中考数学一轮复习 题型分类训练题型6 几何探究型问题.docx

中考数学一轮复习 题型分类训练题型6 几何探究型问题.docx

《中考数学一轮复习 题型分类训练题型6 几何探究型问题.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《中考数学一轮复习 题型分类训练题型6 几何探究型问题.docx（12页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

中考数学一轮复习题型分类训练题型6几何探究型问题

共18题　答对____题

1.（2017长春9分）在矩形ABCD中，已知AD>AB.在边AD上取点E，使AE＝AB，连接CE，过点E作EF⊥CE，与边AB或其延长线交于点F.

猜想：

如图①，当点F在边AB上时，线段AF与DE的大小关系为________．

探究：

如图②，当点F在边AB的延长线上时，EF与边BC交于点G，判断线段AF与DE的大小关系，并加以证明．

应用：

如图②，若AB＝2，AD＝5，利用探究得到的结论，求线段BG的长．

第1题图

2.（2017抚顺12分）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，过点B的直线MN∥AC，D为BC边上一点，连接AD，作DE⊥AD交MN于点E，连接AE.

（1）如图①，当∠ABC＝45°时，求证：

AD＝DE；

（2）如图②，当∠ABC＝30°时，线段AD与DE有何数量关系？

并请说明理由；

（3）当∠ABC＝α时，请直接写出线段AD与DE的数量关系．（用含α的三角函数表示）

第2题图

3.（2017临沂11分）如图①，在正方形ABCD的外侧，作两个等边三角形ADE和DCF，连接AF，BE.

（1）请判断：

AF与BE的数量关系是________，位置关系是________；

（2）如图②，若将条件“两个等边三角形ADE和DCF”变为“两个等腰三角形ADE和DCF，且EA＝ED＝FD＝FC”，第

（1）问中的结论是否仍然成立？

请作出判断并给予证明；

（3）若三角形ADE和DCF为一般三角形，且AE＝DF，ED＝FC，第

（1）问中的结论都能成立吗？

请直接写出你的判断．

第3题图

4.（2017贵港10分）已知：

△ABC是等腰直角三角形，动点P在斜边AB所在的直线上，以PC为直角边作等腰直角三角形PCQ，其中∠PCQ＝90°，探究并解决下列问题：

（1）如图①，若点P在线段AB上，且AC＝1＋

，PA＝

，则：

①线段PB＝________，PC＝________；

②猜想：

PA2，PB2，PQ2三者之间的数量关系为________________；

（2）如图②，若点P在AB的延长线上，在

（1）中所猜想的结论仍然成立，请你利用图②给出证明过程；

（3）若动点P满足

＝

，求

的值．（提示：

请利用备用图进行探求）

第4题图

5.（2017牡丹江8分）已知四边形ABCD是正方形，等腰直角△AEF的直角顶点E在直线BC上（不与点B、C重合），FM⊥AD，交射线AD于点M.

（1）当点E在边BC上，点M在边AD的延长线上时，如图①，求证AB＋BE＝AM；（提示：

延长MF，交边BC的延长线于点H）

（2）当点E在边CB的延长线上，点M在边AD上时，如图②；当点E在边BC的延长线上，点M在边AD上时，如图③，请分别写出线段AB，BE，AM之间的数量关系，不需要证明；

（3）在

（1），

（2）的条件下，若BE＝

，∠AFM＝15°，则AM＝________．

第5题图

6.（2017陕西12分）如图，在每一个四边形ABCD中，均有AD∥BC，CD⊥BC，∠ABC＝60°，AD＝8，BC＝12.

（1）如图①，点M是四边形ABCD边AD上的一点，则△BMC的面积为__________；

（2）如图②，点N是四边形ABCD边AD上的任意一点，请你求出△BNC周长的最小值；

（3）如图③，在四边形ABCD的边AD上，是否存在一点P，使得cos∠BPC的值最小？

若存在，求出此时cos∠BPC的值；若不存在，请说明理由．

第6题图

7.（2017湖州10分）问题背景

已知在△ABC中，AB边上的动点D由A向B运动（与A、B不重合），点E与点D同时出发，由点C沿BC的延长线方向运动（E不与C重合），连接DE交AC于点F，点H是线段AF上一点．

（1）初步尝试

如图①，若△ABC是等边三角形，DH⊥AC，且点D，E的运动速度相等．

求证：

HF＝AH＋CF.

