第3章工业机器人静力计算及动力学分析.docx
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第3章工业机器人静力计算及动力学分析
第3章工业机器人静力计算及动力学分析
章节题目：
第3章工业机器人静力计算及动力学分析
[教学内容]
3.1工业机器人速度雅可比与速度分析
3.2工业机器人力雅可比与静力计算
3.3工业机器人动力学分析
[教学安排]
第3章安排6学时，其中介绍工业机器人速度雅可比45分钟，工业机器人速度分析45分钟，操作臂中的静力30分钟，机器人力雅可比30分钟，机器人静力计算的两类问题10分钟，拉格朗日方程20分钟，二自由度平面关节机器人动力学方程60分钟，关节空间和操作空间动力学30分钟。
通过多媒体课件结合板书的方式，采用课堂讲授和课堂讨论相结合的方法，首先讨论与机器人速度和静力有关的雅可比矩阵，然后介绍工业机器人的静力学问题和动力学问题。
[知识点及其基本要求]
1、工业机器人速度雅可比（掌握）
2、速度分析（掌握）
3、操作臂中的静力（掌握）
4、机器人力雅可比（掌握）
5、机器人静力计算的两类问题（了解）
6、拉格朗日方程（熟悉）
7、二自由度平面关节机器人动力学方程（理解）
8、关节空间和操作空间动力学（了解）
[重点和难点]
重点：
1、速度雅可比及速度分析
2、力雅可比
3、拉格朗日方程
4、二自由度平面关节机器人动力学方程
难点：
1、关节空间和操作空间动力学
[教学法设计]
引入新课：
至今我们对工业机器人运动学方程还只局限于静态位置问题的讨论，还没有涉及力、速度、加速度等。
机器人是一个多刚体系统，像刚体静力学平衡一样，整个机器人系统在外载荷和关节驱动力矩（驱动力）作用下将取得静力平衡；也像刚体在外力作用下发生运动变化一样，整个机器人系统在关节驱动力矩（驱动力）作用下将发生运动变化。
新课讲解：
第一次课
第三章工业机器人静力计算及动力学分析
3-1工业机器人速度雅可比与速度分析
一、工业机器人速度雅可比
假设有六个函数，每个函数有六个变量，即：
，可写成Y=F（X），将其微分，得：
，也可简写成
。
该式中（6×6）矩阵
叫做雅可比矩阵。
在工业机器人速度分析和以后的静力分析中都将遇到类似的矩阵，称之为机器人雅可比矩阵，或简称雅可比矩阵。
二自由度平面关节机器人，端点位置x，y与关节θ1、θ2的关系为：
即：
，将其微分，得：
，将其写成矩阵形式为：
令
，则上式可简写为
。
式中：
；
。
将J称为该二自由度平面关节机器人的速度雅可比，它反映了关节空间微小运动dθ与手部作业空间微小位移dX的关系。
若对J进行运算，，则2R机器人的雅可比写为：
从J中元素的组成课件，J阵的值是θ1及θ2的函数。
对于n自由度机器人的情况，关节变量可用广义关节变量q表示，q=[q1q2…qn]T，当关节为转动关节时，qi=θi，当关节为移动关节时，qi=di，dq=[dq1dq2…dqn]T反映了关节空间的微小运动；机器人末端在操作空间的位置和方位可用末端手爪的位姿X表示，它是关节变量的函数，X=X（q），并且是一个6维列矢量，dX=[dxdydzδφxδφyδφz]T反映了操作空间的微小运动，它由机器人末端微小线位移和微小角位移组成，因此有：
dX=J（q）dq，式中，J（q）是6×n的偏导数矩阵，称为n自由度机器人速度雅可比矩阵。
它的第i行第j列元素为：
，I=1，2，…，6；j=1，2，…，n。
二、工业机器人速度分析
对dX=J（q）dq左右两边各除以dt，得：
