二次函数最大利润问题.docx

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二次函数最大利润问题

二次函数最大利润问题

44.某企业设计了一款工艺品，每件的成本是 50 元，为了合理定价，投放市场进行试

销．据市场调查，销售单价是 100 元时，每天的销售量是 50 件，而销售单价每降低 1 元，

每天就可多售出 5 件，但要求销售单价不得低于成本．

（1）求出每天的销售利润 y（元）与销售单价 x（元）之间的函数关系式；

（2）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？

最大利润是多少？

（3）如果该企业要使每天的销售利润不低于 4000 元，且每天的总成本不超过 7000 元，那

么销售单价应控制在什么范围内？

（每天的总成本=每件的成本×每天的销售量）

45.某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利 10 元，每天可售出 500 千克．经

市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价 1 元，日销售量将减少 20 千克.

（1）设每天盈利 w 元，求出 w 关于 x 的函数关系式，并说明每天盈利是否可以达到 8000

元？

（2）若该商场要保证每天盈利 6000 元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多

少元？

46.某市政府大力扶持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件 20 元的

护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量 y（件）与销售单价 x（元）之间的关系可近似的

看作一次函数：

y=-10x+500

（1）设李明每月获得利润为 w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？

（2）如果李明想要每月获得 2000 元的利润，那么销售单价应定为多少元？

（3）根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于 32 元，如果李明想要每月获

得的利润不低于 2000 元，那么他每月的成本最少需要多少元？

（成本＝进价×销售量）

47.某商场将每件进价为 160 元的某种商品原来按每件 200 元出售，一天可售出 100 件，后

来经过市场调查，发现这种商品单价每降低 2 元，其销量可增加 10 件．

（1）求商场经营该商品原来一天可获利润多少元？

（2）设后来该商品每件降价 x 元，商场一天可获利润 y 元．

①若商场经营该商品一天要获利润 4320 元，则每件商品应降价多少元？

②求出 y 与 x 之间的函数关系式，当 x 取何值时，商场获利润最大？

并求最大利润值．

48.某工艺品厂生产一款工艺品．已知这款工艺品的生产成本为每件元．经市场调研发

现：

该款工艺品每天的销售量件与售价  元之间存在着如下表所示的一次函数关系．

（1）求销售量件与售价 元之间的函数关系式；

（2）设每天获得的利润为元，当售价 为多少时，每天获得的利润最大？

并求出最大

值.

49.某商场要经营一种新上市的文具，进价为 20 元/件。

试营销阶段发现：

当销售单价是 25

元时，每天的销售量为 250 件；销售单价每上涨 1 元，每天的销售数量就减少 10 件。

（1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润 w（元）与销售单价 （元）之间的函

数关系式；

（2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大.

50.某市政府大力扶持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件 20 元的

护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量 y（件）与销售单价 x（元）之间的关系可近似的

看作一次函数：

．

（1）设李明每月获得利润为 w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？

（2）如果李明想要每月获得 2000 元的利润，那么销售单价应定为多少元？

（3）根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于 32 元，如果李明想要每月获

得的利润不低于 2000 元，那么他每月的成本最少需要多少元？

（成本＝进价×销售量）

51.某宾馆有 50 个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天 180 元时，房间会全部住

满．当每个房间  每天的房价每增加 10 元时，就会有一个房间空闲．宾馆需对游客居住的

每个房间每天支出 20 元的各种费用．根据规定，每个房间每天的房价不得高于 340 元．设

每个房间的房价增加 x 元（x 为 10 的正整数倍）．

（1）设一天订住的房间数为 y，直接写出 y 与 x 的函数关系式及自变量 x 的取值范围；

（2）设宾馆一天的利润为 w 元，求 w 与 x 的函数关系式；

（3）一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？

最大利润是多少元？

52.某文具店销售一种进价为每本 10 元的笔记本，为获得高利润，以不低于进价进行销售，

结果发现，每月销售量 y 与销售单价 x 之间的关系可以近似地看作一次函数：

y=-5x+150，

物价部门规定这种笔记本每本的销售单价不得高于 18 元.

（1）当每月销售量为 70 本时，获得的利润为多少元？

（2）该文具店这种笔记本每月获得利润为 w 元，求每月获得的利润 w 元与销售单价 x 之

间的函数关系式，并写出自变量的取值范围.