小王同学发现可以由以下两种思路解决此问题：

思路一：

过点D作DG∥BC，交AC于点G，先证GH＝AH，再证GF＝CF，从而证得结论成立；

思路二：

过点E作EM⊥AC，交AC的延长线于点M，先证CM＝AH，再证HF＝MF，从而证得结论成立．

请你任选一种思路，完整地书写本小题的证明过程（如用两种方法作答，则以第一种方法评分）；

（2）类比探究

如图②，若在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ADH＝∠BAC＝30°，且点D，E的运动速度之比是

∶1.求

的值；

（3）延伸拓展

如图③，若在△ABC中，AB＝AC，∠ADH＝∠BAC＝36°，记

＝m，且点D，E的运动速度相等，试用含m的代数式表示

（直接写出结果，不必写解答过程）．

第7题图

8.（2017成都10分）已知AC，EC分别为四边形ABCD和EFCG的对角线，点E在△ABC内，∠CAE＋∠CBE＝90°.

（1）如图①，当四边形ABCD和EFCG均为正方形时，连接BF.

①求证：

△CAE∽△CBF；

②若BE＝1，AE＝2，求CE的长；

（2）如图②，当四边形ABCD和EFCG均为矩形，且

＝

＝k时，若BE＝1，AE＝2，CE＝3，求k的值；

（3）如图③，当四边形ABCD和EFCG均为菱形，且∠DAB＝∠GEF＝45°时，设BE＝m，AE＝n，CE＝p，试探究m，n，p三者之间满足的等量关系．（直接写出结果，不必写出解答过程）

第8题图

9.（2014漳州12分）阅读材料：

如图①，在△AOB中，∠O＝90°，OA＝OB，点P在AB边上，PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，则PE＋PF＝OA.（此结论不必证明，可直接应用）

（1）【理解与应用】

如图②，正方形ABCD的边长为2，对角线AC，BD相交于点O，点P在AB边上，PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，则PE＋PF的值为________；

（2）【类比与推理】

如图③，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB＝4，AD＝3，点P在AB边上，PE∥OB交AC于点E，PF∥OA交BD于点F，求PE＋PF的值；

（3）【拓展与延伸】

如图④，⊙O的半径为4，A，B，C，D是⊙O上的四点，过点C，D的切线CH，DG相交于点M，点P在弦AB上，PE∥BC交AC于点E，PF∥AD交BD于点F，当∠ADG＝∠BCH＝30°时，PE＋PF是否为定值？

若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．

第9题图

10.（2016原创9分）两个全等的直角三角形ABC和DEF重叠在一起，其中∠A＝60°，AC＝1，固定△ABC不动，将△DEF进行如下操作：

（1）如图①，将△DEF沿线段AB向右平移（即D点在线段AB内移动），连接DC、CF、FB，四边形CDBF的形状在不断的变化，它的面积是否变化？

如果不变，请求出其面积；如果变化，说明理由；

（2）如图②，当D点移到AB的中点时，请你猜想四边形CDBF的形状，并说明理由；

（3）如图③，△DEF的点D固定在AB的中点，然后绕D点按顺时针方向转△DEF，使DF落在AB边上，此时F点恰好与B点重合，连接BE，请你求出sin∠DEA的值．

第10题图

11.（2017河南10分）如图①，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝2AB＝8，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE.将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α.

（1）问题发现

①当α＝0°时，

＝________；②当α＝180°时，

＝________；

（2）拓展探究

试判断：

当0°≤α<360°时，

的大小有无变化？

请仅就图②的情形给出证明；

（3）问题解决

当△EDC旋转至A，D，E三点共线时，直接写出线段BD的长．

第11题图

12.（2014重庆A卷12分）已知：

如图①，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝

，AE⊥BD，垂足是E.点F是点E关于AB的对称点，连接AF、BF.