，或
。
式中，V表示机器人末端在操作空间中的广义速度，
，
表示机器人关节空间中的关节速度，J（q）表示确定关节空间速度
与操作空间速度V之间关系的雅可比矩阵。
对于2R机器人来说，J（q）是2×2矩阵。
若令J1、J2分别为雅可比的第一列矢量和第二列矢量，则有：
，式中右边第一项表示仅由第一个关节运动引起的端点速度；右边第二项表示仅由第二个关节运动引起的端点速度；总的端点速度为这两个速度矢量的合成。
因此，机器人速度雅可比的每一列表示其它关节不动而某一关节运动产生的端点速度。
前面提到的二自由度机器人的手部速度为：
假如已知关节上
及
是时间的函数，
，则可求出该机器人手部在某一时刻的速度V=f（t），即手部瞬时速度。
反之，假如给定机器人手部速度，可解出相应的关节速度：
，式中，
称为机器人逆速度雅可比。
通常可以看到机器人逆速度雅可比
出现奇异解的两种情况：
（1）工作域边界上奇异。
当机器人臂全部伸展开或全部折回而使手部处于机器人工作域的边界上或边界附近时，出现逆雅可比奇异，这时机器人相应的形位叫做奇异形位。
（2）工作域内部奇异。
奇异并不一定发生在工作域边界上，也可以是由两个或更多个关节轴线重合所引起的。
当机器人处在奇异形位时，就会产生退化现象，丧失一个或更多的自由度。
这意味着在空间某个方向（或子域）上，不管机器人关节速度怎样选择，手部也不可能实现移动。
对于在三维空间中作业的一般六自由度工业机器人的情况，机器人速度雅可比J是一个6×6矩阵，
和V分别是6×1列阵，即
。
手部速度矢量V是由3×1线速度矢量和3×1角速度矢量组合而成的6维列矢量。
关节速度矢量
是由6个关节速度组合而成的6维列矢量。
雅可比矩阵J的前三行代表手部线速度与关节速度的传递比；后三行代表手部角速度与关节速度的传递比。
而雅可比矩阵J的每一列则代表相应关节速度
对手部线速度和角速度的传递比。
第二次课
3-2工业机器人力雅可比与静力计算
一、操作臂中的静力
以操作臂中单个杆件为例分析受力，杆件I通过关节i和i+1分别于杆件i-1和i+1相连接。
令fi-1，i及ni-1，i表示i-1杆通过关节i作用在i杆上的力和力矩；fi，i+1及ni，i+1表示i杆通过关节i+1作用在i+1杆上的力和力矩；-fi，i+1及-ni，i+1表示i+1杆通过关节i+1作用在i杆上的反作用力和反作用力矩；fn，n+1及nn，n+1表示机器人最末杆对外界环境的作用力和力矩；-fn，n+1及-nn，n+1表示外界环境对机器人最末杆的作用力和力矩；f0，1及n0，1表示机器人底座对杆1的作用力和力矩；mig表示连杆i的重量，作用在质心ci上。
连杆i的静力平衡条件为其上所受的合力和合力矩为零，因此力和力矩平衡方程式为：
fi-1,i+（-fi,i+1）+mig=0
ni-1,i+（-ni,i+1）+（ri-1,i+riCi）×fi-1,i+（riCi）×（-fi,i+1）=0
式中，ri-1,i表示坐标系{i}的原点相对于坐标系{i-1}的位置矢量；riCi表示质心相对于坐标系{i}的位置矢量。
假如已知外界环境对机器人最末杆的作用力和力矩，那么可以由最后一个连杆相零连杆（机座）依次递推，从而计算出每个连杆上的受力情况。
为了便于表示机器人手部端点的力和力矩，可将fn，n+1和nn，n+1合并写成一个6维矢量：
各关节驱动器的驱动力或力矩可写成一个n维矢量的形式，即：
，式中，n表示关节的个数，τ表示关节力矩（或关节力）矢量，简称广义关节力矩，对转动关节，τi表示关节驱动力矩；对移动关节，τi表示关节驱动力。
