人教版秋八上数学第14章《整式的乘法与因式分解》全章学案.docx

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人教版秋八上数学第14章《整式的乘法与因式分解》全章学案

第十四章　整式的乘法与因式分解

14．1　整式的乘法

14．1.1　同底数幂的乘法

1．掌握同底数幂的乘法的概念及其运算性质，并能运用其熟练地进行运算；

2．能利用同底数幂的乘法法则解决简单的实际问题．

重点：

同底数幂乘法的运算性质．

难点：

同底数幂乘法的运算性质的灵活运用．

一、自学指导

自学1：

自学课本P95－96页“问题1，探究及例1”，掌握同底数幂的乘法法则，完成下列填空．（7分钟）

1．根据乘方的意义填空：

（－a）2＝a2，（－a）3＝－a3；（m－n）2＝（n－m）2；（a－b）3＝－（b－a）3.

2．根据幂的意义解答：

52×53＝5×5×5×5×5＝55；32×34＝3×3×3×3×3×3＝36；a3·a4＝（a·a·a）·（a·a·a·a）＝a7；am·an＝am＋n（m，n都是正整数）；am·an·ap＝am＋n＋p（m，n，p都是正整数）．

总结归纳：

同底数幂相乘，底数不变，指数相加．

二、自学检测：

学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．（5分钟）

1．课本P96页练习题．

2．计算：

（1）10·102·104；

（2）x2＋a·x2a＋1；（3）（－x）2·（－x）3；（4）（a＋1）（a＋1）2.

解：

（1）10·102·104＝101＋2＋4＝107；

（2）x2＋a·x2a＋1＝x（2＋a）＋（2a＋1）＝x3a＋3；

（3）（－x）2·（－x）3＝（－x）2＋3＝（－x）5＝－x5；

（4）（a＋1）（a＋1）2＝（a＋1）1＋2＝（a＋1）3.

点拨精讲：

第

（1）题中第一个因式的指数为1，第（4）题（a＋2）可以看作一个整体．

小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．（10分钟）

探究1　计算：

（1）（－x）4·x10；

（2）－x4·（－x）8；（3）1000×10a×10a＋1；（4）（x－y）·（y－x）3.

解：

（1）（－x）4·x10＝x4·x10＝x14；

（2）－x4·（－x）8＝－x4·x8＝－x12；

（3）1000×10a×10a＋1＝103·10a·10a＋1＝102a＋4；

（4）（x－y）·（y－x）3＝－（y－x）·（y－x）3＝－（y－x）4.

点拨精讲：

应运用化归思想将之化为同底数的幂相乘，运算时要先确定符号．

探究2　已知am＝3，an＝5（m，n为整数），求am＋n的值．

解：

am＋n＝am·an＝3×5＝15

点拨精讲：

一般逆用公式有时可使计算简便．

学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．（8分钟）

1．计算：

（1）a·a2·a4；

（2）x·x2＋x2·x；

（3）（－p）3·（－p）2＋（－p）4·p；

（4）（a＋b）2m（a＋b）m＋1；

（5）（x－y）3（x－y）2（y－x）；

（6）（－x）4·x7·（－x）3.

解：

（1）a·a2·a4＝a7；

（2）x·x2＋x2·x＝x3＋x3＝2x3；

（3）（－p）3·（－p）2＋（－p）4·p＝（－p）5＋p4·p＝－p5＋p5＝0；

（4）（a＋b）2m（a＋b）m＋1＝（a＋b）3m＋1；

（5）（x－y）3（x－y）2（y－x）＝－（x－y）3（x－y）2（x－y）＝－（x－y）6；

（6）（－x）4·x7·（－x）3＝x4·x7·（－x3）＝－x14.

点拨精讲：

注意符号和运算顺序，第1题中a的指数1千万别漏掉了．

2．已知3a＋b·3a－b＝9，求a的值．

解：

∵3a＋b·3a－b＝32a＝9，∴32a＝32，∴2a＝2，即a＝1.

