（20xx·辽宁葫芦岛四校联考）设有两个命题：
p：
不等式x＋4>m>2x－x2对一切实数x恒成立；q：
f（x）＝－（7－2m）x是R上的减函数，如果p且q为真命题，则实数m的取值范围是．
[答案]（1,3）
[解析]∵x＝4>4,2x－x2＝－（x－1）2＋1≤1，
∴要使x＋4>m>2x－x2对一切x∈R都成立，应有11，∴m<3，∵p且q为真命题，∴p真且q真，∴114．（20xx·福建理）已知定义域为（0，＋∞）的函数f（x）满足：
（1）对任意x∈（0，＋∞），恒有f（2x）＝2f（x）成立；
（2）当x∈（1,2]时，f（x）＝2－x.给出如下结论：
1对任意m∈Z，有f（2m）＝0；
2函数f（x）的值域为[0，＋∞）；
3存在n∈Z，使得f（2n＋1）＝9；
4“函数f（x）在区间（a，b）上单调递减”的充要条件是“存在k∈Z，使得（a，b）?
（2k,2k＋1）．
其中所有正确结论的序号是．
[答案]①②④
[解析]对于①，f
（2）＝0，又f
（2）＝2f
（1）＝0，
∴f
（1）＝0，同理f（4）＝2f
（2）＝0，f（8）＝0⋯⋯
f
（1）＝2f（）＝0，
∴f（）＝0，f（）＝0⋯⋯归纳可得，正确．
对于②④当1∴当2同理，当4∴当2m－1而③中，若f（2n＋1）＝9，
∵2n<2n＋1≤2n＋1∴f（x）＝2n＋1－x，
∴f（2n＋1）＝2n＋1－2n－1＝9，
∴2n＝10，∴n?
Z，故错误．
三、解答题
15．已知c>0.设命题P：
函数y＝logcx为减函数．
命题Q：
当x∈时，函数f（x）＝x＋>恒成立．如果P或Q为真命题，P且Q为假命题，求c的取值范围．
[解析]由y＝logcx为减函数得0当x∈时，因为f′（x）＝1－，
故函数f（x）在上为减函数，在（1,2]上为增函数．
∴f（x）＝x＋在x∈上的最小值为f
（1）＝2
1
当x∈时，由函数f（x）＝x＋>恒成立．得2>，解得c>12
1
如果P真，且Q假，则0如果P假，且Q真，则c≥1
所以c的取值范围为（0，]∪[1，＋∞）．
16．给出下列命题：
（1）p：
x－2＝0，q：
（x－2）（x－3）＝0.
（2）p：
m<－2；q：
方程x2－x－m＝0无实根．
（3）已知四边形M，p：
M是矩形；q：
M的对角线相等．试分别指出p是q的什么条件．
[解析]
（1）∵x－2＝0?
（x－2）（x－3）＝0；
而（x－2）（x－3）＝0?
/x－2＝0.
∴p是q的充分不必要条件．
（2）∵m<－2?
方程x2－x－m＝0无实根；
方程x2－x－m＝0无实根?
/m<－2.
∴p是q的充分不必要条件．
（3）∵矩形的对角线相等，∴p?
q；而对角线相等的四边形不一定是矩形．
∴q?
/p.
∴p是q的充分不必要条件．
17．（文）已知数列{an}的前n项和Sn＝pn＋q（p≠0，且q≠1），求数列{an}成等比数列的充要条件．
[解析]当n＝1时，a1＝S1＝p＋q.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（p－1）pn－1，由于p≠0，q≠1，
∴当n≥2时，{an}为公比为p的等比数列．要使{an}是等比数列（当n∈N*时），则＝p.又a2＝（p－1）p，
∴＝p，∴p2－p＝p2＋pq，∴q＝－1，即{an}是等比数列的必要条件是p≠0，且p≠1，且q＝－1.
再证充分性：
当p≠0，且p≠1，且q＝－1时，Sn＝pn－1.
当n＝1时，S1＝a1＝p－1≠0；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（p－1）pn－1.
显然当n＝1时也满足上式，∴an＝（p－1）pn－1，n∈N*，∴＝p（n≥2），∴{an}是等比数列．
综上可知，数列{an}成等比数列的充要条件是p≠0，p≠1，且q＝－1.
（理）（20xx·哈三中模拟）已知函数f（x）＝（x－1）2＋lnx－ax＋a.
（1）若x＝2为函数极值点，求a的值；
（2）若x∈（1,3）时，f（x）>0恒成立，求a的取值范围．
[解析]
（1）f′（x）＝（x－1）＋－a，由f′
（2）＝0得，a＝；
（2）当a≤1时，∵x∈（1,3），∴f′（x）＝－（1＋a）≥2－2＝0成立，所以函数y＝f（x）在（1,3）上为增函数，
对任意的x∈（1,3），f（x）>f
（1）＝0，所以a≤1时命题成立；当a>1时，令f′（x）＝（x－1）＋－a＝0得，x＝，则函数在（0，）上为增函数，在（，）上为减函数，在（，＋∞）上为增函数，
当a≤时，1≤≤3，
则f
（1）>f（），不合题意，舍去．
当a>时，函数在（1,3）上是减函数，f（x）舍去．
综上，a≤1.
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