（3）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润，最大利润为多少元？

53.某种商品的进价为每件 50 元，售价为每件 60 元，每个月可卖出 200 件；如果每件商品

的售价上涨 1 元，则每个月少卖 10 件（每件售价不能高于 72 元），设每件商品的售价上

涨 x 元（x 为整数），每个月的销售利润为 y 元。

（1）求 y 与 x 的函数关系式并直接写出自变量 x 的取值范围；

（2）每件商品的售价定为多少时每个月可获得最大利润?

最大利润是多少。

54.某商家计划从厂家采购空调和冰箱两种产品共 20 台，空调的采购单价（元/台）与采

购数量（台）满足（，为整数）；冰箱的采购单价

（元/台）与采购数量（台）满足（，为整数）．

（1）经商家与厂家协商，采购空调的数量不少于冰箱数量的，且空调采购单价不低于

1200 元，问该商家共有几种进货方案？

（2）该商家分别以 1760 元／台和 1700 元／台的销售单价售出空调和冰箱，且全部售

完．在

（1）的条件下，问采购空调多少台时总利润最大？

并求最大利润．

55.张经理到老王的果园里一次性采购一种水果,他俩商定：

张经理的采购价元/吨与采购

量  吨之间函数关系的图象如图中的折线段所示（不包含端点,但包含端点）.

（1）求与 之间的函数关系式；

（2）已知老王种植水果的成本是 2800 元/吨，那么张经理的采购量为多少时，老王在这次

买卖中所获的利润最大？

最大利润是多少？

56.某科技开发公司研制出一种新型产品，每件产品的成本为 2400 元，销售单价定为 3000

元．在该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买该新型产品，公司决定商家一次购买

这种新型产品不超过 10 件时，每件按 3000 元销售；若一次购买该种产品超过 10 件时，

每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低 10 元，但销售单价均不低于 2600

元．

（1）商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为 2600 元?

（2）设商家一次购买这种产品 x 件，开发公司所获的利润为 y 元，求 y（元）与 x（件）

之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围．

（3）该公司的销售人员发现：

当商家一次购买产品的件数超过某一数量时，会出现随着一

次购买的数量的增多，公司所获的利润反而减少这一情况.为使商家一次购买的数量越多，

公司所获的利润越大，公司应将最低销售单价调整为多少元?

（其它销售条件不变）

57.国家推行“节能减排\低碳经济”政策后，低排量的汽车比较畅销，某汽车经销商购进

58.

（1）已知方程 x ＋px＋q＝0（p －4q≥0）的两根为 x1、x2，求证：

（2）若二次函数 y= kx +（3k+1）x+3 的图象与 x 轴两个交点的横坐标均为整数，且 k 为

A，B 两种型号的低排量汽车，其中 A 型汽车的进货单价比 B 型汽车的进货单价多 2 万元,

花 50 万元购进 A 型汽车的数量与花 40 万元购进 B 型汽车的数量相等，销售中发现 A 型

汽车的每周销量（台）与售价  （万元/台）满足函数关系式，B 型汽车

的每周销量（台）与售价  万元/台）满足函数关系式．

（1）求 A、B 两种型号的汽车的进货单价；

（2）已知 A 型汽车的售价比 B 型汽车的人售价高 2 万元/台，设 B 型汽车售价为 万元/

台．每周销售这两种车的总利润为万元，求与 的函数关系式，A、B 两种型号的汽

车售价各为多少时，每周销售这两种车的总利润最大？

最大总利润是多少万元？

22

x1＋x2＝－p，x1·x2＝q．

2

2

2

（1）求证：

无论 k 取何值，方程总有两个实数根；

2

整数，求 k 的值。

60.某商品的进价为每件 40 元，售价为每件 50 元，每个月可卖出 210 件；如果每件商品的

售价每上涨 1 元．则每个月少卖 10 件（每件售价不能高于 65 元）．设每件商品的售价上

涨 x 元（x 为正整数），每个月的销售利润为 y 元．

（1）求 y 与 x 的函数关系式并直接写出自变量 x 的取值范围；

（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润?

最大的月利润是多少元?

（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为 2200 元?

根据以上结论，请你直接

写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于 2200 元?

