课堂新坐标高中数学北师大版必修四练习章末综合测评2含答案解析.docx

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课堂新坐标高中数学北师大版必修四练习章末综合测评2含答案解析

章末综合测评

（二）　平面向量

（时间120分钟，满分150分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．（2016·淮北高一检测）化简－＋－得（　　）

A．　　　　　B．

C.D．0

【解析】　－＋－

＝＋－（＋）＝－＝0.

【答案】　D

2．已知a，b都是单位向量，则下列结论正确的是（　　）

A．a·b＝1B．a2＝b2

C．a∥b⇒a＝bD．a·b＝0

【解析】　因为a，b都是单位向量，所以|a|＝|b|＝1，所以|a|2＝|b|2，即a2＝b2.

【答案】　B

3．已知A，B，C为平面上不共线的三点，若向量＝（1,1），n＝（1，－1），且n·＝2，则n·等于（　　）

A．－2B．2

C．0D．2或－2

【解析】　因为n·＝n·（－）

＝n·－n·.

又n·＝（1，－1）·（1,1）＝1－1＝0，

所以n·＝n·＝2.

【答案】　B

4．（2015·全国卷Ⅰ）设D为△ABC所在平面内一点，＝3，则（　　）

A．＝－＋

B.＝－

C.＝＋

D.＝－

【解析】　＝＋＝＋＝＋（－）＝－＝－＋.故选A．

【答案】　A

5．已知向量a，b不共线，实数x，y满足（3x－4y）a＋（2x－3y）b＝6a＋3b，则x－y的值为（　　）

A．3B．－3

C．0D．2

【解析】　由原式可得解得

∴x－y＝3.

【答案】　A

6．设向量a＝（－1,2），b＝（1，－1），c＝（3，－2），用a，b作基底可将c表示为c＝pa＋qb，则实数p，q的值为（　　）

A．p＝4，q＝1B．p＝1，q＝4

C．p＝0，q＝4D．p＝1，q＝－4

【解析】　∵c＝（3，－2）＝pa＋qb＝（－p＋q,2p－q），

∴解得

【答案】　B

7．（2015·山东高考）已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝60°，则·＝（　　）

A．－a2B．－a2

C.a2D．a2

【解析】　由已知条件得·＝·＝a·acos30°＝a2，故选D.

【答案】　D

8．若|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，且c⊥a，则向量a与b的夹角为（　　）

【导学号：

66470061】

A．30°B．60°

C．120°D．150°

【解析】　因为c⊥a，所以c·a＝0，即（a＋b）·a＝0，

所以a·b＝－a2＝－1.设a·b的夹角为θ，

所以cosθ＝＝＝－.

又θ∈[0，π]，

所以θ＝120°.

【答案】　C

9．数轴上点A，B，C的坐标分别为－1,1,5，则下列结论错误的是（　　）

A．的坐标是2B．＝－3

C.的坐标是4D．＝2

【解析】　答案C不正确．故选C.

【答案】　C

10．设0≤θ<2π，已知两个向量＝（cosθ，sinθ），＝（2＋sinθ，2－cosθ），则向量长度的最大值为（　　）

A．B．

C．3D．2

【解析】　因为＝－＝（2＋sinθ－cosθ，2－cosθ－sinθ），

所以||＝

＝≤3.

【答案】　C

11．（2016·蜀山高一检测）如图1所示，半圆的直径AB＝4，O为圆心，C是半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径上的动点，则（＋）·的最小值为（　　）

图1

A．2B．0

C．－1D．－2

【解析】　由平行四边形法则得＋＝2，

故（＋）·＝2·，又||＝2－||

且·反向，设||＝t（0≤t≤2），

则（＋）·＝2·＝－2t（2－t）

＝2（t2－2t）＝2[（t－1）2－1]．

∵0≤t≤2，

∴当t＝1时，（＋）·的最小值为－2.

【答案】　D

12．在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则等于（　　）

A．2B．4

C．5D．10

【解析】　∵＝－，

∴||2＝2－2·＋2.

∵＝－，∴||2＝2－2·＋2，

∴||2＋||2＝（2＋2）－2·（＋）＋22＝2－2·2＋22.

又2＝162，＝2，代入上式整理得||2＋||2＝10||2，故所求值为10.

【答案】　D

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上）

13．（2015·湖北高考）已知向量⊥A，||＝3，则·＝________.

【解析】　因为⊥，所以·＝·（－）＝·－＝0，所以·＝＝||2＝9，即·＝9.

【答案】　9

14．有一两岸平行的河流，水速为1，小船的速度为，为使所走路程最短，小船应朝与水速成________角的方向行驶．

【解析】　

如图，为水速，是船行驶路程最短的情形，是船行驶的速度，不难知道∠AOB＝135°.

【答案】　135°

15．（2015·湖南高考改编）已知点A，B，C在圆x2＋y2＝1上运动，且AB⊥BC，若点P的坐标为（2,0），则|＋＋|的最大值为________．

【解析】　法一：

AC为Rt△ABC的斜边，则AC为圆x2＋y2＝1的一条直径，故AC必经过原点，如图，则＋＝2，|＋＋|＝|2＋|≤2||＋||，当P，O，B三点共线时取等号，即当B落在点（－1,0）处时|＋＋|取得最大值，此时，＝（－2,0），＝（－3,0），2||＋||＝2×2＋3＝7，故|＋＋|的最大值为7.