（1）求AE和BE的长；

（2）若将△ABF沿着射线BD方向平移，设平移的距离为m（平移距离指点B沿BD方向所经过的线段长度），当点F分别平移到线段AB、AD上时，直接写出相应的m的值；

（3）如图②，将△ABF绕点B顺时针旋转一个角α（0°＜α＜180°），记旋转中的△ABF为△A′BF′，在旋转过程中，设A′F′所在的直线与直线AD交于点P，与直线BD交于点Q.是否存在这样的P、Q两点，使△DPQ为等腰三角形？

若存在，求出此时DQ的长；若不存在，请说明理由．

第12题图

13.（2017济南9分）如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，∠EAC＝90°，点M为射线AE上任意一点（不与点A重合），连接CM，将线段CM绕点C按顺时针方向旋转90°得到线段CN，直线NB分别交直线CM、射线AE于点F、D.

（1）直接写出∠NDE的度数；

（2）如图②、图③，当∠EAC为锐角或钝角时，其他条件不变，

（1）中的结论是否发生变化？

如果不变，选取其中一种情况加以证明；如果变化，请说明理由；

（3）如图④，若∠EAC＝15°，∠ACM＝60°，直线CM与AB交于G，BD＝

，其他条件不变，求线段AM的长．

第13题图

14.（2017连云港12分）在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为2的正方形ABCD与边长为2

的正方形AEFG按图①位置放置，AD与AE在同一条直线上，AB与AG在同一条直线上．

（1）小明发现DG⊥BE，请你帮他说明理由；

第14题图①

（2）如图②，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG上时，请你帮他求出此时BE的长；

第14题图②

（3）如图③，小明将正方形ABCD绕点A继续逆时针旋转，线段DG与线段BE将相交，交点为H，写出△GHE与△BHD面积之和的最大值，并简要说明理由．

第14题图③

15.（2017怀化8分）如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P以每秒1个单位的速度从A向C运动，同时点Q以每秒2个单位的速度从A→B→C方向运动，它们到C点后都停止运动，设点P，Q运动的时间为t秒．

（1）在运动过程中，求P，Q两点间距离的最大值；

（2）经过t秒的运动，求△ABC被直线PQ扫过的面积S与时间t的函数关系式；

（3）P，Q两点在运动过程中，是否存在时间t，使得△PQC为等腰三角形．若存在，求出此时的t值．若不存在，请说明理由．（

≈2.24，结果保留一位小数）

第15题图

16.（2017长春10分）如图，在等边△ABC中，AB＝6，AD⊥BC于点D，点P在边AB上运动，过点P作PE∥BC，与边AC交于点E，连接ED.以PE、ED为邻边作□PEDF，设□PEDF与△ABC重叠部分图形的面积为y，线段AP的长为x（0

（1）求线段PE的长；（用含x的代数式表示）

（2）当四边形PEDF为菱形时，求x的值；

（3）求y与x之间的函数关系式；

（4）设点A关于直线PE的对称点为点A′，当线段A′B的垂直平分线与直线AD相交时，设其交点为Q.当点P与点Q位于直线BC同侧（不包括点Q在直线BC上）时，直接写出x的取值范围．

第16题图

17.（2017青岛12分）已知：

如图①，在□ABCD中，AB＝3cm，BC＝5cm，AC⊥AB.△ACD沿AC的方向匀速平移得到△PNM，速度为1cm/s；同时，点Q从点C出发，沿CB方向匀速移动，速度为1cm/s；当△PNM停止平移时，点Q也停止移动，如图②.设移动时间为t（s）（0＜t＜4）．连接PQ，MQ，MC.解答下列问题：

（1）当t为何值时，PQ∥MN?

（2）设△QMC的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；

（3）是否存在某一时刻t，使S△QMC∶S四边形ABQP＝1∶4？

若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；

（4）是否存在某一时刻t，使PQ⊥MQ？

若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

第17题图

18.（2017衢州12分）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝9，S△ABC＝

，动点P从A点出发，沿射线AB方向以每秒5个单位的速度运动，动点Q从C点出发，以相同的速度在线段AC上由C向A运动，当Q点运动到A点时，P、Q两点同时停止运动．以PQ为边作正方形PQEF（P、Q、E、F按逆时针排序），以CQ为边在AC上方作正方形QCGH.

（1）求tanA的值；

（2）设点P运动时间为t，正方形PQEF的面积为S，请探究S是否存在最小值？

若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由；

（3）当t为何值时，正方形PQEF的某个顶点（Q点除外）落在正方形QCGH的边上，请直接写出t的值．