（3）当 y=4000 时，-5（x-80） +4500=4000，

答案：

（1）y=-5x +800x-27500；

（2）  x=80 时，y 最大值=4500；（3）  销售单价应该控制

44.考点：

2.4 二次函数的应用

试题解析：

试题分析：

（1）根据“利润=（售价-成本）×销售量”列出方程；

（2）把

（1）中的二次函数解析式转化为顶点式方程，利用二次函数图象的性质进行解答；

（3）把 y=4000 代入函数解析式，求得相应的 x 值；然后由“每天的总成本不超过 7000 元”

列出关于 x 的不等式 50（-5x+550）≤7000，通过解不等式来求 x 的取值范围．

试题解析：

（1）y=（x-50）[50+5（100-x）]

=（x-50）（-5x+550）

2

2

2

2

∵a=-5＜0，

∴抛物线开口向下．

∵50≤x≤100，对称轴是直线 x=80，

∴当 x=80 时，y 最大值=4500；

2

解得 x1=70，x2=90．

∴当 70≤x≤90 时，每天的销售利润不低于 4000 元．

由每天的总成本不超过 7000 元，得 50（-5x+550）≤7000，

解得 x≥82．

∴82≤x≤90，

∵50≤x≤100，

∴销售单价应该控制在 82 元至 90 元之间．

2

在 82 元至 90 元之间．

45.考点：

2.4 二次函数的应用

试题解析：

试题分析：

（1）设每千克涨价 x 元，利润为 y 元，根据总利润=每千克利润×数量建立式

子，求出 y 与 x 之间的关系，化成顶点式即可求出结论，

（2）把 y=6000 代入

（1）的解析式，根据题意使顾客得到实惠就可以得出结论．

试题解析：

（1）设每千克涨价 x 元，利润为 y 元，由题意，得：

∴a=﹣20＜0，∴抛物线开口向下，当 x=7.5 时，y 最大值=6125，∴每天盈利不能达到 8000 元．

（2）当 y=6000 时，，解得：

，，

∵要使顾客得到实惠，∴x=5．

答：

每千克应涨价为 5 元．

答案：

（1），不能；

（2）5．

46.考点：

2.4 二次函数的应用

试题解析：

试题分析：

（1）由题意得，每月销售量与销售单价之间的关系可近似看作一次函数，利润

=（定价-进价）×销售量，从而列出关系式，然后求二次函数的最大值；

（2）令 w=2000，

然后解一元二次方程，从而求出销售单价；（3）根据抛物线的性质和图象，求出每月的成

本．

试题解析：

解：

（1）由题意，得：

w = （x－20）·y=（x－20）·（）

.

答：

当销售单价定为 35 元时，每月可获得最大利润.

（2）由题意，得：

解这个方程得：

x1 = 30，x2 = 40．

答：

李明想要每月获得 2000 元的利润，销售单价应定为 30 元或 40 元.

（3）∵，∴抛物线开口向下.

∴当 30≤x≤40 时，w≥2000．

∵x≤32，∴当 30≤x≤32 时，w≥2000.

设成本为 P（元），由题意，得：

∵，∴P 随 x 的增大而减小.∴当 x = 32 时，P 最小＝3600.

答：

想要每月获得的利润不低于 2000 元，每月的成本最少为 3600 元．

答案：

见解析

47.考点：

2.4 二次函数的应用

试题解析：

试题分析：

（1）利润=单价利润×数量；

（2）根据题意列出关于 x 的一元二次方程进行求

解；利用二次函数的性质求出 x 和 y 的值.

试题解析：

（1）100×（200－160）=4000（元）

答案：

（1） w=-10x +700x-10000;

（2）  单价为 35 元时，该文具每天的利润最大.

、①、根据题意得：

（200－160－x）（100+5x）=4320化简得：

－20x+64=0

解得：

=4=16经检验=4，=16 都是原方程的解，且符合题意.

答：

商店一天要获利 4320 元，则商品应降价 4 元或 16 元.

②、根据题意得：

y= （200－160－x）（100+5x）=－5+4500

∴当 x=10 时，商场获得最大利润为 4500 元.