二、机器人力雅可比
假定关节无摩擦，并忽略各杆件的重力，则广义关节力矩τ与机器人手部端点力F的关系可描述为：
τ=JTF，式中，JT为n×6阶机器人力雅可比矩阵或力雅可比。
可用虚功原理证明。
该式表示在静力平衡状态下，手部端点力F向广义关节力矩τ映射的线性关系。
式中JT与手部端点力F和广义关节力矩τ之间的力传递有关，所以叫做机器人力雅可比。
显然，力雅可比JT正好是机器人速度雅可比J的转置。
三、机器人静力计算的两类问题
从操作臂手部端点力F与广义关节力矩τ之间的关系式τ=JTF可知，操作臂静力计算可分为两类问题：
（1）已知外界环境对机器人手部作用力F’（即手部端点力F=-F’）,求相应的满足静力平衡条件的关节驱动力矩τ。
（2）已知关节驱动力矩τ，确定机器人手部对外界环境的作用力F或符合的质量。
这类问题是第一类问题的逆解。
这时F=（JT）-1τ，但是，由于机器人的自由度可能不是6，力雅可比矩阵就有可能不是一个方阵，则JT就没有逆解。
所以，对这类问题的求解就困难得多，在一般情况下不一定能得到唯一的解。
如果F得维数比τ的维数低，且J是满秩的话，则可利用最小二乘法求得F的估值。
3-3工业机器人动力学分析
动力学研究物体的运动和作用力之间的关系。
机器人动力学问题有两类：
（1）给出已知的轨迹点上的
，即机器人关节位置、速度和加速度，求相应的关节力矩向量τ。
这对实现机器人动态控制是相当有用的。
（2）已知关节驱动力矩，求机器人系统相应的各瞬时的运动。
也就是说，给出关节力矩向量τ，求机器人所产生的运动
。
这对模拟机器人的运动是非常有用的。
一、拉格朗日方程
1、拉格朗日函数
拉格朗日函数L的定义是一个机械系统的动能Ek和势能Ep之差，即L=Ek-Ep。
令qi（i=1，2，…，n）是使系统具有完全确定位置的广义关节变量，
是相应的广义关节速度。
由于系统动能Ek是qi和
的函数，因此拉格朗日函数也是qi和
的函数。
2、拉格朗日方程
系统的拉格朗日方程为：
，i=1，2，…n，式中，Fi称为广义关节驱动力。
如果是移动关节，则Fi为驱动力；如果是转动关节，则Fi为驱动力矩。
3、用拉格朗日法建立机器人动力学方程的步骤
（1）选取坐标系，选定完全而且独立的广义关节变量qi，i=1，2，…，n。
（2）选定相应的关节上的广义力Fi：
当qi是位移变量时，则Fi为力；当qi是角度变量时，则Fi为力矩。
（3）求出机器人各构件的动能和势能，构造拉格朗日函数。
（4）代入拉格朗日方程求得机器人系统的动力学方程。
第三次课
二、二自由度平面关节机器人动力学方程
1、广义关节变量及广义力的选定
选取笛卡尔坐标系。
连杆1和连杆2的关节变量分别为转角θ1和θ2，相应的关节1和关节2的力矩是τ1和τ2。
连杆1和连杆2的质量分别是m1和m2，杆长分别为l1和l2，质心分别在k1和k2处，离关节中心的距离分别为p1和p2。
因此杆1质心k1的位置坐标为：
x1=p1sinθ1，y1=-p1cosθ1，杆1质心k1的速度平方为：
。
杆2质心k2的位置坐标为：
x2=l1sinθ1+p2sin（θ1+θ2），y1=-l1cosθ1-p2cos（θ1+θ2），杆2质心k2的速度平方为：
。
2、系统动能
3、系统势能
4、拉格朗日函数
5、系统动力学方程
根据拉格朗日方程
，i=1，2，…n，可计算各关节上的力矩，得到系统动力学方程。
关节1上的力矩τ1：
所以：
上式可简写为：
。
由此可得：