法二：

同法一，得|＋＋|＝|2＋|.

又＝－，

∴|＋＋|＝|2＋－|＝|－3|

＝

＝

＝≤＝7，

当且仅当∠POB＝180°时取“等号”，故|＋＋|的最大值为7.

法三：

同法一，得|＋＋|＝|2＋|.设B（cosα，sinα），则|2＋|＝|2（－2,0）＋（cosα－2，sinα）|＝|（－6＋cosα，sinα）|

＝

＝≤＝7（当cosα＝－1，即B落在点（－1,0）处时取等号）．

故|＋＋|的最大值为7.

【答案】　7

16.如图2，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，＝3，·＝2，则·的值是________．

图2

【解析】　由＝3，得＝＝，＝＋＝＋，＝－＝＋－＝－.因为·＝2，所以·＝2，即2－·－AB＝2.又因为＝25，＝64，所以·＝22.

【答案】　22

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分10分）已知梯形ABCD中，AB∥CD，∠CDA＝∠DAB＝90°，CD＝DA＝AB.求证：

AC⊥BC.

【导学号：

66470062】

【证明】　以A为原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系如图，设AD＝1，则A（0,0），B（2,0），C（1,1），D（0,1），

所以＝（－1,1），＝（1,1），·＝－1×1＋1×1＝0，

所以AC⊥BC.

18．（本小题满分12分）（2016·无锡高一检测）设＝（2，－1），＝（3,0），＝（m,3）．

（1）当m＝8时，将用和表示；

（2）若A，B，C三点能构成三角形，求实数m应满足的条件．

【解】　

（1）当m＝8时，＝（8,3），设＝x＋y，则

（8,3）＝x（2，－1）＋y（3,0）＝（2x＋3y，－x），

所以所以

所以＝－3＋.

（2）因为A，B，C三点能构成三角形，

所以，不共线，

＝（1,1），＝（m－2,4），

所以1×4－1×（m－2）≠0，所以m≠6.

19．（本小题满分12分）平面内有四边形ABCD，＝2，且AB＝CD＝DA＝2，＝a，＝b，M是CD的中点．

（1）试用a，b表示；

（2）AB上有点P，PC和BM的交点Q，PQ∶QC＝1∶2，求AP∶PB和BQ∶QM.

【解】　

（1）＝（＋）

＝（＋＋2）＝a＋b.

（2）设＝t，则

＝＋＝＋＝2＋（＋）＝t＋＝（a＋tb）．

设＝λ＝a＋b，

由于，不共线，则有解方程组，

得λ＝，t＝.

故AP∶PB＝2∶1，BQ∶QM＝4∶5.

20．（本小题满分12分）（2016·柳州高一检测）如图3，平行四边形ABCD中，＝a，＝b，＝，＝.

图3

（1）用a，b表示；

（2）若|a|＝1，|b|＝4，∠DAB＝60°，分别求||和·的值．

【解】　

（1）＝－

＝－

＝－＋

＝－a＋b.

（2）∵|a|＝1，|b|＝4，a与b夹角∠DAB＝60°，

∴a·b＝1×4×cos60°＝2，

∴|EF|＝

＝

＝

＝.

∵＝a＋b.

∴·＝（a＋b）·

＝|a|2＋a·b－|b|2

＝×1＋×2－×16

＝－4.

21．（本小题满分12分）已知a＝（1，cosx），b＝，x∈（0，π）．

（1）若a∥b，求的值；

（2）若a⊥b，求sinx－cosx的值．

【解】　

（1）因为a∥b，

所以sinx＝cosx⇒tanx＝，

所以＝＝＝－2.

（2）因为a⊥b，

所以＋sinxcosx＝0⇒sinxcosx＝－，

所以（sinx－cosx）2＝1－2sinxcosx＝.

又因为x∈（0，π）且sinxcosx<0，

所以x∈⇒sinx－cosx>0，

所以sinx－cosx＝.

22.（本小题满分12分）如图4，＝（6,1），＝（x，y），＝（－2，－3）．

图4

（1）若∥，求x与y之间的关系式；

（2）若在

（1）的条件下，又有⊥，求x，y的值及四边形ABCD的面积．

【解】　

（1）∵＝＋＋

＝（6,1）＋（x，y）＋（－2，－3）＝（x＋4，y－2），

∴＝－＝（－x－4,2－y）．

又∵∥，＝（x，y），

∴x（2－y）－y（－x－4）＝0，即x＋2y＝0.

（2）∵＝＋＝（6,1）＋（x，y）＝（x＋6，y＋1），

＝＋＝（x，y）＋（－2，－3）＝（x－2，y－3），

且⊥，∴·＝0，

即（x＋6）（x－2）＋（y＋1）（y－3）＝0.

又由

（1）的结论x＋2y＝0，

∴（6－2y）（－2y－2）＋（y＋1）（y－3）＝0，

化简，得y2－2y－3＝0，∴y＝3或y＝－1.

当y＝3时，x＝－6.于是有

＝（－6,3），＝（0,4），＝（－8,0），

∴||＝4，||＝8，

∴S四边形ABCD＝||||＝16；

当y＝－1时，x＝2.于是有

＝（2，－1），＝（8,0），＝（0，－4），

∴||＝8，||＝4，

∴S四边形ABCD＝||||＝16，

∴或S四边形ABCD＝16.