答案：

（1）4000 元

（2）①4 或 16②x=10 时，4500 元

48.考点：

2.4 二次函数的应用

试题解析：

试题分析：

（1）设 y=kx+b（k≠0），然后利用待定系数法求一次函数解析式解答；

（2）根据定价求出销售量，再根据利润等于每一件的利润乘以销售量计算即可得解．

试题解析：

（1）设 y=kx+b（k≠0），

∵x=70 时，y=3000，x=90 时，y=1000，

∴，

解得，

所以 y=-100x+10000；

（2）定价为 80 元时，y=-100×80+10000=2000，

每天获得的利润=（80-60）×2000=40000 元．

答案：

（1） y=-100x+10000；

（2） 定价为 80 元, 40000 元．

49.考点：

2.4 二次函数的应用

试题解析：

试题分析：

（1）根据利润=（单价-进价）×销售量，列出函数关系式即可；

（2）根据

（1）式列出的函数关系式，运用配方法求最大值；

试题解析：

（1）由题意得，销售量=250-10（x-25）=-10x+500，

则 w=（x-20）（-10x+500）

2

22

∵-10＜0，

∴函数图象开口向下，w 有最大值，

当 x=35 时，wmax=2250，

故当单价为 35 元时，该文具每天的利润最大.

2

50.考点：

2.4 二次函数的应用

试题解析：

试题分析：

（1）根据每月获得利润=一件的利润×每月销售量，用 x 表示出 W，然后根据

二次函数知识解决问题；

（2）令 W=2000.得，解方程即可；

（3）由

（2）可得，又物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于 32 元，

所以，.

试题解析：

（1）＝（x－20）（－10 x +500）=，所以

当 x =35 时，

＝2250

（2）令 W=2000，则，解得：

（3）由题意得：

且，，当，成本

满足，所以成本最少要 3600 元

答案：

见解析

51.考点：

2.4 二次函数的应用

试题解析：

试题分析：

（1）理解每个房间的房价每增加 x 元，则减少房间间，则可以得到 y 与 x

之间的关系；

（2）每个房间订住后每间的利润是房价减去 20 元，每间的利润与所订的房间数的积就是

利润；

（3）求出二次函数的对称轴，根据二次函数的增减性以及 x 的范围即可求解．

试题解析：

（1）由题意得：

y=50-，且 0≤x≤160，且 x 为 10 的正整数倍．

2

22

抛物线的对称轴是：

x=170，抛物线的开口向下，当 x＜170 时，w 随 x 的增大而增大，

但 0≤x≤160，因而当 x=160 时，即房价是 340 元时，利润最大，

此时一天订住的房间数是：

50-=34 间，

最大利润是：

34×（340-20）=10880 元．

答：

一天订住 34 个房间时，宾馆每天利润最大，最大利润为 10880 元．

答案：

（1）y=50-，且 0≤x≤160，且 x 为 10 的正整数倍．

（2）w=-

2

元．

52.考点：

2.4 二次函数的应用

试题解析：

试题分析：

（1）当 y=70 时，70=-5x+150

解得 x=16

∴ （16-10）×70=420 元.

（2）（x-10）×（-5x+150）

=

∵

∴ 自变量的取值范围为

（3）

∵ a=-5<0

∴ 当时，w 随 x 的增大而增大，

∴ 当 x=18 时，w 有最大值=480 元

答：

当销售单价定为 18 元时，每月可获得最大利润，最大利润为 480 元.