点拨精讲：

左边进行同底数幂的运算后再对比指数．

3．已知am＝3，am＋n＝6，求an的值．

解：

∵am＋n＝am·an＝6，an＝3，∴3×an＝6，∴an＝2.

（3分钟）1.化归思想方法（也叫做转化思想方法）是人们学习、生活、生产中的常用方法．遇到新问题时，可把新问题转化为熟知的问题，例如（－a）6·a10转化为a6·a10.

2．联想思维方法：

要注意公式之间的联系，例如看到am＋n就要联想到am·an，它是公式的逆用．

（学生总结本堂课的收获与困惑）（2分钟）

（10分钟）

14．1.2　幂的乘方

1．理解幂的乘方法则；

2．运用幂的乘方法则计算．

重点：

理解幂的乘方法则．

难点：

幂的乘方法则的灵活运用．

一、自学指导

自学1：

自学课本P96－97页“探究及例2”，理解幂的乘方的法则完成填空．（5分钟）

（1）52中，底数是5，指数是2，表示2个5相乘；（52）3表示3个52相乘；

（2）（52）3＝52×52×52（根据幂的意义）

＝5×5×5×5×5×5（根据同底数幂的乘法法则）

＝52×3；

（am）2＝am·am＝a2m（根据am·an＝am＋n）；

（am）n＝am·am…am,\s\up6（n个am））（根据幂的意义）

＝am＋m＋…＋m,\s\up6（n个m））（根据同底数幂的乘法法则）

＝amn（根据乘法的意义）．

总结归纳：

幂的乘方，底数不变，指数相乘．（am）n＝amn（m，n都是正整数）．

二、自学检测：

学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．（7分钟）

1．课本P97页练习题．

2．计算：

（1）（103）2；

（2）（x3）5；（3）（－xm）5；（4）（a2）4·a5.

解：

（1）（103）2＝103×2＝106；

（2）（x3）5＝x3×5＝x15；

（3）（－xm）5＝－x5m；（4）（a2）4·a5＝a2×4·a5＝a8·a5＝a13.

点拨精讲：

遇到乘方与乘法的混算应先乘方再乘法．

3．计算：

（1）[（－x）3]2；

（2）（－24）3；（3）（－23）4；（4）（－a5）2＋（－a2）5.

解：

（1）[（－x）3]2＝（－x3）2＝x6；

（2）（－24）3＝－212；（3）（－23）4＝212；（4）（－a5）2＋（－a2）5＝a10－a10＝0.

点拨精讲：

弄清楚底数才能避免符号错误，混合运算时首先确定运算顺序．

小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．（10分钟）

探究1　若42n＝28，求n的值．

解：

∵4＝22，∴42n＝（22）2n＝24n，∴4n＝8，∴n＝2

点拨精讲：

可将等式两边化成底数或指数相同的数，再比较．

探究2　已知am＝3，an＝4（m，n为整数），求a3m＋2n的值．

解：

a3m＋2n＝a3m·a2n＝（am）3·（an）2＝33×42＝27×16＝432.

学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．（8分钟）

1．填空：

108＝（　　）2，b27＝（　　）9，（ym）3＝（　　）m，p2n＋2＝（　　　）2.

2．计算：

（1）（－x3）5；

（2）a6（a3）2·（a2）4；（3）[（x－y）2]3；（4）x2x4＋（x2）3.

解：

（1）（－x3）5＝－x15；

（2）a6（a3）2·（a2）4＝a6·a6·a8＝a20；（3）[（x－y）2]3＝（x－y）6；（4）x2x4＋（x2）3＝x6＋x6＝2x6.

3．若xmx2m＝3，求x9m的值．

解：

∵xmx2m＝3，∴x3m＝3，∴x9m＝（x3m）3＝33＝27.

（3分钟）公式（am）n的逆用：

amn＝（am）n＝（an）m.