关节2上的力矩τ2：
所以：
上式可简写为：
由此可得：
以上表达式分别表示了关节驱动力矩与关节位移、速度、加速度之间的关系，即力和运动之间的关系，称为图3-6所示二自由度机器人的动力学方程。
对其进行分析可知：
（1）含有
或
的项表示由于加速度引起的关节力矩项，其中：
含有D11和D22的项分别表示由于关节1加速度和关节2加速度引起的惯性力矩项；
含有D12的项表示关节2的加速度对关节1的耦合惯性力矩项；
含有D21的项表示关节1的加速度对关节2的耦合惯性力矩项。
（2）含有
和
的项表示由于向心力引起的关节力矩项，其中：
含有D122的项表示关节2速度引起的向心力对关节1的耦合力矩项；
含有D211的项表示关节1速度引起的向心力对关节2的耦合力矩项。
（3）含有
的项表示由于哥氏力引起的关节力矩项，其中：
含有D112的项表示哥氏力对关节1的耦合力矩项；
含有D212的项表示哥氏力对关节2的耦合力矩项。
（4）只含关节变量
、
的项表示重力引起的关节力矩项，其中：
含有D1的项表示连杆1、连杆2的质量对关节1引起的重力矩项；
含有D2的项表示连杆2的质量对关节2引起的重力矩项。
从上面的推导可看出，很简单那的二自由度平面关节机器人动力学方程已经很复杂了，包含很多因素，这些因素都在影响机器人的动力学特性。
对于复杂一些的多自由度机器人，动力学方程更庞杂，推导过程也更复杂。
不仅如此，对机器人实时控制也带来了不小的麻烦。
通常，有一些简化问题的方法：
（1）当杆件质量不很大，重量很轻时，动力学方程中的重力矩项可以省略；
（2）当关节速度不很大，机器人不是高速机器人时，含有
、
、
等项可以省略；
（3）当关节加速度不很大，也就是关节电机的升降速不是很突然时，那么含有
、
的项有可能给予省略。
当然关节加速度的减少，会引起速度升降的时间增加，延长了机器人作业循环的时间。
三、关节空间和操作空间动力学
1、关节空间和操作空间
n个自由度操作臂的末端位姿X由n个关节变量所决定，这n个关节变量也叫做n维关节矢量q，所有关节矢量q构成了关节空间。
而末端操作器的作业是在直角坐标空间中进行的，即操作臂末端位姿X是在直角空间中描述的，因此把这个空间叫做操作空间。
运动学方程X=X（q）就是关节空间向操作空间的映射；而运动学逆解则是由映射求其在关节空间中的原像。
在关节空间和操作空间中操作臂动力学方程有不同的表示形式，并且两者之间存在着一定的对应关系。
2、关节空间动力学方程
将前面二自由度平面关节机器人动力学方程写成矩阵形式，则
，式中：
。
所以：
该矩阵方程就是操作臂在关节空间中的动力学方程的一般结构形式，反映了关节力矩与关节变量、速度、角速度之间的函数关系。
对于n个关节的操作臂，D（q）是n×n的正定对称矩阵，是q的函数，称为操作臂的惯性矩阵；
是n×1的离心力和哥氏力矢量；G（q）是n×1的重力矢量，与操作臂的形位q有关。
3、操作空间动力学方程
与关节空间动力学方程相对应，在笛卡尔操作空间中，可以用直角坐标变量即末端操作器位姿的矢量X来表示机器人动力学方程。
因此，操作力F与末端加速度
之间的关系可表示为：
，式中，Mx（q）、Ux（q）和Gx（q）分别为操作空间中的惯性矩阵、离心力和哥氏力矢量、重力矢量，它们都是在操作空间中表示的；F是广义操作力矢量。
关节空间动力学方程和操作空间动力学方程之间的对应关系可以通过广义操作力F与广义关节力τ之间的关系τ=JT（q）F和操作空间与关节空间之间的速度、加速度的关系
求出。
[应用]
第一次课