答案：

（1）420 元；

（2）（）；（3）当销售单价

定为 18 元时，每月可获得最大利润，最大利润为 480 元

53.考点：

2.4 二次函数的应用

试题解析：

试题分析：

（1）根据题意，y=（60-50+x）（200-10x）,

答案：

（1）y=10x +100x+2000（0

（2）定价 65 元时，最大月利润 y 为 2250 元。

2

2

2

当 x=5 时，最大月利润 y 为 2250 元。

定价 65 元

2

54.考点：

2.4 二次函数的应用

试题解析：

试题分析：

（1）设空调的采购数量为 x 台，则冰箱的采购数量为（20﹣x）台，然后根据

数量和单价列出不等式组，求解得到 x 的取值范围，再根据空调台数是正整数确定进货方

案；

（2）设总利润为 W 元，根据总利润等于空调和冰箱的利润之和整理得到 W 与 x 的函数关

系式并整理成顶点式形式，然后根据二次函数的增减性求出最大值即可．

试题解析：

（1）设空调的采购数量为 x 台，则冰箱的采购数量为（20﹣x）台，

由题意得，，

解不等式①得，，

解不等式②得，，

所以，不等式组的解集是，

∵x 为正整数，

∴x 可取的值为 11、12、13、14、15，

所以，该商家共有 5 种进货方案；

（2）设总利润为 W 元，空调的采购数量为 x 台，

，

则 W==

=，

当时，W 随 x 的增大而增大，

∵，

W=（-200x+12000-2800）x=-200x +9200x，

当 10＜x≤50 时，y=[3000－10（x－10）－2400]x，即 y=－10x +700x；

∴当 x=15 时，W 最大值=（元），

答：

采购空调 15 台时，获得总利润最大，最大利润值为 10650 元．

答案：

（1）5；

（2）15，10650．

55.考点：

2.4 二次函数的应用

试题解析：

试题分析：

（1）根据函数图象得出分段函数解析式，注意 x 的取值范围；

（2）利用函

（1）中函数解析式表示出 w，进而利用函数性质得出最值．

试题解析：

（1）根据图象可知当 0＜x≤20 时，

（2）根据上式以及老王种植水果的成本是 2 800 元/吨，

由题意得：

当 0＜x≤20 时，

W=（8000-2800）x=5200x，

W 随 x 的增大而增大，当 x=20 时，W 最大=5200×20=104000 元，

当 20＜x≤40 时，

2

当 x=23 时，

W 最大=105800 元．

故采购量为 23 吨时，老王在这次买卖中所获的利润 W 最大，最大利润是 105800 元．

答案：

采购量为 23 吨时，老王在这次买卖中所获的

利润 W 最大，最大利润是 105800 元．

56.考点：

2.4 二次函数的应用

试题解析：

（1）设件数为 x，依题意，得 3000－10（x－10）=2600，解得 x=50。

答：

商家一次购买这种产品 50 件时，销售单价恰好为 2600 元。

（2）当 0≤x≤10 时，y=（3000－2400）x=600x；

2

当 x＞50 时，y=（2600－2400）x=200x。

∴。

2

此时，销售单价为 3000－10（x－10）=2750 元，

答：

公司应将最低销售单价调整为 2750 元。

答案：

（1）商家一次购买这种产品 50 件时，销售单价恰好为 2600 元。

（2）

。

（3）公司应将最低销售单价调整为 2750 元。

57.考点：

2.4 二次函数的应用

试题解析：

试题分析：

（1）设 A 种型号的汽车的进货单价为 m 万元，根据花 50 万元购进 A 型汽车

的数量与花 40 万元购进 B 型汽车的数量相等，可列出方程=，解方程即可；

（2）

根据每周销售这两种车的总利润=每周销售 A 型汽车的利润+每周销售 B 型汽车的利润，

可求出与 的函数关系式，然后利用二次函数的性质可解决问题.

试题解析：

解：

（1）设 A 种型号的汽车的进货单价为 m 万元，

依题意得：

=，

解得：

m=10，

检验：

m=10 时，m≠0，m﹣2≠0，

故 m=10 是原分式方程的解，

故 m﹣2=8．

答：

A 种型号的汽车的进货单价为 10 万元，B 种型号的汽车的进货单价为 8 万元； 6 分

（2）根据题意得出：

W=（t+2﹣10）[﹣（t+2）+20]+（t﹣8）（﹣t+14）

2

2

∵a=﹣2＜0，抛物线开口向下，

∴当 t=12 时，W 有最大值为 32，

12+2=14，

答：

A 种型号的汽车售价为 14 万元/台，B 种型号的汽车售价为 14 万元/台时，每周销售这

两种车的总利润最大，最大总利润是 32 万元．

答案：

（1）A 种型号的汽车的进货单价为 10 万元，B 种型号的汽车的进货单价为 8 万元

（2）A 种型号的汽车售价为 14 万元/台，B 种型号的汽车售价为 14 万元/台时，每周销售

这两种车的总利润最大，最大总利润是 32 万元．

58.考点：

2.5 二次函数与一元二次方程

试题分析：

（1）先计算判别式得值得到   （3k+1） -4k×3=（3k-1） ，然后根据非负数的

试题解析：

（1）根据一元二次方程根与系数的关系可直接证得。

【教材中没有元二次方程根与系数的关系可先根据求根公式得出 x1、x2 的值，再求出两根

的和与积即可】

2

2

∵d=|x1﹣x2|，

222222

2

2

2

59.考点：

2.5 二次函数与一元二次方程

试题解析：

22

性质得到 

，则根据判别式的意义即可得到结论；

2

2

性可确定整数 k 的值．

2

2

2

∴ 

，

∴无论 k 取何值，方程总有两个实数根；

2

x=，

x1=-，x2=-3，

2

（3）当 y=2200 时，-10x +110x+2