苏科版七年级下+941完全平方公式.docx

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苏科版七年级下+941完全平方公式

苏科版七年级下9.3

（1）完全平方公式

一．选择题（共8小题）

1．下列运算中，正确的是（　　）

A．（a+b）2=a2+b2B．（﹣x﹣y）2=x2+2xy+y2

C．（x+3）（x﹣2）=x2﹣6D．（﹣a﹣b）（a+b）=a2﹣b2

2．若（a+b）2=（a﹣b）2+A，则A为（　　）

A．2abB．﹣2abC．4abD．﹣4ab

3．不论x，y为何有理数，x2+y2﹣10x+8y+45的值均为（　　）

A．正数B．零C．负数D．非负数

4．若|a﹣b|=1，则b2﹣2ab+a2的值为（　　）

A．1B．﹣1C．±1D．无法确定

5．己知（x﹣y）2=49，xy=2，则x2+y2的值为（　　）

A．53B．45C．47D．51

6．如果x2+mx+9是一个完全平方式，则m的值为（　　）

A．3B．6C．±3D．±6

7．利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．例如，根据图甲，我们可以得到两数和的平方公式：

（a+b）2=a2+2ab+b2．你根据图乙能得到的数学公式是（　　）

A．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2B．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2

C．a（a+b）=a2+abD．a（a﹣b）=a2﹣ab

8．用四个完全一样的长方形（长、宽分别设为x、y）拼成如图所示的大正方形，已知大正方形的面积为36，中间空缺的小正方形的面积为4，则下列关系式中不正确的是（　　）

A．x+y=6B．x﹣y=2C．x•y=8D．x2+y2=36

二．填空题（共10小题）

9．若a+b=5，ab=6，则a2+b2=　　．

10．已知a+

=3，则a2+

的值是　　．

11．已知x2﹣5x+1=0，则x2+

=　　．

12．若（x+y）2=11，（x﹣y）2=7，则xy的值为　　．

13．仔细观察杨辉三角系数表，按规律写出（a+b）4展开式所缺的系数：

（a+b）=a+b

（a+b）2=a2+2ab+b2

（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3

（a+b）4=a4+4a3b+　　a2b2+4ab3+b4．

14．已知a＞b，ab=2且a2+b2=5，则a﹣b=　　．

15．已知（a+b）2=8，（a﹣b）2=5，则a2+b2=　　，ab=　　．

16．若a+b=3，ab=1，则a2+3ab+b2=　　．

17．己知a2+ab+b2=7，a2﹣ab+b2=9，则（a+b）2=　　．

18．如图，边长为（m+2）的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），若拼成的矩形一边长为2，则另一边长是　　．（用含m的代数式表示）

三．解答题（共7小题）

19．计算：

x（x+1）﹣（x﹣1）2．

20．计算：

2x（x﹣2y）﹣（2x﹣y）2．

21．已知（x+y）2=49，（x﹣y）2=1，求下列各式的值：

（1）x2+y2；

（2）xy．

22．

（1）比较a2+b2与2ab的大小（用“＞”、“＜”或“=”填空）：

①当a=3，b=2时，a2+b2　　2ab，

②当a=﹣1，b=﹣1时，a2+b2　　2ab，

③当a=1，b=﹣2是，a2+b2　　2ab．

（2）猜想a2+b2与2ab有怎样的大小关系？

并证明你的结论．

23．先阅读下面的内容，再解决问题，

例题：

若m2+2mn+2n2﹣6n+9=0，求m和n的值．

解：

∵m2+2mn+2n2﹣6n+9=0

∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9=0

∴（m+n）2+（n﹣3）2=0

∴m+n=0，n﹣3=0

∴m=﹣3，n=3

问题

（1）若x2+2y2﹣2xy+4y+4=0，求xy的值．

（2）已知a，b，c是△ABC的三边长，满足a2+b2=10a+8b﹣41，且c是△ABC中最长的边，求c的取值范围．

24．如图1是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中的虚线剪开均分成四个小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形．

（1）图2中的阴影部分的正方形的边长可表示为　　；

（2）观察并分析图2中阴影部分面积的不同表示方法，你能写出（m+n）2，（m﹣n）2，mn三个代数式之间的等量关系吗？

（3）根据

（2）题中等量关系，解决下列问题：

若m+n=5，mn=4，求m﹣n的值．

25．把几个图形拼成一个新的图形，再通过图形面积的计算，常常可以得到一些有用的式子，或可以求出一些不规则图形的面积．

（1）如图1，是将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为a+b+c的正方形，试用不同的方法计算这个图形的面积，你能发现什么结论，请写出来．