（学生总结本堂课的收获与困惑）（2分钟）

（10分钟）

14．1.3　积的乘方

1．理解积的乘方法则．

2．运用积的乘方法则计算．

重点：

理解积的乘方法则．

难点：

积的乘方法则的灵活运用．

一、自学指导

自学1：

自学课本P97－98页“探究及例3”，理解积的乘方的法则，完成填空．（5分钟）

填空：

（1）（2×3）3＝216，23×33＝216；（－2×3）3＝－216，（－2）3×33＝－216．

（2）（ab）n＝（ab）·（ab）……（ab）（n）个＝（a·a……a）（n）个·（b·b……b）（n）个＝anbn．

总结归纳：

积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．（ab）n＝anbn（n是正整数）．

推广：

（abc）n＝anbncn（n是正整数）．

点拨精讲：

积的乘方法则的推导实质是从整体到部分的顺序去思考的．

二、自学检测：

学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．（7分钟）

1．课本P98页练习题．

2．计算：

（1）（ab）3；

（2）（－3xy）3；（3）（－2×104）3；（4）（2ab2）3.

解：

（1）（ab）3＝a3b3；

（2）（－3xy）3＝－27x3y3；（3）（－2×104）3＝（－2）3×（104）3＝－8×1012；（4）（2ab2）3＝8a3b6.

3．一个正方体的棱长为2×102毫米．

（1）它的表面积是多少？

（2）它的体积是多少？

解：

（1）6×（2×102）2＝6×（4×104）＝2.4×105，则它的表面积是2.4×105平方毫米；

（2）（2×102）3＝8×106，则它的体积是8×106立方毫米．

小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．（10分钟）

探究1　计算：

（1）（a4·b2）3；

（2）（anb3n）2＋（a2b6）n；（3）[（3a3）2＋（a2）3]2.

解：

（1）（a4·b2）3＝a12b6；

（2）（anb3n）2＋（a2b6）n＝a2nb6n＋a2nb6n＝2a2nb6n；（3）[（3a3）2＋（a2）3]2＝（9a6＋a6）2＝（10a6）2＝100a12.

点拨精讲：

注意先乘方再乘除后加减的运算顺序．

探究2　计算：

（1）（）2013×（）2014；

（2）0.12515×（215）3.

解：

（1）（）2013×（）2014＝（）2013×（）2013×＝（×）2013×＝；

（2）0.12515×（215）3＝（）15×（23）15＝（×23）15＝1.

点拨精讲：

反用（ab）n＝anbn可使计算简便．

学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．（8分钟）

1．计算：

（1）－（－3a2b3）2；

（2）（2a2b）3－3（a3）2b3；（3）（－0.25）2008×（－4）2009.

解：

（1）－（－3a2b3）2＝－9a4b6；

（2）（2a2b）3－（3a3）2b3＝8a6b3－9a6b3＝－a6b3；（3）（－0.25）2008×（－4）2009＝（）2008×（－42009）＝－（×4）2008×4＝－4.

点拨精讲：

可从里向外乘方也可从外向内乘方，但要注意符号问题．在计算中如遇底数互为相反数指数相同的，可反用积的乘方法则使计算简便．

2．填空：

4ma3mb2m＝（4a3b2）m.

（3分钟）公式（ab）n＝anbn（n为正整数）的逆用：

anbn＝（ab）n（n为正整数）．

（学生总结本堂课的收获与困惑）（2分钟）

（10分钟）

14．1.4　整式的乘法

（1）

1．了解单项式与单项式的乘法法则；

2．运用单项式与单项式的乘法法则计算．

重点：

单项式与单项式的乘法法则．

难点：

运用单项式与单项式的乘法法则计算．

一、自学指导

自学1：

自学课本P98－99页“思考题及例4”，理解单项式与单项式乘法的法则，完成下列填空．（5分钟）

1．填空：

（ab）c＝（ac）b；aman＝aman＝am＋n（m，n都是正整数）；（am）n＝amn（m，n都是正整数）；（ab）n＝anbn（n都是正整数）．

2．计算：

a2－2a2＝－a2，a2·2a3＝2a5，（－2a3）2＝4a6；

x2yz·4xy2＝（×4）·x（2＋1）y（1＋2）z＝2x3y3z．

总结归纳：

单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单