1、图3-7所示二自由度机械手，杆长为l1=l2=0.5m，试求下面三种情况时的关节瞬时速度
和
。
Vx/m/s
-1.0
0
1.0
Vy/m/s
0
1.0
1.0
θ1
30°
30°
30°
θ2
-60°
120°
-30°
6、图3-9所示三自由度平面关节机械手，手部握有焊接工具。
已知θ1=30°，
=0.04rad/s；θ2=45°，
=0；θ3=15°，
=0.1rad/s；，求焊接工具末端A点的线速度vx及vy。
第二次课
2、已知二自由度机械手的雅可比矩阵为
。
若忽略重力，当手部端点力F=[10]T时，求于此力相应的关节力矩。
3、图3-7所示二自由度机械手，杆长l1=l2=0.5m，手部中心受到外界环境的作用力Fx’及Fy’，试求在下面三种情况下，机械手取得静力平衡时的关节力矩τ1和τ2。
Fx’/N
-10.0
0
10.0
Fy’/N
0
-10.0
10.0
θ1
30°
30°
30°
θ2
-60°
120°
-30°
4、如图3-8所示，一个三自由度机械手，其末端夹持一质量m=10kg的重物，l1=l2=0.8m，l3=0.4m，θ1=60°，θ2=-60°，θ3=-90°。
若不计机械手的重量，求机械手处于平衡状态时各关节力矩。
5、图2-29所示的二自由度机械手，关节1为转动关节θ1；关节2为移动关节d2。
（1）按下表参数计算手部中心的线速度Vx及Vy。
表中
和v2分别为关节1的角速度和关节2的线速度。
θ1
0°
30°
60°
90°
d2/m
0.50
0.80
1.00
0.70
/rad/s
1
1.5
1.5
1
v2/m/s
1
1.5
1.5
1
（2）按下表参数计算机械手静力平衡时关节1的力矩τ1和关节2的驱动力P2。
表中Fx’、Fy’分别为手部中心受到外界环境的作用力。
θ1
0°
30°
60°
90°
d2/m
0.50
0.80
1.00
0.70
Fx’/rad/s
-40
-40
-40
40
Fy’/m/s
0
25
40
0
7、机器人力雅可比矩阵和速度雅可比矩阵有何关系？
8、什么是拉格朗日函数和拉格朗日方程?
第三次课
9、简述二自由度平面关节机械手动力学方程主要包含哪些项？
有何物理意义？
10、什么叫机械臂连杆之间的耦合作用？
11、在什么情况下可以简化动力学方程计算？
[板书设计]
第一次课
第三章工业机器人静力计算及动力学分析
3-1工业机器人速度雅可比与速度分析
一、工业机器人速度雅可比
二、工业机器人速度分析
（1）工作域边界上奇异
（2）工作域内部奇异
第二次课
3-2工业机器人力雅可比与静力计算
一、操作臂中的静力
二、机器人力雅可比
三、机器人静力计算的两类问题
3-3工业机器人动力学分析
一、拉格朗日方程
1、拉格朗日函数
2、拉格朗日方程
3、用拉格朗日法建立动力学方程的步骤
第三次课
二、二自由度平面关节机器人动力学方程
1、广义关节变量及广义力的选定
2、系统动能
3、系统势能
4、拉格朗日函数
5、系统动力学方程
三、关节空间和操作空间动力学
1、关节空间和操作空间
2、关节空间动力学方程
3、操作空间动力学方程
[小结]
在本章中，我们不涉及较深的理论，将通过深入浅出的介绍使学生对工业机器人在实际作业中遇到的静力学问题和动力学问题有一个最基本的了解，也为以后“工业机器人控制”等章节的学习打下一个基础。
[教学后记]
[教学资料补充]
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