（2）如图2，是将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B、C、G三点在同一直线上，连接BD和BF，若两正方形的边长满足a+b=10，ab=20，你能求出阴影部分的面积吗？

苏科版七年级下9.3

（1）完全平方公式

参考答案与试题解析

一．选择题（共8小题）

1．（2015春•罗湖区期末）下列运算中，正确的是（　　）

A．（a+b）2=a2+b2B．（﹣x﹣y）2=x2+2xy+y2

C．（x+3）（x﹣2）=x2﹣6D．（﹣a﹣b）（a+b）=a2﹣b2

【分析】根据完全平方式，把A、B项展开，多项式乘以多项式的法则把C、D项展开，然后与等式右边对比即可判断正误．

【解答】解：

A、（a+b）2=a2+2ab+b2≠a2+b2，故本选项错误；

B、（﹣x﹣y）2=x2+2xy+y2，故本选项正确；

C、（x+3）（x﹣2）=x2+x﹣6≠x2﹣6，故本选项错误；

D、（﹣a﹣b）（a+b）=﹣（a+b）2≠a2﹣b2，故本选项错误．

故选：

B．

【点评】本题主要考查完全平方式和多项式的乘法法则，熟练掌握公式和法则是求解的关键．

2．（2016秋•罗庄区期末）若（a+b）2=（a﹣b）2+A，则A为（　　）

A．2abB．﹣2abC．4abD．﹣4ab

【分析】把A看作未知数，只需将完全平方式展开，用（a+b）2﹣（a﹣b）2即可求得A．

【解答】解：

∵（a+b）2=a2+2ab+b2，（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2，

∴A=（a+b）2﹣（a﹣b）2=4ab．

故选C．

【点评】此题主要考查了完全平方式：

（a+b）2=a2+2ab+b2与（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2两公式的联系，它们的差是两数乘积的四倍．

3．（2016春•苏州期末）不论x，y为何有理数，x2+y2﹣10x+8y+45的值均为（　　）

A．正数B．零C．负数D．非负数

【分析】根据完全平方公式对代数式整理，然后再根据平方数非负数的性质进行判断．

【解答】解：

x2+y2﹣10x+8y+45，

=x2﹣10x+25+y2+8y+16+4，

=（x﹣5）2+（y+4）2+4，

∵（x﹣5）2≥0，（y+4）2≥0，

∴（x﹣5）2+（y+4）2+4＞0，

故选：

A．

【点评】此题主要考查完全平方式和平方数非负数的性质，比较简单．

4．（2016春•盐城校级期中）若|a﹣b|=1，则b2﹣2ab+a2的值为（　　）

A．1B．﹣1C．±1D．无法确定

【分析】先把b2﹣2ab+a2化成完全平方式，然后讨论a﹣b的正负性，最后求解．

【解答】解：

b2﹣2ab+a2=（a﹣b）2，

又∵|a﹣b|=1

∴a﹣b=1或﹣1，

∴b2﹣2ab+a2=（a﹣b）2=1．

故选A．

【点评】本题主要考查完全平方公式的逆用，熟练掌握公式并灵活运用是解题的关键．

5．（2016春•宝应县期末）己知（x﹣y）2=49，xy=2，则x2+y2的值为（　　）

A．53B．45C．47D．51

【分析】原式利用完全平方公式变形，将已知等式代入计算即可求出值．

【解答】解：

∵（x﹣y）2=49，xy=12，

∴x2+y2=（x﹣y）2+2xy=49+4=53．

故选：

A．

【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．

6．（2016春•怀柔区期末）如果x2+mx+9是一个完全平方式，则m的值为（　　）

A．3B．6C．±3D．±6

【分析】这里首末两项是x和3这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x和3的积的2倍，故m=±6．

【解答】解：

∵（x±3）2=x2±6x+9，

∴在x2+mx+9中，m=±6．

故选D．

【点评】本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．

7．（2016春•莘县期末）利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．例如，根据图甲，我们可以得到两数和的平方公式：

（a+b）2=a2+2ab+b2．你根据图乙能得到的数学公式是（　　）

A．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2B．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2

C．a（a+b）=a2+abD．a（a﹣b）=a2﹣ab

【分析】根据图形，左上角正方形的面积等于大正方形的面积减去两个矩形的面积，然后加上多减去的右下角的小正方形的面积．

【解答】解：

大正方形的面积=（a﹣b）2，

还可以表示为a2﹣2ab+b2，

∴（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2．

故选B．

【点评】正确列出正方形面积的两种表示是得出公式的关键，也考查了对完全平方公式的理解能力．

8．（2016春•扬州期末）用四个完全一样的长方形（长、宽分别设为x、y）拼成如图所示的大正方形，已知大正方形的面积为36，中间空缺的小正方形的面积为4，则下列关系式中不正确的是（　　）

A．x+y=6B．x﹣y=2C．x•y=8D．x2+y2=36

【分析】根据正方形的面积分别求出小正方形和大正方形的边长，然后结合图形列出关于x、y的方程，求出x、y的值，分别计算即可得解．

【解答】解：

∵大正方形的面积为36，中间空缺的小正方形的面积为4，

∴大正方形的边长是6，中间空缺的小正方形的边长为2，

∴x+y=6①，x﹣y=2②，

①+②得，2x=8，

解得x=4，

①﹣②得，2y=4，

解得y=2，

∴x•y=2×4=8，x2+y2=22+42=20，

∴关系式中不正确的是x2+y2=36．

故选D．

【点评】本题考查了完全平方公式的几何背景，主要利用了正方形的面积与边长的关系，观察图形得到长方形的长与宽的关系式是解题的关键．

二．填空题（共10小题）

9．（2016春•北京期末）若a+b=5，ab=6，则a2+b2=　13　．

【分析】先把a+b=5两边平方得（a+b）2=25，展开为a2+2ab+b2=25，再整体代入计算即可．

【解答】解：

a2+b2=（a+b）2﹣2ab=13．

【点评】本题考查了完全平方公式的运用，一般情况下a2+b2与（a+b）2有着内在的联系，此题经常是通过完全平方式和整体代入ab的值来求得a2+b2的值．

10．（2016春•惠安县期末）已知a+

=3，则a2+

的值是　7　．

【分析】把已知条件两边平方，然后整理即可求解．完全平方公式：

（a±b）2=a2±2ab+b2．

【解答】解：

∵a+

=3，

∴a2+2+

=9，

∴a2+

=9﹣2=7．

故答案为：

7．

【点评】本题主要考查了完全平方公式，利用公式把已知条件两边平方是解题的关键．

11．（2016春•淮阴区期末）已知x2﹣5x+1=0，则x2+

=　23　．

【分析】将方程x2﹣5x+1=0，两边同时除以x，可得出x+

=5，再平方可得出

的值．

【解答】解：

∵x2﹣5x+1=0，

∴x+

=5（方程两边同时除以x），

故可得则

+2=25，

解得：

=23．

故答案为：

23．

【点评】此题考查了完全平方式的知识，将方程变形得出x+

=5是解答本题的关键，难度一般．

12．（2016春•青岛校级期末）若（x+y）2=11，（x﹣y）2=7，则xy的值为　1　．

【分析】直接利用完全平方公式将原式展开，进而求出答案．

【解答】解：

∵（x+y）2=11，（x﹣y）2=7，

∴x2+y2+2xy=11①，x2+y2﹣2xy=7②，

∴①﹣②得：

4xy=4，

解得：

xy=1．

故答案为：

1．

【点评】此题主要考查了完全平方公式，正确记忆公式是解题关键．

13．（2016秋•罗平县期末）仔细观察杨辉三角系数表，按规律写出（a+b）4展开式所缺的系数：

（a+b）=a+b

（a+b）2=a2+2ab+b2

（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3

（a+b）4=a4+4a3b+　6　a2b2+4ab3+b4．

【分析】根据杨辉三角，下一行的系数是上一行相邻两系数的和，然后写出各项的系数即可．

【解答】解：

∵（a+b）=a+b

（a+b）2=a2+2ab+b2

（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3

∴（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4．

故答案为：

6．

【点评】本题考查了完全平方公式，能发现（a+b）n展开后，各项是按a的降幂排列的，系数依次是从左到右（a+b）n﹣1系数之和．它的两端都是由数字1组成的，而其余的数则是等于它肩上的两个数之和．

14．（2016春•太仓市期末）已知a＞b，ab=2且a2+b2=5，则a﹣b=　1　．

【分析】由a大于b，得到a﹣b大于0，利用完全平方公式化简（a﹣b）2，把各自的值代入计算，开方即可求出值．

【解答】解：

∵a＞b，即a﹣b＞0，ab=2且a2+b2=5，

∴（a﹣b）2=a2+b2﹣2ab=5﹣4=1，

则a﹣b=1，

故答案为：

1

【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．

15．（2016春•南京校级期末）已知（a+b）2=8，（a﹣b）2=5，则a2+b2=　6.5　，ab=　0.75　．

【分析】已知两式利用完全平方公式化简，相加减即可求出所求式子的值．

【解答】解：

∵（a+b）2=a2+2ab+b2=8①，（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2=5②，

∴①+②得：

2（a2+b2）=13，①﹣②得：

4ab=3，

解得：

a2+b2=6.5，ab=0.75，

故答案为：

6.5；0.75

【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．

16．（2016秋•海安县期末）若a+b=3，ab=1，则a2+3ab+b2=　10　．

【分析】根据a2+3ab+b2=（a+b）2+ab，代入计算即可．

【解答】解：

∵a+b=3，ab=2，

∴a2+3ab+b2=（a+b）2+ab=9+1=10．

故答案为：

10．

【点评】本题考查对完全平方公式的变形应用能力，要熟记有关完全平方的几个变形公式．

17．（2016春•丹阳市期末）己知a2+ab+b2=7，a2﹣ab+b2=9，则（a+b）2=　6　．

【分析】已知两等式相加减求出a2+b2与ab的值，原式利用完全平方公式化简，将各自的值代入计算即可求出值．

【解答】解：

∵a2+ab+b2=7①，a2﹣ab+b2=9②，

∴①+②得：

2（a2+b2）=16，即a2+b2=8，

①﹣②得：

2ab=﹣2，即ab=﹣1，

则原式=a2+b2+2ab=8﹣2=6，

故答案为：

6

【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．

18．（2010秋•丹徒区期末）如图，边长为（m+2）的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），若拼成的矩形一边长为2，则另一边长是　2m+2　．（用含m的代数式表示）

【分析】由于边长为（m+2）的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），那么根据正方形的面积公式，可以求出剩余部分的面积，而矩形一边长为2，利用矩形的面积公式即可求出另一边长．

【解答】解：

依题意得剩余部分为

（m+2）2﹣m2=m2+4m+4﹣m2=4m+4，

而拼成的矩形一边长为2，

∴另一边长是（4m+4）÷2=2m+2．

故答案为：

2m+2．

【点评】本题主要考查了多项式除以单项式，解题关键是熟悉除法法则．

三．解答题（共7小题）

19．（2016•合肥模拟）计算：

x（x+1）﹣（x﹣1）2．

【分析】根据完全平方公式，即可解答．

【解答】解：

x（x+1）﹣（x﹣1）2

=x2+x﹣x2+2x﹣1

=3x﹣1．

【点评】本题考查了完全平方公式，解决本题的关键是熟记完全平方公式．

20．（2016•宜春模拟）计算：

2x（x﹣2y）﹣（2x﹣y）2．

【分析】根据完全平方公式，即可解答．

【解答】解：

原式=2x2﹣4xy﹣（4x2﹣4xy+y2）

=2x2﹣4xy﹣4x2+4xy﹣y2

=﹣2x2﹣y2．

【点评】本题考查了完全平方公式，解决本题的关键是熟记完全平方公式．

21．（2016春•忻城县期中）已知（x+y）2=49，（x﹣y）2=1，求下列各式的值：

（1）x2+y2；

（2）xy．

【分析】根据完全平方公式把（x+y）2和（x﹣y）2展开，然后相加即可求出x2+y2的值，相减即可求出xy的值．

【解答】解：

由题意知：

（x+y）2=x2+y2+2xy=49①，

（x﹣y）2=x2+y2﹣2xy=1②，

①+②得：

（x+y）2+（x﹣y）2，

=x2+y2+2xy+x2+y2﹣2xy，

=2（x2+y2），

=49+1，

=50，

∴x2+y2=25；

①﹣②得：

4xy=（x+y）2﹣（x﹣y）2=49﹣1=48，

∴xy=12．

【点评】本题考查了完全平方公式，灵活运用完全平方公式，熟记公式是解题的关键．

22．（2015春•秦淮区期末）

（1）比较a2+b2与2ab的大小（用“＞”、“＜”或“=”填空）：

①当a=3，b=2时，a2+b2　＞　2ab，

②当a=﹣1，b=﹣1时，a2+b2　=　2ab，

③当a=1，b=﹣2是，a2+b2　＞　2ab．

（2）猜想a2+b2与2ab有怎样的大小关系？

并证明你的结论．

【分析】

（1）①代入a，b的值，分别计算出a2+b2、2ab，即可解答；

②代入a，b的值，分别计算出a2+b2、2ab，即可解答；

③代入a，b的值，分别计算出a2+b2、2ab，即可解答；

（2）将作差，即可比较大小．

【解答】解：

（1）①当a=3，b=2时，a2+b2=13，2ab=12，

∴a2+b2＞2ab；

②当a=﹣1，b=﹣1时，a2+b2=2，2ab=2，

∴a2+b2=2ab；

③当a=1，b=2时，a2+b2=5，2ab=4，

∴a2+b2＞2ab；

故答案为：

①＞，②=，③＞；

（2）∵a2+b2﹣2ab=（a﹣b）2≥0，

∴a2+b2≥2ab．

【点评】本题考查了完全平分公式，解决本题的关键是熟记完全平分公式．

23．（2015秋•嘉祥县期末）先阅读下面的内容，再解决问题，

例题：

若m2+2mn+2n2﹣6n+9=0，求m和n的值．

解：

∵m2+2mn+2n2﹣6n+9=0

∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9=0

∴（m+n）2+（n﹣3）2=0

∴m+n=0，n﹣3=0

∴m=﹣3，n=3

问题

（1）若x2+2y2﹣2xy+4y+4=0，求xy的值．

（2）已知a，b，c是△ABC的三边长，满足a2+b2=10a+8b﹣41，且c是△ABC中最长的边，求c的取值范围．

【分析】

（1）先利用完全平方公式整理成平方和的形式，然后根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入代数式计算即可；

（2）先利用完全平方公式整理成平方和的形式，再利用非负数的性质求出a、b的值，然后利用三角形的三边关系即可求解．

【解答】解：

（1）x2+2y2﹣2xy+4y+4

=x2﹣2xy+y2+y2+4y+4

=（x﹣y）2+（y+2）2

=0，

∴x﹣y=0，y+2=0，

解得x=﹣2，y=﹣2，

∴xy=（﹣2）﹣2=

；

（2）∵a2+b2=10a+8b﹣41，

∴a2﹣10a+25+b2﹣8b+16=0，

即（a﹣5）2+（b﹣4）2=0，

a﹣5=0，b﹣4=0，

解得a=5，b=4，

∵c是△ABC中最长的边，

∴5≤c＜9．

【点评】本题考查了完全平方公式以及非负数的性质，利用完全平方公式配方成平方和的形式是解题的关键．

24．（2016春•句容市期中）如图1是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中的虚线剪开均分成四个小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形．

（1）图2中的阴影部分的正方形的边长可表示为　（m﹣n）2或（m+n）2﹣4mn　；

（2）观察并分析图2中阴影部分面积的不同表示方法，你能写出（m+n）2，（m﹣n）2，mn三个代数式之间的等量关系吗？

（3）根据

（2）题中等量关系，解决下列问题：

若m+n=5，mn=4，求m﹣n的值．

【分析】

（1）根据图形中各个部分的面积得出即可；

（2）根据

（1）中的结果即可得出答案；

（3）先根据

（2）的结果进行变形，再代入求出即可．

【解答】解：

（1）图中阴影部分的面积为（m﹣n）2或（m+n）2﹣4mn，

故答案为：

（m﹣n）2或（m+n）2﹣4mn；

（2）关系为：

（m﹣n）2=（m+n）2﹣4mn；

（3）∵m+n=5，mn=4，

∴（m﹣n）2=（m+n）2﹣4mn=52﹣4×4=9，

∴m﹣n=±3．

【点评】本题考查了完全平方公式的应用，能熟记完全平方公式是解此题的关键，注意：

（a+b）2=a2+2ab+b2，（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2，（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab．

25．（2016秋•扶沟县期末）把几个图形拼成一个新的图形，再通过图形面积的计算，常常可以得到一些有用的式子，或可以求出一些不规则图形的面积．

（1）如图1，是将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为a+b+c的正方形，试用不同的方法计算这个图形的面积，你能发现什么结论，请写出来．

（2）如图2，是将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B、C、G三点在同一直线上，连接BD和BF，若两正方形的边长满足a+b=10，ab=20，你能求出阴影部分的面积吗？

【分析】

（1）此题根据面积的不同求解方法，可得到不同的表示方法．一种可以是3个正方形的面积和6个矩形的面积，种是大正方形的面积，可得等式

（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，

（2）利用S阴影=正方形ABCD的面积+正方形ECGF的面积﹣三角形BGF的面积﹣三角形ABD的面积求解．

【解答】

（1）（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac

（2）∵a+b=10，ab=20，

∴S阴影=a2+b2﹣

（a+b）•b﹣

a2=

a2+

b2﹣

ab=

（a+b）2﹣

ab=

×102﹣

×20=50﹣30=20．

【点评】本题考查了完全平方公式几何意义，解题的关键是注意图形的分割与拼合，会用不同的方法表示同一图形的面积．